Álgebra

El álgebra elemental estudia qué valores resuelven ecuaciones formadas mediante operaciones aritméticas.

El álgebra abstracta estudia estructuras algebraicas , como el anillo de enteros dado por el conjunto de enteros.

(\mathbb {Z} )

junto con operaciones de suma ( ⁠

+

⁠ ) y multiplicación ( ⁠

\times

⁠ ).

El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de sistemas abstractos, conocidos como estructuras algebraicas , y de la manipulación de expresiones dentro de esos sistemas. Es una generalización de la aritmética que introduce variables y operaciones algebraicas distintas de las operaciones aritméticas estándar, como la suma y la multiplicación .

El álgebra elemental es la principal forma de álgebra que se enseña en las escuelas. Examina enunciados matemáticos que utilizan variables para valores no especificados y busca determinar para qué valores son verdaderos. Para ello, utiliza diferentes métodos de transformación de ecuaciones para aislar variables. El álgebra lineal es un campo estrechamente relacionado que investiga ecuaciones lineales y combinaciones de ellas, denominadas sistemas de ecuaciones lineales . Proporciona métodos para encontrar los valores que resuelven todas las ecuaciones del sistema simultáneamente y para estudiar el conjunto de estas soluciones.

El álgebra abstracta estudia las estructuras algebraicas , que consisten en un conjunto de objetos matemáticos junto con una o varias operaciones definidas sobre dicho conjunto. Es una generalización del álgebra elemental y lineal, ya que permite objetos matemáticos distintos de los números y operaciones no aritméticas. Distingue entre diferentes tipos de estructuras algebraicas, como grupos , anillos y cuerpos , según el número de operaciones que utilizan y las leyes que siguen, denominadas axiomas . El álgebra universal y la teoría de categorías proporcionan marcos generales para investigar patrones abstractos que caracterizan diferentes clases de estructuras algebraicas.

Los métodos algebraicos se estudiaron por primera vez en la antigüedad para resolver problemas específicos en campos como la geometría . Esto cambió en el siglo IX con Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī , quien sistematizó el álgebra como una disciplina matemática independiente, distinta de la geometría. Los primeros matemáticos describieron ecuaciones y sus soluciones usando palabras y abreviaturas hasta los siglos XVI y XVII, cuando se desarrolló un formalismo simbólico riguroso. A mediados del siglo XIX, el alcance del álgebra se amplió más allá de la teoría de ecuaciones para abarcar diversos tipos de operaciones y estructuras algebraicas. El álgebra es relevante para muchas ramas de las matemáticas, como la geometría, la topología , la teoría de números y el cálculo , y otros campos de investigación, como la lógica y las ciencias empíricas .

Definición y etimología

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas y las operaciones que utilizan. ^{[ 1 ]} Una estructura algebraica es un conjunto no vacío de objetos matemáticos , como los números enteros , junto con operaciones algebraicas definidas en ese conjunto, como la suma y la multiplicación . ^{[ 2 ]}^{[ a ]} El álgebra explora las leyes, las características generales y los tipos de estructuras algebraicas. Dentro de ciertas estructuras algebraicas, examina el uso de variables en ecuaciones y cómo manipular estas ecuaciones. ^{[ 4 ]}^{[ b ]}

El álgebra se entiende a menudo como una generalización de la aritmética . ^{[ 8 ]} La aritmética estudia operaciones como la suma, la resta , la multiplicación y la división en un dominio particular de números, como los números reales. ^{[ 9 ]} El álgebra elemental constituye el primer nivel de abstracción. Al igual que la aritmética, se restringe a tipos específicos de números y operaciones. Generaliza estas operaciones al permitir cantidades indefinidas en forma de variables, además de números. ^{[ 10 ]} Un nivel superior de abstracción se encuentra en el álgebra abstracta , que no se limita a un dominio particular y examina estructuras algebraicas como grupos y anillos . Se extiende más allá de las operaciones aritméticas típicas al abarcar también otros tipos de operaciones. ^{[ 11 ]} El álgebra universal es aún más abstracta, ya que no se interesa por estructuras algebraicas específicas, sino que investiga las características de las estructuras algebraicas en general. ^{[ 12 ]}

Portada de El libro compendioso sobre cálculo por compleción y balance — La palabra *álgebra* proviene del título del libro de al-Juarismi, *Al-Jabr* . ^{[ 13 ]}

El término álgebra se usa a veces en un sentido más restringido para referirse únicamente al álgebra elemental o únicamente al álgebra abstracta. ^{[ 14 ]} Cuando se usa como sustantivo contable , un álgebra es un tipo específico de estructura algebraica que involucra un espacio vectorial equipado con un cierto tipo de operación binaria, una aplicación bilineal . ^{[ 15 ]} Dependiendo del contexto, "álgebra" también puede referirse a otras estructuras algebraicas, como un álgebra de Lie o un álgebra asociativa . ^{[ 16 ]}

La palabra álgebra proviene del término árabe الجبر ( al-jabr ), que originalmente se refería al tratamiento quirúrgico de la reducción de fracturas . En el siglo IX, el término adquirió un significado matemático cuando el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi lo empleó para nombrar un método para transformar ecuaciones y lo usó en el título de su tratado al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah [ El libro compendioso sobre el cálculo por compleción y equilibrio ] que fue traducido al latín como Liber Algebrae et Almucabola . ^{[ c ]} La palabra entró en el idioma inglés en el siglo XVI desde el italiano , el español y el latín medieval . ^{[ 18 ]} Inicialmente, su significado se restringió a la teoría de ecuaciones , es decir, al arte de manipular ecuaciones polinómicas con el fin de resolverlas. Esto cambió en el siglo XIX ^{[ d ]} cuando el alcance del álgebra se amplió para abarcar el estudio de diversos tipos de operaciones y estructuras algebraicas junto con sus axiomas subyacentes , las leyes que siguen. ^{[ 21 ]}

Ramas principales

Álgebra elemental

{\displaystyle c} — Notación de expresiones algebraicas: 1 – potencia (exponente) 2 – coeficiente 3 – término 4 – operador 5 – término constante $c$ - constante $x$ $y$ – variables

El álgebra elemental, también llamada álgebra escolar, álgebra universitaria y álgebra clásica, ^{[ 22 ]} es la forma más antigua y básica de álgebra. Es una generalización de la aritmética que se basa en variables y examina cómo se pueden transformar las expresiones matemáticas. ^{[ 23 ]}

La aritmética es el estudio de las operaciones numéricas e investiga cómo se combinan y transforman los números utilizando las operaciones aritméticas de suma , resta , multiplicación , división , potenciación , extracción de raíces y logaritmo . Por ejemplo, la operación de suma combina dos números, llamados sumandos, en un tercer número, llamado suma, como en $2+5=7$ . ^{[ 9 ]}

