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Modelo cuántico de Heisenberg

El modelo cuántico de Heisenberg , desarrollado por Werner Heisenberg , es un modelo de mecánica estadística utilizado en el estudio de puntos críticos y transiciones de fase de...

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El modelo cuántico de Heisenberg , desarrollado por Werner Heisenberg , es un modelo de mecánica estadística utilizado en el estudio de puntos críticos y transiciones de fase de sistemas magnéticos, en el que los espines de los sistemas magnéticos se tratan cuánticamente . Está relacionado con el modelo prototípico de Ising , donde en cada sitio de una red, un espínσi∈{±1}{\displaystyle \sigma _{i}\in \{\pm 1\}}representa un dipolo magnético microscópico cuyo momento magnético es hacia arriba o hacia abajo. Además del acoplamiento entre momentos dipolares magnéticos, también existe una versión multipolar del modelo de Heisenberg llamada interacción de intercambio multipolar .

Descripción general

Por razones de mecánica cuántica (véase interacción de intercambio o Magnetismo §  Origen cuántico-mecánico del magnetismo ), el acoplamiento dominante entre dos dipolos puede provocar que los vecinos más cercanos tengan la energía más baja cuando están alineados . Bajo esta suposición (de modo que las interacciones magnéticas solo ocurren entre dipolos adyacentes) y en una red periódica unidimensional, el hamiltoniano se puede escribir de la forma

H^=−J∑j=1norteσjσj+1−h∑j=1norteσj{\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}},

dóndeJ{\displaystyle J}es la constante de acoplamiento y los dipolos están representados por vectores clásicos (o "espines") σ j , sujetos a la condición de contorno periódicaσnorte+1=σ1{\displaystyle \sigma _{N+1}=\sigma _{1}}El modelo de Heisenberg es un modelo más realista, ya que trata los espines cuánticamente, reemplazando el espín por un operador cuántico que actúa sobre el producto tensorial.(do2)⊗norte{\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}}, de dimensión2norte{\displaystyle 2^{N}}Para definirlo, recordemos las matrices de espín 1/2 de Pauli .

σincógnita=(0110){\displaystyle \sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}},
σy=(0−ii0){\displaystyle \sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}},
σz=(100−1){\displaystyle \sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}},

y para1≤j≤norte{\displaystyle 1\leq j\leq N}ya∈{incógnita,y,z}{\displaystyle a\in \{x,y,z\}}denotarσja=I⊗j−1⊗σa⊗I⊗norte−j{\displaystyle \sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes Nj}}, dóndeI{\displaystyle I}es el2×2{\displaystyle 2\times 2}matriz identidad. Dada una selección de constantes de acoplamiento de valor realJincógnita,Jy,{\displaystyle J_{x},J_{y},}yJz{\displaystyle J_{z}}, el hamiltoniano viene dado por

H^=−12∑j=1norte(Jincógnitaσjincógnitaσj+1incógnita+Jyσjyσj+1y+Jzσjzσj+1z+hσjz){\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}(J_{x}\sigma _{j}^{x}\sigma _{j+1}^{x}+J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+J_{z}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}+h\sigma _{j}^{z})}

donde elh{\displaystyle h}En el lado derecho se indica el campo magnético externo , con condiciones de contorno periódicas . El objetivo es determinar el espectro del hamiltoniano, a partir del cual se puede calcular la función de partición y estudiar la termodinámica del sistema.

