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Anualidad

En el ámbito de las inversiones , una anualidad es una serie de pagos del mismo tipo realizados a intervalos regulares, generalmente durante un plazo determinado. [ 1 ] Las anua...

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En el ámbito de las inversiones , una anualidad es una serie de pagos del mismo tipo realizados a intervalos regulares, generalmente durante un plazo determinado. [ 1 ] Las anualidades suelen ser emitidas por compañías de seguros de vida , donde una persona paga una suma global o una serie de primas a cambio de pagos regulares de ingresos, a menudo para proporcionar beneficios de jubilación o de supervivencia. [ 2 ]

Ejemplos típicos incluyen depósitos regulares en una cuenta de ahorros, pagos mensuales de hipoteca , primas mensuales de seguros y pagos de pensiones . [ 1 ] El valor de una anualidad generalmente se expresa como un valor presente o un valor futuro , calculado mediante el descuento o la acumulación de los pagos a una tasa de interés específica .

Las anualidades se pueden clasificar según el momento de los pagos (por ejemplo, anualidad inmediata y anualidad anticipada), según si el plazo es fijo o está sujeto a la supervivencia del asegurado, y según si los importes son fijos, variables o vinculados a un índice. Los contratos pueden comenzar a pagar de inmediato o después de un período de aplazamiento, y un contrato que se extiende indefinidamente se denomina perpetuidad .

Historia

En la Europa medieval y de principios de la Edad Moderna, las anualidades se desarrollaron a través de rentas , rentas vitalicias y otros derechos sobre los ingresos. Un comprador o acreedor podía proporcionar capital a cambio de un pago recurrente garantizado por tierras, ingresos municipales u otra fuente de ingresos. [ 3 ] Estos acuerdos incluían rentas perpetuas, rentas vitalicias, rentas a plazo y rentas municipales utilizadas para financiar guerras, obras públicas o consolidación de deudas. [ 4 ] [ 3 ] Dado que la transacción podía plantearse como la venta de un derecho a los ingresos, proporcionaba una forma de crédito en contextos legales y religiosos donde los préstamos directos con intereses estaban restringidos. [ 3 ]

En los siglos XVI y XVII, las anualidades se habían convertido en importantes instrumentos de las finanzas públicas. Los gobiernos y municipios de la República Holandesa, Francia e Inglaterra vendían anualidades a plazo fijo, perpetuas y vitalicias para recaudar fondos. [ 4 ] [ 5 ] Las anualidades vitalicias planteaban un problema de valoración, ya que el emisor debía tener en cuenta tanto los intereses como la incertidumbre de la supervivencia. Una fijación de precios bruta podía encarecer los contratos para los emisores si los compradores con una larga esperanza de vida obtenían condiciones que no reflejaban la edad ni la mortalidad. [ 3 ] [ 6 ]

El tratamiento matemático de los pagos contingentes a la vida se desarrolló a partir de este problema práctico. El trabajo de John Graunt sobre los Registros de Mortalidad ayudó a demostrar que las muertes podían estudiarse estadísticamente a nivel poblacional. [ 6 ] En 1671, Johan de Witt preparó un informe sobre rentas vitalicias para el gobierno holandés que utilizó el razonamiento del valor esperado descontado para comparar las rentas vitalicias con las rentas vitalicias rescatables. [ 7 ] El trabajo posterior de Edmond Halley utilizó datos de Breslau para construir una tabla de mortalidad y calcular los valores de las rentas vitalicias. [ 8 ] En conjunto, estos trabajos aplicaron observaciones de mortalidad y cálculos de interés compuesto a pagos contingentes a la supervivencia. [ 7 ] [ 8 ] [ 6 ]

Los planes de tontina se desarrollaron paralelamente a las rentas vitalicias ordinarias . En una tontina, los pagos a los participantes supervivientes podían aumentar a medida que fallecían otros participantes, mientras que una renta vitalicia normalmente prometía un ingreso fijo mientras el beneficiario viviera. [ 4 ] Los gobiernos utilizaron las tontinas como instrumentos de endeudamiento público, pero su estructura de pagos exponía a los participantes a una forma diferente de acumulación de riesgos de longevidad que la de las rentas vitalicias ordinarias. [ 5 ] Propuestas recientes han revivido acuerdos similares a las tontinas como diseños de ingresos para la jubilación que acumulan el riesgo de longevidad sin prometer a cada participante un pago fijo de por vida. [ 9 ]

