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Articulo de referencia

Bucle de Wilson

En la teoría cuántica de campos , los bucles de Wilson son operadores invariantes de gauge que surgen del transporte paralelo de variables de gauge alrededor de bucles cerrados ...

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En la teoría cuántica de campos , los bucles de Wilson son operadores invariantes de gauge que surgen del transporte paralelo de variables de gauge alrededor de bucles cerrados . Codifican toda la información de gauge de la teoría, lo que permite la construcción de representaciones de bucle que describen completamente las teorías de gauge en términos de estos bucles. En la teoría de gauge pura, desempeñan el papel de operadores de orden para el confinamiento , donde satisfacen lo que se conoce como la ley del área. Formulados originalmente por Kenneth G. Wilson en 1974, se utilizaron para construir enlaces y plaquetas que son los parámetros fundamentales en la teoría de gauge de red . [ 1 ] Los bucles de Wilson pertenecen a la clase más amplia de operadores de bucle , con algunos otros ejemplos notables como los bucles de 't Hooft , que son duales magnéticos de los bucles de Wilson, y los bucles de Polyakov , que son la versión térmica de los bucles de Wilson.

Definición

Ejemplo de un fibrado principal que muestra la variedad espaciotemporal base junto con sus fibras. También muestra cómo, en cada punto a lo largo de la fibra, el espacio tangente se puede dividir en un subespacio vertical que apunta a lo largo de la fibra y un subespacio horizontal ortogonal a ella.
Una conexión en un paquete principalPAG{\displaystyle P}con el espacio-tiempoMETRO{\displaystyle M}separa el espacio tangente en cada puntoincógnitapag{\displaystyle x_{p}}a lo largo de la fibraGRAMOpag{\displaystyle G_{p}}en un subespacio verticalVpag{\displaystyle V_{p}}y un subespacio horizontalHpag{\displaystyle H_{p}}. Las curvas en el espaciotiempo se elevan a curvas en el fibrado principal cuyos vectores tangentes se encuentran en el subespacio horizontal.

Para definir correctamente los bucles de Wilson en la teoría de gauge se requiere considerar la formulación de fibrado de las teorías de gauge. [ 2 ] Aquí, para cada punto en eld{\displaystyle d}espaciotiempo dimensionalMETRO{\displaystyle M}Hay una copia del grupo de indicadoresGRAMO{\displaystyle G}formando lo que se conoce como una fibra del haz de fibras . Estos haces de fibras se llaman haces principales . Localmente, el espacio resultante se ve así:Rd×GRAMO{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\times G}aunque a nivel global puede tener una estructura algo retorcida dependiendo de cómo se peguen las diferentes fibras.

El problema que resuelven las líneas de Wilson es cómo comparar puntos en fibras en dos puntos espaciotemporales diferentes. Esto es análogo al transporte paralelo en la relatividad general , que compara vectores tangentes que residen en los espacios tangentes en diferentes puntos. Para los haces principales, existe una forma natural de comparar diferentes puntos de fibra mediante la introducción de una conexión , que es equivalente a introducir un campo de gauge. Esto se debe a que una conexión es una forma de separar el espacio tangente del haz principal en dos subespacios conocidos como subespacio vertical y horizontal. [ 3 ] El primero consiste en todos los vectores que apuntan a lo largo de la fibra.GRAMO{\displaystyle G}Mientras que este último consiste en vectores perpendiculares a la fibra. Esto permite comparar los valores de la fibra en diferentes puntos del espaciotiempo conectándolos con curvas en el fibrado principal cuyos vectores tangentes siempre se encuentran en el subespacio horizontal, de modo que la curva siempre es perpendicular a cualquier fibra dada.

