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Articulo de referencia

Valor débil

En mecánica cuántica (y computación ), un valor débil es una magnitud relacionada con el desplazamiento del puntero de un dispositivo de medición, generalmente con preselección ...

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En mecánica cuántica (y computación ), un valor débil es una magnitud relacionada con el desplazamiento del puntero de un dispositivo de medición, generalmente con preselección y postselección . No debe confundirse con una medición débil , que a menudo se define conjuntamente. El valor débil fue definido por primera vez por Yakir Aharonov , David Albert y Lev Vaidman en 1988, en un artículo publicado en Physical Review Letters [ 1 ] , y está relacionado con el formalismo vectorial de dos estados . La primera realización experimental provino de investigadores de la Universidad Rice en 1991 [ 2 ]. La interpretación física y el significado de los valores débiles siguen siendo objeto de debate en la literatura sobre fundamentos cuánticos y metrología.

Definición

El valor débil del observableA{\displaystyle A}se define como: [ 3 ] : 308Aw=⟨ψF|A|ψi⟩⟨ψF|ψi⟩,{\displaystyle A_{w}={\frac {\langle \psi _{f}|A|\psi _{i}\rangle }{\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle }},} dónde|ψi⟩{\displaystyle |\psi _{i}\rangle }es el estado inicial o de preselección y|ψF⟩{\displaystyle |\psi _ {f}\rangle }es el estado final o de postselección . El valor débil de orden n,Awnorte{\displaystyle A_{w}^{n}}se define utilizando la enésima potencia del operador en esta expresión.

Los valores débiles surgen en pequeñas perturbaciones de las mediciones cuánticas. Representando una pequeña perturbación con el operadorexp⁡(−iϵA^){\displaystyle \exp(-i\epsilon {\hat {A}})}, la probabilidad de detectar un sistema en un estado final dado el estado inicial es PAGϵ=|⟨ψF|exp⁡(−iϵA^)|ψi⟩|2,{\displaystyle P_{\epsilon }=|{\langle \psi _{f}|\exp(-i\epsilon {\hat {A}})|\psi _{i}\rangle }|^{2},} Para pequeñas perturbaciones,ϵ{\displaystyle \epsilon }es pequeño y la exponencial se puede expandir en una serie de Taylor.PAGϵ=|⟨ψF|1−iϵA^+…|ψi⟩|2,{\displaystyle P_{\epsilon }=|{\langle \psi _{f}|1-i\epsilon {\hat {A}}+\dots |\psi _{i}\rangle }|^{2},} El primer término es la probabilidad de detección sin perturbaciones,PAG=|⟨ψF|ψi⟩|2{\displaystyle P=|{\langle \psi _{f}|\psi _{i}\rangle }|^{2}}y la corrección de primer orden involucra el valor débil de primer orden: [ 3 ] : 309PAGϵPAG≈1+2ϵAw.{\displaystyle {\frac {P_{\epsilon }}{P}}\approx 1+2\epsilon A_{w}.} En general, la cantidad de valor débil es un número complejo . En el régimen de interacción débil , la razónPAGϵ/PAG{\displaystyle P_{\epsilon }/P}está cerca de uno yϵImetroAw{\displaystyle \epsilon ImA_{w}}es significativamente mayor que los términos de orden superior. [ 3 ] : 309

Por ejemplo, se pueden disponer dos analizadores Stern-Gerlach a lo largo del eje y, con el campo del primero a lo largo del eje z ajustado a un campo magnético bajo y el segundo a lo largo del eje x con un campo suficiente para separar los haces de partículas de espín 1/2. El estado inicial que entra en el segundo analizador es |ψi⟩=12(porque⁡α2+pecado⁡α2porque⁡α2−pecado⁡α2){\displaystyle |\psi _{i}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\\\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\alpha }{2}}\end{pmatrix}}} y el estado final será |ψF⟩=12(11).{\displaystyle |\psi _{f}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}.} La acción perturbadora del primer analizador se describe con el operador del eje z de Pauli comoA=σz{\displaystyle A=\sigma _{z}}dando el valor débil [ 4 ]Aw=(σz)w=broncearse⁡α2.{\displaystyle A_{w}=(\sigma _{z})_{w}=\tan {\frac {\alpha }{2}}.}

