Ecuación diferencial ordinaria

Dado${\displaystyle F}$, una función de${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$y derivados de${\displaystyle y}$. Entonces una ecuación de la forma

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

se denomina ecuación diferencial ordinaria explícita de orden${\displaystyle n}$. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

De forma más general, una ecuación diferencial ordinaria implícita de orden${\displaystyle n}$toma la forma: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0}$

Existen clasificaciones adicionales:

Autónomo

Una ecuación diferencial es autónoma si no depende de la variable x .

Lineal

Una ecuación diferencial es lineal si${\displaystyle F}$se puede escribir como una combinación lineal de las derivadas de${\displaystyle y}$; es decir, se puede reescribir como

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

dónde${\displaystyle a_{i}(x)}$y${\displaystyle r(x)}$son funciones continuas de${\displaystyle x}$. ^{[ 13 ] [ 16 ] [ 17 ]}

La función${\displaystyle r(x)}$se denomina término fuente , lo que lleva a una clasificación posterior. ^{[ 16 ] [ 18 ]}

Homogéneo

Una ecuación diferencial lineal es homogénea si${\displaystyle r(x)=0}$En este caso, siempre existe la " solución trivial " .${\displaystyle y=0}$.

No homogéneo (o inhomogéneo)

Una ecuación diferencial lineal es no homogénea si${\displaystyle r(x)\neq 0}$.

No lineal

Una ecuación diferencial que no es lineal.

Un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas forman un sistema de ecuaciones. Si${\displaystyle \mathbf {y} }$es un vector cuyos elementos son funciones;${\displaystyle \mathbf {y} (x)=[y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{m}(x)]}$, y${\displaystyle \mathbf {F} }$es una función vectorial de${\displaystyle \mathbf {y} }$y sus derivados, entonces

${\displaystyle \mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)}$

es un sistema explícito de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden${\displaystyle n}$y dimensión${\displaystyle m}$En formato de vector columna :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}}$

Estas no son necesariamente lineales. El análogo implícito es:

${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}}$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {0}}=(0,0,\ldots ,0)}$es el vector cero . En forma matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatriz}}}$

Para un sistema de la forma${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}}$, algunas fuentes también requieren que la matriz jacobiana${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}}$ser no singular para llamar a esto un sistema de EDO implícito; un sistema de EDO implícito que satisface esta condición de no singularidad jacobiana puede transformarse en un sistema de EDO explícito. En las mismas fuentes, los sistemas de EDO implícitos con un jacobiano singular se denominan ecuaciones diferenciales algebraicas (EDA). Esta distinción no es meramente una cuestión de terminología; las EDA tienen características fundamentalmente diferentes y generalmente son más complejas de resolver que los sistemas de EDO (no singulares). ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]} Presumiblemente para derivadas adicionales, la matriz hessiana y demás también se asume no singular según este esquema, aunque cabe señalar que cualquier EDO de orden mayor que uno puede ser (y usualmente es) reescrita como un sistema de EDO de primer orden , ^{[ 22 ]} lo que hace que el criterio de singularidad jacobiana sea suficiente para que esta taxonomía sea completa en todos los órdenes.

El comportamiento de un sistema de EDO se puede visualizar mediante el uso de un retrato de fase .

Dada una ecuación diferencial

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0}$

una función${\displaystyle u:I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, dónde${\displaystyle I}$es un intervalo, se llama solución o curva integral para${\displaystyle F}$, si${\displaystyle u}$es${\displaystyle n}$-tiempos diferenciables en${\displaystyle I}$, y

${\displaystyle F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.}$

Dadas dos soluciones${\displaystyle u:J\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$y${\displaystyle v:I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$,${\displaystyle u}$se llama una extensión de${\displaystyle v}$si${\displaystyle I\subset J}$y

${\displaystyle u(x)=v(x)\quad x\in I.\,}$

Una solución que no tiene extensión se llama solución máxima . Una solución definida en todos los${\displaystyle \mathbb {R} }$Se denomina solución global .

Una solución general de un${\displaystyle n}$La ecuación de orden n es una solución que contiene${\displaystyle n}$constantes de integración independientes arbitrarias . Una solución particular se deriva de la solución general al asignar valores específicos a las constantes, a menudo elegidos para cumplir con las " condiciones iniciales " o las "condiciones de contorno " establecidas. ^{[ 23 ]} Una solución singular es aquella que no se puede obtener asignando valores definidos a las constantes arbitrarias de la solución general. ^{[ 24 ]}

En el contexto de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, el término « solución particular» también puede referirse a cualquier solución de la ecuación diferencial (que no necesariamente satisface las condiciones iniciales), la cual se suma a la solución homogénea (una solución general de la ecuación diferencial homogénea), formando así una solución general de la ecuación diferencial original. Esta es la terminología empleada en la sección sobre el método de estimación de este artículo, y se utiliza con frecuencia al hablar del método de coeficientes indeterminados y la variación de parámetros .

