Espacio topológico

En matemáticas , un espacio topológico es, a grandes rasgos, un espacio en el que la cercanía está definida, pero no necesariamente puede medirse mediante una distancia numérica . Más específicamente, un espacio topológico es un conjunto cuyos elementos se denominan puntos, junto con una estructura adicional llamada topología, que puede definirse como un conjunto de vecindades para cada punto que satisfacen ciertos axiomas que formalizan el concepto de cercanía. Existen varias definiciones equivalentes de topología, siendo la más común la definición mediante conjuntos abiertos .

Un espacio topológico es el tipo más general de un espacio matemático que permite la definición de límites , continuidad y conexidad . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Los tipos comunes de espacios topológicos incluyen espacios euclidianos , espacios métricos y variedades .

Aunque muy general, el concepto de espacios topológicos es fundamental y se utiliza en prácticamente todas las ramas de las matemáticas modernas. El estudio de los espacios topológicos en sí mismo se denomina topología general (o topología de conjuntos de puntos).

Alrededor de 1735, Leonhard Euler descubrió la fórmula.${\displaystyle V-E+F=2}$relacionando el número de vértices (${\displaystyle V}$), bordes (${\displaystyle E}$) y caras (${\displaystyle F}$) de un poliedro convexo y, por lo tanto, de un grafo planar . El estudio y la generalización de esta fórmula, en particular por Cauchy (1789-1857) y L'Huilier (1750-1840), impulsaron el estudio de la topología. En 1827, Carl Friedrich Gauss publicó Investigaciones generales sobre superficies curvas , que en la sección 3 define la superficie curva de manera similar a la comprensión topológica moderna.

Sin embargo, "hasta el trabajo de Riemann a principios de la década de 1850, las superficies siempre se trataban desde un punto de vista local (como superficies paramétricas) y nunca se consideraban cuestiones topológicas". ^{[ 3 ]} " Möbius y Jordan parecen ser los primeros en darse cuenta de que el principal problema sobre la topología de las superficies (compactas) es encontrar invariantes (preferiblemente numéricos) para decidir la equivalencia de superficies, es decir, para decidir si dos superficies son homeomorfas o no". ^{[ 3 ]}

El tema es claramente definido por Felix Klein en su " Programa de Erlangen " (1872): los invariantes geométricos de la transformación continua arbitraria, un tipo de geometría. El término "topología" fue introducido por Johann Benedict Listing en 1847, aunque ya lo había usado en correspondencia algunos años antes en lugar del término previamente utilizado "Análisis situs". La base de esta ciencia, para un espacio de cualquier dimensión, fue creada por Henri Poincaré . Su primer artículo sobre este tema apareció en 1894. ^{[ 4 ]} En la década de 1930, James Waddell Alexander II y Hassler Whitney expresaron por primera vez la idea de que una superficie es un espacio topológico que es localmente como un plano euclidiano .

Los espacios topológicos fueron definidos por primera vez por Felix Hausdorff en 1914 en su obra fundamental "Principios de la teoría de conjuntos". Los espacios métricos habían sido definidos anteriormente en 1906 por Maurice Fréchet , aunque fue Hausdorff quien popularizó el término "espacio métrico" ( en alemán : metrischer Raum ). ^{[ 5 ] [ 6 ]}

La utilidad del concepto de topología se evidencia en la existencia de varias definiciones equivalentes de esta estructura matemática . Por lo tanto, se elige la axiomatización más adecuada para la aplicación. La más utilizada es la que se expresa en términos de conjuntos abiertos , pero quizás resulte más intuitiva la que se expresa en términos de vecindades , por lo que esta se presenta primero.

Definición mediante conjuntos abiertos

Una topología en un conjunto X puede definirse como una colección${\displaystyle \tau }$de subconjuntos de X , llamados conjuntos abiertos y que satisfacen los siguientes axiomas: ^{[ 9 ]}

1. El conjunto vacío y${\displaystyle X}$pertenecer mismo a${\displaystyle \tau .}$
2. Cualquier unión arbitraria (finita o infinita) de miembros de${\displaystyle \tau }$pertenece a${\displaystyle \tau .}$
3. La intersección de cualquier número finito de miembros de${\displaystyle \tau }$pertenece a${\displaystyle \tau .}$

Como esta definición de topología es la más utilizada, el conjunto${\displaystyle \tau }$de los conjuntos abiertos se denomina comúnmente una topología en${\displaystyle X.}$

Un subconjunto${\displaystyle C\subsetequ X}$Se dice que está cerrado en${\displaystyle (X,\tau )}$si su complemento${\displaystyle X\setminus C}$es un conjunto abierto. Nótese que de esta definición se deduce que el conjunto vacío y${\displaystyle X}$son simultáneamente abiertos y cerrados, es decir, los dos conjuntos son complementarios entre sí, mientras que cada uno de ellos es, en sí mismo, abierto. En general, cualquier subconjunto de${\displaystyle X}$Se dice que esta propiedad es cerrada .