El álgebra elemental se basa en las mismas operaciones, pero permite el uso de variables además de los números regulares. Las variables son símbolos para cantidades no especificadas o desconocidas. Permiten enunciar relaciones cuyos valores exactos se desconocen y expresar leyes generales que son verdaderas, independientemente de los números que se utilicen. Por ejemplo, la ecuación $2\times 3=3\times 2$ pertenece a la aritmética y expresa una igualdad solo para estos números específicos. Al reemplazar los números con variables, es posible expresar una ley general que se aplica a cualquier combinación posible de números, como la propiedad conmutativa de la multiplicación , que se expresa en la ecuación $a\times b=b\times a$ . ^{[ 23 ]}

Las expresiones algebraicas se forman utilizando operaciones aritméticas para combinar variables y números. Por convención, las letras minúsculas $x$ , $y$ y $z$ representan variables. En algunos casos, se añaden subíndices para distinguir las variables, como en ⁠ $x_{1}$ , $x_{2}$ y $x_{3}$ ⁠ . Las letras minúsculas ⁠ $a$ , $b$ y $c$ se utilizan normalmente para constantes y coeficientes . ^{[ e ]} La expresión $5x+3$ es una expresión algebraica creada al multiplicar el número 5 por la variable $x$ y sumando el número 3 al resultado. Otros ejemplos de expresiones algebraicas son $32xyz$ y $64x_{1}{}^{2}+7x_{2}-c$ . ^{[ 25 ]}

Algunas expresiones algebraicas toman la forma de enunciados que relacionan dos expresiones entre sí. Una ecuación es un enunciado formado al comparar dos expresiones, diciendo que son iguales. Esto se puede expresar usando el signo de igual ( ⁠ $=$ ⁠ ), como en ⁠ $5x^{2}+6x=3y+4$ ⁠ . Las inecuaciones implican un tipo diferente de comparación, que dice que los dos lados son diferentes. Esto se puede expresar usando símbolos como el signo de menor que ( ⁠ $<$ ⁠ ), el signo de mayor que ( ⁠ $>$ ⁠ ), y el signo de desigualdad ( ⁠ $\neq$ A diferencia de otras expresiones, las afirmaciones pueden ser verdaderas o falsas, y su valor de verdad generalmente depende de los valores de las variables. Por ejemplo, la afirmación $x^{2}=4$ es cierto si $x$ es 2 o −2 y falso en caso contrario. ^{[ 26 ]} Las ecuaciones con variables se pueden dividir en ecuaciones de identidad y ecuaciones condicionales. Las ecuaciones de identidad son verdaderas para todos los valores que se pueden asignar a las variables, como la ecuación ⁠ $2x+5x=7x$ ⁠ . Las ecuaciones condicionales solo son verdaderas para algunos valores. Por ejemplo, la ecuación $x+4=9$ es solo cierto si $x$ es 5. ^{[ 27 ]}

El objetivo principal del álgebra elemental es determinar los valores para los cuales una afirmación es verdadera. Esto se puede lograr transformando y manipulando afirmaciones según ciertas reglas. Un principio clave que guía este proceso es que cualquier operación que se aplique a un lado de una ecuación también debe aplicarse al otro lado. Por ejemplo, si se resta 5 del lado izquierdo de una ecuación, también se debe restar 5 del lado derecho para equilibrar ambos lados. El objetivo de estos pasos suele ser aislar la variable de interés en un lado, un proceso conocido como resolver la ecuación para esa variable. Por ejemplo, la ecuación $x-7=4$ se puede resolver $x$ sumando 7 a ambos lados, lo que aísla $x$ en el lado izquierdo y da como resultado la ecuación ⁠ $x=11$ ⁠ .^{[ 28 ]}

Existen muchas otras técnicas para resolver ecuaciones. La simplificación se emplea para reemplazar una expresión complicada por una equivalente más simple. Por ejemplo, la expresión $7x-3x$ puede ser reemplazado por la expresión $4x$ desde $7x-3x=(7-3)x=4x$ por la propiedad distributiva. ^{[ 29 ]} Para enunciados con varias variables, la sustitución es una técnica común para reemplazar una variable con una expresión equivalente que no utilice esta variable. Por ejemplo, si se sabe que $y=3x$ entonces se puede simplificar la expresión $7xy$ llegar a $21x^{2}$ De manera similar, si se conoce el valor de una variable , se puede utilizar para determinar el valor de otras variables.^{[ 30 ]}

{\displaystyle x} — Las ecuaciones algebraicas se pueden utilizar para describir figuras geométricas. Todos los valores para $x$ y $y$ Los valores que resuelven la ecuación se interpretan como puntos. En el gráfico superior, se representan como una línea roja con pendiente ascendente.

Las ecuaciones algebraicas pueden interpretarse geométricamente para describir figuras espaciales en forma de gráfica . Para ello, las diferentes variables de la ecuación se entienden como coordenadas y los valores que resuelven la ecuación se interpretan como puntos de una gráfica. Por ejemplo, si $x$ se establece en cero en la ecuación $y=0.5x-1$ , entonces $y$ debe ser −1 para que la ecuación sea verdadera. Esto significa que el $(x,y)$ -par $(0,-1)$ es parte de la gráfica de la ecuación. $(x,y)$ -par $(0,7)$ ⁠ , por el contrario, no resuelve la ecuación y, por lo tanto, no forma parte del gráfico. El gráfico abarca la totalidad de $(x,y)$ -pares que resuelven la ecuación. ^{[ 31 ]}

Polinomios

Un polinomio es una expresión que consta de uno o más términos que se suman o se restan entre sí, como por ejemplo : $x^{4}+3xy^{2}+5x^{3}-1$ Cada término es una constante, una variable o el producto de una constante y variables. Cada variable puede elevarse a una potencia entera positiva. Un monomio es un polinomio con un término, mientras que los polinomios de dos y tres términos se denominan binomios y trinomios. El grado de un polinomio es el valor máximo (entre sus términos) de la suma de los exponentes de las variables (4 en el ejemplo anterior).^{[ 32 ]} Los polinomios de grado uno se denominan polinomios lineales . El álgebra lineal estudia sistemas de polinomios lineales.^{[ 33 ]} Se dice que un polinomio es univariado o multivariado , dependiendo de si utiliza una o más variables.^{[ 34 ]}

La factorización es un método utilizado para simplificar polinomios, facilitando su análisis y la determinación de los valores para los cuales se evalúan a cero . La factorización consiste en reescribir un polinomio como un producto de varios factores. Por ejemplo, el polinomio $x^{2}-3x-10$ se puede factorizar como ⁠ $(x+2)(x-5)$ ⁠ . El polinomio en su conjunto es cero si y solo si uno de sus factores es cero, es decir, si $x$ es −2 o 5. ^{[ 35 ]} Antes del siglo XIX, gran parte del álgebra se dedicaba a ecuaciones polinómicas , es decir, ecuaciones obtenidas al igualar un polinomio a cero. Los primeros intentos de resolver ecuaciones polinómicas consistieron en expresar las soluciones en términos de raíces $n$ -ésimas . La solución de una ecuación polinómica de segundo grado de la forma $ax^{2}+bx+c=0$ viene dada por la fórmula cuadrática ^{[ 36 ]} $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$

