Colector de Wu

En matemáticas, la variedad de Wu es una 5-variedad definida como un espacio cociente de grupos de Lie que aparece en el área matemática de la teoría de Lie . Debido a sus propiedades especiales, es de interés en topología algebraica , teoría del cobordismo y geometría de espín . La variedad fue estudiada por primera vez y nombrada en honor a Wu Wenjun .

El grupo ortogonal especial${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$se incrusta canónicamente en el grupo unitario especial${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$. El espacio orbital :

${\displaystyle W:=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SO} (3)}$

es la variedad de Wu. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• ${\displaystyle W}$es una esfera de homología racional simplemente conexa (con grupos de homología no triviales)${\displaystyle H_{0}(W)\cong \mathbb {Z} }$,${\displaystyle H_{2}(W)\cong \mathbb {Z} _{2}}$^{[ 3 ]} y${\displaystyle H_{5}(W)\cong \mathbb {Z} }$), que no es una esfera . Dado que en cuatro o menos dimensiones, toda esfera de homología racional simplemente conexa es de hecho una esfera,${\displaystyle W}$proporciona un contraejemplo de la dimensión más baja posible. ^{[ 4 ] [ 5 ]}
• ${\displaystyle W}$tiene los grupos de cohomología : ^{[ 1 ]}

  ${\displaystyle H^{0}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$

  ${\displaystyle H^{1}(W;\mathbb {Z} _{2})=1}$

  ${\displaystyle H^{2}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$

  ${\displaystyle H^{3}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$

  ${\displaystyle H^{4}(W;\mathbb {Z} _{2})=1}$

  ${\displaystyle H^{5}(W;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}}$

• ${\displaystyle W}$es un generador del grupo de cobordismo orientado${\displaystyle \Omega _{5}^{\operatorname {SO} }\cong \mathbb {Z} _{2}}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esto se puede detectar utilizando el invariante de De Rham , un número de Stiefel-Whitney particular , que describe un isomorfismo${\displaystyle w_{2}w_{3}\colon \Omega _{5}^{\mathrm {SO} }\rightarrow \mathbb {Z} _{2}}$Dado que la primera clase de Stiefel-Whitney se anula debido a la orientabilidad, todos los demás números de Stiefel-Whitney se anulan automáticamente. En consecuencia, cualquier 5-variedad orientable con invariante de De Rham no nulo es orientable bordeante a la${\displaystyle W}$, que incluye, por ejemplo, el colector Dold${\displaystyle P(2,1)=(S^{1}\times \mathbb {C} P^{2})/\mathbb {Z} _{2}}$Ambos ceden el uno al otro durante la cirugía para la implantación .${\displaystyle S^{2}\times D^{3}\hookrightarrow W}$y${\displaystyle S^{1}\times D^{4}\hookrightarrow P(2,1)}$con límite común${\displaystyle S^{2}\times S^{3}}$. Un bordismo orientado viene dado entonces por el producto cartesiano de una variedad con el intervalo unitario y luego la cirugía correspondiente en un extremo.
• ${\displaystyle W}$tiene una segunda y tercera clase de Stiefel-Whitney no nulas, así como una tercera clase integral de Stiefel-Whitney no nula: ^{[ 6 ]}

  ${\displaystyle w_{2}(W)\neq 0;}$

  ${\displaystyle w_{3}(W)\neq 0;}$

  ${\displaystyle W_{3}(W)\neq 0.}$

• ${\displaystyle W}$puede sumergirse en${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$, pero no en${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$Esto se debe a que todas las 5-variedades simplemente conexas pueden sumergirse en${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$con la tercera clase integral de Stiefel-Whitney desapareciendo si y solo si se puede reducir a${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$y la segunda clase Stiefel-Whitney desaparece si y solo si se puede reducir aún más a${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$. Ninguno de los dos casos se debe a la propiedad anterior. ^{[ 7 ]}
• ${\displaystyle W}$es una variedad de espín ^h que no permite una estructura de espín ^c . Esta última propiedad proviene del hecho de que una estructura de espín ^c implica una tercera clase de Stiefel-Whitney nula, lo cual no es el caso aquí.

• Barden, Dennis (1965). "Simplemente conexas cinco-variedades" (PDF) . Annals of Mathematics . 82 (3): 365– 385. doi : 10.2307/1970702 .

• Variedad de Wu en nLab