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Articulo de referencia

Cuboctaedro

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Un cuboctaedro, cubo rectificado u octaedro rectificado es un poliedro con 8 caras triangulares y 6 caras cuadradas. Un cuboctaedro tiene 12 vértices idénticos , con 2 triángulos y 2 cuadrados que se unen en cada uno, y 24 aristas idénticas , cada una separando un triángulo de un cuadrado. Como tal, es un poliedro cuasirregular , es decir, un sólido arquimediano que no solo es transitivo en vértices sino también transitivo en aristas . [ 1 ] Es radialmente equilátero . Su poliedro dual es el dodecaedro rómbico .

Construcción

El cuboctaedro se puede construir de muchas maneras:

  • Su construcción puede comenzar uniendo dos cúpulas triangulares regulares base con base. Esto es similar a uno de los sólidos de Johnson, la ortobicúpula triangular . La diferencia radica en que la ortobicúpula triangular se construye con una de las cúpulas girada de manera que las caras poligonales similares queden adyacentes, mientras que el cuboctaedro no. Por consiguiente, el cuboctaedro también puede denominarse girobicúpula triangular . [ 2 ]
  • Su construcción puede comenzar a partir de un cubo o un octaedro regular , marcando los puntos medios de sus aristas y cortando todos los vértices en esos puntos. Este proceso se conoce como rectificación , por lo que el cuboctaedro se denomina cubo rectificado y octaedro rectificado . [ 3 ]
  • Una construcción alternativa consiste en cortar todos los vértices ( truncamiento ) de un tetraedro regular y biselar las aristas. Este proceso se denomina cantelación , lo que da al cuboctaedro un nombre alternativo: tetraedro cantelado . [ 4 ]

De todas estas construcciones, el cuboctaedro tiene 14 caras: 8 triángulos equiláteros y 6 cuadrados. También tiene 24 aristas y 12 vértices. [ 5 ]

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un cuboctaedro con longitud de arista2{\displaystyle {\sqrt {2}}}centradas en el origen están las permutaciones de(0,±1,±1){\displaystyle (0,\pm 1,\pm 1)},(±1,0,±1){\displaystyle (\pm 1,0,\pm 1)}, y(±1,±1,0){\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0)}[ 6 ]

Propiedades

Medición y otras propiedades métricas

El área de superficie de un cuboctaedroA{\displaystyle A}se puede determinar sumando el área de todas sus caras poligonales. El volumen de un cuboctaedroV{\displaystyle V}se puede determinar cortándolo en dos cúpulas triangulares regulares, sumando su volumen. Dado que la longitud del bordea{\displaystyle a}, su área superficial y volumen son: [ 5 ]A=(6+23)a2≈9.464a2V=523a3≈2.357a3.{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 9.464a^{2}\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&&\approx 2.357a^{3}.\end{aligned}}}

El ángulo diedro de un cuboctaedro se puede calcular con el ángulo de las cúpulas triangulares. El ángulo diedro de una cúpula triangular entre un cuadrado y un triángulo es aproximadamente 125°, entre un cuadrado y un hexágono es 54,7° y entre un triángulo y un hexágono es 70,5°. Por lo tanto, el ángulo diedro de un cuboctaedro entre un cuadrado y un triángulo, en el borde donde se unen las bases de dos cúpulas triangulares, es 54,7° + 70,5° aproximadamente 125°. Por lo tanto, el ángulo diedro de un cuboctaedro entre un cuadrado y un triángulo es aproximadamente 125°. [ 7 ] El ángulo exacto esarcos⁡(−1/3){\displaystyle \arccos(-1/{\sqrt {3}})}.