Si la fibra inicial está en la coordenadaincógnitai{\displaystyle x_{i}}con un punto de partida de la identidadgramoi=mi{\displaystyle g_{i}=e}, luego ver cómo cambia esto al pasar a otra coordenada espaciotemporalincógnitaF{\displaystyle x_{f}}, uno necesita considerar alguna curva espaciotemporalγ:[0,1]→METRO{\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow M} entreincógnitai{\displaystyle x_{i}}yincógnitaF{\displaystyle x_{f}}. La curva correspondiente en el haz principal, conocida como elevación horizontal deγ(t){\displaystyle \gamma (t)}, es la curvaγ~(t){\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}de tal manera queγ~(0)=gramoi{\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=g_{i}}y que sus vectores tangentes siempre se encuentran en el subespacio horizontal. La formulación del fibrado de la teoría de gauge revela que el campo de gauge con valores en el álgebra de LieAμ(incógnita)=Aμa(incógnita)Ta{\displaystyle A_{\mu }(x)=A_{\mu }^{a}(x)T^{a}}es equivalente a la conexión que define el subespacio horizontal, por lo que esto conduce a una ecuación diferencial para el levantamiento horizontal.

idgramo(t)dt=Aμ(incógnita)dincógnitaμdtgramo(t).{\displaystyle i{\frac {dg(t)}{dt}}=A_{\mu }(x){\frac {dx^{\mu }}{dt}}g(t).}

Esto tiene una solución formal única llamada línea de Wilson entre los dos puntos.

gramoF(tF)=W[incógnitai,incógnitaF]=PAGexp⁡(i∫incógnitaiincógnitaFAμdincógnitaμ),{\displaystyle g_{f}(t_{f})=W[x_{i},x_{f}]={\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\int _{x_{i}}^{x_{f}}A_{\mu }\,dx^{\mu }{\bigg )},}

dóndePAG{\displaystyle {\mathcal {P}}}es el operador de ordenación de caminos , que es innecesario para las teorías abelianas . El levantamiento horizontal que comienza en algún punto de fibra inicial distinto de la identidad simplemente requiere la multiplicación por el elemento inicial del levantamiento horizontal original. De manera más general, se cumple que siγ~′(0)=γ~(0)gramo{\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(0)={\tilde {\gamma }}(0)g}entoncesγ~′(t)=γ~(t)gramo{\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(t)={\tilde {\gamma }}(t)g}a pesar det≥0{\displaystyle t\geq 0}.

Bajo una transformación de calibre localgramo(incógnita){\displaystyle g(x)}La línea Wilson se transforma a medida que

W[incógnitai,incógnitaF]→gramo(incógnitaF)W[incógnitai,incógnitaF]gramo−1(incógnitai).{\displaystyle W[x_{i},x_{f}]\rightarrow g(x_{f})W[x_{i},x_{f}]g^{-1}(x_{i}).}

Esta propiedad de transformación de calibre se utiliza a menudo para introducir directamente la línea de Wilson en presencia de campos de materia.ϕ(incógnita){\displaystyle \phi (x)}transformándose en la representación fundamental del grupo de calibre, donde la línea Wilson es un operador que hace la combinaciónϕ(incógnitai)†W[incógnitai,incógnitaF]ϕ(incógnitaF){\displaystyle \phi (x_{i})^{\dagger }W[x_{i},x_{f}]\phi (x_{f})}invariante de gauge. [ 4 ] Permite la comparación del campo de materia en diferentes puntos de una manera invariante de gauge. Alternativamente, las líneas de Wilson también pueden introducirse agregando una partícula de prueba infinitamente pesada cargada bajo el grupo de gauge. Su carga forma un espacio de Hilbert interno cuantizado , que puede integrarse, produciendo la línea de Wilson como la línea de universo de la partícula de prueba. [ 5 ] Esto funciona en la teoría cuántica de campos independientemente de si realmente hay algún contenido de materia en la teoría. Sin embargo, la conjetura del pantano conocida como la conjetura de completitud afirma que en una teoría consistente de gravedad cuántica , cada línea de Wilson y línea de 't Hooft de una carga particular consistente con la condición de cuantización de Dirac debe tener una partícula correspondiente de esa carga presente en la teoría. [ 6 ] Desacoplar estas partículas tomando el límite de masa infinita ya no funciona ya que esto formaría agujeros negros .

La traza de las líneas de Wilson cerradas es una magnitud invariante de calibre conocida como bucle de Wilson.