Es común nombrar el modelo dependiendo de los valores deJincógnita{\displaystyle J_{x}},Jy{\displaystyle J_{y}}yJz{\displaystyle J_{z}}: siJincógnita≠Jy≠Jz{\displaystyle J_{x}\neq J_{y}\neq J_{z}}, el modelo se llama modelo XYZ de Heisenberg; en el caso deJ=Jincógnita=Jy≠Jz=Δ{\displaystyle J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta }, es el modelo XXZ de Heisenberg; siJincógnita=Jy=Jz=J{\displaystyle J_{x}=J_{y}=J_{z}=J}Se trata del modelo Heisenberg XXX. El modelo de Heisenberg de espín 1/2 en una dimensión puede resolverse exactamente utilizando el ansatz de Bethe . [ 1 ] En la formulación algebraica, estos se relacionan con álgebras afines cuánticas particulares y grupos cuánticos elípticos en los casos XXZ y XYZ respectivamente. [ 2 ] Otros enfoques lo hacen sin el ansatz de Bethe. [ 3 ]

Modelo XXX

La física del modelo Heisenberg XXX depende fuertemente del signo de la constante de acoplamiento. J{\displaystyle J}y la dimensión del espacio. Para positivoJ{\displaystyle J}El estado fundamental siempre es ferromagnético . A campo negativoJ{\displaystyle J}El estado fundamental es antiferromagnético en dos y tres dimensiones. [ 4 ] En una dimensión, la naturaleza de las correlaciones en el modelo de Heisenberg antiferromagnético depende del espín de los dipolos magnéticos. Si el espín es entero, entonces solo está presente el orden de corto alcance . Un sistema de espines semienteros exhibe un orden de cuasi largo alcance .

Una versión simplificada del modelo de Heisenberg es el modelo de Ising unidimensional, donde el campo magnético transversal está en la dirección x y la interacción es solo en la dirección z :

H^=−J∑j=1norteσjzσj+1z−gramoJ∑j=1norteσjincógnita{\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}-gJ\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{x}}.

Para valores pequeños y grandes de g , la degeneración del estado fundamental es diferente, lo que implica que debe existir una transición de fase cuántica entre ambos. Se puede resolver exactamente para el punto crítico utilizando el análisis de dualidad. [ 5 ] La transición de dualidad de las matrices de Pauli esσiz=∏j≤iSjincógnita{\textstyle \sigma _{i}^{z}=\prod _{j\leq i}S_{j}^{x}}yσiincógnita=SizSi+1z{\displaystyle \sigma _{i}^{x}=S_{i}^{z}S_{i+1}^{z}}, dóndeSincógnita{\displaystyle S^{x}}ySz{\displaystyle S^{z}}También son matrices de Pauli que obedecen al álgebra matricial de Pauli. Bajo condiciones de contorno periódicas, se puede demostrar que el hamiltoniano transformado tiene una forma muy similar:

H^=−gramoJ∑j=1norteSjzSj+1z−J∑j=1norteSjincógnita{\displaystyle {\hat {H}}=-gJ\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}-J\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{x}}

pero para elgramo{\displaystyle g}adjunto al término de interacción de espín. Suponiendo que solo hay un punto crítico, podemos concluir que la transición de fase ocurre engramo=1{\displaystyle g=1}.

Solución de Bethe ansatz

El método de Bethe se considera el método pionero que sentó las bases del campo de los sistemas cuánticos integrables. Las técnicas matemáticas desarrolladas por Hans Bethe en este contexto se aplicaron posteriormente de forma generalizada para resolver muchos otros modelos cuánticos de muchos cuerpos de baja dimensión. Para los investigadores en física de la materia condensada, su artículo marcó un hito, representando la transición de las «teorías aproximadas» (como la teoría de campo medio) a las «soluciones exactas».

Este avance llevó finalmente al premio Nobel Chen-Ning Yang y a su hermano Chen-Ping Yang a realizar un importante y riguroso trabajo sobre el modelo de Heisenberg unidimensional y su extensión, el modelo XXZ. Sus resultados se publicaron en Physical Review , la revista de la Sociedad Estadounidense de Física . Esta serie de artículos de gran influencia, publicados en 1966, se conoce colectivamente como la obra clásica de los hermanos Yang sobre cadenas de espín cuánticas.

