Distribución de Tracy-Widom

La distribución de Tracy-Widom es una distribución de probabilidad de la teoría de matrices aleatorias introducida por Craig Tracy y Harold Widom  (1993, 1994). Es la distribución del valor propio normalizado más grande de una matriz hermítica aleatoria . La distribución se define como un determinante de Fredholm .

En términos prácticos, Tracy-Widom es la función de cruce entre las dos fases de componentes débilmente acoplados versus fuertemente acoplados en un sistema. ^[1] También aparece en la distribución de la longitud de la subsecuencia creciente más larga de permutaciones aleatorias , ^[2] como estadísticas a gran escala en la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang , ^[3] en fluctuaciones actuales del proceso de exclusión simple asimétrico (ASEP) con condición inicial escalonada, ^[4] y en modelos matemáticos simplificados del comportamiento del problema de la subsecuencia común más larga en entradas aleatorias. ^[5] Consulte Takeuchi y Sano (2010) y Takeuchi et al. (2011) para pruebas experimentales (y verificación) de que las fluctuaciones de la interfaz de una gota en crecimiento (o sustrato) se describen mediante la distribución TW (o ) como lo predijeron Prähofer y Spohn (2000). $Estilo de visualización F_{2}$$Estilo de visualización F_{1}$

La distribución es de particular interés en las estadísticas multivariadas . ^[6] Para una discusión de la universalidad de , , véase Deift (2007). Para una aplicación de para inferir la estructura de la población a partir de datos genéticos, véase Patterson, Price y Reich (2006). En 2017 se demostró que la distribución F no es infinitamente divisible. ^[7]$Estilo de visualización F_{1}$${\displaystyle F_{\beta}}$${\displaystyle \beta = 1,2,4}$$Estilo de visualización F_{1}$

Sea la función de distribución acumulativa de la distribución de Tracy-Widom con . Puede definirse como una ley de los grandes números, similar al teorema del límite central . ${\displaystyle F_{\beta}}$${\estilo de visualización \beta}$

Normalmente hay tres distribuciones de Tracy-Widom, , con . Corresponden a los tres conjuntos gaussianos : ortogonal ( ), unitario ( ) y simpléctico ( ). ${\displaystyle F_{\beta}}$${\displaystyle \beta \en \{1,2,4\}}$${\displaystyle \beta = 1}$${\displaystyle \beta =2}$${\displaystyle \beta = 4}$

En general, considere un conjunto gaussiano con valor beta , con sus entradas diagonales que tienen varianza 1, y entradas fuera de la diagonal que tienen varianza , y sea probabilidad de que una matriz muestreada del conjunto tenga valor propio máximo , luego defina ^[8] donde denota el valor propio más grande de la matriz aleatoria. El desplazamiento por centra la distribución, ya que en el límite, la distribución de valores propios converge a la distribución semicircular con radio . La multiplicación por se utiliza porque la desviación estándar de la distribución escala como (derivada por primera vez en ^[9] ). ${\estilo de visualización \beta}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle F_{N,\beta}(s)}$${\displaystyle N\veces N}$${\displaystyle \leq s}$$${\displaystyle F_{\beta}(x)=\lim _{N\to \infty}F_{N,\beta}(\sigma (2N^{1/2}+N^{-1/6}x))=\lim _{N\to \infty}Pr(N^{1/6}(\lambda _{max}/\sigma -2N^{1/2})\leq x)}$$${\displaystyle \lambda _{\max }}$$Estilo de visualización 2 sigma N 1/2$$Estilo de visualización 2 sigma N 1/2$$Estilo de visualización N^{1/6}}$$Estilo de visualización N-1/6$

Por ejemplo: ^[10]

${\displaystyle F_{2}(x)=\lim _{N\to \infty }\operatorname {Prob} \left((\lambda _{\max }-{\sqrt {4N}})N^{1/6}\leq x\right),}$

donde la matriz se muestrea del conjunto unitario gaussiano con varianza fuera de la diagonal . ${\estilo de visualización 1}$

La definición de las distribuciones de Tracy-Widom puede extenderse a todas (Diapositiva 56 en Edelman (2003), Ramírez, Rider y Virág (2006)). ${\displaystyle F_{\beta}}$${\displaystyle \beta >0}$

Naturalmente, se puede preguntar por la distribución límite de los segundos y terceros valores propios más grandes, etc. Son conocidos. ^{[11] [8]}