Parte real

La parte real del valor débil proporciona una forma cuantitativa de analizar aspectos no clásicos de los sistemas cuánticos. [ 3 ] Cuando la parte real de un valor débil se encuentra fuera del rango de los autovalores del operador, se denomina "valor débil anómalo". Además de ser importantes en los análisis de las paradojas cuánticas, los valores débiles anómalos constituyen la base de las aplicaciones de los sensores cuánticos . [ 5 ]

Derivación

La derivación que se presenta a continuación sigue la presentación dada en las referencias. [ 4 ] [ 5 ]

Aplicaciones

Se ha propuesto el uso de valores débiles como una herramienta potencialmente útil para la metrología cuántica y para esclarecer aspectos de los fundamentos cuánticos. Las secciones siguientes describen brevemente estas aplicaciones.

Metrología cuántica

Al final del artículo original sobre valores débiles [ 1 ], los autores sugirieron que los valores débiles podrían usarse en metrología cuántica :

Otro aspecto llamativo de este experimento se hace evidente cuando lo consideramos como un dispositivo para medir un pequeño gradiente del campo magnético... produce una amplificación tremenda.

— Aharonov, Albert, Vaidman [ 1 ]

En el lenguaje moderno, cuando el valor débilAw{\displaystyle A_{w}}se encuentra fuera del rango de valores propios del observableA{\displaystyle A}Este efecto se conoce como amplificación de valores débiles. En este régimen, el desplazamiento del puntero del dispositivo de medición puede parecer mucho mayor de lo esperado; por ejemplo, un componente del espín puede parecer 100 veces mayor que su autovalor máximo. Este efecto de amplificación se ha considerado potencialmente beneficioso para aplicaciones metrológicas donde se requiere detectar señales físicas pequeñas con alta sensibilidad.

Esta débil amplificación de valor se demostró posteriormente de forma experimental. [ 10 ] [ 11 ] [ 3 ] [ 12 ] [ 13 ] .

Tomografía cuántica

También se han explorado valores débiles en el contexto de la tomografía de estados cuánticos . La tomografía de estados directos [ 14 ] [ 15 ] utiliza mediciones débiles y postselección, inspirada en protocolos de valores débiles, para reconstruir el estado cuántico. Además, proporciona una interpretación operativa de las amplitudes de la función de onda. La tomografía de mediciones débiles [ 16 ] busca mejorar la tomografía estándar aprovechando la mínima perturbación de las mediciones débiles, lo que permite reutilizar el mismo sistema para mediciones adicionales.

Fundamentos cuánticos

Los valores débiles se utilizan como indicadores de no clasicidad, como herramientas para explicar paradojas cuánticas y como vínculos entre diferentes interpretaciones de la mecánica cuántica .

Los valores débiles anómalos, aquellos que se encuentran fuera del rango de valores propios de una observable, se consideran indicadores de no clasicidad. Sirven como pruebas de contextualidad cuántica , mostrando que los resultados de las mediciones no pueden ser reproducidos por ningún modelo de variable oculta no contextual. [ 17 ] .

Los valores débiles se han utilizado para crear y explicar algunas de las paradojas en los fundamentos de la teoría cuántica, por ejemplo, el gato de Cheshire cuántico . [ 18 ] También se han utilizado en estudios experimentales de la paradoja de Hardy , donde mediciones débiles conjuntas de pares de fotones entrelazados reprodujeron las predicciones paradójicas. [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]

Se han propuesto valores débiles como una forma de definir la velocidad de una partícula en una posición dada, denominada "velocidad ingenuamente observable". [ 22 ] Experimentos de 2010 informaron trayectorias de fotones en un interferómetro de doble rendija que coincidían cualitativamente con predicciones anteriores [ 23 ] para fotones en la interpretación de De Broglie-Bohm . [ 24 ] [ 25 ] Análisis posteriores han argumentado que las mediciones de velocidad débiles no proporcionan nuevas evidencias a favor o en contra de la teoría de De Broglie-Bohm y no pueden revelar directamente la forma de las trayectorias de las partículas, incluso bajo supuestos deterministas. [ 26 ] [ 27 ]

Críticas

Las críticas a los valores débiles incluyen críticas filosóficas y prácticas. Algunos investigadores destacados como Asher Peres , Tony Leggett , David Mermin y Charles H. Bennett [ 28 ] [ 29 ] son ​​críticos de los valores débiles.

