Ley de gravitación universal de Newton

La ley de gravitación universal de Newton describe la gravedad como una fuerza , estableciendo que cada partícula atrae a todas las demás partículas del universo con una fuerza proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros de masa. Los objetos separados y con simetría esférica se atraen y se retraen como si toda su masa estuviera concentrada en sus centros . La publicación de esta ley se conoce como la " primera gran unificación ", ya que marcó la unificación de los fenómenos de gravedad descritos previamente en la Tierra con los comportamientos astronómicos conocidos. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Esta es una ley física general derivada de observaciones empíricas mediante lo que Isaac Newton llamó razonamiento inductivo . ^{[ 3 ]} Es parte de la mecánica clásica y fue formulada en la obra de Newton Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (en latín, 'Principios matemáticos de la filosofía natural' (los Principia )), publicada por primera vez el 5 de julio de 1687.

La ecuación de la gravitación universal toma, por lo tanto, la forma: $${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},}$$ donde F es la fuerza gravitatoria que actúa entre dos objetos, m ₁ y m ₂ son las masas de los objetos, r es la distancia entre los centros de masa y G es la constante gravitatoria , (6,674 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² ).

La primera prueba de la ley de gravitación de Newton entre masas en el laboratorio fue el experimento de Cavendish, realizado por el científico británico Henry Cavendish en 1798. ^{[ 4 ]} Tuvo lugar 111 años después de la publicación de los Principia de Newton y aproximadamente 71 años después de su muerte.

La ley de gravitación de Newton se asemeja a la ley de Coulomb de las fuerzas eléctricas, que se utiliza para calcular la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cuerpos cargados. Ambas son leyes del inverso del cuadrado , donde la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los cuerpos. La ley de Coulomb utiliza la carga en lugar de la masa y una constante diferente.

La ley de Newton fue posteriormente reemplazada por la teoría de la relatividad general de Albert Einstein , pero la universalidad de la constante gravitacional se mantiene intacta y la ley continúa utilizándose como una excelente aproximación de los efectos de la gravedad en la mayoría de las aplicaciones. La relatividad solo es necesaria cuando se requiere una precisión extrema o cuando se trata de campos gravitacionales muy intensos, como los que se encuentran cerca de objetos extremadamente masivos y densos, o a distancias pequeñas (como la órbita de Mercurio alrededor del Sol ).

Antes de la ley de gravitación de Newton, existían muchas teorías que explicaban la gravedad. Filósofos como Aristóteles observaron la caída de objetos y desarrollaron teorías sobre por qué ocurre, pues pensaba que las rocas caían al suelo porque buscar el suelo era una parte esencial de su naturaleza. ^{[ 5 ]}

Hacia 1600, el método científico comenzó a afianzarse. René Descartes retomó una visión más fundamental, desarrollando ideas sobre la materia y la acción independientemente de la teología. Galileo Galilei escribió sobre mediciones experimentales de objetos en caída y rodadura. Las leyes del movimiento planetario de Johannes Kepler resumieron las observaciones astronómicas de Tycho Brahe . ^{[ 6 ] : 132}

Hacia 1666, Isaac Newton desarrolló la idea de que las leyes de Kepler también debían aplicarse a la órbita de la Luna alrededor de la Tierra y, por ende, a todos los objetos terrestres. El análisis requería suponer que la fuerza gravitatoria actuaba como si toda la masa de la Tierra estuviera concentrada en su centro, una conjetura no demostrada en aquel entonces. Sus cálculos del tiempo de órbita de la Luna se encontraban dentro del 16 % del valor conocido. Para 1680, nuevos valores para el diámetro de la Tierra mejoraron su cálculo del tiempo de órbita a un 1,6 %, pero, más importante aún, Newton había encontrado una prueba de su conjetura anterior. ^{[ 7 ] : 201}

En 1687, Newton publicó sus Principia , que combinaban sus leyes del movimiento con un nuevo análisis matemático para explicar los resultados empíricos de Kepler. ^{[ 6 ] : 134} La formulación de Newton se condensó posteriormente en la ley del inverso del cuadrado:$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},}$$donde F es la fuerza, m ₁ y m ₂ son las masas de los objetos que interactúan, r es la distancia entre los centros de las masas y G es la constante gravitacional.6,674 × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . ^{[ 8 ]} Si bien G también se denomina constante de Newton , Newton no utilizó esta constante ni fórmula, solo habló de proporcionalidad. ^{[ 9 ] : 31} Eso fue suficiente para demostrar que la gravedad de la Tierra sobre la Luna es la misma que la gravedad de la Tierra sobre una manzana:$${\displaystyle M_{\text{tierra}}\propto a_{\text{manzana}}R_{\text{radio de la tierra}}^{2}=a_{\text{luna}}R_{\text{órbita lunar}}^{2}}$$Utilizando los valores conocidos en aquel momento, Newton pudo verificar esta forma de su ley. El valor de G fue finalmente medido por Henry Cavendish en 1797. ^{[ 9 ] : 31}

