Modelo Sigma

En física , un modelo sigma es una teoría de campos que describe el campo como una partícula puntual confinada a moverse en una variedad fija. Esta variedad puede ser cualquier variedad riemanniana , aunque lo más común es que sea un grupo de Lie o un espacio simétrico . El modelo puede estar cuantizado o no. Un ejemplo de la versión no cuantizada es el modelo de Skyrme ; este no puede cuantizarse debido a no linealidades de potencia mayor que 4. En general, los modelos sigma admiten soluciones de solitones topológicos (clásicos) , por ejemplo, el skyrmión para el modelo de Skyrme. Cuando el campo sigma se acopla a un campo de gauge, el modelo resultante se describe mediante la teoría de Ginzburg-Landau . Este artículo se centra principalmente en la teoría de campos clásica del modelo sigma; la teoría cuantizada correspondiente se presenta en el artículo titulado " Modelo sigma no lineal ".

Descripción general

El nombre tiene sus raíces en la física de partículas, donde un modelo sigma describe las interacciones de los piones . Desafortunadamente, el "mesón sigma" no se describe mediante el modelo sigma, sino solo como un componente del mismo. ^{[ 1 ]}

El modelo sigma fue introducido por Gell-Mann y Lévy (1960 , sección 5) ; el nombre modelo σ proviene de un campo en su modelo que corresponde a un mesón sin espín llamado $σ$ , un mesón escalar introducido anteriormente por Julian Schwinger . ^{[ 2 ]} El mesón σ fue finalmente descubierto e identificado como el $f_{0}(500)$ mesón . El modelo sirvió como prototipo dominante de ruptura espontánea de simetría de O(4) a O(3): los tres generadores axiales rotos son la manifestación más simple de ruptura de simetría quiral , el O(3) superviviente no roto representa el isospín .

En los entornos convencionales de la física de partículas , el campo generalmente se toma como SU(N) , o el subespacio vectorial del cociente. $(SU(N)_{L}\times SU(N)_{R})/SU(N)$ del producto de campos quirales izquierdo y derecho. En las teorías de la materia condensada , se considera que el campo es O(N) . Para el grupo de rotación O(3), el modelo sigma describe el ferromagneto isotrópico ; más generalmente, el modelo O(N) aparece en el efecto Hall cuántico , el helio-3 superfluido y las cadenas de espín .

En los modelos de supergravedad , el campo se considera un espacio simétrico . Dado que los espacios simétricos se definen en términos de su involución , su espacio tangente se divide naturalmente en subespacios de paridad par e impar. Esta división facilita la reducción dimensional de las teorías de Kaluza-Klein .

En su forma más básica, el modelo sigma puede considerarse como la energía cinética pura de una partícula puntual; como campo, esto es simplemente la energía de Dirichlet en el espacio euclidiano.

En dos dimensiones espaciales, el modelo O(3) es completamente integrable .

Definición

La densidad lagrangiana del modelo sigma se puede escribir de diversas maneras, cada una adecuada para un tipo particular de aplicación. La definición más simple y genérica escribe la lagrangiana como la traza métrica del retroceso del tensor métrico en una variedad riemanniana . Para $\phi :M\to \Phi$ un campo sobre un espaciotiempo $M$ , esto puede escribirse como

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}

donde el $g_{ij}(\phi )$ es el tensor métrico en el espacio de campos $\phi \en \Phi$ y el $\partial _{\mu }$ son las derivadas en la variedad espaciotemporal subyacente .

Esta expresión se puede desglosar un poco. El espacio de campo $\Phi$ puede elegirse como cualquier variedad riemanniana . Históricamente, este es el "sigma" del modelo sigma; el símbolo históricamente apropiado $\sigma$ se evita aquí para prevenir conflictos con muchos otros usos comunes de $\sigma$ en geometría. Las variedades riemannianas siempre vienen con un tensor métrico. $g$ . Dado un atlas de cartas sobre $\Phi$ , el espacio de campos siempre puede trivializarse localmente , en el sentido de que dado $U\subconjunto \Phi$ En el atlas se puede escribir un mapa. $U\to \mathbb {R} ^{n}$ proporcionar coordenadas locales explícitas $\phi =(\phi ^{1},\cdots,\phi ^{n})$ en ese parche. El tensor métrico en ese parche es una matriz que tiene componentes ${\ Displaystyle g_ {ij} (\ phi).}$