Durante el siglo XVIII, las matemáticas de las anualidades se extendieron a las vidas conjuntas, las prestaciones por supervivencia y las reversiones. Las anualidades de reversión, que generalmente pagaban a una viuda o dependiente tras el fallecimiento de otra persona, se utilizaban en fondos de viudas, fondos del clero y otros acuerdos mutuos u ocupacionales. [ 10 ] [ 7 ] Su precio dependía de supuestos de mortalidad, selección, niveles de contribución y las condiciones en las que los participantes ingresaban al plan. [ 10 ] [ 7 ]

Para el siglo XIX, el negocio de las rentas vitalicias había pasado en gran medida de las obligaciones privadas y públicas a las instituciones de seguros de vida constituidas que fijaban el precio de los contratos utilizando la experiencia de mortalidad observada. [ 4 ] La práctica actuarial cambió el negocio de las rentas vitalicias porque las promesas de larga duración requerían tablas de mortalidad, supuestos de interés, reservas y métodos de solvencia. [ 6 ] Los seguros de vida y las rentas vitalicias se vincularon dentro de las mismas instituciones, ya que el seguro de vida protege contra la muerte prematura, mientras que una renta vitalicia protege contra una supervivencia inusualmente larga.

En el siglo XX, las pensiones y los sistemas públicos de jubilación hicieron más comunes los ingresos similares a las rentas vitalicias, incluso cuando las personas no compraban rentas vitalicias directamente. Las pensiones de prestación definida y los planes de pensiones públicos suelen proporcionar ingresos de por vida, mientras que las opciones de pensión conjunta y de supervivencia utilizan principios de renta vitalicia múltiple. [ 11 ] En Estados Unidos, los mercados privados de rentas vitalicias se mantuvieron pequeños hasta la década de 1930, cuando la demanda de productos de las compañías de seguros creció durante la Gran Depresión y se desarrollaron los contratos de renta vitalicia colectiva para los planes de pensiones corporativos . [ 12 ]

Las anualidades variables crecieron posteriormente como contratos que combinaban características vinculadas a la inversión con el aplazamiento de impuestos disponible para los productos de seguros de vida. [ 12 ] A finales del siglo XX y principios del XXI, los mercados de anualidades añadieron anualidades diferidas fijas, anualidades indexadas, cláusulas adicionales de ingresos, transferencia de riesgo de pensión y mercados de transferencia de riesgo de longevidad. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] La investigación sobre el enigma de las anualidades ha vinculado la baja anualización voluntaria a factores como los ingresos de pensión existentes, los motivos de legado, la preferencia por la liquidez, la complejidad del producto, los precios y el encuadre conductual. [ 15 ]

Tipos

Las anualidades pueden clasificarse de varias maneras.

Momento de los pagos

En una anualidad inmediata, los pagos se realizan al final de cada período de pago, por lo que los intereses se acumulan durante el período anterior a cada pago. Por el contrario, en una anualidad anticipada, los pagos se realizan al comienzo de cada período, por lo que cada pago se realiza por adelantado. [ 16 ] [ 1 ]

Ejemplos típicos de flujos de pagos inmediatos de anualidades incluyen los pagos de hipotecas y otros préstamos, donde cada cuota cubre los intereses acumulados durante el período anterior. El alquiler, los arrendamientos y muchas primas de seguros generalmente se pagan por adelantado y, por lo tanto, son ejemplos de pagos anticipados de anualidades. [ 17 ] [ 18 ]

Contingencia de pagos

Una renta vitalicia que se paga durante un período fijo, independientemente de la supervivencia de cualquier individuo, es una renta vitalicia segura. En este caso, el número de pagos se conoce de antemano y se especifica en el contrato. [ 19 ]

Una renta vitalicia se paga mientras sobreviva una o más personas específicas, por lo que el número de pagos es incierto. [ 19 ] [ 20 ] Las pensiones que pagan un ingreso regular de por vida son ejemplos de rentas vitalicias.

