Ecuación de Kardar-Parisi-Zhang

En matemáticas , la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) es una ecuación diferencial parcial estocástica no lineal , introducida por Mehran Kardar , Giorgio Parisi y Yi-Cheng Zhang en 1986. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Describe el cambio temporal de un campo de alturas.${\displaystyle h({\vec {x}},t)}$con coordenadas espaciales${\displaystyle {\vec {x}}}$y coordenadas de tiempo${\displaystyle t}$:

${\displaystyle {\frac {\partial h({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}h+{\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}+\eta ({\vec {x}},t)\;.}$

Aquí,${\displaystyle \eta ({\vec {x}},t)}$es ruido gaussiano blanco con promedio

${\displaystyle \langle \eta ({\vec {x}},t)\rangle =0}$

y segundo momento

${\displaystyle \langle \eta ({\vec {x}},t)\eta ({\vec {x}}',t')\rangle =2D\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')\delta (t-t'),}$

${\displaystyle \nu }$,${\displaystyle \lambda }$, y${\displaystyle D}$son parámetros del modelo, y${\displaystyle d}$es la dimensión.

En una dimensión espacial, la ecuación KPZ corresponde a una versión estocástica de la ecuación de Burgers con campo${\displaystyle u(x,t)}$mediante la sustitución${\displaystyle u=-\lambda \,\partial h/\partial x}$.

Mediante el grupo de renormalización , se conjetura que la ecuación KPZ es la teoría de campo de muchos modelos de crecimiento de superficies , como el modelo de Edén , la deposición balística y el modelo de proceso sólido sobre sólido (SOS) de un solo paso débilmente asimétrico. Bertini y Giacomin proporcionaron una demostración rigurosa en el caso del modelo SOS. ^{[ 3 ]}

Muchos sistemas de partículas interactuantes , como el proceso de exclusión simple totalmente asimétrico , pertenecen a la clase de universalidad KPZ . Esta clase se caracteriza por los siguientes exponentes críticos en una dimensión espacial (1  +  1 dimensión): el exponente de rugosidad${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$, exponente de crecimiento${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{3}}}$y exponente dinámico${\displaystyle z={\tfrac {3}{2}}}$Para comprobar si un modelo de crecimiento pertenece a la clase KPZ, se puede calcular el ancho de la superficie:

${\displaystyle W(L,t)=\left\langle {\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}{\big (}h(x,t)-{\bar {h}}(t){\big )}^{2}\,dx\right\rangle ^{1/2},}$

dónde${\displaystyle {\bar {h}}(t)}$es la altura media de la superficie en el tiempo${\displaystyle t}$y${\displaystyle L}$es el tamaño del sistema. Para los modelos dentro de la clase KPZ, las propiedades principales de la superficie${\displaystyle h(x,t)}$puede caracterizarse por la relación de escala de Family - Vicsek de la rugosidad ^{[ 4 ]}

${\displaystyle W(L,t)\approx L^{\alpha }f(t/L^{z}),}$

con una función de escalado${\displaystyle f(u)}$satisfactorio

${\displaystyle f(u)\propto {\begin{cases}u^{\beta }&\ u\ll 1\\1&\ u\gg 1\end{cases}}}$

En 2014, Hairer y Quastel demostraron que, de manera más general, las siguientes ecuaciones tipo KPZ se encuentran dentro de la clase de universalidad KPZ: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial h({\vec {x}},t)}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}h+P\left(\nabla h\right)+\eta ({\vec {x}},t)\;,}$

dónde${\displaystyle P}$es cualquier polinomio de grado par .

Una familia de procesos que se conjetura que son límites universales en la clase de universalidad (1+1) KPZ y que rigen las fluctuaciones de tiempo largo son los procesos de Airy y el punto fijo KPZ .

Debido a la no linealidad en la ecuación y la presencia de ruido blanco espacio-temporal , se sabe que las soluciones de la ecuación KPZ no son suaves ni regulares, sino más bien " fractales " o " rugosas ". Incluso sin el término no lineal, la ecuación se reduce a la ecuación estocástica del calor , cuya solución no es diferenciable en la variable espacial pero satisface una condición de Hölder con exponente menor que 1/2. Por lo tanto, el término no lineal${\displaystyle \left(\nabla h\right)^{2}}$Está mal definido en un sentido clásico.

En 2013, Martin Hairer logró un avance significativo al resolver la ecuación KPZ mediante una extensión de la transformación de Cole-Hopf y la construcción de aproximaciones utilizando diagramas de Feynman . ^{[ 5 ]} En 2014, recibió la Medalla Fields por este trabajo sobre la ecuación KPZ, junto con la teoría de trayectorias irregulares y estructuras de regularidad . Se encontraron seis soluciones analíticas autosimilares diferentes para la ecuación (1+1) KPZ con distintos términos de ruido analítico. ^{[ 6 ]}

Una derivación común y no rigurosa comienza con un intento de modelar el crecimiento de la superficie durante la cristalización .${\displaystyle h(x,t)}$representa la altura de la superficie en la posición${\displaystyle x}$y tiempo${\displaystyle t}$Se espera que la superficie evolucione con el tiempo según alguna variante de la ecuación de difusión . $${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}{\text{,}}}$$ que actúa para suavizar las condiciones iniciales. La ecuación de difusión en sí misma no puede describir la evolución de la superficie porque es determinista , omitiendo los efectos de la precipitación y disolución aleatorias.