  • Primer artículo: Prueba de la validez de la hipótesis de Bethe. [ 6 ] Este trabajo demostró rigurosamente que, para cadenas de Heisenberg anisotrópicas de longitud finita (el modelo XXZ), las funciones de onda obtenidas a partir del ansatz de Bethe son, en efecto, autoestados del hamiltoniano. Proporcionó una completación matemática y una formalización esenciales del trabajo original de Bethe.
  • Segundo artículo: Propiedades energéticas del estado fundamental. [ 7 ] En el límite termodinámico de una cadena infinita, calcularon la energía del estado fundamental y analizaron sus propiedades analíticas.
  • Tercer artículo: Aplicaciones y estados excitados. [ 8 ] Este estudio exploró las aplicaciones físicas del modelo, incluidas las curvas de magnetización y la susceptibilidad magnética.

Modelo XXX 1/2

Siguiendo el enfoque de Ludwig Faddeev ( 1996 ) , el espectro del hamiltoniano para el modelo XXX  H=14∑α,norte(σnorteασnorte+1α−1){\displaystyle H={\frac {1}{4}}\sum _{\alpha ,n}(\sigma _{n}^{\alpha }\sigma _{n+1}^{\alpha }-1)} puede determinarse mediante el ansatz de Bethe. En este contexto, para una familia de operadores definida adecuadamenteB(λ){\displaystyle B(\lambda )}dependiente de un parámetro espectralλ∈do{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }actuando sobre el espacio de Hilbert totalH=⨂norte=1nortehnorte{\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigotimes _{n=1}^{N}h_{n}}con cadahnorte≅do2{\displaystyle h_{n}\cong \mathbb {C} ^{2}}, un vector de Bethe es un vector de la forma Φ(λ1,⋯,λmetro)=B(λ1)⋯B(λmetro)v0{\displaystyle \Phi (\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{m})=B(\lambda _{1})\cdots B(\lambda _{m})v_{0}} dóndev0=⨂norte=1norte|↑⟩{\displaystyle v_{0}=\bigotimes _{n=1}^{N}|\uparrow \,\rangle }. Si elλk{\displaystyle \lambda _{k}}satisfacer la ecuación de Bethe(λk+i/2λk−i/2)norte=∏j≠kλk−λj+iλk−λj−i,{\displaystyle \left({\frac {\lambda _{k}+i/2}{\lambda _{k}-i/2}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}},} entonces el vector de Bethe es un vector propio deH{\displaystyle H}con valor propio−∑k121λk2+1/4{\displaystyle -\sum _{k}{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\lambda _{k}^{2}+1/4}}}.

La familiaB(λ){\displaystyle B(\lambda )}así como otras tres familias provienen de una matriz de transferenciaT(λ){\displaystyle T(\lambda )}(a su vez definida mediante una matriz de Lax ), que actúa sobreH{\displaystyle {\mathcal {H}}}junto con un espacio auxiliarha≅do2{\displaystyle h_{a}\cong \mathbb {C} ^{2}}y se puede escribir como un2×2{\displaystyle 2\times 2}matriz de bloques con entradas enminorted(H){\displaystyle \mathrm {End} ({\mathcal {H}})}, T(λ)=(A(λ)B(λ)do(λ)D(λ)),{\displaystyle T(\lambda )={\begin{pmatrix}A(\lambda )&B(\lambda )\\C(\lambda )&D(\lambda )\end{pmatrix}},} que satisface relaciones de conmutación fundamentales (RCF) similares en forma a la ecuación de Yang-Baxter utilizada para derivar las ecuaciones de Bethe. Las RCF también muestran que hay una gran subálgebra conmutativa dada por la función generadora.F(λ)=tra(T(λ))=A(λ)+D(λ){\displaystyle F(\lambda )=\mathrm {tr} _{a}(T(\lambda ))=A(\lambda )+D(\lambda )}, como[F(λ),F(μ)]=0{\displaystyle [F(\lambda ),F(\mu )]=0}, entonces cuandoF(λ){\displaystyle F(\lambda )}se escribe como un polinomio enλ{\displaystyle \lambda }, todos los coeficientes conmutan, abarcando una subálgebra conmutativa queH{\displaystyle H}es un elemento de. Los vectores de Bethe son, de hecho, autovectores simultáneos para toda la subálgebra.

