Círculos gemelos

En geometría , los círculos gemelos son dos círculos especiales asociados a un arbelos . Un arbelos está determinado por tres puntos colineales A , B y C , y es la región triangular curvilínea entre los tres semicírculos cuyos diámetros son AB , BC y AC . Si el arbelos se divide en dos regiones más pequeñas mediante un segmento de recta que pasa por el punto medio de A , B y C , perpendicular a la recta ABC , entonces cada uno de los dos círculos gemelos se encuentra dentro de una de estas dos regiones, tangente a sus dos lados semicirculares y al segmento que lo divide.

Estos círculos aparecieron por primera vez en el Libro de Lemas , que demostró (Proposición V) que los dos círculos son congruentes . ^{[ 1 ]} Thābit ibn Qurra , quien tradujo este libro al árabe, se lo atribuyó al matemático griego Arquímedes . Basándose en esta afirmación, los círculos gemelos, y varios otros círculos del Arbelos congruentes con ellos, también han sido llamados círculos de Arquímedes . Sin embargo, esta atribución ha sido cuestionada por estudios posteriores. ^{[ 2 ]}

Específicamente, dejemos${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$, y${\displaystyle C}$sean las tres esquinas del árbol, con${\displaystyle B}$entre${\displaystyle A}$y${\displaystyle C}$. Dejar${\displaystyle D}$sea ​​el punto donde el semicírculo más grande intercepta la línea perpendicular a la${\displaystyle AC}$a través del punto${\displaystyle B}$. El segmento${\displaystyle BD}$divide el arbelos en dos partes. Los círculos gemelos son los dos círculos inscritos en estas partes, cada uno tangente a uno de los dos semicírculos más pequeños, al segmento${\displaystyle BD}$y al semicírculo más grande. ^{[ 3 ]}

Cada uno de los dos círculos está determinado de forma única por sus tres tangencias. Su construcción es un caso especial del Problema de Apolonio .

También se han encontrado enfoques alternativos para construir dos círculos congruentes con los círculos gemelos. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Estos círculos también se han llamado círculos arquimedianos. Incluyen el círculo de Bankoff , los círculos de Schoch y los círculos de Woo .

Sean a y b los diámetros de dos semicírculos interiores, de modo que el semicírculo exterior tenga diámetro a  + b . El diámetro de cada círculo gemelo es entonces ^{[ 3 ].} 

${\displaystyle d={\frac {ab}{a+b}}.}$

Alternativamente, si el semicírculo exterior tiene un diámetro unitario y los círculos interiores tienen diámetros${\displaystyle s}$y${\displaystyle 1-s}$, el diámetro de cada círculo gemelo es ^{[ 3 ]}

${\displaystyle d=s(1-s).\,}$

El círculo más pequeño que encierra a ambos círculos gemelos tiene la misma área que el arbelos. ^{[ 3 ]}

• Línea Schoch