Una renta vitalicia con período determinado combina estas características. Los pagos continúan durante al menos un plazo mínimo garantizado y, posteriormente, mientras el beneficiario esté vivo. [ 21 ] [ 22 ]

Variabilidad de los pagos

  • Las anualidades fijas proporcionan pagos determinados mediante una tasa de interés fija declarada por la aseguradora, por lo que el contrato ofrece una tasa de rendimiento mínima garantizada sobre el valor de la cuenta. [ 23 ] [ 24 ]
  • Las anualidades variables invierten las primas en carteras subyacentes como fondos mutuos, por lo que el valor del contrato y los pagos de ingresos varían con el rendimiento de esas inversiones. [ 25 ] [ 26 ]
  • Las anualidades indexadas a acciones acreditan intereses basados ​​parcialmente en el rendimiento de un índice de mercado específico, generalmente sujetos a una rentabilidad mínima garantizada y características como límites máximos o tasas de participación. [ 27 ] [ 28 ]

Aplazamiento de pagos

Una anualidad diferida comienza a pagar ingresos después de un período de aplazamiento o acumulación. Durante el período de aplazamiento, el contrato generalmente acredita intereses o rendimientos de inversión al valor de la cuenta. [ 29 ] [ 30 ] Una anualidad inmediata comienza a pagar poco después de la compra del contrato, a menudo dentro de un año. [ 30 ] [ 31 ]

Las anualidades fijas, variables e indexadas pueden redactarse como contratos inmediatos o diferidos. [ 23 ] [ 24 ]

Beneficios y cláusulas adicionales opcionales

Muchas anualidades permiten cláusulas adicionales o beneficios opcionales con un costo extra. Las cláusulas de beneficio por fallecimiento pueden proporcionar al beneficiario un monto mínimo, la devolución de la prima o un incremento en el valor de la cuenta si el titular o beneficiario fallece antes de que comiencen a percibirse los ingresos. [ 25 ] [ 29 ] Las cláusulas de beneficio en vida pueden proporcionar ingresos mínimos garantizados, retiros o beneficios de acumulación mientras el titular permanezca con vida. [ 25 ] [ 32 ]

Estas características pueden modificar la distribución del riesgo entre el propietario y la aseguradora, pero también pueden generar cargos adicionales, restringir las opciones de inversión, limitar los montos de retiro o reducir el valor de las garantías después de los retiros. [ 25 ] [ 32 ] Por lo tanto, el efecto económico de una cláusula adicional depende tanto de la garantía estipulada como de las condiciones contractuales asociadas a su uso.

Formularios para fines especiales

Las anualidades se utilizan en acuerdos legales, benéficos y de pensiones. Un acuerdo estructurado puede utilizar un contrato de anualidad para financiar los pagos periódicos adeudados en virtud de un acuerdo por lesiones personales o compensación laboral. [ 33 ] Una anualidad de donación benéfica es una transferencia de propiedad a una organización benéfica a cambio de pagos de anualidad durante una o dos vidas, y el componente benéfico depende de la relación entre la propiedad transferida y el valor actuarial de los pagos. [ 34 ] En la transferencia de riesgo de pensiones, un plan de pensiones de prestaciones definidas puede utilizar una anualidad colectiva, una compra de participación o una compra de salida para transferir algunas o todas las obligaciones de pago de pensiones a una aseguradora . [ 35 ]

Estas formas especiales comparten la característica de las anualidades de pagos periódicos o contingentes a la vida, pero su propósito legal y asignación de riesgos difieren de las anualidades de jubilación minoristas. Los acuerdos estructurados se centran en pagos de compensación programados, las anualidades de donación caritativa combinan pagos vitalicios con una transferencia caritativa, y las anualidades de transferencia de riesgo de pensión transfieren las obligaciones de pensión de un plan de pensiones o patrocinador a una aseguradora. [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]

Valuación

La valoración de una anualidad trata el flujo de pagos como flujos de efectivo y los resume mediante un valor presente o un valor futuro a una tasa de interés determinada . [ 1 ] [ 36 ] Para una anualidad nivelada cierta, las fórmulas dependen de si los pagos se realizan al final o al principio de cada período.