Tras la publicación del artículo de Aharonov, Albert y Vaidman, se publicaron posteriormente dos comentarios críticos y una respuesta.

Asher Peres en su comentario [ 30 ] , argumentó que incluso si una medición débil produce un valor promedio determinado con precisión, esto no implica que la observable en sí misma haya tomado realmente ese valor. Afirmó que un análisis detallado de los datos de medición revelaría dos picos en (pag=±1{\displaystyle p=\pm 1}), correspondientes a los verdaderos autovalores, cuyas anchuras reflejan la incertidumbre de la medición inicial. Según Peres, estos resultados son totalmente coherentes con la mecánica cuántica estándar, y los valores débiles aparentemente "anómalos" surgen de efectos de superposición e interferencia, más que de cualquier violación de los principios cuánticos.
El comentario de Tony Leggett [ 31 ] planteó dos objeciones principales. Primero, argumentó que el resultado de Aharonov, Albert y Vaidman es en gran medida irrelevante para la teoría de medición cuántica estándar porque se basa en una definición no estándar de medición, tratando un hamiltoniano de interacción débil específico como fundamental en lugar de como un componente de un proceso más amplio. Segundo, sostuvo que el valor débilAw{\displaystyle A_{w}}no es un valor verdadero de la observable; no es ni un resultado individual ni un promedio de conjunto, sino que refleja cómo el sistema afecta al dispositivo de medición bajo acoplamiento débil y postselección, y es válido solo hasta el orden más bajo en la fuerza de interacción.

La respuesta de Aharonov y Vaidman [ 32 ] a los comentarios de Peres y Leggett abordó varios de los puntos técnicos planteados en las críticas, aunque discusiones posteriores en la literatura han expresado puntos de vista diferentes sobre cuán completamente se resolvieron estos problemas.

Importancia metrológica

En la literatura primaria se ha debatido ampliamente sobre el papel de los valores débiles en la metrología cuántica [ 33 ] , incluyendo críticas y refutaciones. Según un artículo de revisión [ 34 ] , los análisis basados ​​en la información de Fisher y la estimación de parámetros indican que la amplificación de valores débiles postseleccionados generalmente no mejora la precisión en tareas metrológicas. Si bien la técnica puede aumentar el tamaño de la señal, la postselección reduce la eficiencia de los datos debido a que se descartan la mayoría de los ensayos. La revisión concluye que los métodos de valores débiles no proporcionan una ventaja cuántica fundamental en metrología, y que los grandes factores de amplificación por sí solos no mejoran el rendimiento de la estimación.