Las soluciones para los grados 3 y 4 se obtienen mediante las fórmulas cúbica y cuártica . No existen soluciones generales para grados superiores, como demostró el teorema de Abel-Ruffini en el siglo XIX . ^{[ 37 ]} Incluso cuando no existen soluciones generales, se pueden encontrar soluciones aproximadas mediante herramientas numéricas como el método de Newton-Raphson . ^{[ 38 ]}

El teorema fundamental del álgebra afirma que toda ecuación polinómica univariada de grado positivo con coeficientes reales o complejos tiene al menos una solución compleja. En consecuencia, todo polinomio de grado positivo puede factorizarse en polinomios lineales. Este teorema se demostró a principios del siglo XIX, pero esto no resuelve el problema, ya que el teorema no proporciona ningún método para calcular las soluciones. ^{[ 39 ]}

Álgebra lineal

El álgebra lineal comienza con el estudio de sistemas de ecuaciones lineales . ^{[ 40 ]} Una ecuación es lineal si puede expresarse en la forma $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b$ , donde $a_{1}$ , $a_{2}$ , ..., $a_{n}$ y $b$ son constantes. Ejemplos son $x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0$ y $\textstyle {\frac {1}{4}}x-y=4$ Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales para las cuales se buscan soluciones comunes^.^[ 41 ^]

Las matrices son arreglos rectangulares de valores que se introdujeron originalmente para tener una notación compacta y sintética para sistemas de ecuaciones lineales. ^{[ 42 ]} Por ejemplo, el sistema de ecuaciones ${\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2.3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}$ se puede escribir como $AX=B,$ donde $A$ ⁠ , $X$ y $B$ son las matrices $A={\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}},\quad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}.$

Bajo ciertas condiciones sobre el número de filas y columnas, las matrices se pueden sumar , multiplicar y, a veces, invertir . Todos los métodos para resolver sistemas lineales se pueden expresar como manipulaciones de matrices utilizando estas operaciones. Por ejemplo, resolver el sistema anterior consiste en calcular una matriz invertida. $A^{-1}$ de tal manera que $A^{-1}A=I,$ dónde $I$ es la matriz identidad . Luego, multiplicando por la izquierda ambos miembros de la ecuación matricial anterior por $A^{-1},$ se obtiene la solución del sistema de ecuaciones lineales como ^{[ 43 ]} $X=A^{-1}B.$

Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales van desde los introductorios, como la sustitución ^{[ 44 ]} y la eliminación, ^{[ 45 ]} hasta técnicas más avanzadas que utilizan matrices, como la regla de Cramer , la eliminación gaussiana y la descomposición LU . ^{[ 46 ]} Algunos sistemas de ecuaciones son inconsistentes , lo que significa que no existen soluciones porque las ecuaciones se contradicen entre sí. ^{[ 47 ]}^{[ f ]} Los sistemas consistentes tienen una única solución o un número infinito de soluciones. ^{[ 48 ]}^{[ g ]}

El estudio de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales constituye una parte importante del álgebra lineal. Un espacio vectorial es una estructura algebraica formada por un conjunto con una suma que lo convierte en un grupo abeliano y una multiplicación escalar compatible con la suma (véase espacio vectorial para más detalles). Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales compatible con la suma y la multiplicación escalar. En el caso de espacios vectoriales de dimensión finita , los vectores y las transformaciones lineales pueden representarse mediante matrices. Por consiguiente, las teorías de matrices y espacios vectoriales de dimensión finita son esencialmente las mismas. En particular, los espacios vectoriales proporcionan una tercera forma de expresar y manipular sistemas de ecuaciones lineales. ^{[ 49 ]} Desde esta perspectiva, una matriz es una representación de una transformación lineal: si se elige una base particular para describir los vectores que se transforman, entonces las entradas de la matriz dan los resultados de aplicar la transformación lineal a los vectores de la base. ^{[ 50 ]}

Los sistemas de ecuaciones pueden interpretarse como figuras geométricas. Para sistemas con dos variables, cada ecuación representa una línea en el espacio bidimensional . El punto donde se intersecan las dos líneas es la solución del sistema completo, ya que es el único punto que resuelve tanto la primera como la segunda ecuación. Para sistemas inconsistentes, las dos líneas son paralelas, lo que significa que no hay solución, puesto que nunca se intersecan. Si dos ecuaciones no son independientes, describen la misma línea, lo que significa que cada solución de una ecuación también es solución de la otra. Estas relaciones permiten buscar soluciones gráficamente mediante la representación de las ecuaciones y la determinación de sus puntos de interseque. ^{[ 51 ]} Los mismos principios se aplican a sistemas de ecuaciones con más variables, con la diferencia de que las ecuaciones no describen líneas, sino figuras de dimensiones superiores. Por ejemplo, las ecuaciones con tres variables corresponden a planos en el espacio tridimensional , y los puntos donde se intersecan todos los planos resuelven el sistema de ecuaciones. ^{[ 52 ]}

Álgebra abstracta

El álgebra abstracta, también llamada álgebra moderna, ^{[ 53 ]} es el estudio de las estructuras algebraicas . Una estructura algebraica es un marco para comprender las operaciones sobre objetos matemáticos , como la suma de números. Mientras que el álgebra elemental y el álgebra lineal trabajan dentro de los límites de estructuras algebraicas particulares, el álgebra abstracta adopta un enfoque más general que compara cómo difieren las estructuras algebraicas entre sí y qué tipos de estructuras algebraicas existen, como grupos , anillos y cuerpos . ^{[ 54 ]} La diferencia clave entre estos tipos de estructuras algebraicas radica en la cantidad de operaciones que utilizan y las leyes que obedecen. ^{[ 55 ]} En la educación matemática , el álgebra abstracta se refiere a un curso avanzado de pregrado que los estudiantes de matemáticas toman después de completar cursos de álgebra lineal. ^{[ 56 ]}

A nivel formal, una estructura algebraica es un conjunto ^{[ h ]} de objetos matemáticos, llamado conjunto subyacente, junto con una o varias operaciones. ^{[ i ]} El álgebra abstracta se interesa principalmente en operaciones binarias , ^{[ j ]} que toman dos objetos cualesquiera del conjunto subyacente como entradas y los asignan a otro objeto de este conjunto como salida. ^{[ 60 ]} Por ejemplo, la estructura algebraica $\langle \mathbb {N} ,+\rangle$ tiene los números naturales ( ⁠ $\mathbb {N}$ ⁠ ) como el conjunto subyacente y la suma ( ⁠ $+$ ⁠ ) como su operación binaria.^{[ 58 ]} El conjunto subyacente puede contener objetos matemáticos distintos de los números, y las operaciones no se limitan a operaciones aritméticas regulares.^{[ 61 ]} Por ejemplo, el conjunto subyacente del grupo de simetría de un objeto geométrico está formado por transformaciones geométricas , como rotaciones , bajo las cuales el objeto permanece inalterado . Su operación binaria es la composición de funciones , que toma dos transformaciones como entrada y tiene como salida la transformación resultante de aplicar la primera transformación seguida de la segunda.^{[ 62 ]}