Anualidad determinada

Si se conoce de antemano el número de pagos, el contrato es una renta vitalicia determinada (también llamada renta vitalicia garantizada). [ 1 ] La valoración utiliza las fórmulas que se muestran a continuación, las cuales dependen del momento de los pagos.

Anualidad inmediata

Si los pagos se realizan al final de cada período, de modo que los intereses se acumulan durante el período anterior a cada pago, la anualidad es una anualidad inmediata (anualidad ordinaria). [ 36 ] Los pagos de la hipoteca son un ejemplo típico, ya que los intereses se cobran entre pagos y luego se reembolsan en cada fecha de vencimiento. [ 18 ]

Dejari{\displaystyle i}denotan la tasa de interés efectiva por período ynorte{\displaystyle n}el número de pagos. El factor de valor presente para una anualidad nivelada inmediata con pagos unitarios es: anorte¯|i=1−(1+i)−nortei{\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}} y el valor presente de los pagos de importeR{\displaystyle R}es:

PAGV(i,norte,R)=Ranorte¯|i.{\displaystyle \mathrm {PV} (i,n,R)=R\,a_{{\overline {n}}|i}.}[ 1 ]

En la práctica, el interés se suele expresar como una tasa anual nominal.J{\displaystyle J}convertible mensualmente o con alguna otra frecuencia. Si los pagos son mensuales y la tasa anual nominal esJ{\displaystyle J}, entonces la tarifa por mes esi=J/12{\displaystyle i=J/12}y el número de pagos mást{\displaystyle t}años esnorte=12t{\displaystyle n=12t}. [ 36 ]

El valor futuro de una anualidad nivelada inmediata con pagos unitarios es snorte¯|i=(1+i)norte−1i{\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}} y el valor acumulado inmediatamente después del último pago es:

FV(i,norte,R)=Rsnorte¯|i.{\displaystyle \mathrm {FV} (i,n,R)=R\,s_{{\overline {n}}|i}.}[ 37 ]

Ejemplo: El valor presente de una anualidad de 5 años con una tasa de interés anual nominal del 12% y pagos mensuales de $100 es PAGV(0,1212,5×12,100)=100×a60¯|0,01≈4.495,50{\displaystyle \mathrm {PV} \!\left({\frac {0.12}{12}},5\times 12,100\right)=100\times a_{{\overline {60}}|0.01}\approx 4{,}495.50} Por lo tanto, la serie de pagos equivale a una cantidad única de aproximadamente 4.496 dólares en el momento cero.

Los valores futuros y presentes de una anualidad inmediata están relacionados por snorte¯|i=(1+i)norteanorte¯|i{\displaystyle s_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\,a_{{\overline {n}}|i}} y

1anorte¯|i−1snorte¯|i=i.{\displaystyle {\frac {1}{a_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{s_{{\overline {n}}|i}}}=i.}[ 36 ]
Prueba de anualidad: fórmula inmediata

Para obtener el factor de valor presente, considere una anualidad nivelada inmediata con pagos unitarios. El pago al final del períodok{\displaystyle k}se descuenta por el factor(1+i)−k{\displaystyle (1+i)^{-k}}, por lo tanto, el factor de valor presente es anorte¯|i=∑k=1norte1(1+i)k.{\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1+i)^{k}}}.} Dejarv=(1+i)−1{\displaystyle v=(1+i)^{-1}}sea ​​el factor de descuento para un período. Entonces anorte¯|i=v+v2+⋯+vnorte=v∑k=0norte−1vk.{\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}=v\sum _ {k=0}^{n-1}v^{k}.} Utilizando la fórmula estándar para la suma de una serie geométrica finita se obtiene

anorte¯|i=v1−vnorte1−v=1−vnortei=1−(1+i)−nortei.{\displaystyle a_{{\overline {n}}|i}=v\,{\frac {1-v^{n}}{1-v}}={\frac {1-v^{n}}{i}}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}.}[ 36 ] [ 1 ]

