Operador de turno unilateral

En teoría de operadores , el desplazamiento unilateral es un operador de desplazamiento unilateral , es decir, un operador de desplazamiento que actúa sobre secuencias o espacios de desplazamiento unilaterales . El término " operador " se utiliza para diferenciarlo de las matrices de desplazamiento de dimensión finita . El término "unilateral" distingue al operador de desplazamiento bilateral , del cual el mapa de Baker es un ejemplo.

Los operadores de desplazamiento se estudian comúnmente en el contexto de sistemas dinámicos que preservan la medida . En tales entornos generales, el operador de desplazamiento unilateral se denomina habitualmente operador de transferencia u operador de Frobenius-Perón; su inverso es el operador de Koopman . Las propiedades de los operadores de desplazamiento dependen en gran medida de la topología de los espacios en los que actúan; por ejemplo, el desplazamiento de Bernoulli tiene un espectro discreto dado por los polinomios de Bernoulli cuando actúa en el espacio de funciones suaves acotadas en el intervalo unitario, pero tiene un espectro continuo (en el disco unitario) cuando actúa en el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable. Cuando actúan en un espacio de medida , las autofunciones de los operadores de desplazamiento son característicamente fractales en forma, a menudo diferenciables en ningún punto o incluso continuas en ningún punto. Los autovalores en el círculo unitario se asocian con la evolución temporal unitaria , mientras que los que se encuentran dentro del disco unitario se identifican convencionalmente con modos de decaimiento en sistemas estadísticos. En mecánica cuántica , el operador de desplazamiento unilateral prototípico es el operador de aniquilación del oscilador armónico cuántico . Sus funciones propias corresponden a estados coherentes .

Este artículo trata principalmente de desplazamientos unilaterales que actúan sobre el espacio de Hilbert , específicamente en dos representaciones: como un operador sobre el espacio de secuencias $\ell ^{2}$ , o como un operador de multiplicación en un espacio de Hardy . Sus propiedades, en particular sus subespacios invariantes , se comprenden bien y sirven como modelo para teorías más generales. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Definición

Dejar $\ell ^{2}$ sea el espacio de Hilbert de secuencias de números complejos sumables al cuadrado , es decir, $\ell ^{2}=\left\{(a_{0},a_{1},a_{2},\dots ):a_{n}\in \mathbb {C} {\text{ y }}\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty \right\}$ El desplazamiento unilateral es el operador lineal. $S:\ell ^{2}\to \ell ^{2}$ definido por: $S(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )=(0,a_{0},a_{1},a_{2},\dots )$ Este operador también se denomina desplazamiento hacia adelante .

Con respecto a la base ortonormal estándar $(e_{n})_{n=0}^{\infty }$ para $\ell ^{2}$ , dónde $e_{n}$ es la secuencia con un 1 en la n -ésima posición y 0 en las demás, la acción de $S$ es $Se_{n}=e_{n+1}$ Su representación matricial es: $S={\begin{bmatrix}0&0&0&0&\cdots \\1&0&0&0&\cdots \\0&1&0&0&\cdots \\0&0&1&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$ Este es un operador de Toeplitz cuyo símbolo es la función $f(z)=z$ Puede considerarse como una matriz de desplazamiento inferior de dimensión infinita .

Propiedades

Operador adjunto

El adjunto del desplazamiento unilateral, denotado $S^{*}$ , es el desplazamiento hacia atrás . Actúa sobre $\ell ^{2}$ como: $S^{*}(b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},\dots )=(b_{1},b_{2},b_{3},\dots )$ La representación matricial de $S^{*}$ es la transpuesta conjugada de la matriz para $S$ : $S^{*}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots \\0&0&1&0&\cdots \\0&0&0&1&\cdots \\0&0&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$ Puede considerarse como una matriz de desplazamiento superior de dimensión infinita.

Propiedades básicas

$S,S^{*}$ son ambos continuos pero no compactos .
$S^{*}S=I$ .
$S,S^{*}$ formar un par de equivalencia unitaria entre $\ell ^{2}$ y el conjunto de $\ell ^{2}$ -secuencias cuyo primer elemento es cero.