Newton realizó un análisis cuantitativo basado en esta fórmula alrededor de 1665, considerando el período y la distancia de la órbita de la Luna y el momento en que los objetos caen a la Tierra. Newton no publicó estos resultados en ese momento porque no pudo demostrar que la gravedad terrestre actúa como si toda su masa estuviera concentrada en su centro . Esa demostración le llevó veinte años. ^{[ 10 ] : 13} Cuando Newton presentó el Libro 1 del texto inédito a la Royal Society en abril de 1686 , Robert Hooke afirmó que Newton había obtenido la ley del inverso del cuadrado de él , una acusación que, en última instancia, resultó ser frívola. ^{[ 7 ] : 204}

En lenguaje moderno, la ley establece lo siguiente:

Suponiendo unidades del SI , F se mide en newtons (N), m ₁ y m ₂ en kilogramos (kg), r en metros (m) y la constante G es6,674 30 (15) × 10 ⁻¹¹  m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . ^{[ 8 ]} El valor de la constante G se determinó con precisión por primera vez a partir de los resultados del experimento de Cavendish realizado por el científico británico Henry Cavendish en 1798, aunque Cavendish no calculó él mismo un valor numérico para G . ^{[ 4 ]} Este experimento fue también la primera prueba de la teoría de la gravitación de Newton entre masas en el laboratorio. Tuvo lugar 111 años después de la publicación de los Principia de Newton y 71 años después de la muerte de Newton, por lo que ninguno de los cálculos de Newton pudo utilizar el valor de G ; en cambio, solo pudo calcular una fuerza relativa a otra fuerza.

Si los cuerpos en cuestión tienen extensión espacial (en lugar de ser masas puntuales), entonces la fuerza gravitatoria entre ellos se calcula sumando las contribuciones de las masas puntuales hipotéticas que constituyen los cuerpos. En el límite, cuando las masas puntuales componentes se vuelven "infinitamente pequeñas", esto implica integrar la fuerza (en forma vectorial, véase más adelante) sobre las extensiones de los dos cuerpos .

De esta forma, se puede demostrar que un objeto con una distribución de masa esféricamente simétrica ejerce la misma atracción gravitatoria sobre los cuerpos externos como si toda su masa estuviera concentrada en un punto de su centro. ^{[ 17 ]} (Esto no suele ser cierto para cuerpos que no son esféricamente simétricos).

Para puntos dentro de una distribución de materia con simetría esférica, se puede utilizar el teorema de la capa de Newton para hallar la fuerza gravitatoria. El teorema nos indica cómo _{las diferentes partes de la distribución de masa afectan a la fuerza gravitatoria medida en un punto situado a una distancia} r₀ del centro de la distribución de masa: ^{[ 18 ]}

• La porción de la masa que se encuentra en radios r < r ₀ causa la misma fuerza en el radio r ₀ como si toda la masa encerrada dentro de una esfera de radio r ₀ estuviera concentrada en el centro de la distribución de masa (como se indicó anteriormente).
• La porción de la masa ubicada en radios r > r₀ _no ejerce ninguna fuerza gravitatoria neta en el radio r₀ desde el centro. Es decir, las fuerzas gravitatorias individuales ejercidas sobre un punto en el radio _r₀ por los elementos de la masa fuera de dicho radio _se anulan entre sí _.

En consecuencia, por ejemplo, dentro de una capa de espesor y densidad uniformes no existe aceleración gravitatoria neta en ningún punto dentro de la esfera hueca.

La ley de gravitación universal de Newton puede expresarse como una ecuación vectorial que describe tanto la dirección como la magnitud de la fuerza gravitatoria. En esta fórmula, las cantidades en negrita representan vectores. $${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}_{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{3}}\mathbf {r} _{21}}$$ dónde

• F ₂₁ es la fuerza aplicada sobre el cuerpo 2 ejercida por el cuerpo 1,
• G es la constante gravitacional ,
• m ₁ y m ₂ son respectivamente las masas de los cuerpos 1 y 2,
• r ₂₁ = r ₂ − r ₁ es el vector de desplazamiento entre los cuerpos 1 y 2, y
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r_{2}-r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}-r_{1}} |}}}$es el vector unitario del cuerpo 1 al cuerpo 2. ^{[ 19 ]}

Se puede observar que la forma vectorial de la ecuación es la misma que la forma escalar dada anteriormente, excepto que F ahora es una cantidad vectorial y el lado derecho se multiplica por el vector unitario apropiado. Además, se puede observar que F ₁₂ = − F ₂₁ .