W[γ]=tr[PAGexp⁡(i∮γAμdincógnitaμ)].{\displaystyle W[\gamma ]={\text{tr}}{\bigg [}{\mathcal {P}}\exp {\bigg (}i\oint _{\gamma }A_{\mu }\,dx^{\mu }{\bigg )}{\bigg ]}.}

Matemáticamente, el término dentro de la traza se conoce como holonomía , que describe un mapeo de la fibra en sí misma al elevarse horizontalmente a lo largo de un bucle cerrado. El conjunto de todas las holonomías forma un grupo , que para los haces principales debe ser un subgrupo del grupo de gauge. Los bucles de Wilson satisfacen la propiedad de reconstrucción donde conocer el conjunto de bucles de Wilson para todos los bucles posibles permite reconstruir toda la información invariante de gauge sobre la conexión de gauge. [ 7 ] Formalmente, el conjunto de todos los bucles de Wilson forma una base sobrecompleta de soluciones a la restricción de la ley de Gauss.

El conjunto de todas las líneas de Wilson está en correspondencia biunívoca con las representaciones del grupo de calibre. Esto puede reformularse en términos del lenguaje del álgebra de Lie utilizando la red de pesos del grupo de calibre.Λw{\displaystyle \Lambda _{w}}En este caso, los tipos de bucles de Wilson están en correspondencia uno a uno conΛw/W{\displaystyle \Lambda _{w}/W}dóndeW{\displaystyle W}es el grupo Weyl . [ 8 ]

Operadores espaciales de Hilbert

Una visión alternativa de los bucles de Wilson es considerarlos como operadores que actúan sobre el espacio de Hilbert de estados en signatura de Minkowski . [ 5 ] Dado que el espacio de Hilbert reside en una única sección temporal, los únicos bucles de Wilson que pueden actuar como operadores sobre este espacio son aquellos formados mediante bucles de tipo espacial . Tales operadoresW[γ]{\displaystyle W[\gamma ]}crear un bucle cerrado de flujo eléctrico , lo cual se puede observar al notar que el operador del campo eléctricomii{\displaystyle E^{i}}es distinto de cero en el buclemiiW[γ]|0⟩≠0{\displaystyle E^{i}W[\gamma ]|0\rangle \neq 0}pero desaparece en todas partes. Usando el teorema de Stokes, se deduce que el bucle espacial mide el flujo magnético a través del bucle. [ 9 ]

operador de pedidos

Dado que las líneas de Wilson temporales corresponden a la configuración creada por quarks estacionarios infinitamente pesados, el bucle de Wilson está asociado con un bucle rectangular.γ{\displaystyle \gamma }con dos componentes temporales de longitudT{\displaystyle T}y dos componentes espaciales de longitudr{\displaystyle r}, puede interpretarse como un par quark -antiquark a una separación fija. En tiempos grandes, el valor esperado del vacío del bucle de Wilson proyecta el estado con la energía mínima , que es el potencialV(r){\displaystyle V(r)}entre los quarks. [ 10 ] Los estados excitados con energíaV(r)+Δmi{\displaystyle V(r)+\Delta E}se suprimen exponencialmente con el tiempo y, por lo tanto, el valor esperado va como

⟨W[γ]⟩∼mi−TV(r)(1+O(mi−TΔmi)),{\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-TV(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-T\Delta E})),}

lo que hace que el bucle de Wilson sea útil para calcular el potencial entre pares de quarks. Este potencial debe ser necesariamente una función monótonamente creciente y cóncava de la separación de los quarks. [ 11 ] [ 12 ] Dado que los bucles de Wilson de tipo espacial no son fundamentalmente diferentes de los temporales, el potencial de los quarks está realmente directamente relacionado con la estructura de la teoría pura de Yang-Mills y es un fenómeno independiente del contenido de materia. [ 13 ]

El teorema de Elitzur garantiza que los operadores locales no invariantes de gauge no pueden tener valores esperados distintos de cero. En su lugar, se deben usar operadores no locales invariantes de gauge como parámetros de orden para el confinamiento. El bucle de Wilson es precisamente un parámetro de orden de este tipo en la teoría pura de Yang-Mills , donde en la fase de confinamiento su valor esperado sigue la ley del área [ 14 ].