Ejemplos de topologías

1. Dado${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$la topología trivial o indiscreta en${\displaystyle X}$es la familia${\displaystyle \tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}}$que consta únicamente de los dos subconjuntos de${\displaystyle X}$requerido por los axiomas forma una topología en${\displaystyle X.}$
2. Dado${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$la familia$${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}}$$de seis subconjuntos de${\displaystyle X}$forma otra topología de${\displaystyle X.}$
3. Dado${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$la topología discreta en${\displaystyle X}$es el conjunto de potencias de${\displaystyle X,}$que es la familia${\displaystyle \tau =\wp (X)}$compuesto por todos los subconjuntos posibles de${\displaystyle X.}$En este caso el espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$se denomina espacio discreto .
4. Dado${\displaystyle X=\mathbb {Z},}$el conjunto de los enteros, la familia${\displaystyle \tau }$de todos los subconjuntos finitos de los enteros más${\displaystyle \mathbb {Z} }$en sí mismo no es una topología, porque (por ejemplo) la unión de todos los conjuntos finitos que no contienen cero no es finita y, por lo tanto, no es un miembro de la familia de conjuntos finitos. La unión de todos los conjuntos finitos que no contienen cero tampoco es toda la familia de conjuntos finitos.${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$y por lo tanto no puede estar en${\displaystyle \tau .}$

Se pueden definir muchas topologías en un conjunto para formar un espacio topológico. Cuando cada conjunto abierto de una topología${\displaystyle \tau _{1}}$También está abierto a una topología${\displaystyle \tau _{2},}$uno dice que${\displaystyle \tau _{2}}$es más fino que${\displaystyle \tau _{1},}$y${\displaystyle \tau _{1}}$es más grueso que${\displaystyle \tau _{2}.}$Una demostración que se basa únicamente en la existencia de ciertos conjuntos abiertos también es válida para cualquier topología más fina, y de forma similar, una demostración que se basa únicamente en que ciertos conjuntos no sean abiertos se aplica a cualquier topología más gruesa. Los términos «mayor» y «menor» se utilizan a veces en lugar de «más fino» y «más grueso», respectivamente. Los términos «más fuerte» y «más débil» también se utilizan en la literatura, pero con escaso consenso sobre su significado, por lo que siempre conviene asegurarse de la convención del autor al leer.

La colección de todas las topologías en un conjunto fijo dado${\displaystyle X}$forma una red completa : si${\displaystyle F=\left\{\tau _{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$es una colección de topologías en${\displaystyle X,}$entonces el encuentro de${\displaystyle F}$es la intersección de${\displaystyle F,}$y la unión de${\displaystyle F}$es el encuentro de la colección de todas las topologías en${\displaystyle X}$que contienen a todos los miembros de${\displaystyle F.}$

Una función${\displaystyle f:X\to Y}$La relación entre espacios topológicos se denomina continua si para cada${\displaystyle x\in X}$y cada barrio${\displaystyle N}$de${\displaystyle f(x)}$Hay un barrio${\displaystyle M}$de${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle f(M)\subseteq N.}$Esto se relaciona fácilmente con la definición habitual en análisis. De manera equivalente,${\displaystyle f}$es continua si la imagen inversa de cada conjunto abierto es abierta. ^{[ 10 ]} Este es un intento de capturar la intuición de que no hay "saltos" ni "separaciones" en la función. Un homeomorfismo es una biyección que es continua y cuya inversa también es continua. Dos espacios se llaman homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos. Desde el punto de vista de la topología, los espacios homeomorfos son esencialmente idénticos. ^{[ 11 ]}

En teoría de categorías , una de las categorías fundamentales es Top , que denota la categoría de espacios topológicos cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son funciones continuas. El intento de clasificar los objetos de esta categoría ( salvo homeomorfismo ) mediante invariantes ha motivado áreas de investigación, como la teoría de la homotopía , la teoría de la homología y la teoría K.

Un conjunto dado puede tener muchas topologías diferentes. Si a un conjunto se le asigna una topología diferente, se considera un espacio topológico distinto. Cualquier conjunto puede tener la topología discreta, en la que cada subconjunto es abierto. Las únicas sucesiones o redes convergentes en esta topología son aquellas que son eventualmente constantes. Asimismo, cualquier conjunto puede tener la topología trivial (también llamada topología indiscreta), en la que solo el conjunto vacío y todo el espacio son abiertos. Toda sucesión y red en esta topología converge a todos los puntos del espacio. Este ejemplo muestra que, en general, en los espacios topológicos, los límites de las sucesiones no tienen por qué ser únicos. Sin embargo, a menudo los espacios topológicos deben ser espacios de Hausdorff, donde los puntos límite son únicos.

Existen numerosas topologías en cualquier conjunto finito dado . Dichos espacios se denominan espacios topológicos finitos . Los espacios finitos se utilizan a veces para proporcionar ejemplos o contraejemplos a conjeturas sobre espacios topológicos en general.