Modelo XXX​

Para giros más altos, diga giros{\displaystyle s}, reemplazarσα{\displaystyle \sigma ^{\alpha }}conSα{\displaystyle S^{\alpha }}proveniente de la representación del álgebra de Lie del álgebra de Liesl(2,do){\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}, de dimensión2s+1{\displaystyle 2s+1}El hamiltoniano XXXH=∑α,norte(SnorteαSnorte+1α−(SnorteαSnorte+1α)2){\displaystyle H=\sum _{\alpha ,n}(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha }-(S_{n}^{\alpha }S_{n+1}^{\alpha })^{2})} es resoluble mediante el método de Bethe con ecuaciones de Bethe (λk+isλk−is)norte=∏j≠kλk−λj+iλk−λj−i.{\displaystyle \left({\frac {\lambda _{k}+is}{\lambda _{k}-is}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\lambda _{k}-\lambda _{j}+i}{\lambda _{k}-\lambda _{j}-i}}.}

Modelo XXZ​

Para girars{\displaystyle s}y un parámetroγ{\displaystyle \gamma }Para la deformación del modelo XXX, la ecuación BAE (ecuación de Bethe ansatz) es (sinh⁡(λk+isγ)sinh⁡(λk−isγ))norte=∏j≠ksinh⁡(λk−λj+iγ)sinh⁡(λk−λj−iγ).{\displaystyle \left({\frac {\sinh(\lambda _{k}+is\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-is\gamma )}}\right)^{N}=\prod _{j\neq k}{\frac {\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}+i\gamma )}{\sinh(\lambda _{k}-\lambda _{j}-i\gamma )}}.} Cabe destacar que paras=12{\displaystyle s={\frac {1}{2}}}Estos son precisamente los BAE para el modelo de seis vértices , después de identificarγ=2η{\displaystyle \gamma =2\eta }, dóndeη{\displaystyle \eta }es el parámetro de anisotropía del modelo de seis vértices. [ 9 ] [ 10 ] Originalmente se pensó que esto era una coincidencia hasta que Baxter demostró que el hamiltoniano XXZ estaba contenido en el álgebra generada por la matriz de transferencia.T(ν){\displaystyle T(\nu )}, [ 11 ] dado exactamente por HincógnitaincógnitaZ1/2=−ipecado⁡2ηddνregistro⁡T(ν)|ν=−iη−12porque⁡2η1⊗norte.{\displaystyle H_{XXZ_{1/2}}=-i\sin 2\eta {\frac {d}{d\nu }}\log T(\nu ){\Big |}_{\nu =-i\eta }-{\frac {1}{2}}\cos 2\eta 1^{\otimes N}.}

Teorema de Lieb-Schultz-Mattis

El teorema de Lieb-Schultz-Mattis (LSM) [ 12 ] demuestra que en un modelo de Heisenberg antiferromagnético unidimensional con espines semienteros, bajo simetría traslacional y simetría rotacional de espín, debe existir un estado excitado. Este estado excitado tiene la misma magnetización que el estado fundamental pero difiere en el momento cristalino porπ{\displaystyle \pi }y en el límite termodinámico se vuelve degenerado con la energía del estado fundamental. En otras palabras, el espectro de energía de un modelo de Heisenberg unidimensional con espines semienteros no tiene brecha. El teorema LSM fue generalizado posteriormente por el físico japonés Masaki Oshikawa , extendiendo su aplicabilidad desde las cadenas de espines semienteros unidimensionales originales a sistemas de dimensiones superiores [ 13 ] .