Para las EDO autónomas no lineales, es posible, bajo ciertas condiciones, desarrollar soluciones de duración finita ^{[ 25 ]} , lo que significa que, debido a su propia dinámica, el sistema alcanzará el valor cero en un instante final y permanecerá en cero indefinidamente. Estas soluciones de duración finita no pueden ser funciones analíticas en toda la recta real y, dado que serán funciones no Lipschitz en su instante final, no se incluyen en el teorema de unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales de Lipschitz.

Como ejemplo, la ecuación:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

Admite la solución de duración finita:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

La teoría de las soluciones singulares de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales fue objeto de investigación desde la época de Leibniz, pero solo a partir de mediados del siglo XIX recibió especial atención. Una obra valiosa, aunque poco conocida, sobre el tema es la de Houtain (1854). Darboux (desde 1873) fue un referente en la teoría y, en la interpretación geométrica de estas soluciones, abrió un campo de estudio para diversos autores, entre los que destacan Casorati y Cayley . A este último se le debe (1872) la teoría de las soluciones singulares de ecuaciones diferenciales de primer orden, tal como se aceptó alrededor de 1900.

El primer intento de abordar las ecuaciones diferenciales se centraba en su reducción a cuadraturas , es decir, en expresar las soluciones en términos de funciones conocidas y sus integrales. Si bien esto era posible para ecuaciones lineales con coeficientes constantes, en el siglo XIX se descubrió que, en general, resultaba imposible en otros casos. Por consiguiente, los analistas comenzaron a estudiar (por su cuenta) las funciones que son soluciones de ecuaciones diferenciales, abriendo así un campo nuevo y fructífero. Cauchy fue el primero en apreciar la importancia de esta perspectiva. A partir de entonces, la verdadera cuestión ya no era si una solución era posible mediante cuadraturas, sino si una ecuación diferencial dada bastaba para definir una función y, de ser así, cuáles eran las propiedades características de dichas funciones.

Dos memorias de Fuchs ^{[ 26 ]} inspiraron un enfoque novedoso, posteriormente desarrollado por Thomé y Frobenius . (¿QUIÉN?) Collet fue un colaborador destacado a partir de 1869. Su método para integrar un sistema no lineal fue comunicado a Bertrand en 1868. Clebsch (1873) atacó la teoría siguiendo líneas paralelas a las de su teoría de integrales abelianas . Como estas últimas pueden clasificarse según las propiedades de la curva fundamental que permanece inalterada bajo una transformación racional, Clebsch propuso clasificar las funciones trascendentes definidas por ecuaciones diferenciales según las propiedades invariantes de las superficies correspondientes.${\displaystyle f=0}$bajo transformaciones racionales uno a uno.

Desde 1870, la obra de Sophus Lie sentó las bases de la teoría de las ecuaciones diferenciales. Demostró que las teorías de integración de los matemáticos anteriores pueden, mediante el uso de grupos de Lie , remitirse a una fuente común, y que las ecuaciones diferenciales ordinarias que admiten las mismas transformaciones infinitesimales presentan dificultades de integración comparables. También hizo hincapié en el tema de las transformaciones de contacto .

La teoría de grupos de Lie para ecuaciones diferenciales ha sido validada, a saber: (1) que unifica los numerosos métodos ad hoc conocidos para resolver ecuaciones diferenciales, y (2) que proporciona nuevas y potentes formas de encontrar soluciones. La teoría tiene aplicaciones tanto a ecuaciones diferenciales ordinarias como parciales. ^{[ 27 ]}

Un enfoque de solución general utiliza la propiedad de simetría de las ecuaciones diferenciales, las transformaciones infinitesimales continuas de soluciones a soluciones ( teoría de Lie ). La teoría de grupos continuos , las álgebras de Lie y la geometría diferencial se utilizan para comprender la estructura de las ecuaciones diferenciales (parciales) lineales y no lineales para generar ecuaciones integrables, encontrar sus pares de Lax , operadores de recursión, la transformada de Bäcklund y, finalmente, hallar soluciones analíticas exactas para las ecuaciones diferenciales.