Referencias

  1. 1 2 3 Yakir Aharonov; David Z. Albert; Lev Vaidman (1988). "Cómo el resultado de una medición de un componente del espín de una partícula de espín 1/2 puede resultar ser 100". Physical Review Letters . 60 (14): 1351– 1354. Bibcode : 1988PhRvL..60.1351A . doi : 10.1103/PhysRevLett.60.1351 . PMID 10038016 . 
  2. ↑ NWM Ritchie; JG Story; Randall G. Hulet (1991). "Realización de una medición de un "valor débil"" . Physical Review Letters . 66 (9). American Physical Society: 1107– 1110. Bibcode : 1991PhRvL..66.1107R . doi : 10.1103/PhysRevLett.66.1107 . PMID 10043997 . 
  3. 1 2 3 4 5 J. Dressel; M. Malik; FM Miatto; AN Jordan; RW Boyd (2014). "Coloquio: Comprensión de los valores débiles cuánticos: Fundamentos y aplicaciones". Reviews of Modern Physics . 86 (1): 307– 316. arXiv : 1305.7154 . Bibcode : 2014RvMP...86..307D . doi : 10.1103/RevModPhys.86.307 . S2CID 4424740 . 
  4. 1 2 3 4 Duck, IM; Stevenson, PM; Sudarshan, ECG (1989). "El sentido en el que una "medición débil" del componente de espín de una partícula de espín ½ produce un valor de 100". Physical Review D . 40 (6): 2112– 2117. Bibcode : 1989PhRvD..40.2112D . doi : 10.1103/PhysRevD.40.2112 . PMID 10012041 . 
  5. 1 2 3 4 A. G. Kofman; S. Ashhab; F. Nori (2012). "Teoría no perturbativa de mediciones preseleccionadas y postseleccionadas débiles". Physics Reports . 520 (1): 43– 133. arXiv : 1109.6315 . Bibcode : 2012PhR...520...43K . doi : 10.1016/j.physrep.2012.07.001 . S2CID 119281390 . 
  6. ↑ Abbott, Alastair A.; Silva, Ralph; Wechs, Julian; Brunner, Nicolas; Branciard, Cyril (2019). "Valores débiles anómalos sin postselección". Quantum . 3 194. arXiv : 1805.09364 . Bibcode : 2019Quant...3..194A . doi : 10.22331/q-2019-10-14-194 . S2CID 119466052 . 
  7. ↑ Nirala, Gaurav; Sahoo, Surya Narayan; Pati, Arun K.; Sinha, Urbasi (2019-02-13). "Medición del promedio de un operador no hermitiano con un valor débil en un interferómetro de Mach-Zehnder". Physical Review A . 99 (2) 022111. arXiv : 1807.09014 . Bibcode : 2019PhRvA..99b2111N . doi : 10.1103/PhysRevA.99.022111 . ISSN 2469-9926 . S2CID 118982020 .  
  8. ↑ Paul Busch (2009). J. Christian; W. Myrvold (eds.). «Sin información no hay perturbación»: Limitaciones cuánticas de la medición . Serie de filosofía de la ciencia de la Universidad de Western Ontario; Contribución invitada, «Realidad cuántica, causalidad relativista y el cierre del círculo epistémico: una conferencia internacional en honor a Abner Shimony», Perimeter Institute, Waterloo, Ontario, Canadá, 18-21 de julio de 2006. Vol. 73. Springer-Verlag. pp. 229-256 . arXiv : 0706.3526 . doi : 10.1007/978-1-4020-9107-0 . ISBN   978-1-4020-9106-3ISSN 1566-659X​​ 
  9. ↑ Asger C. Ipsen (2015). "Perturbación en mediciones débiles y la diferencia entre valores débiles cuánticos y clásicos". Physical Review A . 91 (6) 062120. arXiv : 1409.3538 . Bibcode : 2015PhRvA..91f2120I . doi : 10.1103/PhysRevA.91.062120 . S2CID 116987013 . 
  10. ↑ O. Hosten; P. Kwiat (2008). "Observación del efecto Hall de espín de la luz mediante mediciones débiles". Science . 319 (5864): 787– 790. Bibcode : 2008Sci...319..787H . doi : 10.1126/science.1152697 . PMID 18187623 . S2CID 18714449 .  
  11. ↑ P. Ben Dixon; David J. Starling; Andrew N. Jordan; John C. Howell (2009). "Medición de la deflexión del haz ultrasensible mediante amplificación de valor débil interferométrica". Physical Review Letters . 102 (17) 173601. arXiv : 0906.4828 . Bibcode : 2009PhRvL.102q3601D . doi : 10.1103/PhysRevLett.102.173601 . PMID 19518781 . S2CID 1983952 .  