Anualidad anticipada

Una anualidad anticipada es una serie de pagos iguales realizados a intervalos regulares al comienzo de cada período. [ 18 ] Los períodos pueden ser mensuales, trimestrales, semestrales, anuales o cualquier otro período definido. Algunos ejemplos incluyen alquileres, arrendamientos y muchos pagos de seguros, que se realizan para cubrir servicios prestados en el período posterior al pago. [ 17 ]

Para una anualidad anticipada con pagos unitarios, el factor de valor presente es a¨norte¯|i=(1+i)anorte¯|i{\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)\,a_{{\overline {n}}|i}} y el factor de valor futuro es

s¨norte¯|i=(1+i)snorte¯|i.{\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)\,s_{{\overline {n}}|i}.}[ 1 ] [ 36 ]

Los valores presentes y futuros de una anualidad anticipada satisfacen s¨norte¯|i=(1+i)nortea¨norte¯|i{\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)^{n}\,{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}} y 1a¨norte¯|i−1s¨norte¯|i=d,{\displaystyle {\frac {1}{{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}}-{\frac {1}{{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}}}=d,} dónded=i1+i{\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}}es la tasa de descuento efectiva. [ 37 ]

Ejemplo: El valor futuro de una anualidad anticipada de 7 años con una tasa de interés anual nominal del 9% y pagos mensuales de $100 es FVpendiente(0,0912,7×12,100)=100×s¨84¯|0,0075≈11.730,01.{\displaystyle \mathrm {FV} _{\text{debido}}\!\left({\frac {0.09}{12}},7\times 12,100\right)=100\times {\ddot {s}}_{{\overline {84}}|0.0075}\approx 11{,}730.01.}

Perpetuidad

Una perpetuidad es una anualidad cuyos pagos continúan indefinidamente. [ 36 ] Para una perpetuidad nivelada con pagoR{\displaystyle R}cada período y tasa de interés por períodoi{\displaystyle i}El valor presente se puede obtener como el límite del valor presente inmediato de la anualidad nivelada cuando el término tiende a infinito: límitenorte→∞PAGV(i,norte,R)=límitenorte→∞Ranorte¯|i=Ri{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathrm {PV} (i,n,R)=\lim _{n\to \infty }R\,a_{{\overline {n}}|i}={\frac {R}{i}}} por lo tanto la forma cerrada es PAGVperpetuidad=Ri{\displaystyle \mathrm {PV} _{\text{perpetuity}}={\frac {R}{i}}} proporcionói{\displaystyle i}es positivo. [ 37 ] En notación actuarial, los factores de valor presente para perpetuidades niveladas son a∞¯|i=1i{\displaystyle a_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{i}}} y a¨∞¯|i=1d,{\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {\infty }}|i}={\frac {1}{d}},} dónded=i1+i{\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}}es la tasa de descuento efectiva. [ 1 ]

rentas vitalicias

La valoración de las rentas vitalicias amplía las fórmulas de rentas fijas al tener en cuenta tanto la mortalidad como los intereses. Para una vida de edadincógnita{\displaystyle x}con pagos anuales de cantidadR{\displaystyle R}pagadero mientras la vida sobreviva, el valor presente actuarial es el valor esperado del flujo de pagos descontados, APAGV=∑t=1∞Rvttpagincógnita{\displaystyle \mathrm {APV} =\sum _{t=1}^{\infty }Rv^{t}\,{}_{t}p_{x}} dóndev=(1+i)−1{\displaystyle v=(1+i)^{-1}}es el factor de descuento por período ytpagincógnita{\displaystyle {}_{t}p_{x}}es la probabilidad de que una vida envejezcaincógnita{\displaystyle x}sobrevive al menost{\displaystyle t}períodos. [ 38 ] [ 39 ]

En notación actuarial, el valor presente de una renta vitalicia inmediata de 1 por año sobre una vida de edadincógnita{\displaystyle x}está escritoaincógnita{\displaystyle a_{x}}y puede expresarse como aincógnita=∑t=1∞vttpagincógnita{\displaystyle a_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}\,{}_{t}p_{x}} mientras que la anualidad vitalicia completa correspondiente tiene un factor de valor presente

a¨incógnita=∑t=0∞vttpagincógnita.{\displaystyle {\ddot {a}}_{x}=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t}\,{}_{t}p_{x}.}[ 38 ] [ 40 ]