El operador resolvente tiene representación matricial. $(zI-S)^{-1}={\begin{bmatrix}z^{-1}&0&0&0&\cdots \\z^{-2}&z^{-1}&0&0&\cdots \\z^{-3}&z^{-2}&z^{-1}&0&\cdots \\z^{-4}&z^{-3}&z^{-2}&z^{-1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$ que está acotado si y solo si $|z|>1$ . Similarmente, $(zI-S^{*})^{-1}=((z^{*}IS)^{-1})^{*}$ .

Para cualquier $z\in \mathbb {C} ,a\in \ell ^{2}$ con $\|a\|=1$ , $\|(zI-S)a\|^{2}=1+|z|^{2}-2\Re (\langle Sa,a\rangle z),\quad \|(zI-S^{*})a\|^{2}=1-|a_{0}|^{2}+|z|^{2}-2\Re (\langle Sa,a\rangle z^{*})$ dónde $\Re$ es la parte real .

Teoría espectral

Espectro del cambio hacia adelante — Dejar $\mathbb {D}$ sea el disco de unidad abierta, ${\overline {\mathbb {D} }}$ el disco de unidad cerrada y $\mathbb {T}$ el círculo unitario.

El espectro de $S$ es $\sigma (S)={\overline {\mathbb {D} }}$ .
El espectro de puntos de $S$ está vacío: $\sigma _{p}(S)=\emptyset$ .
El espectro de puntos aproximado de $S$ es el círculo unitario: $\sigma _{ap}(S)=\mathbb {T}$ .

Prueba

Para mostrar $\sigma (S)={\overline {\mathbb {D} }}$ , utilice la representación matricial de $(zI-S)^{-1}$ y tenga en cuenta que está acotado si y solo si $|z|>1$ Para mostrar $\sigma _{p}(S)=\emptyset$ , mostrar directamente que $Sa=\lambda a$ implica $a=0$ .

Para mostrar $\sigma _{ap}(S)=\mathbb {T}$ , tenga en cuenta que $\|(zI-S)a\|^{2}\geq 1+|z|^{2}-2|z|=(1-|z|)^{2}$ para cualquier $z\in \mathbb {C} ,a\in \ell ^{2}$ con $\|a\|=1$ , entonces $\sigma _{ap}(S)\subset {\overline {\mathbb {D} }}\setminus \mathbb {D} =\mathbb {T}$ . Por el contrario, para cualquier $z\in \mathbb {T}$ , construya el siguiente vector unitario $a={\frac {1}{\sqrt {N}}}(1,z^{-1},z^{-2},\dots ,z^{-(N-1)},0,0,\dots )$ entonces $\|(zI-S)a\|^{2}=2/N$ , que converge a 0 en $N\to \infty$ .

Las propiedades espectrales de $S^{*}$ difieren significativamente de los de $S$ : ^{[ 1 ]}^{: Proposición 5.2.4}

$\sigma (S^{*})={\overline {\mathbb {D} }}$ (desde $\sigma (A^{*})={\overline {\sigma (A)}}$ ).
El espectro de puntos $\sigma _{p}(S^{*})$ es el disco de unidad abierta completa $\mathbb {D}$ . Para cualquier $\lambda \in \mathbb {D}$ , el vector propio correspondiente es la secuencia geométrica $(1,\lambda ,\lambda ^{2},\lambda ^{3},\dots )$ .
El espectro de puntos aproximado $\sigma _{ap}(S^{*})$ es el disco de unidad cerrada completa ${\overline {\mathbb {D} }}$ Para demostrar esto, queda por demostrar $\mathbb {T} \subset \sigma _{ap}(S^{*})$ , lo cual puede probarse mediante una construcción similar a la anterior, utilizando $a={\frac {1}{\sqrt {N}}}(1,z^{1},z^{2},\dots ,z^{(N-1)},0,0,\dots )$ .

Modelo espacial de Hardy

El desplazamiento unilateral puede estudiarse mediante análisis complejo .