teoría de grupos

El álgebra abstracta clasifica las estructuras algebraicas en función de las leyes o axiomas que obedecen sus operaciones y del número de operaciones que utiliza. Uno de los tipos más básicos es un grupo, que tiene una operación y requiere que esta operación sea asociativa y tenga un elemento neutro y elementos inversos . Una operación es asociativa si el orden de varias aplicaciones no importa, es decir, si $(a\circ b)\circ c$ ^{[ k ]} es lo mismo que $a\circ (b\circ c)$ para todos los elementos. Una operación tiene un elemento identidad o un elemento neutro si existe un elemento e que no cambia el valor de ningún otro elemento, es decir, si $a\circ e=e\circ a=a$ ⁠ . Una operación tiene elementos inversos si para cualquier elemento $a$ existe un elemento recíproco $a^{-1}$ que deshace $a$ ⁠ . Si un elemento opera sobre su inverso, el resultado es el elemento neutro e , expresado formalmente como ⁠ $a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$ ⁠ . Toda estructura algebraica que cumpla estos requisitos es un grupo.^{[ 64 ]} Por ejemplo, $\langle \mathbb {Z} ,+\rangle$ es un grupo formado por el conjunto de los números enteros junto con la operación de suma. El elemento neutro es 0 y el elemento inverso de cualquier número $a$ es $-a$ . ^{[ 65 ]} Los números naturales con suma, por el contrario, no forman un grupo puesto que contienen solo enteros positivos y, por lo tanto, carecen de elementos inversos. ^{[ 66 ]}

La teoría de grupos examina la naturaleza de los grupos, con teoremas básicos como el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos y el teorema de Feit-Thompson . ^{[ 67 ]} Este último fue un paso inicial clave en uno de los logros matemáticos más importantes del siglo XX: el esfuerzo colaborativo, que ocupó más de 10 000 páginas de revistas y se publicó principalmente entre 1960 y 2004, que culminó en una clasificación completa de los grupos simples finitos . ^{[ 68 ]}

teoría de anillos y teoría de campos

Un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones que funcionan de manera similar a la suma y la multiplicación de números y se nombran y generalmente se denotan de manera similar. Un anillo es un grupo conmutativo bajo la suma: la suma del anillo es asociativa, conmutativa y tiene un elemento neutro y elementos inversos. La multiplicación es asociativa y distributiva con respecto a la suma; es decir, $a(b+c)=ab+ac$ y $(b+c)a=ba+ca.$ Además, la multiplicación es asociativa y tiene un elemento identidad generalmente denotado como 1. $[$ ^{69 ] [}^{l ] La} multiplicación no necesita ser conmutativa; si es conmutativa, se tiene un anillo conmutativo . ^{[ 71 ]} El anillo de enteros ( ⁠ $\mathbb {Z}$ ) es uno de los anillos conmutativos más simples.^{[ 72 ]}

Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que $1\neq 0$ ⁠ ^{[ m ]} y cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo .^{[ 74 ]} El anillo de enteros no forma un cuerpo porque carece de inversos multiplicativos. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de $7$ es ${\tfrac {1}{7}}$ ⁠ , que no es un número entero. Los números racionales , los números reales y los números complejos forman cada uno un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación.^{[ 75 ]}

La teoría de anillos estudia los anillos, explorando conceptos como subanillos , anillos cociente , anillos polinomiales e ideales , así como teoremas como el teorema de la base de Hilbert . ^{[ 76 ]} La teoría de cuerpos se ocupa de los cuerpos, examinando extensiones de cuerpos , clausuras algebraicas y cuerpos finitos . ^{[ 77 ]} La teoría de Galois explora la relación entre la teoría de cuerpos y la teoría de grupos, basándose en el teorema fundamental de la teoría de Galois . ^{[ 78 ]}

Teorías de las interrelaciones entre estructuras

Además de grupos, anillos y cuerpos, el álgebra estudia muchas otras estructuras algebraicas. Entre ellas se incluyen magmas , semigrupos , monoides , grupos abelianos , anillos conmutativos , módulos , retículos , espacios vectoriales , álgebras sobre un cuerpo y álgebras asociativas y no asociativas . Se diferencian entre sí por los tipos de objetos que describen y los requisitos que cumplen sus operaciones. Muchas están relacionadas entre sí, ya que una estructura básica puede transformarse en una estructura más especializada mediante la adición de restricciones. ^{[ 55 ]} Por ejemplo, un magma se convierte en un semigrupo si su operación es asociativa. ^{[ 79 ]}

Los homomorfismos son herramientas para examinar características estructurales comparando dos estructuras algebraicas. ^{[ 80 ]} Un homomorfismo es una función del conjunto subyacente de una estructura algebraica al conjunto subyacente de otra estructura algebraica que preserva ciertas características estructurales. Si las dos estructuras algebraicas usan operaciones binarias y tienen la forma $\langle A,\circ \rangle$ y $\langle B,\star \rangle$ entonces la función $h:A\to B$ es un homomorfismo si cumple el siguiente requisito : $h(x\circ y)=h(x)\star h(y)$ ⁠ . La existencia de un homomorfismo revela que la operación $\star$ En la segunda estructura algebraica juega el mismo papel que la operación $\circ$ lo hace en la primera estructura algebraica. ^{[ 81 ]} Los isomorfismos son un tipo especial de homomorfismo que indica un alto grado de similitud entre dos estructuras algebraicas. Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo , lo que significa que establece una relación uno a uno entre los elementos de las dos estructuras algebraicas. Esto implica que cada elemento de la primera estructura algebraica se asigna a un único elemento en la segunda estructura sin que queden elementos sin asignar en la segunda estructura. ^{[ 82 ]}

Otra herramienta de comparación es la relación entre una estructura algebraica y su subálgebra . ^{[ 83 ]} La estructura algebraica y su subálgebra utilizan las mismas operaciones, ^{[ n ]} que siguen los mismos axiomas. La única diferencia es que el conjunto subyacente de la subálgebra es un subconjunto del conjunto subyacente de la estructura algebraica. ^{[ o ]} Todas las operaciones en la subálgebra deben ser cerradas en su conjunto subyacente, lo que significa que solo producen elementos que pertenecen a este conjunto. ^{[ 83 ]} Por ejemplo, el conjunto de los enteros pares junto con la suma es una subálgebra del conjunto completo de los enteros junto con la suma. Esto es así porque la suma de dos números pares es de nuevo un número par. Pero el conjunto de los enteros impares junto con la suma no es una subálgebra porque no es cerrado: sumar dos números impares produce un número par, que no forma parte del subconjunto elegido. ^{[ 84 ]}

El álgebra universal es el estudio de las estructuras algebraicas en general. Como parte de su perspectiva general, no se ocupa de los elementos específicos que componen los conjuntos subyacentes y considera operaciones con más de dos entradas, como las operaciones ternarias . Proporciona un marco para investigar qué características estructurales tienen en común las diferentes estructuras algebraicas. ^{[ 86 ]}^{[ p ]} Una de esas características estructurales se refiere a las identidades que son verdaderas en diferentes estructuras algebraicas. En este contexto, una identidad es una ecuación universal o una ecuación que es verdadera para todos los elementos del conjunto subyacente. Por ejemplo, la conmutatividad es una ecuación universal que establece que $a\circ b$ es idéntico a $b\circ a$ para todos los elementos. ^{[ 88 ]} Una variedad es una clase de todas las estructuras algebraicas que satisfacen ciertas identidades. Por ejemplo, si dos estructuras algebraicas satisfacen la conmutatividad, entonces ambas forman parte de la variedad correspondiente. ^{[ 89 ]}^{[ q ]}^{[ r ]}

