Recursión topológica

En matemáticas , la recursión topológica es una definición recursiva de invariantes de curvas espectrales. Tiene aplicaciones en geometría enumerativa , teoría de matrices aleatorias , física matemática , teoría de cuerdas y teoría de nudos .

La recursión topológica es una construcción en geometría algebraica . ^{[ 1 ]} Toma como datos iniciales una curva espectral : los datos de${\displaystyle \left(\Sigma ,\Sigma _{0},x,\omega _{0,1},\omega _{0,2}\right)}$, dónde:${\displaystyle x:\Sigma \to \Sigma _{0}}$es un recubrimiento de superficies de Riemann con puntos de ramificación;${\displaystyle \omega _{0,1}}$es una 1-forma diferencial meromorfa en${\displaystyle \Sigma }$, regular en los puntos de ramificación ;${\displaystyle \omega _{0,2}}$es una forma diferencial bilineal meromorfa simétrica en${\displaystyle \Sigma ^{2}}$con un doble polo en diagonal y sin residuos.

La recursión topológica es entonces una definición recursiva de secuencias infinitas de n-formas meromorfas simétricas.${\displaystyle \omega _{g,n}}$en${\displaystyle \Sigma ^{n}}$, con polos solo en los puntos de ramificación, para enteros g≥0 tales que 2g-2+n>0. La definición es una recursión sobre el entero 2g-2+n.

En muchas aplicaciones, la forma n${\displaystyle \omega _{g,n}}$Se interpreta como una función generadora que mide un conjunto de superficies de género g y con n fronteras. La recursión se realiza sobre 2g-2+n, las características de Euler , de ahí el nombre de "recursión topológica".

La recursión topológica se descubrió por primera vez en matrices aleatorias . Uno de los objetivos principales de la teoría de matrices aleatorias es encontrar la expansión asintótica de gran tamaño de las funciones de correlación de n puntos, y en algunos casos adecuados, la expansión asintótica toma la forma de una serie de potencias . La n-forma ${\displaystyle \omega _{g,n}}$es entonces el coeficiente g ^en la expansión asintótica de la función de correlación de n puntos. Se encontró ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} que los coeficientes${\displaystyle \omega _{g,n}}$siempre obedecen una misma recursión en 2g-2+n. La idea de considerar esta relación de recursión universal más allá de la teoría de matrices aleatorias, y de promoverla como una definición de invariantes de curvas algebraicas , surgió en Eynard-Orantin 2007 ^{[ 1 ]} quien estudió las propiedades principales de esos invariantes.

Una aplicación importante de la recursión topológica fue a los invariantes de Gromov-Witten . Marino y BKMP ^{[ 5 ]} conjeturaron que los invariantes de Gromov-Witten de una 3-división de Calabi-Yau tórica${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$son los invariantes TR de una curva espectral que es el espejo de${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$.

Desde entonces, la recursión topológica ha generado mucha actividad, en particular en geometría enumerativa . Se ha establecido el vínculo con el formalismo de Givental y las variedades de Frobenius . ^{[ 6 ]}

(Caso de puntos de ramificación simples. Para puntos de ramificación de orden superior, consulte la sección Ramificaciones de orden superior más adelante).

• Para${\displaystyle n\geq 1}$y${\displaystyle 2g-2+n>0}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{g,n}(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})&=\sum _{a={\text{puntos de ramificación}}}\operatorname {Res} _{z\to a}K(z_{1},z,\sigma _{a}(z)){\Big (}\omega _{g-1,n+1}(z,\sigma _{a}(z),z_{2},\dots ,z_{n})\\&\qquad \qquad \qquad +\mathop {{\sum }'} _{\overset {g_{1}+g_{2}=g}{I_{1}\uplus I_{2}=\{z_{2},\dots ,z_{n}\}}}\omega _{g_{1},1+\#I_{1}}(z,I_{1})\omega _{g_{2},1+\#I_{2}}(\sigma _{a}(z),I_{2}){\Big )}\end{aligned}}}$$ dónde${\ Displaystyle K (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3})}$se denomina núcleo de recursión: ${\displaystyle K(z_{1},z_{2},z_{3})={\frac {{\frac {1}{2}}\int _{z'=z_{3}}^{z_{2}}\omega _{0,2}(z_{1},z')}{\omega _{0,1}(z_{2})-\omega _{0,1}(z_{3})}}}$ y${\displaystyle \sigma _{a}}$es la involución de Galois local cerca de un punto de ramificación${\displaystyle a}$, es tal que${\displaystyle x(\sigma _{a}(z))=x(z)}$La suma primada${\displaystyle {\sum }'}$significa excluir los dos términos${\displaystyle (g_{1},I_{1})=(0,\emptyset )}$y${\displaystyle (g_{2},I_{2})=(0,\emptyset )}$.

• Para${\displaystyle n=0}$y${\displaystyle 2g-2>0}$:

${\displaystyle F_{g}=\omega _{g,0}={\frac {1}{2-2g}}\ \sum _{a={\text{branchpoints}}}\operatorname {Res} _{z\to a}F_{0,1}(z)\omega _{g,1}(z)}$ con${\displaystyle dF_{0,1}=\omega _{0,1}}$cualquier antiderivado de${\displaystyle \omega _{0,1}}$.