⟨W[γ]⟩∼mi−aA[γ]{\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-aA[\gamma ]}}

para un bucle que encierra un áreaA[γ]{\displaystyle A[\gamma ]}Esto está motivado por el potencial entre quarks de prueba infinitamente pesados ​​que, en la fase de confinamiento, se espera que crezca linealmente.V(r)∼σr{\displaystyle V(r)\sim \sigma r}dóndeσ{\displaystyle \sigma }Se conoce como la tensión de la cuerda. Mientras tanto, en la fase de Higgs, el valor esperado sigue la ley del perímetro.

⟨W[γ]⟩∼mi−bL[γ],{\displaystyle \langle W[\gamma ]\rangle \sim e^{-bL[\gamma ]},}

dóndeL[γ]{\displaystyle L[\gamma ]}es la longitud del perímetro del bucle yb{\displaystyle b}es alguna constante. La ley de área de los bucles de Wilson puede usarse para demostrar el confinamiento directamente en ciertas teorías de baja dimensión, como para el modelo de Schwinger cuyo confinamiento es impulsado por instantones . [ 15 ]

Formulación reticular

En la teoría de campos reticulares , las líneas y bucles de Wilson desempeñan un papel fundamental en la formulación de campos de gauge en la red . Las líneas de Wilson más pequeñas en la red, aquellas entre dos puntos reticulares adyacentes, se conocen como enlaces, y un único enlace comienza en un punto reticular.norte{\displaystyle n}entrando en elμ{\displaystyle \mu }dirección denotada porUμ(norte){\displaystyle U_{\mu }(n)}Cuatro enlaces alrededor de un solo cuadrado se conocen como plaqueta, y su traza forma el bucle de Wilson más pequeño. [ 16 ] Son estas plaquetas las que se utilizan para construir la acción de calibre de red conocida como acción de Wilson . Los bucles de Wilson más grandes se expresan como productos de variables de enlace a lo largo de algún bucle.γ{\displaystyle \gamma }, denotado por [ 17 ]

L[U]=tr[∏norte∈γUμ(norte)].{\displaystyle L[U]={\text{tr}}{\bigg [}\prod _{n\in \gamma }U_{\mu }(n){\bigg ]}.}

Estos bucles de Wilson se utilizan para estudiar numéricamente el confinamiento y los potenciales de quarks . Las combinaciones lineales de bucles de Wilson también se utilizan como operadores de interpolación que dan lugar a estados de glueball . [ 18 ] Las masas de glueball se pueden extraer a partir de la función de correlación entre estos interpoladores. [ 19 ]

La formulación reticular de los bucles de Wilson también permite una demostración analítica del confinamiento en la fase fuertemente acoplada , asumiendo la aproximación de enfriamiento rápido donde se desprecian los bucles de quarks. [ 20 ] Esto se hace expandiendo la acción de Wilson como una serie de potencias de trazas de plaquetas, donde el primer término no nulo en el valor esperado del bucle de Wilson en unaSU(3){\displaystyle {\text{SU}}(3)}La teoría de gauge da lugar a una ley de área con una tensión de cuerda de la forma [ 21 ] [ 22 ].

σ=−1a2ln⁡(β18)(1+O(β)),{\displaystyle \sigma =-{\frac {1}{a^{2}}}\ln {\bigg (}{\frac {\beta }{18}}{\bigg )}(1+{\mathcal {O}}(\beta )),}

dóndeβ=6/gramo2{\displaystyle \beta =6/g^{2}}es la constante de acoplamiento inversa ya{\displaystyle a}es el espaciado de la red. Si bien este argumento es válido tanto para el caso abeliano como para el no abeliano, la electrodinámica compacta solo exhibe confinamiento en el acoplamiento fuerte, existiendo una transición de fase a la fase de Coulomb enβ∼1.01{\displaystyle \beta \sim 1.01}, dejando la teoría desconfinada en acoplamiento débil. [ 23 ] [ 24 ] No se cree que exista tal transición de fase paraSU(norte){\displaystyle {\text{SU}}(N)}Las teorías de gauge a temperatura cero , en cambio, exhiben confinamiento en todos los valores de la constante de acoplamiento.