  12. ↑ L. Xu; L. Zhang (2024). "Progreso y perspectivas sobre la amplificación de valores débiles". Progress in Quantum Electronics . 96 100518. arXiv : 2407.10087 . Bibcode : 2024PQE....9600518X . doi : 10.1016/j.pquantelec.2024.100518 .
  13. ↑ Junfan Zhu; Lingye; Yifan Wang; Yurong Liu; Yinghang Jiang; Un Wang; Jiguo Wu; Zhiyou Zhang (2025). "Valor débil y medición en detección de precisión". Revisiones de Física Aplicada . 12 (2): 021315. Código bibliográfico : 2025ApPRv..12b1315Z . doi : 10.1063/5.0230512 . ISSN 1931-9401 . 
  14. ↑ Lundeen Jeff S., Sutherland Brandon, Patel Aabid, Stewart Corey, Bamber Charles (2011). "Medición directa de la función de onda cuántica". Nature . 474 (7350): 188– 191. arXiv : 1112.3575 . Bibcode : 2011Natur.474..188L . doi : 10.1038/nature10120 . PMID 21654800 . S2CID 4405067 .  {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  15. ↑ Jeff S. Lundeen; Charles Bamber (2012). "Procedimiento para la medición directa de estados cuánticos generales mediante medición débil" . Physical Review Letters . 108 (7) 070402. American Physical Society. arXiv : 1112.5471 . Bibcode : 2012PhRvL.108g0402L . doi : 10.1103/PhysRevLett.108.070402 . PMID 22401180 . 
  16. ↑ Debmalya Das; Arvind (2014). "Estimación de estados cuánticos mediante mediciones débiles y proyectivas" . Physical Review A. 89 ( 6) 062121. American Physical Society. arXiv : 1402.0447 . Bibcode : 2014PhRvA..89f2121D . doi : 10.1103/PhysRevA.89.062121 .
  17. ↑ Matthew F. Pusey (2014). "Los valores débiles anómalos son pruebas de contextualidad" . Physical Review Letters . 113 (20) 200401. American Physical Society. arXiv : 1409.1535 . Bibcode : 2014PhRvL.113t0401P . doi : 10.1103/PhysRevLett.113.200401 . PMID 25432026 . 
  18. ↑ Aharonov, Yakir; Rohrlich, Daniel (26 de septiembre de 2008). Paradojas cuánticas: Teoría cuántica para perplejos . John Wiley & Sons. ISBN 978-3-527-61912-2.
  19. ↑ JS Lundeen; AM Steinberg (2009). "Medición débil conjunta experimental en un par de fotones como sonda de la paradoja de Hardy". Physical Review Letters . 102 (2) 020404. arXiv : 0810.4229 . Bibcode : 2009PhRvL.102b0404L . doi : 10.1103/PhysRevLett.102.020404 . PMID 19257252 . S2CID 28601506 .  
  20. ↑ "La paradoja de Hardy confirmada experimentalmente" . Perimeter Institute for Theoretical Physics. 2 de julio de 2009. Archivado del original el 30 de mayo de 2013. Consultado el 8 de junio de 2013 .
  21. ↑ Yokota K., Yamamoto T., Koashi M., Imoto N. (2009). "Observación directa de la paradoja de Hardy mediante medición débil conjunta con un par de fotones entrelazados". New J. Phys . 11 (1): 033011. arXiv : 0809.2224 . Bibcode : 2009NJPh...11a3011R . doi : 10.1088/1367-2630/11/1/013011 . S2CID 35698295 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  22. ↑ HM Wiseman (2007). "Fundamentando la mecánica bohmiana en valores débiles y bayesianismo". New Journal of Physics . 9 (6): 165. arXiv : 0706.2522 . Bibcode : 2007NJPh....9..165W . doi : 10.1088/1367-2630/9/6/165 .
  23. ↑ Ghose Partha, Majumdar AS, Guhab S., Sau J. (2001). "Trayectorias bohmianas para fotones" (PDF) . Physics Letters A. 290 ( 5–6 ) : 205–213 . arXiv : quant-ph/0102071 . Bibcode : 2001PhLA..290..205G . doi : 10.1016/s0375-9601(01)00677-6 . S2CID 54650214 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  24. ↑ Sacha Kocsis, Sylvain Ravets, Boris Braverman, Krister Shalm, Aephraim M. Steinberg: Observación de las trayectorias de un solo fotón mediante mediciones débiles, 19º Congreso del Instituto Australiano de Física (AIP), 2010