Cálculos de amortización

Si se utiliza una anualidad para pagar un préstamo con pagos iguales al final de cada período, el flujo de pagos es una anualidad inmediata.PAG{\displaystyle P}ser el capital inicial del préstamo,R{\displaystyle R}el pago regular,i{\displaystyle i}la tasa de interés efectiva por período ynorte{\displaystyle N}el número total de pagos. Entonces, el valor presente del flujo de pagos es PAG=Ranorte¯|i=R1−(1+i)−nortei,{\displaystyle P=R\,a_{{\overline {N}}|i}=R\,{\frac {1-(1+i)^{-N}}{i}},} por lo tanto, el pago fijo que amortiza el préstamo es

R=PAGanorte¯|i=PAGi1−(1+i)−norte.{\displaystyle R={\frac {P}{a_{{\overline {N}}|i}}}=P\,{\frac {i}{1-(1+i)^{-N}}}.}[ 36 ] [ 1 ] [ 18 ]

El saldo pendiente despuésnorte{\displaystyle n}Los pagos se pueden obtener de dos maneras equivalentes. Según el método retrospectivo, el saldo es el capital original acumulado con intereses paranorte{\displaystyle n}períodos menos el valor acumulado de los pagos ya realizados:

Bnorte=(1+i)nortePAG−R(1+i)norte−1i=Ri−(1+i)norte(Ri−PAG).{\displaystyle B_{n}=(1+i)^{n}P-R\,{\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}={\frac {R}{i}}-(1+i)^{n}\!\left({\frac {R}{i}}-P\right).}[ 36 ]

Según el método prospectivo, el saldo pendiente es el valor presente del saldo restante.norte−norte{\displaystyle N-n}pagos:

Bnorte=Ranorte−norte¯|i=R1−(1+i)−(norte−norte)i.{\displaystyle B_{n}=R\,a_{{\overline {N-n}}|i}=R\,{\frac {1-(1+i)^{-(N-n)}}{i}}.}[ 1 ]

Para una anualidad anticipada con pagos al comienzo de cada período, se aplican las mismas ideas, pero se utilizan factores de anualidad anticipada. SiR{\displaystyle R}es el pago nivelado y haynorte{\displaystyle N}pagos totales, el saldo pendiente despuésnorte{\displaystyle n}Los pagos son

Bnorte(pendiente)=Ra¨norte−norte¯|i,a¨metro¯|i=(1+i)ametro¯|i.{\displaystyle B_{n}^{({\text{due}})}=R\,{\ddot {a}}_{{\overline {N-n}}|i},\qquad {\ddot {a}}_{{\overline {m}}|i}=(1+i)\,a_{{\overline {m}}|i}.}[ 36 ]

Ejemplo. DejemosPAG=1.000{\displaystyle P=1{,}000},i=0,10{\displaystyle i=0.10},norte=3{\displaystyle N=3}. Entonces R=PAGi1−(1+i)−norte=1.000×0,101−(1.10)−3≈402.11.{\displaystyle R={\frac {P\,i}{1-(1+i)^{-N}}}={\frac {1{,}000\times 0.10}{1-(1.10)^{-3}}}\approx 402.11.} Tras un único pago, los saldos retrospectivo y prospectivo coinciden: B1=1.000×1.10−402.11×1.10−10,10≈697,89,{\displaystyle B_{1}=1{,}000\times 1.10-402.11\times {\frac {1.10-1}{0.10}}\approx 697.89,} y B1=Ra2¯|0,10=402.11×1−(1.10)−20,10≈697,89.{\displaystyle B_{1}=R\,a_{{\overline {2}}|0.10}=402.11\times {\frac {1-(1.10)^{-2}}{0.10}}\approx 697.89.}

Véase también Hipoteca a tipo fijo .

Cálculos de ejemplo

Esta sección ofrece ejemplos resueltos para calcular el pago periódico.R{\displaystyle R}para una anualidad anticipada a partir de un valor presente o valor acumulado determinado. A lo largo de todo el proceso,j{\displaystyle j}denota una tasa de interés anual nominal convertiblemetro{\displaystyle m}veces al año,i=j/metro{\displaystyle i=j/m}es la tasa de interés efectiva por período de pago ynorte{\displaystyle n}es el número total de pagos.