Conjetura de Haldane

Según el teorema LSM , el estado fundamental del modelo de Heisenberg antiferromagnético unidimensional con espines semienteros (S=1/2,3/2,5/2{\displaystyle S=1/2,3/2,5/2},...) no tiene brecha de espín. Sin embargo, el modelo de Heisenberg antiferromagnético unidimensional con espines enteros (S=1,2,3{\displaystyle S=1,2,3},...) no se encuentra dentro del marco del teorema LSM y, por lo tanto, puede exhibir propiedades fundamentalmente diferentes. Duncan Haldane propuso que el estado fundamental de la cadena de Heisenberg antiferromagnética de espín entero posee una brecha de espín, una predicción posteriormente conocida como la conjetura de Haldane , y la brecha misma se denomina brecha de Haldane .

La conjetura de Haldane ha sido ampliamente verificada, tanto mediante cálculos numéricos como mediante mediciones experimentales de la brecha de espín en materiales con cadenas de espín entero. Esto inspiró aún más a los físicos a investigar el origen de la brecha y su relación con las propiedades topológicas, marcando un hito en la comprensión de las fases topológicas y las transiciones de fase topológicas en la materia. Por sus «descubrimientos teóricos de las transiciones de fase topológicas y las fases topológicas de la materia», Duncan Haldane compartió el Premio Nobel de Física de 2016 con J. Michael Kosterlitz y David Thouless .

Aplicaciones

Simetría extendida

La integrabilidad se sustenta en la existencia de grandes álgebras de simetría para los diferentes modelos. Para el caso XXX, esta es la Yangiana.Y(sl2){\displaystyle Y({\mathfrak {sl}}_{2})}, mientras que en el caso XXZ este es el grupo cuánticosl^q(2){\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{q}(2)}, la q-deformación del álgebra de Lie afín desl^2{\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{2}}, como se explica en las notas de Faddeev ( 1996 ) . 

Estos aparecen a través de la matriz de transferencia y la condición de que los vectores de Bethe se generen a partir de un estadoΩ{\displaystyle \Omega }satisfactoriodo(λ)⋅Ω=0{\displaystyle C(\lambda )\cdot \Omega =0}corresponde a que las soluciones formen parte de una representación de peso máximo de las álgebras de simetría extendidas.

Véase también

Referencias

  • RJ Baxter, Modelos resueltos exactamente en mecánica estadística , Londres, Academic Press, 1982
  • Heisenberg, W. (1 de septiembre de 1928). "Zur Theorie des Ferromagnetismus" [ Sobre la teoría del ferromagnetismo ] . Zeitschrift für Physik (en alemán). 49 (9): 619– 636. Bibcode : 1928ZPhy...49..619H . doi : 10.1007/BF01328601 . S2CID 122524239 . 
  • Bethe, H. (1 de marzo de 1931). "Zur Theorie der Metalle" [ Sobre la teoría de los metales ] . Zeitschrift für Physik (en alemán). 71 (3): 205– 226. Bibcode : 1931ZPhy...71..205B . doi : 10.1007/BF01341708 . S2CID 124225487 . 