El colector base $M$ debe ser una variedad diferenciable ; por convención, es o bien el espacio de Minkowski en aplicaciones de física de partículas , el espacio euclidiano plano bidimensional para aplicaciones de materia condensada , o una superficie de Riemann , la hoja de mundo en teoría de cuerdas . $\partial _{\mu }\phi =\partial \phi /\partial x^{\mu }$ es simplemente la derivada covariante de siempre en la variedad espaciotemporal base. $M.$ Cuando $M$ es plano, $\partial _{\mu }\phi =\nabla \phi$ es simplemente el gradiente ordinario de una función escalar (como $\phi$ es un campo escalar, desde el punto de vista de $M$ en sí mismo.) En un lenguaje más preciso, $\partial _ {\mu}\phi$ es una sección del haz de chorros de $M\times \Phi$ .

Ejemplo: Modelo sigma no lineal O(n)

Tomando $g_{ij}=\delta _{ij}$ la delta de Kronecker , es decir, el producto escalar en el espacio euclidiano, se obtiene el $O(n)$ modelo sigma no lineal. Es decir, escribir $\phi ={\hat {u}}$ ser el vector unitario en $\mathbb {R} ^{n}$ , de modo que ${\hat {u}}\cdot {\hat {u}}=1$ , con $\cdot$ el producto escalar euclidiano ordinario. Entonces ${\hat {u}}\in S^{n-1}$ el $(n-1)$ - esfera , cuyas isometrías son el grupo de rotación $O(n)$ El lagrangiano se puede escribir entonces como

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }{\hat {u}}\cdot \nabla _{\mu }{\hat {u}}

Para $n=3$ , este es el límite continuo del ferromagneto isotrópico en una red, es decir, del modelo clásico de Heisenberg . Para $n=2$ Este es el límite continuo del modelo XY clásico . Véanse también el modelo de n-vectores y el modelo de Potts para revisiones de los modelos reticulares equivalentes. El límite continuo se obtiene escribiendo

\delta _{h}[{\hat {u}}](i,j)={\frac {{\hat {u}}_{i}-{\hat {u}}_{j}}{h}}

como la diferencia finita en ubicaciones de red vecinas $i,j.$ Entonces $\delta _{h}[{\hat {u}}]\to \partial _{\mu }{\hat {u}}$ en el límite $h\to 0$ , y ${\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{j}\to \partial _{\mu }{\hat {u}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {u}}$ después de eliminar los términos constantes ${\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{i}=1$ (la "magnetización global").

En notación geométrica

El modelo sigma también se puede escribir en una notación geométrica más completa, como un haz de fibras con fibras $\Phi$ sobre una variedad diferenciable $M$ . Dado una sección $\phi :M\to \Phi$ fijar un punto $x\in M.$ El impulso hacia adelante en $x$ es un mapa de haces tangentes

\mathrm {d} _{x}\phi :T_{x}M\to T_{\phi (x)}\Phi \quad

tomando

\quad \partial _{\mu }\mapsto {\frac {\partial \phi ^{i}}{\partial x^{\mu }}}\partial _{i}

dónde $\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$ se considera una base de espacio vectorial ortonormal local en $TM$ y $\partial _{i}=\partial /\partial q^{i}$ la base del espacio vectorial en $T\Phi$ . El $\mathrm {d} \phi$ es una forma diferencial . La acción del modelo sigma es entonces simplemente el producto interno convencional sobre k - formas con valores vectoriales.

{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\mathrm {d} \phi \wedge {\star \mathrm {d} \phi }

donde el $\wedge$ es el producto cuña , y el $\star$ es la estrella de Hodge . Este es un producto interno de dos maneras diferentes. En la primera manera, dadas dos formas diferenciables cualesquiera $\alpha,\beta$ en $M$ , el dual de Hodge define un producto interno invariante en el espacio de formas diferenciales, comúnmente escrito como

\langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle \ =\ \int _ {M}\alpha \wedge \star \beta

Lo anterior es un producto interno en el espacio de formas integrables al cuadrado, que convencionalmente se considera el espacio de Sobolev. $L^{2}.$ De esta manera se puede escribir

{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \mathrm {d} \phi ,\mathrm {d} \phi \rangle \!\rangle

.