• La definición de${\displaystyle F_{0}=\omega _{0,0}}$y${\displaystyle F_{1}=\omega _{1,0}}$es más complejo y se puede encontrar en el artículo original de Eynard-Orantin. ^{[ 1 ]}

• Simetría: cada${\displaystyle \omega _{g,n}}$es simétrico${\displaystyle n}$-formulario en${\displaystyle \Sigma ^{n}}$.
• postes: cada uno${\displaystyle \omega _{g,n}}$es meromorfa, tiene polos solo en los puntos de ramificación, con residuos que se desvanecen.
• Homogeneidad:${\displaystyle \omega _{g,n}}$es homogéneo de grado${\displaystyle 2-2g-n}$Bajo el cambio${\displaystyle \omega _{0,1}\to \lambda \omega _{0,1}}$, tenemos ${\displaystyle \omega _{g,n}\to \lambda ^{2-2g-n}\omega _{g,n}}$.
• Ecuación de Dilaton:

${\displaystyle \sum _{a={\text{branchpoints}}}\operatorname {Res} _{z\to a}F_{0,1}(z)\ \omega _{g,n+1}(z_{1},\dots ,z_{n},z)=(2g-2+n)\omega _{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})}$dónde${\displaystyle dF_{0,1}=\omega _{0,1}}$.

• Ecuaciones de bucle: Las siguientes formas no tienen polos en los puntos de ramificación.

${\displaystyle \sum _{z\in x^{-1}(x)}\omega _{g,n+1}(z,z_{1},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle \sum _{\{z\neq z'\}\subset x^{-1}(x)}{\Big (}\omega _{g,n+1}(z,z',z_{2},\dots ,z_{n})+\sum _{\overset {g_{1}+g_{2}=g}{I_{1}\uplus I_{2}=\{z_{2},\dots ,z_{n}\}}}\omega _{g_{1},1+\#I_{1}}(z,I_{1})\omega _{g_{2},1+\#I_{2}}(z',I_{2}){\Big )}}$ donde la suma no tiene ningún número primo, es decir, ningún término excluido.

• Deformaciones: La${\displaystyle \omega _{g,n}}$Satisfacer las ecuaciones de deformación
• Límites: dada una familia de curvas espectrales${\displaystyle {\mathcal {S}}_{t}}$, cuyo límite como${\displaystyle t\to 0}$es una curva singular, resuelta mediante un reescalado por una potencia de${\displaystyle t^{\mu }}$, entonces${\displaystyle \lim _{t\to 0}t^{(2-2g-n)\mu }\omega _{g,n}({\mathcal {S}}_{t})=\omega _{g,n}(\lim _{t\to 0}t^{\mu }{\mathcal {S}}_{t})}$.
• Invariancia simpléctica: En el caso donde${\displaystyle \Sigma }$es una curva algebraica compacta con una marcación de una base simpléctica de ciclos,${\displaystyle x}$es meromorfo y${\displaystyle \omega _{0,1}=ydx}$es meromorfo y ${\displaystyle \omega _{0,2}=B}$es la diferencial fundamental de segundo tipo normalizada en la marca, entonces la curva espectral${\displaystyle {\mathcal {S}}=(\Sigma ,\mathbb {C} ,x,ydx,B)}$y${\displaystyle {\tilde {\mathcal {S}}}=(\Sigma ,\mathbb {C} ,y,-xdy,B)}$, tienen lo mismo${\displaystyle F_{g}}$cambiado por algunos términos.
• Propiedades modulares: En el caso donde${\displaystyle \Sigma }$es una curva algebraica compacta con una marcación de una base simpléctica de ciclos, y ${\displaystyle \omega _{0,2}=B}$es la diferencial fundamental de segundo tipo normalizada en la marcación, entonces los invariantes${\displaystyle \omega _{g,n}}$son formas cuasimodulares bajo el grupo modular de cambios de marcado. Los invariantes${\displaystyle \omega _{g,n}}$Satisfacer las ecuaciones BCOV.