La teoría de categorías examina cómo se relacionan entre sí los objetos matemáticos utilizando el concepto de categorías . Una categoría es una colección de objetos junto con una colección de morfismos o "flechas" entre esos objetos. Estas dos colecciones deben satisfacer ciertas condiciones. Por ejemplo, los morfismos se pueden unir o componer : si existe un morfismo de objeto a objeto $a$ objetar $b$ ⁠ , y otro morfismo del objeto $b$ objetar $c$ ⁠ , entonces también debe existir uno del objeto $a$ objetar $c$ La composición de morfismos debe ser asociativa, y debe existir un "morfismo identidad" para cada objeto.^[ 93 ^]^{Las categorías se utilizan ampliamente en matemáticas contemporáneas ,} ya que proporcionan un marco unificador para describir y analizar muchos conceptos matemáticos fundamentales. Por ejemplo, los conjuntos pueden describirse con la categoría de conjuntos , y cualquier grupo puede considerarse como los morfismos de una categoría con un solo objeto.^{[ 94 ]}

Historia

El origen del álgebra radica en los intentos de resolver problemas matemáticos que involucran cálculos aritméticos y cantidades desconocidas. Estos desarrollos tuvieron lugar en la antigüedad en Babilonia , Egipto , Grecia , China e India . Uno de los documentos más antiguos sobre problemas algebraicos es el Papiro Matemático de Rhind, ^del antiguo Egipto, escrito alrededor del 1650 a. C. ^{[ ]} En él se discuten soluciones a ecuaciones lineales , expresadas en problemas como: «Una cantidad; se le suma su cuarto. Se convierte en quince. ¿Cuál es la cantidad?». Tablillas de arcilla babilónicas de la misma época explican métodos para resolver ecuaciones polinómicas lineales y cuadráticas , como el método de completar el cuadrado . ^{[ 96 ]}

Muchas de estas ideas llegaron a los antiguos griegos. A partir del siglo VI a. C., su principal interés era la geometría más que el álgebra, pero empleaban métodos algebraicos para resolver problemas geométricos. Por ejemplo, estudiaban figuras geométricas tomando sus longitudes y áreas como cantidades desconocidas a determinar, como se ejemplifica en la formulación de Pitágoras del método de la diferencia de cuadrados y más tarde en los Elementos de Euclides . ^{[ 97 ]} En el siglo III d. C., Diofanto proporcionó un tratamiento detallado de cómo resolver ecuaciones algebraicas en una serie de libros llamada Aritmética . Fue el primero en experimentar con la notación simbólica para expresar polinomios. ^{[ 98 ]} La obra de Diofanto influyó en el desarrollo árabe del álgebra, y muchos de sus métodos se reflejan en los conceptos y técnicas utilizados en el álgebra árabe medieval. ^{[ 99 ]} En la antigua China, Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , un libro compuesto durante el período que abarca desde el siglo X a. C. hasta el siglo II d. C., ^{[ 100 ]} exploraron diversas técnicas para resolver ecuaciones algebraicas, incluido el uso de construcciones similares a matrices. ^{[ 101 ]}

Se debate si estos primeros desarrollos forman parte del álgebra o son solo precursores. Ofrecían soluciones a problemas algebraicos, pero no los concebían de manera abstracta y general, sino que se centraban en casos y aplicaciones específicos. ^{[ 102 ]} Esto cambió con el matemático persa Al-Juarismi , ^{[ t ]} quien publicó su Compendioso Libro sobre el Cálculo por Completación y Equilibrio en el año 825 d. C. Al-Juarismi proporcionó la primera teoría analítica para resolver ecuaciones, clasificándolas en seis formas estándar ^{[ u ]} y ofreciendo procedimientos sistemáticos paso a paso para su solución. Al abstraer estos métodos de figuras geométricas específicas y tratar las cantidades desconocidas como objetos algebraicos generales, estableció un marco operacional formal. Esta transición de la resolución de problemas aislados al desarrollo de una metodología universal transformó el álgebra en una disciplina autónoma. ^{[ 105 ]} Otras contribuciones influyentes al álgebra provinieron del matemático árabe Thābit ibn Qurra también en el siglo IX y del matemático persa Omar Khayyam en los siglos XI y XII. ^{[ 106 ]}

En la India, Brahmagupta investigó cómo resolver ecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones con varias variables en el siglo VII d. C. Entre sus innovaciones se encontraba el uso del cero y los números negativos en ecuaciones algebraicas. ^{[ 107 ]} Los matemáticos indios Mahāvīra en el siglo IX y Bhāskara II en el siglo XII perfeccionaron aún más los métodos y conceptos de Brahmagupta. ^{[ 108 ]} En 1247, el matemático chino Qin Jiushao escribió el Tratado matemático en nueve secciones , que incluye un algoritmo para la evaluación numérica de polinomios , incluidos polinomios de grados superiores. ^{[ 109 ]}

François Viète (izquierda) y René Descartes inventaron una notación simbólica para expresar ecuaciones de manera abstracta y concisa.

El matemático italiano Fibonacci llevó las ideas y técnicas de al-Juarismi a Europa en libros como su Liber Abaci . ^{[ 110 ]} En 1545, el polímata italiano Gerolamo Cardano publicó su libro Ars Magna , que abarcaba muchos temas de álgebra, trataba sobre números imaginarios y fue el primero en presentar métodos generales para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas . ^{[ 111 ]} En los siglos XVI y XVII, los matemáticos franceses François Viète y René Descartes introdujeron letras y símbolos para denotar variables y operaciones, lo que permitió expresar ecuaciones de manera concisa y abstracta. Sus predecesores se habían basado en descripciones verbales de problemas y soluciones. ^{[ 112 ]} Algunos historiadores ven este desarrollo como un punto de inflexión clave en la historia del álgebra y consideran lo que vino antes como la prehistoria del álgebra porque carecía de la naturaleza abstracta basada en la manipulación simbólica. ^{[ 113 ]}

En los siglos XVII y XVIII, se hicieron muchos intentos para encontrar soluciones generales para polinomios de grado cinco y superior. Todos ellos fracasaron. ^{[ 37 ]} A finales del siglo XVIII, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra , que describe la existencia de ceros de polinomios de cualquier grado sin proporcionar una solución general. ^{[ 19 ]} A principios del siglo XIX, el matemático italiano Paolo Ruffini y el matemático noruego Niels Henrik Abel pudieron demostrar que no existe una solución general para polinomios de grado cinco y superior. ^{[ 37 ]} En respuesta a sus hallazgos y poco después, el matemático francés Évariste Galois desarrolló lo que más tarde se conocería como la teoría de Galois , que ofreció un análisis más profundo de las soluciones de polinomios y también sentó las bases de la teoría de grupos . ^{[ 20 ]} Los matemáticos pronto se dieron cuenta de la relevancia de la teoría de grupos para otros campos y la aplicaron a disciplinas como la geometría y la teoría de números. ^{[ 114 ]}