Para una anualidad anticipada con valor presenteA{\displaystyle A}pago niveladoR{\displaystyle R}ynorte{\displaystyle n}pagos, el factor de valor presente es a¨norte¯|i=(1−(1+i)−nortei)(1+i){\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}=\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\right)(1+i)} por lo tanto el pago nivelado es

R=Aa¨norte¯|i=A(1−(1+i)−nortei)(1+i).{\displaystyle R={\frac {A}{{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|i}}}={\frac {A}{\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\right)(1+i)}}.}[ 1 ] [ 36 ] [ 18 ]

Ejemplo 1: valor presente del pago (anualidad anticipada)

Supongamos que el valor presente de una anualidad anticipada esA=70.000{\displaystyle A=70{,}000}, la tasa de interés efectiva por período esi=0,15{\displaystyle i=0.15}y haynorte=3{\displaystyle n=3}pagos anuales. El factor de anualidad anticipada es a¨3¯|0,15=(1−(1+0,15)−30,15)(1+0,15)≈2,63{\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {3}}|0.15}=\left({\frac {1-(1+0.15)^{-3}}{0.15}}\right)(1+0.15)\approx 2.63} por lo tanto el pago nivelado es R=70.0002,63≈$26.659,47.{\displaystyle R={\frac {70{,}000}{2.63}}\approx \$26{,}659.47.}

Ejemplo 2: valor presente del pago (anualidad anticipada)

Suponer250.700{\displaystyle 250{,}700}es el valor presente de una anualidad anticipada con pagos trimestrales durante 8 años a una tasa de interés anual nominal dej=0,05{\displaystyle j=0.05}capitalizado trimestralmente. Luegoi=j/metro=0,05/4=0,0125{\displaystyle i=j/m=0.05/4=0.0125}ynorte=8×4=32{\displaystyle n=8\times 4=32}. El factor de anualidad anticipada es a¨32¯|0,0125=(1−(1+0,0125)−320,0125)(1+0,0125)≈26.57{\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {32}}|0.0125}=\left({\frac {1-(1+0.0125)^{-32}}{0.0125}}\right)(1+0.0125)\approx 26.57} por lo tanto el pago nivelado es R=250.70026.57≈$9.435,71.{\displaystyle R={\frac {250{,}700}{26.57}}\approx \$9{,}435.71.}

Para una anualidad anticipada con valor acumuladoS{\displaystyle S}en ese momentonorte{\displaystyle n}pago niveladoR{\displaystyle R}ynorte{\displaystyle n}pagos, el factor de valor acumulado es s¨norte¯|i=(1+i)(1+i)norte−1i{\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}=(1+i)\,{\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}} por lo que el pago nivelado se puede escribir como

R=Ss¨norte¯|i=Si(1+i)((1+i)norte−1).{\displaystyle R={\frac {S}{{\ddot {s}}_{{\overline {n}}|i}}}={\frac {S\,i}{(1+i){\bigl (}(1+i)^{n}-1{\bigr )}}}.}[ 36 ] [ 1 ]

Ejemplo 3: valor acumulado hasta el pago (anualidad anticipada)

Supongamos que el valor acumulado de una anualidad anticipada esS=55.000{\displaystyle S=55{,}000}, con pagos mensuales durante 3 años a una tasa de interés anual nominal dej=0,15{\displaystyle j=0.15}capitalizado mensualmente. Luegoi=j/metro=0,15/12=0,0125{\displaystyle i=j/m=0.15/12=0.0125}ynorte=3×12=36{\displaystyle n=3\times 12=36}. El factor de valor acumulado de la anualidad anticipada es s¨36¯|0,0125=(1+0,0125)(1+0,0125)36−10,0125≈45,68{\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {36}}|0.0125}=(1+0.0125)\,{\frac {(1+0.0125)^{36}-1}{0.0125}}\approx 45.68} y el pago nivelado es R=55.00045,68≈$1.204,04.{\displaystyle R={\frac {55{,}000}{45.68}}\approx \$1{,}204.04.}

Véase también

Referencias

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Otras fuentes

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