El proceso de transformación jitterbug

Buckminster Fuller observó que el cuboctaedro posee la singular propiedad de que la distancia desde el centro hasta el vértice es igual a la longitud de sus aristas. En otras palabras, tiene vectores de igual longitud en el espacio tridimensional, lo que se conoce como equilibrio vectorial . Los puntales rígidos y los vértices flexibles de un cuboctaedro también pueden transformarse progresivamente en un icosaedro regular , un octaedro regular y un tetraedro regular. Fuller denominó a este proceso transformación jitterbug . [ 8 ]

Un cuboctaedro tiene la propiedad de Rupert , lo que significa que hay un poliedro del mismo tamaño o mayor que puede pasar a través de su agujero. [ 9 ]

Simetría y clasificación

Modelo 3D de un cuboctaedro

El cuboctaedro es un sólido arquimediano , lo que significa que es un poliedro altamente simétrico y semirregular, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. [ 10 ] El cuboctaedro tiene dos simetrías, resultantes de las construcciones como se ha mencionado anteriormente: la misma simetría que el octaedro o cubo regular, la simetría octaédricaOh{\displaystyle \mathrm {O} _ {\mathrm {h} }}y la misma simetría que el tetraedro regular, simetría tetraédricaTd{\displaystyle \mathrm {T} _ {\mathrm {d} }}. [ 11 ] Las caras poligonales que se unen en cada vértice son dos triángulos equiláteros y dos cuadrados, y la figura del vértice de un cuboctaedro es 3.4.3.4. El dual de un cuboctaedro es un dodecaedro rómbico . [ 12 ]

Simetría equilátera radial

En un cuboctaedro, el radio mayor (del centro al vértice) es igual a la longitud de la arista; por lo tanto, su diámetro mayor (del vértice al vértice opuesto) es 2 longitudes de arista. [ 13 ] Su centro es como el vértice apical de una pirámide canónica: a una longitud de arista de todos los demás vértices. (En el caso del cuboctaedro, el centro es de hecho el vértice de 6 pirámides cuadradas y 8 triangulares). Esta simetría radial equilátera es una propiedad de solo unos pocos politopos uniformes, incluyendo el hexágono bidimensional , el cuboctaedro tridimensional y el teseracto de 24 y 8 celdas de cuatro dimensiones . [ 14 ] Los politopos radialmente equiláteros son aquellos que pueden construirse, con sus radios mayores, a partir de triángulos equiláteros que se encuentran en el centro del politopo, cada uno aportando dos radios y una arista. Por lo tanto, todos los elementos interiores que se encuentran en el centro de estos politopos tienen caras internas triangulares equiláteras , como en la disección del cuboctaedro en 6 pirámides cuadradas y 8 tetraedros.

Cada uno de estos politopos radialmente equiláteros también aparece como celdas de una teselación característica que llena el espacio : el teselado de hexágonos regulares, el panal cúbico rectificado (de cuboctaedros y octaedros alternados), el panal de 24 celdas y el panal teseractico , respectivamente. [ 15 ] Cada teselación tiene una teselación dual ; los centros de las celdas en una teselación son vértices de celda en su teselación dual. El empaquetamiento de esferas regulares más denso conocido en dos, tres y cuatro dimensiones utiliza los centros de las celdas de una de estas teselaciones como centros de esfera.

Debido a que es radialmente equilátero, el centro del cuboctaedro se encuentra a una distancia equivalente a la longitud de una arista de los 12 vértices.

Matriz de configuración

El cuboctaedro se puede representar como una matriz de configuración cuyos elementos se agrupan según clases de transitividad de simetría. Una matriz de configuración es una matriz cuyas filas y columnas corresponden a los elementos de un poliedro, como vértices, aristas y caras. La diagonal de la matriz indica la cantidad de cada elemento que aparece en el poliedro, mientras que la parte no diagonal indica la cantidad de elementos de la columna que aparecen en la fila o en la misma.

El cuboctaedro tiene 1 clase de transitividad de 12 vértices, 1 clase de 24 aristas y 2 clases de caras: 8 triangulares y 6 cuadradas; cada elemento en la diagonal de una matriz. [ 16 ] Las 24 aristas se pueden ver en 4 hexágonos centrales.

Con simetría octaédrica ( orbifold 432), los cuadrados tienen simetría cuádruple, los triángulos simetría triple y los vértices simetría doble. Con simetría tetraédrica (orbifold 332), los 24 vértices se dividen en dos clases de aristas y los 8 triángulos se dividen en dos clases de caras. La simetría cuadrada se reduce a doble.