A partir de mediados del siglo XIX, el interés por el álgebra pasó del estudio de los polinomios asociados al álgebra elemental a una investigación más general sobre las estructuras algebraicas, marcando el surgimiento del álgebra abstracta . Este enfoque exploró la base axiomática de las operaciones algebraicas arbitrarias. ^{[ 115 ]} La invención de nuevos sistemas algebraicos basados en diferentes operaciones y elementos acompañó este desarrollo, como el álgebra booleana , el álgebra vectorial y el álgebra matricial . ^{[ 116 ]} Los matemáticos alemanes David Hilbert , Ernst Steinitz y Emmy Noether , así como el matemático austriaco Emil Artin , realizaron importantes avances en el álgebra abstracta. Investigaron diferentes formas de estructuras algebraicas y las clasificaron en tipos, como grupos, anillos y cuerpos, según sus axiomas subyacentes. ^{[ 117 ]}

La idea del enfoque aún más general asociado con el álgebra universal fue concebida por el matemático inglés Alfred North Whitehead en su libro de 1898, A Treatise on Universal Algebra . A partir de la década de 1930, el matemático estadounidense Garrett Birkhoff amplió estas ideas y desarrolló muchos de los conceptos fundamentales de este campo. ^{[ 118 ]} La invención del álgebra universal condujo al surgimiento de varias áreas nuevas centradas en la algebrización de las matemáticas , es decir, la aplicación de métodos algebraicos a otras ramas de las matemáticas. El álgebra topológica surgió a principios del siglo XX, estudiando estructuras algebraicas como grupos topológicos y grupos de Lie . ^{[ 119 ]} En las décadas de 1940 y 1950, surgió el álgebra homológica , empleando técnicas algebraicas para estudiar la homología . ^{[ 120 ]} Casi al mismo tiempo, se desarrolló la teoría de categorías y desde entonces ha jugado un papel clave en los fundamentos de las matemáticas . ^{[ 121 ]} Otros desarrollos fueron la formulación de la teoría de modelos y el estudio de las álgebras libres . ^{[ 122 ]}

Aplicaciones

La influencia del álgebra es de gran alcance, tanto dentro de las matemáticas como en sus aplicaciones a otros campos. ^{[ 123 ]} La algebrización de las matemáticas es el proceso de aplicar métodos y principios algebraicos a otras ramas de las matemáticas , como la geometría , la topología , la teoría de números y el cálculo . Esto ocurre mediante el uso de símbolos en forma de variables para expresar ideas matemáticas a un nivel más general, lo que permite a los matemáticos desarrollar modelos formales que describen cómo interactúan y se relacionan los objetos entre sí. ^{[ 124 ]}

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} — La ecuación algebraica $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ describe una esfera en el origen con un radio de 1.

Una aplicación, que se encuentra en la geometría, es el uso de enunciados algebraicos para describir figuras geométricas. Por ejemplo, la ecuación $y=3x-7$ describe una línea en el espacio bidimensional mientras que la ecuación $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ corresponde a una esfera en el espacio tridimensional. De especial interés para la geometría algebraica son las variedades algebraicas , ^{[ v ]} que son soluciones a sistemas de ecuaciones polinómicas que pueden usarse para describir figuras geométricas más complejas. ^{[ 126 ]} El razonamiento algebraico también puede resolver problemas geométricos. Por ejemplo, se puede determinar si y dónde la línea descrita por $y=x+1$ se interseca con el círculo descrito por $x^{2}+y^{2}=25$ resolviendo el sistema de ecuaciones formado por estas dos ecuaciones. ^{[ 127 ]} La topología estudia las propiedades de las figuras geométricas o espacios topológicos que se conservan bajo operaciones de deformación continua . La topología algebraica se basa en teorías algebraicas como la teoría de grupos para clasificar los espacios topológicos. Por ejemplo, los grupos de homotopía clasifican los espacios topológicos según la existencia de bucles o agujeros en ellos. ^{[ 128 ]}

La teoría de números se ocupa de las propiedades y relaciones entre los enteros. La teoría algebraica de números aplica métodos y principios algebraicos a este campo de estudio. Ejemplos de ello son el uso de expresiones algebraicas para describir leyes generales, como el Último Teorema de Fermat , y de estructuras algebraicas para analizar el comportamiento de los números, como el anillo de los enteros . ^{[ 129 ]} El campo relacionado de la combinatoria utiliza técnicas algebraicas para resolver problemas relacionados con el conteo, la ordenación y la combinación de objetos discretos. Un ejemplo en combinatoria algebraica es la aplicación de la teoría de grupos para analizar grafos y simetrías. ^{[ 130 ]} Los conocimientos del álgebra también son relevantes para el cálculo, que utiliza expresiones matemáticas para examinar las tasas de cambio y acumulación . Se basa en el álgebra, por ejemplo, para comprender cómo se pueden transformar estas expresiones y qué papel desempeñan las variables en ellas. ^{[ 131 ]} La lógica algebraica emplea los métodos del álgebra para describir y analizar las estructuras y patrones que subyacen al razonamiento lógico , ^{[ 132 ]} explorando tanto las estructuras matemáticas relevantes como su aplicación a problemas concretos de lógica. ^{[ 133 ]} Incluye el estudio del álgebra booleana para describir la lógica proposicional ^{[ 134 ]} así como la formulación y el análisis de estructuras algebraicas correspondientes a sistemas lógicos más complejos . ^{[ 135 ]}

Los métodos algebraicos también se emplean comúnmente en otras áreas, como las ciencias naturales. Por ejemplo, se utilizan para expresar leyes científicas y resolver ecuaciones en física , química y biología . ^{[ 137 ]} Se encuentran aplicaciones similares en campos como la economía , la geografía , la ingeniería (incluidas la electrónica y la robótica ) y la informática para expresar relaciones, resolver problemas y modelar sistemas. ^{[ 138 ]} El álgebra lineal juega un papel central en la inteligencia artificial y el aprendizaje automático , por ejemplo, al permitir el procesamiento y análisis eficiente de grandes conjuntos de datos . ^{[ 139 ]} Varios campos dependen de estructuras algebraicas investigadas por el álgebra abstracta. Por ejemplo, las ciencias físicas como la cristalografía y la mecánica cuántica hacen un uso extensivo de la teoría de grupos, ^{[ 140 ]} que también se emplea para estudiar rompecabezas como el Sudoku y los cubos de Rubik , ^{[ 141 ]} y el origami . ^{[ 142 ]} Tanto la teoría de la codificación como la criptología se basan en el álgebra abstracta para resolver problemas asociados con la transmisión de datos , como evitar los efectos del ruido y garantizar la seguridad de los datos . ^{[ 143 ]}