Defina el espacio Hardy $H^{2}$ como el espacio de Hilbert de funciones analíticas $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ en el disco de la unidad abierta $\mathbb {D}$ para la cual la secuencia de coeficientes $(a_{n})$ está en $\ell ^{2}$ .

Defina el operador de multiplicación $M_{z}$ en $H^{2}$ : $(M_{z}f)(z)=zf(z)$ entonces $S$ y $M_{z}$ son unitariamente equivalentes a través del mapa unitario $U:\ell ^{2}\to H^{2}$ definido por ^{[ 1 ]} $U(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ lo cual da $U^{*}M_{z}U=S$ . Utilizando esta equivalencia unitaria, es común en la literatura usar $S$ para denotar $M_{z}$ y para tratar $H^{2}$ como configuración principal para el cambio unilateral. ^{[ 1 ]}^{: Sec. 5.3}

Conmutador

El conmutador de un operador $A$ , denotado $\{A\}'$ , es el álgebra de todos los operadores acotados que conmutan con $A$ . El conmutador del desplazamiento unilateral es el álgebra de operadores de multiplicación en $H^{2}$ mediante funciones analíticas acotadas. ^{[ 1 ]}^{: Corolario 5.6.2} $\{S\}'=\{M_{\varphi }:\varphi \in H^{\infty }\}$ Aquí, $H^{\infty }$ es el espacio de funciones analíticas acotadas en $\mathbb {D}$ , y $(M_{\varphi }f)(z)=\varphi (z)f(z)$ .

Vectores cíclicos

Un vector $x$ es un vector cíclico para un operador $A$ si la extensión lineal de su órbita $\{A^{n}x:n\geq 0\}$ es denso en el espacio. Tenemos: ^{[ 1 ]}^{: Sec. 5.7}

Para el cambio unilateral $S$ en $H^{2}$ , los vectores cíclicos son las funciones externas .
Una función $f\in H^{2}$ que tiene un cero en el disco de la unidad abierta $\mathbb {D}$ no es un vector cíclico. Esto se debe a que cada función en el espacio generado por su órbita también será cero en ese punto, por lo que el subespacio no puede ser denso.
Una función $f\in H^{2}$ que está acotado lejos de cero (es decir, $\inf _{z\in \mathbb {D} }|f(z)|>0$ ) es un vector cíclico.
Una función $f\in H^{2}$ , es decir, en el disco de la unidad abierta $\mathbb {D}$ es distinto de cero pero $\inf _{z\in \mathbb {D} }|f(z)|=0$ , pueden ser cíclicos o no. Por ejemplo, $f(z)=1-z$ es un vector cíclico.

Los vectores cíclicos son precisamente las funciones externas .

Retículo de subespacios invariantes

El $S$ -subespacios invariantes de $H^{2}$ están completamente caracterizados analíticamente. Específicamente, son precisamente $M_{u}(H^{2})$ dónde $u$ es una función interna .

El $S$ Los subespacios invariantes forman una red de subespacios . Los dos operadores de red, unir y encontrar , corresponden a operaciones sobre funciones internas.

Dados dos subespacios invariantes $M_{u}(H^{2}),M_{v}(H^{2})$ , tenemos $M_{u}(H^{2})\subset M_{v}(H^{2})$ si y solo si $u/v\in H^{2}$ . ^{[ 1 ]}^{: Sec. 5.8}

Véase también

Referencias

1 2 3 4 5 6 7 ( Garcia, Mashreghi y Ross 2023 )
↑ Holub, JR. (1988). "Sobre los operadores de desplazamiento". Boletín Matemático Canadiense . 31 (1): 85– 94. doi : 10.4153/CMB-1988-013-8 .

Garcia, Stephan Ramon; Mashreghi, Javad; Ross, William T. (2023). "5. El desplazamiento unilateral" . Teoría de operadores mediante ejemplos . Oxford University Press. pp. 109–132 . doi : 10.1093/oso/9780192863867.003.0005 . ISBN 9780192863867.