La adaptación más sencilla añade una forzante estocástica: $${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t),}$$ dónde${\displaystyle \eta }$es ruido blanco gaussiano con media cero y covarianza$${\displaystyle E[\eta (x,t)\eta (x',t')]=\delta (x-x')\delta (t-t'){\text{.}}}$$ Esa ecuación es la ecuación de Edwards-Wilkinson (EW), también conocida descriptivamente como la ecuación estocástica del calor con ruido aditivo . La ecuación EW es matemáticamente manejable, siendo lineal ; y resoluble mediante análisis de Fourier . También exhibe una importante simetría que se conserva en la ecuación KPZ final: si${\textstyle h}$resuelve la ecuación EW cuando${\textstyle \eta }$tiene media 0, entonces${\textstyle h+mt}$también resuelve la ecuación EW cuando${\textstyle \eta }$tiene significa${\textstyle m}$Por lo tanto, cualquier término constante puede agregarse o eliminarse del lado derecho sin modificar la aplicabilidad física. Sin embargo, la ecuación EW implica que las fluctuaciones en${\textstyle h}$son gaussianas, lo cual es contrario a los experimentos. Falta al menos un término para un modelo físicamente preciso. ^{[ 7 ]}

La observación clave de Kardar, Parisi y Zhang (KPZ) ^{[ 1 ]} fue que el término faltante depende de la pendiente local de la superficie,${\textstyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}}$ La superficie del cristal crece perpendicularmente a la superficie (variable), pero${\textstyle h}$se mide a lo largo de un eje de altura fijo. En consecuencia, las regiones con grandes${\textstyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}}$tienen una mayor longitud superficial y se observa una mayor deposición.

Cabría esperar que el crecimiento de la superficie se modele con precisión mediante una ecuación de la forma $${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}=F\left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t)}$$ para alguna función${\textstyle F}$. Si${\textstyle F}$es únicamente proporcional a la longitud de arco local, entonces${\textstyle F}$debería tomar (salvo una constante aditiva, por la simetría EW mencionada anteriormente) el valor$${\displaystyle F(s)=\lambda {\sqrt {1+s^{2}}}{\text{,}}}$$por alguna constante${\textstyle \lambda }$Sin embargo, esa elección de${\textstyle F}$da como resultado una ecuación intratable. ^{[ 8 ]}

El físico en activo ahora se ve tentado por costumbre a simplemente expandir${\textstyle F}$como una serie de Taylor sobre${\textstyle 0}$Esta expansión de Taylor no puede justificarse matemáticamente. La función${\textstyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}}$es grande y tiene una variación muy grande: no hay un punto conveniente alrededor del cual realizar la expansión de Taylor. ^{[ 9 ]} Sin embargo, como se discutió anteriormente, la ecuación KPZ es universal, en el sentido de que las mismas funciones resuelven la ecuación KPZ para cualquier${\textstyle F(s)}$que es un polinomio no constante en${\textstyle s^{2}}$. Por ejemplo, si${\textstyle F}$Si fuera polinomial, se podría asumir que es cuadrática sin pérdida de generalidad.

Con menos rigor, se puede calcular que el flujo del grupo de renormalización tiene un único punto fijo: a saber,${\textstyle F(s)=F''(0)s^{2}}$Por lo tanto, si existe un modelo interesante que se pueda encontrar, entonces debe comportarse como si...${\textstyle F(s)=F''(0)s^{2}}$. ^{[ 10 ]} El análisis matemático (¡extenso!) de la ecuación KPZ se dedica a demostrar que la ecuación resultante está bien definida: normalmente, las distribuciones templadas no tienen cuadrado, pero la divergencia asociada con el modelo KPZ puede atenuarse después de aplicar la transformación de Hopf-Cole. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Por razones intuitivas, asumiremos que $${\displaystyle F(s)=F'(0)+F'(0)s+{\frac {1}{2}}F''(0)s^{2}{\text{.}}}$$ El primer término puede eliminarse de la ecuación mediante la simetría de desplazamiento temporal a la que se alude anteriormente en la ecuación EW: si${\displaystyle h(x,t)}$resuelve la ecuación KPZ, luego${\displaystyle {\tilde {h}}(x,t):=h(x,t)-\lambda F(0)t}$resuelve $${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}=-\lambda F(0)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t).}$$ El segundo puede eliminarse de la ecuación mediante un cambio de coordenadas de velocidad constante, ya que si${\displaystyle h(x,t)}$resuelve la ecuación KPZ, luego${\displaystyle {\tilde {h}}(x,t):=h(x-\lambda F'(0)t,t-\lambda F'(0)x)}$resuelve $${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {h}}(x,t)}{\partial t}}=-\lambda F'(0){\frac {\partial {\tilde {h}}(x,t)}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}{\tilde {h}}(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t).}$$ El término cuadrático es la primera contribución no trivial, y es la única que se conserva. Llegamos a la ecuación KPZ. $${\displaystyle {\frac {\partial h(x,t)}{\partial t}}=-\lambda \left({\frac {\partial h(x,t)}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h(x,t)}{\partial x^{2}}}+\eta (x,t).}$$