Educación

La enseñanza del álgebra se centra principalmente en el álgebra elemental, razón por la cual también se la conoce como álgebra escolar. Generalmente no se introduce hasta la educación secundaria, ya que requiere el dominio de los fundamentos de la aritmética, a la vez que plantea nuevos desafíos cognitivos relacionados con el razonamiento abstracto y la generalización. ^{[ 145 ]} Su objetivo es familiarizar a los estudiantes con el aspecto formal de las matemáticas, ayudándoles a comprender el simbolismo matemático; por ejemplo, cómo se pueden usar las variables para representar cantidades desconocidas. Una dificultad adicional para los estudiantes radica en que, a diferencia de los cálculos aritméticos, las expresiones algebraicas suelen ser difíciles de resolver directamente. En cambio, los estudiantes necesitan aprender a transformarlas según ciertas leyes, a menudo para determinar una cantidad desconocida. ^{[ 146 ]}

Algunas herramientas para introducir a los estudiantes al lado abstracto del álgebra se basan en modelos concretos y visualizaciones de ecuaciones, incluyendo analogías geométricas, materiales manipulables como palos o vasos, y "máquinas de funciones" que representan ecuaciones como diagramas de flujo . Un método utiliza balanzas como un enfoque pictórico para ayudar a los estudiantes a comprender problemas básicos de álgebra. La masa de algunos objetos en la balanza es desconocida y representa variables. Resolver una ecuación corresponde a agregar y quitar objetos en ambos lados de tal manera que los lados permanezcan en equilibrio hasta que el único objeto que queda en un lado sea el objeto de masa desconocida. ^{[ 147 ]} Los problemas verbales son otra herramienta para mostrar cómo se aplica el álgebra a situaciones de la vida real. Por ejemplo, se puede presentar a los estudiantes una situación en la que el hermano de Naomi tiene el doble de manzanas que Naomi. Dado que ambos juntos tienen doce manzanas, se les pide a los estudiantes que encuentren una ecuación algebraica que describa esta situación ( ⁠ $2x+x=12$ ⁠ ) y para determinar cuántas manzanas tiene Naomi ( ⁠ $x=4$ ⁠ ).^{[ 148 ]}

En el nivel universitario, los estudiantes de matemáticas se enfrentan a temas avanzados de álgebra, tanto lineal como abstracta. Los cursos iniciales de álgebra lineal se centran en matrices, espacios vectoriales y transformaciones lineales. Tras completarlos, los estudiantes suelen familiarizarse con el álgebra abstracta, donde aprenden sobre estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos, así como las relaciones entre ellos. El plan de estudios también suele abarcar casos específicos de estructuras algebraicas, como los sistemas de números racionales, los números reales y los polinomios. ^{[ 149 ]}

Véase también

Álgebra conmutativa : rama del álgebra que estudia los anillos conmutativos.
Álgebra computacional : área científica en la interfaz entre la informática y las matemáticas.
Álgebra exterior – Álgebra asociada a cualquier espacio vectorial
Álgebra F : tipo de función en la teoría de categorías.
Álgebra geométrica : estructura algebraica diseñada para la geometría.
Álgebra no asociativa : álgebra sobre un cuerpo donde la multiplicación binaria no es necesariamente asociativa.
Esquema de álgebra
Teoría de la representación : rama de las matemáticas que estudia las estructuras algebraicas abstractas.
Tensor : objeto algebraico con aplicaciones geométricas.

Referencias

Notas

↑ Entendida en el sentido más amplio, una operación algebraica es una función de una potencia cartesiana de un conjunto en ese conjunto , expresada formalmente como ⁠ $\omega :A^{n}\to A$ La suma de números reales es un ejemplo de operación algebraica: toma dos números como entrada y produce un número como salida. Tiene la forma $+:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ . ^{[ 3 ]}
↑ El álgebra está cubierta por la división 512 en la Clasificación Decimal Dewey ^{[ 5 ]} y la subclase QA 150 - 272.5 en la Clasificación de la Biblioteca del Congreso .^{[ 6 ]} Engloba varias áreas en la Clasificación de Materias Matemáticas .^{[ 7 ]}
↑ El significado exacto del término al-jabr en la obra de al-Juarismi es objeto de controversia. En algunos pasajes, expresa que una cantidad disminuida por sustracción se restaura a su valor original, de forma similar a como un curandero restaura huesos rotos alineándolos correctamente.^{[ 17 ]}
↑ Estos cambios fueron impulsados en parte por descubrimientos que resolvieron muchos de los problemas más antiguos del álgebra. Por ejemplo, la demostración del teorema fundamental del álgebra demostró la existencia de soluciones complejas de polinomios^{[ 19 ]} y la introducción de la teoría de Galois caracterizó los polinomios que tienen soluciones generales ^[²⁰^] .
↑ Las constantes representan números fijos que no cambian durante el estudio de un problema específico.^{[ 24 ]}
↑ Por ejemplo, las ecuaciones $x_{1}-3x_{2}=0$ y $x_{1}-3x_{2}=7$ se contradicen entre sí ya que ningún valor de $x_{1}$ y $x_{2}$ Existen soluciones que resuelven ambas ecuaciones al mismo tiempo. ^{[ 47 ]}
↑ Que un sistema de ecuaciones consistente tenga una solución única depende del número de variables y de ecuaciones independientes . Varias ecuaciones son independientes entre sí si no proporcionan la misma información y no pueden derivarse unas de otras. Existe una solución única si el número de variables es igual al número de ecuaciones independientes. Los sistemas subdeterminados , por el contrario, tienen más variables que ecuaciones independientes y, si son consistentes, tienen un número infinito de soluciones.^{[ 48 ]}
↑ Un conjunto es una colección no ordenada de elementos distintos, como números, vectores u otros conjuntos. La teoría de conjuntos describe las leyes y propiedades de los conjuntos.^{[ 57 ]}
↑ Según algunas definiciones, las estructuras algebraicas incluyen un elemento distinguido como componente adicional, como el elemento identidad en el caso de la multiplicación.^{[ 58 ]}
↑ Algunas de las estructuras algebraicas estudiadas por el álgebra abstracta incluyen operaciones unarias además de operaciones binarias. Por ejemplo, los espacios vectoriales normados tienen una norma , que es una operación unaria que se usa a menudo para asociar un vector con su longitud.^{[ 59 ]}
↑ Los símbolos $\circ$ y $\star$ se utilizan en este artículo para representar cualquier operación que pueda o no parecerse a las operaciones aritméticas. ^{[ 63 ]}
↑ Algunos autores no requieren la existencia de elementos identidad multiplicativos. Un anillo sin identidad multiplicativa a veces se denomina rng .^{[ 70 ]}
↑ Esto significa que la multiplicación y la suma utilizan elementos neutros diferentes.^{[ 73 ]}
↑ Según algunas definiciones, también es posible que una subálgebra tenga menos operaciones.^{[ 84 ]}
↑ Esto significa que todos los elementos del primer conjunto también son elementos del segundo conjunto, pero el segundo conjunto puede contener elementos que no se encuentran en el primer conjunto.^{[ 85 ]}
↑ Un enfoque ligeramente diferente entiende el álgebra universal como el estudio de un tipo de estructuras algebraicas conocidas como álgebras universales. Las álgebras universales se definen de manera general para incluir la mayoría de las demás estructuras algebraicas. Por ejemplo, los grupos y los anillos son tipos especiales de álgebras universales.^{[ 87 ]}
↑ No todos los tipos de estructuras algebraicas forman una variedad. Por ejemplo, tanto los grupos como los anillos forman variedades, pero los cuerpos no.^{[ 90 ]}
↑ Además de las identidades, el álgebra universal también se interesa por las características estructurales asociadas a las cuasi-identidades . Una cuasi-identidad es una identidad que solo necesita estar presente bajo ciertas condiciones (que adoptan la forma de una cláusula de Horn ^{[ 91 ]} ). Es una generalización de la identidad en el sentido de que toda identidad es una cuasi-identidad, pero no toda cuasi-identidad es una identidad. Una cuasivariedad es una clase de todas las estructuras algebraicas que satisfacen ciertas cuasi-identidades.^{[ 92 ]}
↑ La fecha exacta es objeto de controversia y algunos historiadores sugieren una fecha posterior, alrededor del 1550 a. C.^{[ 95 ]}
↑ Algunos historiadores lo consideran el "padre del álgebra", mientras que otros reservan este título para Diofanto.^{[ 103 ]}
↑ Estas formas son $bx=c$ , $ax^{2}=bx$ , $ax^{2}=c$ , $ax^{2}+bx=c$ , $ax^{2}+c=bx$ , y $ax^{2}=bx+c$ . ^{[ 104 ]}
↑ Las variedades algebraicas estudiadas en geometría difieren de las variedades más generales estudiadas en álgebra universal.^{[ 125 ]}