Esto hace explícito y claramente evidente que el modelo sigma es simplemente la energía cinética de una partícula puntual. Desde el punto de vista de la variedad $M$ , el campo $\phi$ es un escalar, y por lo tanto $\mathrm {d} \phi$ se puede reconocer simplemente el gradiente ordinario de una función escalar. La estrella de Hodge es simplemente un dispositivo sofisticado para realizar un seguimiento de la forma del volumen al integrar en el espaciotiempo curvo. En el caso de que $M$ es plano, puede ignorarse por completo y por lo tanto la acción es

{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\Vert \nabla \phi \Vert ^{2}d^{m}x

,

que es la energía de Dirichlet de $\phi$ . Los extremos clásicos de la acción (las soluciones a las ecuaciones de Lagrange ) son entonces aquellas configuraciones de campo que minimizan la energía de Dirichlet de $\phi$ Otra forma de convertir esta expresión en una forma más fácilmente reconocible es observar que, para una función escalar $f:M\to \mathbb {R}$ uno tiene $\mathrm {d} {\star }f=0$ y así también se puede escribir

{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle

dónde $\Delta$ es el operador de Laplace-Beltrami , es decir , el laplaciano ordinario cuando $M$ es plano.

Que existe otro segundo producto interno en juego simplemente requiere no olvidar que $\mathrm {d} \phi$ es un vector desde el punto de vista de $\Phi$ mismo. Es decir, dados dos vectores cualesquiera $v,w\in T\Phi$ , la métrica riemanniana $g_{ij}$ define un producto interno

\langle v,w\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}

Desde $\mathrm {d} \phi$ es un vector $\mathrm {d} \phi =(\mathrm {d} \phi ^{1},\cdots ,\mathrm {d} \phi ^{n})$ en los gráficos locales, también se toma el producto interno allí también. De manera más detallada,

{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {\star \mathrm {d} \phi ^{j}}

.

La tensión entre estos dos productos internos puede hacerse aún más explícita al observar que

B_{\mu \nu }(\phi )=g_{ij}\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial _{\nu }\phi ^{j}

es una forma bilineal ; es una imagen inversa de la métrica de Riemann. $g_{ij}$ El individuo $\partial _{\mu }\phi ^{i}$ pueden tomarse como vielbeins . La densidad lagrangiana del modelo sigma es entonces

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }B_{\mu \nu }

para $g_{\mu \nu }$ la métrica en $M.$ Dado este pegado, el $\mathrm {d} \phi$ puede interpretarse como una forma de soldadura ; esto se explica con más detalle a continuación.

Motivaciones e interpretaciones básicas

Se pueden hacer varias observaciones interpretativas y fundamentales sobre el modelo sigma clásico (no cuantizado). La primera es que el modelo sigma clásico puede interpretarse como un modelo de mecánica cuántica sin interacción. La segunda se refiere a la interpretación de la energía.

Interpretación como mecánica cuántica

Esto se deduce directamente de la expresión

{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle

dado arriba. Tomando $\Phi =\mathbb {C}$ , la función $\phi :M\to \mathbb {C}$ puede interpretarse como una función de onda , y su laplaciano como la energía cinética de esa función de onda. $\langle \!\langle \cdot ,\cdot \rangle \!\rangle$ es simplemente una maquinaria geométrica que nos recuerda que debemos integrar sobre todo el espacio. La notación mecánica cuántica correspondiente es $\phi =|\psi \rangle .$ En el espacio plano, el laplaciano se escribe convencionalmente como $\Delta =\nabla ^{2}$ Al reunir todas estas piezas, la acción del modelo sigma es equivalente a:

{\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\langle \psi |\nabla ^{2}|\psi \rangle dx^{m}={\frac {1}{2}}\int _{M}\psi ^{\dagger }(x)\nabla ^{2}\psi (x)dx^{m}

que es simplemente la energía cinética total de la función de onda $\psi (x)$ , hasta un factor de $\hbar /m$ Para concluir, el modelo sigma clásico en $\mathbb {C}$ puede interpretarse como la mecánica cuántica de una partícula cuántica libre y no interactuante. Obviamente, agregar un término de $V(\phi )$ al lagrangiano resulta en la mecánica cuántica de una función de onda en un potencial. Tomando $\Phi =\mathbb {C} ^{n}$ no es suficiente para describir el $n$ sistema de partículas, en ese $n$ Las partículas requieren $n$ coordenadas distintas, que no son proporcionadas por la variedad base. Esto se puede resolver tomando $n$ copias de la variedad base.