1. 1 2 Kardar, Mehran; Parisi, Giorgio; Zhang, Yi-Cheng (3 de marzo de 1986). "Escalado dinámico de interfaces en crecimiento" . Physical Review Letters . 56 (9): 889– 892. Bibcode : 1986PhRvL..56..889K . doi : 10.1103/PhysRevLett.56.889 . PMID 10033312 . 
2. 1 2 Hairer, Martin; Quastel, J (2014), Universalidad débil de la ecuación KPZ (PDF)
3. ↑ Bertini, Lorenzo; Giacomin, Giambattista (1997). "Ecuaciones estocásticas de Burgers y KPZ a partir de sistemas de partículas". Communications in Mathematical Physics . 183 (3): 571– 607. Bibcode : 1997CMaPh.183..571B . CiteSeerX 10.1.1.49.4105 . doi : 10.1007/s002200050044 . S2CID 122139894 .  
4. ↑ Family, F. ; Vicsek, T. (1985). "Escalado de la zona activa en el proceso de Edén en redes de percolación y el modelo de deposición balística". Journal of Physics A: Mathematical and General . 18 (2): L75– L81. Bibcode : 1985JPhA...18L..75F . doi : 10.1088/0305-4470/18/2/005 .
5. ↑ Hairer, Martin (2013). "Resolviendo la ecuación KPZ". Annals of Mathematics . 178 (2): 559– 664. arXiv : 1109.6811 . doi : 10.4007/annals.2013.178.2.4 . S2CID 119247908 . 
6. ↑ Barna, Imre Ferenc; Bognár, Gabriella; Mahoma, Guedda; Hriczó, Krisztián; Mátyás, László (2020). "Soluciones analíticas autosimilares de la ecuación creciente de la interfaz Kardar-Parisi-Zhang con varios términos de ruido" . Modelado y Análisis Matemático . 25 (2): 241–257 . arXiv : 1904.01838 . Código Bib : 2019arXiv190401838F . doi : 10.3846/mma.2020.10459 . S2CID 102487227 . 
7. ↑ Tomohiro, Sasamoto (2016). "La ecuación de Kardar-Parisi-Zhang unidimensional: distribución de altura y universalidad" . Progress of Theoretical and Experimental Physics . 2016 (2) 022A01. § 3.2. doi : 10.1093/ptep/ptw002 .
8. ↑ Quastel, Jeremy (2012). "Introducción a KPZ" (PDF) . pág. 3. Archivado del original (PDF) el 7 de abril de 2025. 
9. ↑ Quastel 2012 , págs. 3, 6.
10. ↑ Timothy Halpin-Healy y Yi-Cheng Zhang (1995). "Fenómenos de rugosidad cinética, crecimiento estocástico, polímeros dirigidos y todo eso". Physics Reports , vol. 254: pág. 236.
11. ↑ Tomohiro 2016 , § 4. sfn error: objetivos múltiples (2×): CITEREFTomohiro2016 ( ayuda )
12. ↑ Quastel 2012 , págs. 8-10. "La evidencia a favor de las soluciones de Hopf-Cole es ahora abrumadora. Sea lo que sea que los físicos entiendan por KPZ, son ellos... El problema consiste en encontrar una definición [o interpretación] apropiada de (1)-(3) que se ajuste a esa solución y demostrar la unicidad correspondiente."

• Barabási, A.- L.; Stanley, HE (13 de abril de 1995). "6 - Ecuación de Kardar–Parisi–Zhang". Conceptos fractales en el crecimiento de superficies (1.ª  ed.). Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511599798.008 . ISBN 978-0-521-48308-7.
• Corwin, Ivan (2011). "La ecuación de Kardar-Parisi-Zhang y la clase de universalidad". arXiv : 1106.1596 [ math.PR ].
• "Apuntes de clase de Jeremy Quastel" (PDF) .
• Tomohiro, Sasamoto (2016). "La ecuación de Kardar-Parisi-Zhang 1D: distribución de altura y universalidad" . Progress of Theoretical and Experimental Physics . 2016 (2) 022A01. doi : 10.1093/ptep/ptw002 .