Propiedades

ecuación de bucle de Makeenko-Migdal

De forma similar a la derivada funcional que actúa sobre funciones de funciones , las funciones de bucles admiten dos tipos de derivadas llamadas derivada de área y derivada de perímetro. Para definir la primera, consideremos un contorno.γ{\displaystyle \gamma }y otro contornoγδσμν{\displaystyle \gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}}que es el mismo contorno pero con un pequeño bucle adicional enincógnita{\displaystyle x}en elμ{\displaystyle \mu }-ν{\displaystyle \nu }plano con áreaδσμν=dincógnitaμ∧dincógnitaν{\displaystyle \delta \sigma _{\mu \nu }=dx_{\mu }\wedge dx_{\nu }}. Luego, la derivada del área del funcional de bucleF[γ]{\displaystyle F[\gamma ]}se define mediante la misma idea que la derivada usual, como la diferencia normalizada entre el funcional de los dos bucles [ 25 ]

δF[γ]δσμν(incógnita)=1δσμν(incógnita)[F[γδσμν]−F[γ]].{\displaystyle {\frac {\delta F[\gamma ]}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}={\frac {1}{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}[F[\gamma _{\delta \sigma _{\mu \nu }}]-F[\gamma ]].}

La derivada del perímetro se define de manera similar, por lo que ahoraγδincógnitaμ{\displaystyle \gamma _{\delta x_{\mu }}}es una ligera deformación del contornoγ{\displaystyle \gamma }que en la posiciónincógnita{\displaystyle x}tiene un pequeño bucle extrusor de longitudδincógnitaμ{\displaystyle \delta x_{\mu }}en elμ{\displaystyle \mu }dirección y de área cero. La derivada del perímetro.∂μincógnita{\displaystyle \partial _{\mu }^{x}}de la función del bucle se define entonces como

∂μincógnitaF[γ]=1δincógnitaμ[F[γδincógnitaμ]−F[γ]].{\displaystyle \partial _{\mu }^{x}F[\gamma ]={\frac {1}{\delta x_{\mu }}}[F[\gamma _{\delta x_{\mu }}]-F[\gamma ]].}

En el límite de N grande , el valor esperado del vacío del bucle de Wilson satisface una ecuación de forma funcional cerrada llamada ecuación de Makeenko-Migdal [ 26 ].

∂μincógnitaδδσμν(incógnita)⟨W[γ]⟩=gramo2norte∮γdyνδ(D)(incógnita−y)⟨W[γyincógnita]⟩⟨W[γincógnitay]⟩.{\displaystyle \partial _{\mu }^{x}{\frac {\delta }{\delta \sigma _{\mu \nu }(x)}}\langle W[\gamma ]\rangle =g^{2}N\oint _{\gamma }dy_{\nu }\delta ^{(D)}(x-y)\langle W[\gamma _{yx}]\rangle \langle W[\gamma _{xy}]\rangle .}

Aquíγ=γincógnitay∪γyincógnita{\displaystyle \gamma =\gamma _{xy}\cup \gamma _{yx}}conγincógnitay{\displaystyle \gamma _{xy}}ser una línea que no se cierra desdeincógnita{\displaystyle x}ay{\displaystyle y}, con los dos puntos, por muy cerca que estén el uno del otro. La ecuación también se puede escribir para un número finito de puntos.norte{\displaystyle N}, pero en este caso no se factoriza y en su lugar conduce a valores esperados de productos de bucles de Wilson, en lugar del producto de sus valores esperados. [ 27 ] Esto da lugar a una cadena infinita de ecuaciones acopladas para diferentes valores esperados de bucles de Wilson, análoga a las ecuaciones de Schwinger-Dyson . La ecuación de Makeenko-Migdal se ha resuelto exactamente en dos dimensiones.U(∞){\displaystyle {\text{U}}(\infty )}teoría. [ 28 ]