$Estilo de visualización F_{2}$puede darse como el determinante de Fredholm

${\displaystyle F_{2}(s)=\det(I-A_{s})=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{(s,\infty )^{n}}\det _{i,j=1,...,n}[A_{s}(x_{i},x_{j})]dx_{1}\cdots dx_{n}}$

del núcleo ("núcleo de Airy") sobre funciones integrables cuadradas en la semirrecta , dadas en términos de funciones de Airy Ai por ${\displaystyle A_{s}}$${\displaystyle (s,\infty)}$

${\displaystyle A_{s}(x,y)={\begin{cases}{\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{xy}}\quad {\text{si }}x\neq y\\Ai'(x)^{2}-x(Ai(x))^{2}\quad {\text{si }}x=y\end{cases}}}$

$Estilo de visualización F_{2}$También se puede dar como una integral

${\displaystyle F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(xs)q^{2}(x)\,dx\right)}$

en términos de una solución ^{[nota 1]} de una ecuación de Painlevé de tipo II

${\displaystyle q^{\prime \prime }(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,}$

con condición de contorno Esta función es una trascendente de Painlevé . ${\textstyle \displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\to \infty .}$${\estilo de visualización q}$

Otras distribuciones también se pueden expresar en términos de lo mismo : ^[10]${\estilo de visualización q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(s)&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}\\F_{4}(s/{\sqrt {2}})&=\cosh \left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}.\end{aligned}}}$

Definir entonces ^[8]$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{x}^{\infty }(y-x)q(y)^{2}\,dy\right)\\E(x)&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{x}^{\infty }q(y)\,dy\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle F_{1}(x)=E(x)F(x),\quad F_{2}(x)=F(x)^{2},\quad \quad F_{4}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(E(x)+{\frac {1}{E(x)}}\right)F(x)}$$

Además de en la teoría de matrices aleatorias, las distribuciones de Tracy-Widom aparecen en muchos otros problemas de probabilidad. ^[12]

Sea la longitud de la subsecuencia creciente más larga en una permutación aleatoria muestreada uniformemente de , el grupo de permutación en n elementos. Entonces la función de distribución acumulativa de converge a . ^[13]${\displaystyle l_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\frac {l_{n}-2N^{1/2}}{N^{1/6}}}}$${\displaystyle F_{2}}$

Sea la función de densidad de probabilidad para la distribución, entonces ^[12] En particular, vemos que está severamente sesgada hacia la derecha: es mucho más probable que sea mucho mayor que que mucho menor. Esto se puede intuir al ver que la distribución límite es la ley del semicírculo, por lo que hay "repulsión" desde la mayor parte de la distribución, lo que obliga a que no sea mucho menor que . ${\displaystyle f_{\beta }(x)=F_{\beta }'(x)}$$${\displaystyle f_{\beta }(x)\sim {\begin{cases}e^{-{\frac {\beta }{24}}|x|^{3}},\quad x\to -\infty \\e^{-{\frac {2\beta }{3}}|x|^{3/2}},\quad x\to +\infty \end{cases}}}$$${\displaystyle \lambda _{max}}$${\displaystyle 2\sigma {\sqrt {N}}}$${\displaystyle \lambda _{max}}$${\displaystyle 2\sigma {\sqrt {N}}}$

En el límite, una expresión más precisa es (ecuación 49 ^[12] ) para algún número positivo que depende de . ${\displaystyle x\to -\infty }$$${\displaystyle f_{\beta }(x)\sim \tau _{\beta }|x|^{(\beta ^{2}+4-6\beta )/16\beta }\exp \left[-\beta {\frac {|x|^{3}}{24}}+{\sqrt {2}}{\frac {\beta -2}{6}}|x|^{3/2}\right]}$$${\displaystyle \tau _{\beta }}$${\displaystyle \beta }$