Notas

  1. ^ Bonechi, F; Celeghini, E; Giachetti, R; Sorace, E; Tarlini, M (7 de agosto de 1992). "Modelo Heisenberg XXZ y grupo cuántico Galilei". Revista de Física A: Matemática y General . 25 (15): L939 –L943. arXiv : hep-th/9204054 . Código Bib : 1992JPhA...25L.939B . doi : 10.1088/0305-4470/25/15/007 . S2CID 119046025 . 
  2. ↑ Faddeev, LD (26 de mayo de 1996). "Cómo funciona el Ansatz de Bethe algebraico para modelos integrables". arXiv : hep-th/9605187v1 .
  3. ↑ Rojas, Onofre; Souza, SM de; Corrêa Silva, EV; Thomaz, MT (diciembre de 2001). "Termodinámica de los casos límite del modelo XXZ sin el ansatz de Bethe" . Revista Brasileña de Física . 31 (4): 577– 582. Bibcode : 2001BrJPh..31..577R . doi : 10.1590/s0103-97332001000400008 .
  4. ↑ Tom Kennedy; Bruno Nachtergaele. "El modelo de Heisenberg: una bibliografía" . Consultado el 6 de junio de 2019 .
  5. ↑ Fisher, Matthew PA (2004). "Dualidad en teorías cuánticas de campos de baja dimensión". Interacciones fuertes en bajas dimensiones . Física y química de materiales de baja dimensión. Vol. 25. págs. 419–438 . doi : 10.1007/978-1-4020-3463-3_13 . ISBN   978-1-4020-1798-8.
  6. ↑ CN Yang y CP Yang (1966). "Cadena unidimensional de interacciones espín-espín anisotrópicas. I. Demostración de la hipótesis de Bethe para el estado fundamental en un sistema finito". Physical Review . 150 (1): 321– 327. doi : 10.1103/PhysRev.150.321 .
  7. ↑ CN Yang y CP Yang (1966). "Cadena unidimensional de interacciones espín-espín anisotrópicas. II. Propiedades de la energía del estado fundamental por sitio de la red para un sistema infinito". Physical Review . 150 (1): 327– 339. doi : 10.1103/PhysRev.150.327 .
  8. ↑ CN Yang y CP Yang (1966). "Cadena unidimensional de interacciones espín-espín anisotrópicas. III. Aplicaciones". Physical Review . 151 (1): 258– 264. doi : 10.1103/PhysRev.151.258 .
  9. ↑ Lieb, Elliott H. (24 de abril de 1967). "Solución exacta del problema de la entropía del hielo bidimensional". Physical Review Letters . 18 (17): 692– 694. Bibcode : 1967PhRvL..18..692L . doi : 10.1103/PhysRevLett.18.692 .
  10. ↑ Dorey, Patrick; Dunning, Clare; Tateo, Roberto (10 de agosto de 2007). "La correspondencia ODE/IM" . Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 40 (32): R205– R283. arXiv : hep-th/0703066 . doi : 10.1088/1751-8113/40/32/R01 . ISSN 1751-8113 . S2CID 14281617 .  
  11. ↑ Baxter, Rodney J (1 de abril de 1972). "Cadena de Heisenberg anisotrópica unidimensional" . Annals of Physics . 70 (2): 323– 337. Bibcode : 1972AnPhy..70..323B . doi : 10.1016/0003-4916(72)90270-9 . ISSN 0003-4916 . 
  12. ↑ Lieb, Elliott; Schultz, Theodore; Mattis, Daniel (1961). "Dos modelos solubles de una cadena antiferromagnética" . Annals of Physics . 16 (3): 407– 466. doi : 10.1016/0003-4916(61)90115-4 . Archivado del original el 29 de agosto de 2020. Recuperado el 23 de noviembre de 2025 .{{cite journal}}: CS1 maint: bot: estado de la URL original desconocido ( enlace )
  13. ↑ Masaki Oshikawa (2000). "Conmensurabilidad, brecha de excitación y topología en sistemas cuánticos de muchas partículas en una red periódica". Physical Review Letters . 84 (7): 1535– 1538. arXiv : cond-mat/9911137 . doi : 10.1103/PhysRevLett.84.1535 .
  14. ↑ Korepin, VE (5 de marzo de 2004). "Universalidad de la escala de entropía en modelos unidimensionales sin brecha". Physical Review Letters . 92 (9) 096402. arXiv : cond-mat/0311056 . Bibcode : 2004PhRvL..92i6402K . doi : 10.1103 /PhysRevLett.92.096402 . PMID 15089496. S2CID 20620724 .  
  15. ↑ Beisert, Niklas (1 de diciembre de 2004). "El operador de dilatación de la teoría de super Yang-Mills N=4 y la integrabilidad". Physics Reports . 405 (1): 1– 202. arXiv : hep-th/0407277 . Bibcode : 2004PhR...405....1B . doi : 10.1016/j.physrep.2004.09.007 . S2CID 118949332 . 
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