Identidades de Mandelstam

Grupos de calibre que admiten representaciones fundamentales en términos denorte×norte{\displaystyle N\times N}Las matrices tienen bucles de Wilson que satisfacen un conjunto de identidades llamadas identidades de Mandelstam , donde estas identidades reflejan las propiedades particulares del grupo de calibre subyacente. [ 29 ] Las identidades se aplican a bucles formados a partir de dos o más subbucles, conγ=γ2∘γ1{\displaystyle \gamma =\gamma _{2}\circ \gamma _{1}}siendo un bucle formado al dar primero vueltasγ1{\displaystyle \gamma _{1}}y luego dando vueltasγ2{\displaystyle \gamma _{2}}.

La identidad de Mandelstam de primer tipo afirma queW[γ1∘γ2]=W[γ2∘γ1]{\displaystyle W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]=W[\gamma _{2}\circ \gamma _{1}]}, con esto válido para cualquier grupo de calibre en cualquier dimensión. Las identidades de Mandelstam de segundo tipo se adquieren al observar que ennorte{\displaystyle N}dimensiones, cualquier objeto connorte+1{\displaystyle N+1}Los índices totalmente antisimétricos desaparecen, lo que significa queδ[b1a1δb2a2⋯δbnorte+1]anorte+1=0{\displaystyle \delta _{[b_{1}}^{a_{1}}\delta _{b_{2}}^{a_{2}}\cdots \delta _{b_{N+1}]}^{a_{N+1}}=0}En la representación fundamental, las holonomías utilizadas para formar los bucles de Wilson son:norte×norte{\displaystyle N\times N}Representaciones matriciales de los grupos de calibre. Contrayendonorte+1{\displaystyle N+1}Las holonomías con las funciones delta producen un conjunto de identidades entre bucles de Wilson. Estas se pueden escribir en términos de los objetosMETROK{\displaystyle M_{K}}definido iterativamente de modo queMETRO1[γ]=W[γ]{\displaystyle M_{1}[\gamma ]=W[\gamma ]}y

(K+1)METROK+1[γ1,…,γK+1]=W[γK+1]METROK[γ1,…,γK]−METROK[γ1∘γK+1,γ2,…,γK]−⋯−METROK[γ1,γ2,…,γK∘γK+1].{\displaystyle (K+1)M_{K+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K+1}]=W[\gamma _{K+1}]M_{K}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{K}]-M_{K}[\gamma _{1}\circ \gamma _{K+1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}]-\cdots -M_{K}[\gamma _{1},\gamma _{2},\dots ,\gamma _{K}\circ \gamma _{K+1}].}

En esta notación, las identidades de Mandelstam de segundo tipo son [ 30 ].

METROnorte+1[γ1,…,γnorte+1]=0.{\displaystyle M_{N+1}[\gamma _{1},\dots ,\gamma _{N+1}]=0.}

Por ejemplo, para unU(1){\displaystyle {\text{U}}(1)}grupo de indicadores esto daW[γ1]W[γ2]=W[γ1∘γ2]{\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}]}.

Si la representación fundamental son matrices de determinante unitario , entonces también se cumple queMETROnorte(γ,…,γ)=1{\displaystyle M_{N}(\gamma ,\dots ,\gamma )=1}. Por ejemplo, aplicando esta identidad aSU(2){\displaystyle {\text{SU}}(2)}da

W[γ1]W[γ2]=W[γ1∘γ2−1]+W[γ1∘γ2].{\displaystyle W[\gamma _{1}]W[\gamma _{2}]=W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}^{-1}]+W[\gamma _{1}\circ \gamma _{2}].}

Las representaciones fundamentales que consisten en matrices unitarias satisfacenW[γ]=W∗[γ−1]{\displaystyle W[\gamma ]=W^{*}[\gamma ^{-1}]}. Además, mientras que la igualdadW[I]=norte{\displaystyle W[I]=N}Se cumple para todos los grupos de calibre en las representaciones fundamentales, para los grupos unitarios se cumple además que|W[γ]|≤norte{\displaystyle |W[\gamma ]|\leq N}.