  25. ↑ Kocsis Sacha, Braverman Boris, Ravets Sylvain, Stevens Martin J., Mirin Richard P., Shalm L. Krister, Steinberg Aephraim M. (2011). " Observación de las trayectorias promedio de fotones individuales en un interferómetro de dos rendijas ". Science . 332 (6034): 1170– 1173. Bibcode : 2011Sci...332.1170K . doi : 10.1126/science.1202218 . PMID 21636767. S2CID 27351467 .  {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  26. ↑ Fankhauser Johannes, Dürr Patrick (2021). "Cómo (no) entender las mediciones débiles de velocidad" . Estudios en Historia y Filosofía de la Ciencia Parte A. 85 : 16–29 . arXiv : 2309.10395 . Bibcode : 2021SHPSA..85 ...16F . doi : 10.1016/j.shpsa.2020.12.002 . ISSN 0039-3681 . PMID 33966771 .  
  27. ↑ Fankhauser, Johannes (2025). «La (in)detectabilidad de trayectorias en la teoría de ondas piloto» . Ondas guía en mecánica cuántica: cien años de la teoría de ondas piloto de De Broglie-Bohm . Oxford University Press. pp. 208-229 . arXiv : 2503.07694 . doi : 10.1093/oso/9780198901853.003.0010 . ISBN  978-0-19-890185-3.
  28. ↑ Charles H. Bennett (3 de agosto de 2012). "¿Puede el futuro afectar al pasado?" . Physics World . Consultado el 5 de noviembre de 2025 .
  29. ↑ Charles H. Bennett (9 de agosto de 2012). "El mundo de la física se deja seducir por la hierba gatera de Tel Aviv" . The Quantum Pontiff . Consultado el 31 de octubre de 2025 .
  30. ↑ Asher Peres (1989). "Mediciones cuánticas con postselección" . Physical Review Letters . 62 (19). American Physical Society: 2326. Bibcode : 1989PhRvL..62.2326P . doi : 10.1103/PhysRevLett.62.2326 . PMID 10039916 . 
  31. ↑ AJ Leggett (1989). "Comentario sobre "Cómo el resultado de una medición de un componente del espín de una partícula de espín-(1/2) puede resultar ser 100"" . Physical Review Letters . 62 (19). American Physical Society: 2325. Bibcode : 1989PhRvL..62.2325L . doi : 10.1103/PhysRevLett.62.2325 . PMID 10039915 . 
  32. ↑ Y. Aharonov; L. Vaidman (1989). "Aharonov y Vaidman responden" . Physical Review Letters . 62 (19). American Physical Society: 2327. Bibcode : 1989PhRvL..62.2327A . doi : 10.1103/PhysRevLett.62.2327 . PMID 10039917 . 
  33. ↑ Saki Tanaka; Naoki Yamamoto (2013). "Amplificación de información mediante postselección: una perspectiva de estimación de parámetros" . Physical Review A. 88 ( 4) 042116. American Physical Society. arXiv : 1306.2409 . Bibcode : 2013PhRvA..88d2116T . doi : 10.1103/PhysRevA.88.042116 .
  34. ↑ George C. Knee; Joshua Combes; Christopher Ferrie; Erik M. Gauger (2016). "Amplificación de valor débil: estado actual". Mediciones cuánticas y metrología cuántica . 3 (1). De Gruyter Open: 32– 37. arXiv : 1410.6252 . Bibcode : 2016QMQM....3....6K . doi : 10.1515/qmetro-2016-0006 . ISSN 2299-114X . 

Lecturas adicionales

  • Boaz Tamir; Eliahu Cohen (2013). "Introducción a las mediciones débiles y los valores débiles" . Quanta . 2 (1): 7– 17. doi : 10.12743/quanta.v2i1.14 .
  • Bengt EY Svensson (2013). "Revisión pedagógica de la teoría de la medición cuántica con énfasis en las mediciones débiles". Quanta . 2 (1): 18– 49. arXiv : 1202.5148 . doi : 10.12743/quanta.v2i1.12 . S2CID 119242577 . 
  • Zeeya Merali (abril de 2010). "De vuelta del futuro" . Discover . Una serie de experimentos cuánticos demuestra que las mediciones realizadas en el futuro pueden influir en el presente.{{cite journal}}: CS1 mantenimiento: postscript ( enlace )
  • "Primero la física cuántica: Investigadores observan fotones individuales en un experimento con interferómetro de doble rendija" . phys.org . 2 de junio de 2011.
  • Adrian Cho (5 de agosto de 2011). "Un enfoque furtivo reduce los límites de la incertidumbre cuántica". Science . 333 (6043): 690– 693. Bibcode : 2011Sci...333..690C . doi : 10.1126/science.333.6043.690 . PMID 21817029 .