El campo gravitatorio es un campo vectorial que describe la fuerza gravitatoria que se aplicaría a un objeto en cualquier punto del espacio, por unidad de masa. En realidad, es igual a la aceleración gravitatoria en ese punto.

Es una generalización de la forma vectorial, que resulta particularmente útil si hay más de dos objetos involucrados (como un cohete entre la Tierra y la Luna). Para dos objetos (por ejemplo, el objeto 2 es un cohete, el objeto 1 la Tierra), simplemente escribimos r en lugar de r ₁₂ y m en lugar de m ₂ y definimos el campo gravitatorio g ( r ) como: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{m_{1} \over {{\vert \mathbf {r} \vert }^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}} }$$ para que podamos escribir: $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} ).}$$

Esta formulación depende de los objetos que causan el campo. El campo tiene la dimensión de aceleración; en el SI , su unidad es m/ ^s² .

Los campos gravitatorios también son conservativos ; es decir, el trabajo realizado por la gravedad de una posición a otra es independiente de la trayectoria. Esto tiene como consecuencia que existe un campo potencial gravitatorio V ( r ) tal que $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$$

Si m ₁ es una masa puntual o la masa de una esfera con distribución de masa homogénea, el campo de fuerza g ( r ) fuera de la esfera es isotrópico, es decir, depende solo de la distancia r desde el centro de la esfera. En ese caso $${\displaystyle V(r)=-G{\frac {m_{1}}{r}}.}$$

Según la ley de Gauss , el campo en un cuerpo simétrico se puede encontrar mediante la ecuación matemática:

${\displaystyle \partial V}$${\displaystyle \mathbf {g(r)} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM_{\text{enc}},}$

dónde${\displaystyle \partial V}$es una superficie cerrada y${\displaystyle M_{\text{enc}}}$es la masa encerrada por la superficie.

Por lo tanto, para una esfera hueca de radio${\displaystyle R}$y masa total${\displaystyle M}$, $${\displaystyle |\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}0,&{\text{si }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{si }}r\geq R\end{cases}}}$$

Para una esfera sólida uniforme de radio${\displaystyle R}$y masa total${\displaystyle M}$, $${\displaystyle |\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}{\dfrac {GMr}{R^{3}}},&{\text{si }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{si }}r\geq R\end{cases}}}$$

La descripción de la gravedad de Newton es suficientemente precisa para muchos fines prácticos y, por lo tanto, se utiliza ampliamente. Las desviaciones de ella son pequeñas cuando las cantidades adimensionales${\displaystyle \phi /c^{2}}$y${\displaystyle (v/c)^{2}}$ambos son mucho menores que uno, donde${\displaystyle \phi }$es el potencial gravitatorio ,${\displaystyle v}$es la velocidad de los objetos que se estudian, y${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz en el vacío. ^{[ 21 ]} Por ejemplo, la gravedad newtoniana proporciona una descripción precisa del sistema Tierra/Sol, ya que $${\displaystyle {\frac {\phi }{c^{2}}}={\frac {GM_{\mathrm {sun} }}{r_{\mathrm {orbit} }c^{2}}}\sim 10^{-8},\quad \left({\frac {v_{\mathrm {Earth} }}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {2\pi r_{\mathrm {orbit} }}{(1\ \mathrm {yr} )c}}\right)^{2}\sim 10^{-8},}$$ dónde${\displaystyle r_{\text{orbit}}}$es el radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol.

En situaciones donde cualquiera de los parámetros adimensionales es grande, entonces debe usarse la relatividad general para describir el sistema. La relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana en el límite de potencial pequeño y velocidades bajas, por lo que a menudo se dice que la ley de gravitación de Newton es el límite de baja gravedad de la relatividad general.

En los últimos años, se han llevado a cabo búsquedas de términos no inversos al cuadrado en la ley de la gravedad mediante interferometría de neutrones . ^{[ 23 ]}

El problema de predecir el movimiento de n objetos sometidos a la gravedad se conoce como el problema de n cuerpos . El problema de dos cuerpos se ha resuelto completamente, pero para más cuerpos la solución suele ser caótica y solo puede obtenerse numéricamente . El caso más estudiado es el problema de tres cuerpos , para el cual se conocen varias soluciones para casos particulares, por ejemplo, aquellos que dan lugar a los puntos de Lagrange .

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