El artículo de Grothendieck sobre Tôhoku

El artículo « Sur quelques points d'algèbre homologique » de Alexander Grothendieck , ^{[ 1 ]} ahora conocido como el artículo de Tôhoku , ^{[ 2 ]} se publicó en 1957 en el Tôhoku Mathematical Journal . Revolucionó el tema del álgebra homológica , un aspecto puramente algebraico de la topología algebraica . ^{[ 3 ]} Eliminó la necesidad de distinguir los casos de módulos sobre un anillo y haces de grupos abelianos sobre un espacio topológico . ^{[ 4 ]}

El material del artículo data del año que Grothendieck pasó en la Universidad de Kansas en 1955-56. ^{[ 5 ]} La investigación allí le permitió establecer una base axiomática para el álgebra homológica, mediante la introducción del concepto de categoría abeliana . ^{[ 6 ]}

Ese mismo año, apareció un libro de texto sobre álgebra homológica, Homological Algebra de Henri Cartan y Samuel Eilenberg . El trabajo de Grothendieck fue en gran medida independiente de este; sin embargo, su concepto de categoría abeliana había sido anticipado al menos parcialmente por otros. ^{[ 7 ]} David Buchsbaum, en su tesis doctoral escrita bajo la dirección de Eilenberg, había introducido una noción de " categoría exacta " cercana al concepto de categoría abeliana (que solo necesita que las sumas directas sean idénticas); y había formulado la idea de " suficientes inyectivos ". ^{[ 8 ]} El artículo de Tôhoku contiene un argumento para probar que una categoría de Grothendieck (un tipo particular de categoría abeliana, cuyo nombre se mencionará más adelante) tiene suficientes inyectivos; el autor indicó que la prueba era de tipo estándar. ^{[ 9 ]} Al demostrar por este medio que las categorías de haces de grupos abelianos admitían resoluciones inyectivas , Grothendieck fue más allá de la teoría disponible en el libro de Cartan y Eilenberg para probar la existencia de una teoría de cohomología en general. ^{[ 10 ]}

Después del teorema de Gabriel-Popescu de 1964, se supo que toda categoría de Grothendieck es una categoría cociente de una categoría de módulo . ^{[ 11 ]}

El artículo de Tôhoku también introdujo la secuencia espectral de Grothendieck asociada a la composición de functores derivados . ^{[ 12 ]} En una revisión posterior de los fundamentos del álgebra homológica, Grothendieck introdujo y desarrolló con Jean-Louis Verdier el concepto de categoría derivada . ^{[ 13 ]} La motivación inicial, como anunció Grothendieck en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1958 , fue formular resultados sobre dualidad coherente , ahora conocida como "dualidad de Grothendieck". ^{[ 14 ]}