Gráfico

El esqueleto de un cuboctaedro puede representarse como el grafo , uno de los grafos arquimedianos . Tiene 12 vértices y 24 aristas. Es un grafo cuártico , es decir, cuatro vértices conectan cada vértice. [ 17 ]

Tiene caminos hamiltonianos . Un ejemplo se muestra a continuación, mapeado sobre un perímetro de 16 polígonos, con los elementos coloreados según las posiciones de transitividad. [ 18 ]

La gráfica de un cuboctaedro se puede construir como la gráfica de líneas de la gráfica cúbica , convirtiéndola en una gráfica localmente lineal . [ 19 ]

Las 24 aristas se pueden dividir en 2 conjuntos isomorfos a la simetría tetraédrica. Las aristas también se pueden dividir en 4 ciclos hexagonales, que representan la centrosimetría , con vértices y aristas opuestos en la misma clase de transitividad.

El cuboctaedro, el cubohemioctaedro y el octahemioctaedro .

El cuboctaedro comparte su esqueleto con los dos poliedros uniformes no convexos , el cubohemioctaedro y el octahemioctaedro . Estos poliedros se construyen a partir del esqueleto de un cuboctaedro en el que los cuatro planos hexagonales bisecan su diagonal, intersectando su interior. Al añadir seis cuadrados u ocho triángulos equiláteros se obtiene el cubohemioctaedro o el octahemioctaedro, respectivamente. [ 20 ]

El cuboctaedro cubre en 2 el tetrahemihexaedro , que en consecuencia tiene la misma figura abstracta de vértice (dos triángulos y dos cuadrados):3⋅4⋅3⋅4{\displaystyle 3\cdot 4\cdot 3\cdot 4}) y la mitad de los vértices, aristas y caras. (La figura real del vértice del tetrahemihexaedro es3⋅4⋅32⋅4{\textstyle 3\cdot 4\cdot {\frac {3}{2}}\cdot 4}, con ela2{\textstyle {\frac {a}{2}}}factor debido al cruce.) [ 21 ]

La disección en pirámides cuadradas y tetraedros

El cuboctaedro se puede diseccionar en 6 pirámides cuadradas y 8 tetraedros que convergen en un punto central. Esta disección se expresa en el panal tetraédrico-octaédrico, donde pares de pirámides cuadradas se combinan para formar octaedros . [ 22 ]

Apariencia

Es probable que Platón conociera el cuboctaedro : en sus Definiciones de Herón , Arquímedes afirma que Platón conocía un sólido formado por 8 triángulos y 6 cuadrados. [ 23 ]

Referencias

Notas a pie de página

  1. ↑ Coxeter 1973 , pp. 18–19, §2.3 Poliedros cuasi-regulares.
  2. ↑
  3. ↑ van Leeuwen, Freixa & Cano 2023 , pág. 50 . 
  4. ↑ Linti 2013 , pág. 41 . 
  5. 1 2 Berman 1971 .
  6. ↑ Coxeter 1973 , p. 52, §3.7 Coordenadas para los vértices de los sólidos regulares y cuasi-regulares.
  7. ↑ Johnson 1966 .
  8. ↑ Verheyen 1989 .
  9. ↑ Chai, Yuan y Zamfirescu 2018 .
  10. ↑ Diudea 2018 , pág. 39 . 
  11. ↑
  12. ↑ Williams 1979 , pág. 74 . 
  13. ↑ Coxeter 1973 , pág. 69, §4.7 Otros panales.
  14. ↑ Coxeter 1973 , págs. 292–293, Tabla I (ii): columna 0 R/l .
  15. ↑ Coxeter 1973 , pág. 296, Tabla II: Panales regulares.
  16. ↑ "Co" .
  17. ↑ Read y Wilson 1998 , pág. 269.
  18. ↑ https://www.weddslist.com/rmdb/1graph.php?gr=cuboct
  19. ↑ Fan 1996 .
  20. ↑
  21. ↑ Grünbaum 2003 , pág. 338 . 
  22. ^ Posamentier y col. 2022 , pág. 233-235 .​​ 
  23. ↑ Turnball 1931 .

Obras citadas

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  • Poliedros de realidad virtual: La enciclopedia de poliedros
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  • Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D o3x4o - co" .
  • Red imprimible y editable de un cuboctaedro con vista 3D interactiva.