Los métodos de simetría se han aplicado a ecuaciones diferenciales que surgen en matemáticas, física, ingeniería y otras disciplinas.

La teoría de Sturm-Liouville es una teoría de un tipo especial de ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden. Sus soluciones se basan en los autovalores y las autofunciones correspondientes de operadores lineales definidos mediante ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden . Los problemas se identifican como problemas de Sturm-Liouville (SLP) y reciben su nombre de J.  C.  F.  Sturm y J.  Liouville , quienes los estudiaron a mediados del siglo XIX. Los SLP tienen un número infinito de autovalores, y las autofunciones correspondientes forman un conjunto completo y ortogonal, lo que posibilita expansiones ortogonales. Esta es una idea clave en matemáticas aplicadas, física e ingeniería. ^{[ 28 ]} Los SLP también son útiles en el análisis de ciertas ecuaciones diferenciales parciales.

El teorema se puede enunciar simplemente de la siguiente manera. ^{[ 30 ]} Para la ecuación y el problema de valor inicial: $${\displaystyle y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})}$$ si${\displaystyle F}$y${\displaystyle \partial F/\partial y}$son continuos en un rectángulo cerrado $${\displaystyle R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]}$$ en el${\displaystyle x-y}$avión, donde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son reales (simbólicamente:${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$) y ${\displaystyle \times }$denota el producto cartesiano , los corchetes denotan intervalos cerrados , entonces hay un intervalo $${\displaystyle I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]}$$ para algunos${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$donde se puede encontrar la solución a la ecuación anterior y al problema de valor inicial. Es decir, hay una solución y es única. Dado que no hay ninguna restricción en${\displaystyle F}$ser lineal, esto se aplica a ecuaciones no lineales que toman la forma${\displaystyle F(x,y)}$y también se puede aplicar a sistemas de ecuaciones.

Cuando se satisfacen las hipótesis del teorema de Picard-Lindelöf, la existencia y unicidad locales pueden extenderse a un resultado global. Más precisamente: ^{[ 31 ]}

Para cada condición inicial${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$Existe un intervalo abierto máximo único (posiblemente infinito).

${\displaystyle I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }}$

de tal manera que cualquier solución que satisfaga esta condición inicial es una restricción de la solución que satisface esta condición inicial con dominio${\displaystyle I_{\max }}$.

En el caso de que${\displaystyle x_{\pm }\neq \pm \infty }$Hay exactamente dos posibilidades

• explosión en tiempo finito:${\displaystyle \limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty }$
• hojas dominio de definición:${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}}$

dónde${\displaystyle \Omega }$es el conjunto abierto en el que${\displaystyle F}$se define y${\displaystyle \partial {\bar {\Omega }}}$es su límite.

Tenga en cuenta que el dominio máximo de la solución

• siempre es un intervalo (para tener unicidad)
• puede ser más pequeño que${\displaystyle \mathbb {R} }$
• puede depender de la elección específica de${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

Ejemplo.

${\displaystyle y'=y^{2}}$

Esto significa que${\displaystyle F(x,y)=y^{2}}$, que es${\displaystyle C^{1}}$y por lo tanto, localmente Lipschitz continua, satisfaciendo el teorema de Picard-Lindelöf.

Incluso en un entorno tan simple, el dominio máximo de la solución no puede ser todo${\displaystyle \mathbb {R} }$ya que la solución es

${\displaystyle y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}}$

que tiene dominio máximo:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}}$

Esto muestra claramente que el intervalo máximo puede depender de las condiciones iniciales. El dominio de${\displaystyle y}$podría tomarse como${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0}),}$pero esto daría lugar a un dominio que no es un intervalo, de modo que el lado opuesto a la condición inicial estaría desconectado de la condición inicial y, por lo tanto, no estaría determinado de forma única por ella.

El dominio máximo no es${\displaystyle \mathbb {R} }$porque

${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,}$

lo cual es uno de los dos casos posibles según el teorema anterior.

Cualquier ecuación diferencial explícita de orden${\displaystyle n}$,

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

puede escribirse como un sistema de${\displaystyle n}$ecuaciones diferenciales de primer orden definiendo una nueva familia de funciones desconocidas

${\displaystyle y_{i}=y^{(i-1)}.\!}$

para${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$. El${\displaystyle n}$El sistema dimensional de ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden es entonces

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}}$

De forma más compacta en notación vectorial:

${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).}$