En el límite, ^[14] y en el límite, donde es la función zeta de Riemann , y . ${\displaystyle x\to +\infty }$$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-{\frac {e^{-{\frac {4}{3}}x^{3/2}}}{32\pi x^{3/2}}}{\biggl (}1-{\frac {35}{24x^{3/2}}}+{\cal {O}}(x^{-3}){\biggr )},\\E(x)&=1-{\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{4{\sqrt {\pi }}x^{3/2}}}{\biggl (}1-{\frac {41}{48x^{3/2}}}+{\cal {O}}(x^{-3}){\biggr )}\end{aligned}}}$$${\displaystyle x\to -\infty }$$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=2^{1/48}e^{{\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)}{\frac {e^{-{\frac {1}{24}}|x|^{3}}}{|x|^{1/16}}}\left(1+{\frac {3}{2^{7}|x|^{3}}}+O(|x|^{-6})\right)\\E(x)&={\frac {1}{2^{1/4}}}e^{-{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}|x|^{3/2}}{\Biggl (}1-{\frac {1}{24{\sqrt {2}}|x|^{3/2}}}+{\cal {O}}(|x|^{-3}){\Biggr )}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \zeta '(-1)=-0.1654211437}$

Esto permite derivar el comportamiento de . Por ejemplo,${\displaystyle x\to \pm \infty }$${\displaystyle F_{\beta }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}1-F_{2}(x)&={\frac {1}{32\pi x^{3/2}}}e^{-4x^{3/2}/3}(1+O(x^{-3/2})),\\F_{2}(-x)&={\frac {2^{1/24}e^{\zeta ^{\prime }(-1)}}{x^{1/8}}}e^{-x^{3}/12}{\biggl (}1+{\frac {3}{2^{6}x^{3}}}+O(x^{-6}){\biggr )}.\end{aligned}}}$$

La trascendente de Painlevé tiene expansión asintótica en (ecuación 4.1 de ^[15] ). Esto es necesario para los cálculos numéricos, ya que la solución es inestable: cualquier desviación de ella tiende a dejarla caer en la rama. ^[16]${\displaystyle x\to -\infty }$$${\displaystyle q(x)={\sqrt {-{\frac {x}{2}}}}\left(1+{\frac {1}{8}}x^{-3}-{\frac {73}{128}}x^{-6}+{\frac {10657}{1024}}x^{-9}+O(x^{-12})\right)}$$${\displaystyle q\sim {\sqrt {-x/2}}}$${\displaystyle q\sim -{\sqrt {-x/2}}}$

Las técnicas numéricas para obtener soluciones numéricas a las ecuaciones de Painlevé de los tipos II y V, y evaluar numéricamente distribuciones de valores propios de matrices aleatorias en los conjuntos beta fueron presentadas por primera vez por Edelman & Persson (2005) usando MATLAB . Estas técnicas de aproximación fueron justificadas analíticamente en Bejan (2005) y utilizadas para proporcionar una evaluación numérica de las distribuciones de Painlevé II y Tracy–Widom (para ) en S-PLUS . Estas distribuciones han sido tabuladas en Bejan (2005) a cuatro dígitos significativos para valores del argumento en incrementos de 0,01; una tabla estadística para valores p también fue proporcionada en este trabajo. Bornemann (2010) proporcionó algoritmos precisos y rápidos para la evaluación numérica de y las funciones de densidad para . Estos algoritmos pueden usarse para calcular numéricamente la media , la varianza , la asimetría y el exceso de curtosis de las distribuciones . ^[17]${\displaystyle \beta =1,2,4}$${\displaystyle F_{\beta }}$${\displaystyle f_{\beta }(s)=dF_{\beta }/ds}$${\displaystyle \beta =1,2,4}$${\displaystyle F_{\beta }}$

Las funciones para trabajar con las leyes de Tracy-Widom también se presentan en el paquete R 'RMTstat' de Johnstone et al. (2009) y en el paquete MATLAB 'RMLab' de Dieng (2006).

Para una aproximación simple basada en una distribución gamma desplazada, consulte Chiani (2014).

Shen y Serkh (2022) desarrollaron un algoritmo espectral para la descomposición propia del operador integral , que se puede utilizar para evaluar rápidamente las distribuciones de Tracy-Widom o, de forma más general, las distribuciones del nivel más grande en el límite de escala del borde suave de los conjuntos gaussianos, con precisión de máquina. ${\displaystyle A_{s}}$${\displaystyle k}$

La distribución de Tracy-Widom aparece como una distribución límite en la clase de universalidad de la ecuación KPZ . Por ejemplo, aparece bajo el escalamiento de la ecuación KPZ unidimensional con tiempo fijo. ^[18]${\displaystyle t^{1/3}}$

• Distribución de semicírculo de Wigner
• Distribución de Marchenko-Pastur

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