Lemniscata

El estudio de las curvas con forma de ocho se remonta a Proclo , filósofo y matemático neoplatónico griego que vivió en el siglo V d. C. Proclo analizó las secciones transversales de un toroide mediante un plano paralelo a su eje. Como observó, en la mayoría de los casos, la sección transversal consta de uno o dos óvalos; sin embargo, cuando el plano es tangente a la superficie interior del toroide, la sección transversal adquiere una forma de ocho, que Proclo denominó «horquilla» ( un dispositivo para sujetar las patas de un caballo) o «hipopeda» en griego. ^{[ 8 ]} El nombre «lemniscata de Booth» para esta curva data de su estudio por el matemático James Booth , del siglo XIX . ^{[ 2 ]}

La lemniscata puede definirse como una curva algebraica , el conjunto de ceros del polinomio cuártico.${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}}$cuando el parámetro d es negativo (o cero para el caso especial en que la lemniscata se convierte en un par de círculos tangentes externamente). Para valores positivos de d se obtiene en cambio el óvalo de Booth .

En 1680, Cassini estudió una familia de curvas, ahora conocida como el óvalo de Cassini , definida de la siguiente manera: el lugar geométrico de todos los puntos cuyo producto de las distancias a dos puntos fijos, los focos de las curvas , es una constante. En circunstancias muy particulares (cuando la mitad de la distancia entre los puntos es igual a la raíz cuadrada de la constante), esto da lugar a una lemniscata.

En 1694, Johann Bernoulli estudió el caso de la lemniscata del óvalo de Cassini, ahora conocido como la lemniscata de Bernoulli (mostrada arriba), en relación con un problema de " isócronas " que Leibniz había planteado anteriormente . Al igual que la hipopedia, es una curva algebraica, el conjunto cero del polinomio.${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-a^{2}(x^{2}-y^{2})}$El hermano de Bernoulli, Jacob Bernoulli, también estudió la misma curva en el mismo año y le dio su nombre, la lemniscata. ^{[ 9 ]} También puede definirse geométricamente como el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a dos focos es igual al cuadrado de la mitad de la distancia interfocal. ^{[ 10 ]} Es un caso especial de la hipopedia (lemniscata de Booth), con${\displaystyle d=-c}$y puede formarse como una sección transversal de un toroide cuyo orificio interior y secciones transversales circulares tienen el mismo diámetro entre sí. ^{[ 2 ]} Las funciones elípticas lemniscáticas son análogas a las funciones trigonométricas para la lemniscata de Bernoulli, y las constantes de la lemniscata surgen al evaluar la longitud de arco de esta lemniscata.

Otra lemniscata, la lemniscata de Gerono o lemniscata de Huygens, es el conjunto cero del polinomio cuártico.${\displaystyle y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})}$. ^{[ 12 ] [ 13 ]} La curva de Viviani , una curva tridimensional formada por la intersección de una esfera con un cilindro, también tiene forma de ocho y tiene la lemniscata de Gerono como su proyección plana. ^{[ 14 ]}

Otras curvas algebraicas con forma de ocho incluyen:

• La curva del diablo , una curva definida por la ecuación cuártica.${\displaystyle y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})}$en la que un componente conectado tiene forma de figura de ocho, ^{[ 15 ]}
• La curva de Watt es una curva en forma de ocho formada por un mecanismo mecánico. La curva de Watt es el conjunto cero de la ecuación polinómica de sexto grado.${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0}$y tiene como caso especial la lemniscata de Bernoulli.