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Enlaces externos

[4] Entendida en el sentido más amplio, una operación algebraica es una función de una potencia cartesiana de un conjunto en ese conjunto , expresada formalmente como ⁠ $\omega :A^{n}\to A$ La suma de números reales es un ejemplo de operación algebraica: toma dos números como entrada y produce un número como salida. Tiene la forma $+:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ . ^{[ 3 ]}

[9] El álgebra está cubierta por la división 512 en la Clasificación Decimal Dewey ^{[ 5 ]} y la subclase QA 150 - 272.5 en la Clasificación de la Biblioteca del Congreso .^{[ 6 ]} Engloba varias áreas en la Clasificación de Materias Matemáticas .^{[ 7 ]}

[20] El significado exacto del término al-jabr en la obra de al-Juarismi es objeto de controversia. En algunos pasajes, expresa que una cantidad disminuida por sustracción se restaura a su valor original, de forma similar a como un curandero restaura huesos rotos alineándolos correctamente.^{[ 17 ]}

[24] Estos cambios fueron impulsados en parte por descubrimientos que resolvieron muchos de los problemas más antiguos del álgebra. Por ejemplo, la demostración del teorema fundamental del álgebra demostró la existencia de soluciones complejas de polinomios^{[ 19 ]} y la introducción de la teoría de Galois caracterizó los polinomios que tienen soluciones generales ^[²⁰^] .

[29] Las constantes representan números fijos que no cambian durante el estudio de un problema específico.^{[ 24 ]}

[53] Por ejemplo, las ecuaciones $x_{1}-3x_{2}=0$ y $x_{1}-3x_{2}=7$ se contradicen entre sí ya que ningún valor de $x_{1}$ y $x_{2}$ Existen soluciones que resuelven ambas ecuaciones al mismo tiempo. ^{[ 47 ]}

[55] Que un sistema de ecuaciones consistente tenga una solución única depende del número de variables y de ecuaciones independientes . Varias ecuaciones son independientes entre sí si no proporcionan la misma información y no pueden derivarse unas de otras. Existe una solución única si el número de variables es igual al número de ecuaciones independientes. Los sistemas subdeterminados , por el contrario, tienen más variables que ecuaciones independientes y, si son consistentes, tienen un número infinito de soluciones.^{[ 48 ]}

[65] Un conjunto es una colección no ordenada de elementos distintos, como números, vectores u otros conjuntos. La teoría de conjuntos describe las leyes y propiedades de los conjuntos.^{[ 57 ]}

[67] Según algunas definiciones, las estructuras algebraicas incluyen un elemento distinguido como componente adicional, como el elemento identidad en el caso de la multiplicación.^{[ 58 ]}

[69] Algunas de las estructuras algebraicas estudiadas por el álgebra abstracta incluyen operaciones unarias además de operaciones binarias. Por ejemplo, los espacios vectoriales normados tienen una norma , que es una operación unaria que se usa a menudo para asociar un vector con su longitud.^{[ 59 ]}

[74] Los símbolos $\circ$ y $\star$ se utilizan en este artículo para representar cualquier operación que pueda o no parecerse a las operaciones aritméticas. ^{[ 63 ]}

[82] Algunos autores no requieren la existencia de elementos identidad multiplicativos. Un anillo sin identidad multiplicativa a veces se denomina rng .^{[ 70 ]}

[86] Esto significa que la multiplicación y la suma utilizan elementos neutros diferentes.^{[ 73 ]}

[98] Según algunas definiciones, también es posible que una subálgebra tenga menos operaciones.^{[ 84 ]}

[100] Esto significa que todos los elementos del primer conjunto también son elementos del segundo conjunto, pero el segundo conjunto puede contener elementos que no se encuentran en el primer conjunto.^{[ 85 ]}

[103] Un enfoque ligeramente diferente entiende el álgebra universal como el estudio de un tipo de estructuras algebraicas conocidas como álgebras universales. Las álgebras universales se definen de manera general para incluir la mayoría de las demás estructuras algebraicas. Por ejemplo, los grupos y los anillos son tipos especiales de álgebras universales.^{[ 87 ]}

[107] No todos los tipos de estructuras algebraicas forman una variedad. Por ejemplo, tanto los grupos como los anillos forman variedades, pero los cuerpos no.^{[ 90 ]}

[110] Además de las identidades, el álgebra universal también se interesa por las características estructurales asociadas a las cuasi-identidades . Una cuasi-identidad es una identidad que solo necesita estar presente bajo ciertas condiciones (que adoptan la forma de una cláusula de Horn ^{[ 91 ]} ). Es una generalización de la identidad en el sentido de que toda identidad es una cuasi-identidad, pero no toda cuasi-identidad es una identidad. Una cuasivariedad es una clase de todas las estructuras algebraicas que satisfacen ciertas cuasi-identidades.^{[ 92 ]}

[114] La fecha exacta es objeto de controversia y algunos historiadores sugieren una fecha posterior, alrededor del 1550 a. C.^{[ 95 ]}

[123] Algunos historiadores lo consideran el "padre del álgebra", mientras que otros reservan este título para Diofanto.^{[ 103 ]}

[125] Estas formas son $bx=c$ , $ax^{2}=bx$ , $ax^{2}=c$ , $ax^{2}+bx=c$ , $ax^{2}+c=bx$ , y $ax^{2}=bx+c$ . ^{[ 104 ]}

[147] Las variedades algebraicas estudiadas en geometría difieren de las variedades más generales estudiadas en álgebra universal.^{[ 125 ]}

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