Renormalización

Dado que los bucles de Wilson son operadores de los campos de gauge, la regularización y renormalización de los campos y acoplamientos de la teoría de Yang-Mills subyacente no impide que los bucles de Wilson requieran correcciones de renormalización adicionales. En una teoría de Yang-Mills renormalizada, la forma particular en que los bucles de Wilson se renormalizan depende de la geometría del bucle en consideración. Las características principales son [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]

  • Curva suave sin intersecciones: Esta solo puede tener divergencias lineales proporcionales al contorno, las cuales pueden eliminarse mediante renormalización multiplicativa.
  • Curva sin intersección con cúspides : Cada cúspide da como resultado un factor de renormalización multiplicativo local adicional.Z[ϕ]{\displaystyle Z[\phi ]}Eso depende del ángulo de la cúspide.ϕ{\displaystyle \phi }.
  • Autointersecciones: Esto conlleva una mezcla de operadores entre los bucles de Wilson asociados al bucle completo y los subbucles.
  • Segmentos similares a la luz: Estos dan lugar a divergencias logarítmicas adicionales.

Aplicaciones adicionales

Amplitudes de dispersión

Los bucles de Wilson desempeñan un papel en la teoría de las amplitudes de dispersión, donde se ha encontrado un conjunto de dualidades entre ellos y tipos especiales de amplitudes de dispersión. [ 35 ] Estos se sugirieron por primera vez en el acoplamiento fuerte utilizando la correspondencia AdS/CFT . [ 36 ] Por ejemplo, ennorte=4{\displaystyle {\mathcal {N}}=4}La teoría de Yang-Mills supersimétrica, cuyas amplitudes violan al máximo la helicidad, se factorizan en un componente de nivel de árbol y una corrección de nivel de bucle. [ 37 ] Esta corrección de nivel de bucle no depende de las helicidades de las partículas, pero se encontró que era dual a ciertos bucles de Wilson poligonales en el grannorte{\displaystyle N}límite, salvo términos finitos. Si bien esta dualidad se sugirió inicialmente solo en el caso de máxima violación de la helicidad, existen argumentos que sugieren que puede extenderse a todas las configuraciones de helicidad definiendo generalizaciones supersimétricas apropiadas del bucle de Wilson. [ 38 ]

compactificaciones de la teoría de cuerdas

En las teorías compactificadas , los estados de campo de gauge de modo cero que son configuraciones de gauge localmente puras pero globalmente no equivalentes al vacío están parametrizados por líneas de Wilson cerradas en la dirección compacta. La presencia de estas en una teoría de cuerdas abiertas compactificada es equivalente bajo la dualidad T a una teoría con D-branas no coincidentes , cuyas separaciones están determinadas por las líneas de Wilson. [ 39 ] Las líneas de Wilson también juegan un papel en las compactificaciones de orbifold donde su presencia conduce a un mayor control de la ruptura de la simetría de gauge , dando un mejor manejo del grupo de gauge no roto final y también proporcionando un mecanismo para controlar el número de multipletes de materia que quedan después de la compactificación. [ 40 ] Estas propiedades hacen que las líneas de Wilson sean importantes en las compactificaciones de teorías de supercuerdas. [ 41 ] [ 42 ]

Teoría de campos topológicos

En una teoría de campos topológica , el valor esperado de los bucles de Wilson no cambia bajo deformaciones suaves del bucle, ya que la teoría de campos no depende de la métrica . [ 43 ] Por esta razón, los bucles de Wilson son observables clave en estas teorías y se utilizan para calcular propiedades globales de la variedad espaciotemporal . En2+1{\displaystyle 2+1}Las dimensiones están estrechamente relacionadas con la teoría de nudos, donde el valor esperado de un producto de bucles depende únicamente de la estructura de la variedad y de cómo se entrelazan los bucles. Esto condujo a la famosa conexión establecida por Edward Witten, quien utilizó bucles de Wilson en la teoría de Chern-Simons para relacionar su función de partición con los polinomios de Jones de la teoría de nudos. [ 44 ]

Véase también

Referencias

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