Cualquier conjunto puede tener una topología cofinita en la que los conjuntos abiertos son el conjunto vacío y los conjuntos cuyo complemento es finito. Esta es la topología T ₁ más pequeña en cualquier conjunto infinito. ^{[ 12 ]}

Cualquier conjunto puede adoptar la topología de co-contabilidad , en la que un conjunto se define como abierto si está vacío o si su complemento es numerable. Cuando el conjunto es incontable, esta topología sirve como contraejemplo en muchas situaciones.

La recta real también puede definirse mediante la topología del límite inferior . En este caso, los conjuntos abiertos básicos son los intervalos semiabiertos.${\displaystyle [a,b).}$ Esta topología en${\displaystyle \mathbb {R} }$Esta topología es estrictamente más fina que la topología euclidiana definida anteriormente; una sucesión converge a un punto en esta topología si y solo si converge desde arriba en la topología euclidiana. Este ejemplo muestra que un conjunto puede tener varias topologías distintas definidas sobre él.

Si${\displaystyle \gamma }$es un número ordinal , entonces el conjunto${\displaystyle \gamma =[0,\gamma )}$puede estar dotado de la topología de orden generada por los intervalos${\displaystyle (\alpha ,\beta ),}$${\displaystyle [0,\beta ),}$y${\displaystyle (\alpha ,\gamma )}$dónde${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son elementos de${\displaystyle \gamma .}$

Cada variedad tiene una topología natural ya que es localmente euclidiana. De manera similar, cada simplex y cada complejo simplicial heredan una topología natural de .

El espacio de Sierpiński es el espacio topológico no discreto más simple. Tiene importantes relaciones con la teoría de la computación y la semántica.

Los espacios topológicos pueden clasificarse, salvo homeomorfismo, según sus propiedades topológicas . Una propiedad topológica es una propiedad de los espacios que permanece invariante bajo homeomorfismos. Para demostrar que dos espacios no son homeomorfos, basta con encontrar una propiedad topológica que no compartan. Ejemplos de estas propiedades incluyen la conexidad , la compacidad y diversos axiomas de separación . Para invariantes algebraicos, véase topología algebraica .

• Álgebra de Heyting completa : El sistema de todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico dado, ordenados por inclusión, es un álgebra de Heyting completa.
• Espacio compacto – Tipo de espacio matemático 
• Espacio de convergencia : generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general. 
• Espacio exterior
• Espacio de Hausdorff – Tipo de espacio topológico 
• Espacio de Hilbert : un tipo de espacio vectorial en matemáticas. 
• Hemicontinuidad – Semicontinuidad para funciones multivaluadas 
• Subespacio lineal – En matemáticas, subespacio vectorial 
• Topología sin sentido
• Espacio cuasitopológico : función en topología 
• Subespacio relativamente compacto : subconjunto de un espacio topológico cuya clausura es compacta. 
• Espacio (matemáticas) – Conjunto matemático con alguna estructura añadida 

• Armstrong, MA (1983) [1979]. Topología básica . Textos de matemáticas para estudiantes de pregrado . Springer. ISBN 0-387-90839-0.
• Bredon, Glen E. , Topología y geometría (Textos de posgrado en matemáticas), Springer; 1.ª edición (17 de octubre de 1997). ISBN 0-387-97926-3.
• Bourbaki, Nicolas ; Elementos de matemáticas: Topología general , Addison-Wesley (1966).
• Brown, Ronald (2006). Topología y grupoides . Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8.(Tercera edición de libros con títulos diferentes)
• Čech, Eduard ; Conjuntos de puntos , Academic Press (1969).
• Fulton, William , Topología algebraica , (Textos de posgrado en matemáticas), Springer; 1.ª edición (5 de septiembre de 1997). ISBN 0-387-94327-7.
• Gallier, Jean; Xu, Dianna (2013). Una guía del teorema de clasificación para superficies compactas . Springer.
• Gauss, Carl Friedrich (1827). Investigaciones generales de superficies curvas .
• Lipschutz, Seymour; Esquema de topología general de Schaum , McGraw-Hill; 1.ª edición (1 de junio de 1968). ISBN 0-07-037988-2.
• Munkres, James ; Topología , Prentice Hall; 2.ª edición (28 de diciembre de 1999). ISBN 0-13-181629-2.
• Runde, Volker; Una introducción a la topología (Universitext) , Springer; 1.ª edición (6 de julio de 2005). ISBN 0-387-25790-X.
• Schubert, Horst (1968), Topología , Macdonald Technical & Scientific, ISBN 0-356-02077-0
• Steen, Lynn A. y Seebach, J. Arthur Jr.; Contraejemplos en topología , Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Vaidyanathaswamy, R. (1999). Topología de conjuntos . Chelsea Publishing Co. ISBN 0486404560.
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

• "Espacio topológico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]( archivado )