Los invariantes${\displaystyle \omega _{g,n}}$puede escribirse en términos de números de intersección de clases tautológicas : ^{[ 8 ]} (*)${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{g,n}(z_{1},\dots ,z_{n})=2^{3g-3+n}&\sum _{G={\text{Graphs}}}{\frac {1}{\#{\text{Aut}}(G)}}\int _{\left(\prod _{v={\text{vertices}}}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}\right)}\,\,\prod _{v={\text{vertices}}}e^{\sum _{k}{\hat {t}}_{\sigma (v),k}\kappa _{k}}\\&\prod _{(p,p')={\text{nodal points}}}\left(\sum _{d,d'}B_{\sigma (p),2d;\sigma (p'),2d'}\psi _{p}^{d}\psi _{p'}^{d'}\right)\prod _{p_{i}={\text{marked points}}\,i=1,\dots ,n}\left(\sum _{d_{i}}\psi _{p_{i}}^{d_{i}}d\xi _{\sigma (p_{i}),d_{i}}(z_{i})\right)\end{aligned}}}$ donde la suma se realiza sobre grafos duales de superficies de Riemann nodales estables de género aritmético total${\displaystyle g}$, y${\displaystyle n}$puntos marcados y etiquetados suaves${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$y equipado con un mapa${\displaystyle \sigma$ :\{{\text{vértices}}\}\to \{{\text{puntos de ramificación}}\}} . ${\displaystyle \psi _{p}=c_{1}({\mathcal {L}}_{p})}$es la clase de Chern del fibrado de la recta cotangente${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}}$cuya fibra es el plano cotangente en${\displaystyle p}$. ${\displaystyle \kappa _{k}}$es el${\displaystyle k}$^Clase kappa de Mumford. Los coeficientes${\displaystyle {\hat {t}}_{a,k}}$,${\displaystyle B_{a,k;a',k'}}$,${\displaystyle d\xi _{a,k}(z)}$, son los coeficientes de expansión de Taylor de${\displaystyle \omega _{0,1}}$y${\displaystyle \omega _{0,2}}$en las proximidades de los puntos de ramificación de la siguiente manera: en las proximidades de un punto de ramificación${\displaystyle a}$(suponiendo simple), una coordenada local es${\displaystyle \zeta _{a}(z)={\sqrt {x(z)-a}}}$. La expansión de Taylor de${\displaystyle \omega _{0,2}(z,z')}$cerca de los puntos de ramificación${\displaystyle z\to a}$,${\displaystyle z'\to a'}$define los coeficientes${\displaystyle B_{a,d;a',d'}}$${\displaystyle \omega _{0,2}(z,z')\mathop {\sim } _{z\to a,\ z'\to a'}\left({\frac {\delta _{a,a'}}{(\zeta _{a}(z)-\zeta _{a'}(z'))^{2}}}+2\pi \sum _{d,d'=0}^{\infty }{\frac {B_{a,d;a',d'}}{\Gamma ({\frac {d+1}{2}})\Gamma ({\frac {d'+1}{2}})}}\,\zeta _{a}(z)^{d}\zeta _{a'}(z')^{d'}\right)d\zeta _{a}(z)d\zeta _{a'}(z')}$La expansión de Taylor en${\displaystyle z'\to a}$, define los coeficientes de las 1-formas${\displaystyle d\xi _{a,d}(z)}$${\displaystyle d\xi _{a,d}(z)={\frac {-\Gamma (d+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\operatorname {Res} _{z'\to a}(x(z')-a)^{-d-{\frac {1}{2}}}\omega _{0,2}(z,z')}$ cuya expansión de Taylor cerca de un punto de ramificación${\displaystyle a'}$es ${\displaystyle d\xi _{a,d}(z)\mathop {\sim } _{z\to a'}{\frac {-\delta _{a,a'}(2d+1)!!d\zeta _{a}(z)}{2^{d}\zeta _{a}(z)^{2d+2}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{a,2d;a',2k}2^{k+1}}{(2k-1)!!}}\zeta _{a'}(z)^{2k}d\zeta _{a'}(z)}$. Escribe también la expansión de Taylor de${\displaystyle \omega _{0,1}}$${\displaystyle \omega _{0,1}(z)\mathop {\sim } _{z\to a}\sum _{k=0}^{\infty }t_{a,k}\ {\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})}{(k+1)\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}}\ \zeta _{a}(z)^{k}d\zeta _{a}(z)}$. De forma equivalente, los coeficientes${\displaystyle t_{a,k}}$se pueden encontrar a partir de los coeficientes de expansión de la transformada de Laplace y los coeficientes${\displaystyle {\hat {t}}_{a,k}}$son los coeficientes de expansión del logaritmo de la transformada de Laplace ${\displaystyle \int _{x(z)-x(a)\in \mathbb {R} _{+}}\omega _{0,1}(z)e^{-ux(z)}={\frac {e^{-ux(a)}{\sqrt {\pi }}}{2u^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }t_{a,k}u^{-k}={\frac {e^{-ux(a)}{\sqrt {\pi }}}{2u^{3/2}}}e^{-\sum _{k=0}^{\infty }{\hat {t}}_{a,k}u^{-k}}}$.

Por ejemplo, tenemos ${\displaystyle \omega _{0,3}(z_{1},z_{2},z_{3})=\sum _{a}e^{{\hat {t}}_{a,0}}d\xi _{a,0}(z_{1})d\xi _{a,0}(z_{2})d\xi _{a,0}(z_{3}).}$

${\displaystyle \omega _{1,1}(z)=2\sum _{a}e^{{\hat {t}}_{a,0}}\left({\frac {1}{24}}d\xi _{a,1}(z)+{\frac {{\hat {t}}_{a,1}}{24}}d\xi _{a,0}(z)+{\frac {1}{2}}B_{a,0;a,0}d\xi _{a,0}(z)\right).}$

La fórmula (*) generaliza la fórmula ELSV , así como la fórmula de Mumford y la fórmula de Mariño - Vafa .

• "Conferencias sobre la recursión topológica para haces de Higgs y curvas cuánticas" , 2016 (O. Dumitrescu y M. Mulase)