La forma de soldadura

Es muy conocido que la estructura geodésica de una variedad riemanniana se describe mediante las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . ^{[ 3 ]} En forma resumida, la construcción es la siguiente. Ambos $M$ y $\Phi$ son variedades riemannianas; lo siguiente está escrito para $\Phi$ , lo mismo se puede hacer para $M$ El haz cotangente $T^{*}\Phi$ , provisto de cartas de coordenadas , siempre puede trivializarse localmente , es decir

\left.T^{*}\Phi \right|_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{n}

La trivialización proporciona coordenadas canónicas $(q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})$ en el fibrado cotangente. Dado el tensor métrico $g_{ij}$ en $\Phi$ , definimos la función hamiltoniana

H(q,p)={\frac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}

donde, como siempre, conviene tener en cuenta que en esta definición se utiliza la inversa de la métrica: $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.$ Famosamente, el flujo geodésico en $\Phi$ viene dada por las ecuaciones de Hamilton-Jacobi

{\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad

y

\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}

El flujo geodésico es el flujo hamiltoniano ; las soluciones de lo anterior son las geodésicas de la variedad. Nótese, incidentalmente, que $dH/dt=0$ a lo largo de geodésicas; el parámetro de tiempo $t$ es la distancia a lo largo de la geodésica.

El modelo sigma toma los momentos en las dos variedades. $T^{*}\Phi$ y $T^{*}M$ y los suelda juntos, en ese sentido $\mathrm {d} \phi$ es una forma de soldadura . En este sentido, la interpretación del modelo sigma como un funcional de energía no es sorprendente; de hecho, es la unión de dos funcionales de energía. Precaución: la definición precisa de una forma de soldadura requiere que sea un isomorfismo; esto solo puede ocurrir si $M$ y $\Phi$ tienen la misma dimensión real. Además, la definición convencional de una forma de soldadura toma $\Phi$ ser un grupo de Lie. Ambas condiciones se cumplen en diversas aplicaciones.

Resultados en diversos espacios

El espacio $\Phi$ A menudo se toma como un grupo de Lie , usualmente SU(N) , en los modelos convencionales de física de partículas, O(N) en teorías de materia condensada, o como un espacio simétrico en modelos de supergravedad . Dado que los espacios simétricos se definen en términos de su involución , su espacio tangente (es decir, el lugar donde $\mathrm {d} \phi$ La teoría de Kaluza- Klein se divide naturalmente en subespacios de paridad par e impar. Esta división contribuye a la reducción dimensional de las teorías de Kaluza-Klein .

En los grupos de mentiras

Para el caso especial de $\Phi$ siendo un grupo de mentiras , el $g_{ij}$ es el tensor métrico en el grupo de Lie, formalmente llamado tensor de Cartan o forma de Killing . El lagrangiano puede escribirse entonces como el retroceso de la forma de Killing. Nótese que la forma de Killing puede escribirse como una traza sobre dos matrices del álgebra de Lie correspondiente ; por lo tanto, el lagrangiano también puede escribirse en una forma que involucre la traza. Con ligeros reordenamientos, también puede escribirse como el retroceso de la forma de Maurer-Cartan .

En espacios simétricos

Una variación común del modelo sigma es presentarlo en un espacio simétrico . El ejemplo prototípico es el modelo quiral , que toma el producto

G=SU(N)\times SU(N)

de los campos quirales "izquierdo" y "derecho", y luego construye el modelo sigma en la "diagonal".

\Phi ={\frac {SU(N)\times SU(N)}{SU(N)}}

Dicho espacio cociente es un espacio simétrico, y por lo tanto se puede tomar genéricamente $\Phi =G/H$ dónde $H\subset G$ es el subgrupo máximo de $G$ que es invariante bajo la involución de Cartan . El lagrangiano se sigue escribiendo exactamente como lo anterior, ya sea en términos de la imagen inversa de la métrica en $G$ a una métrica en $G/H$ o como una reversión de la forma Maurer-Cartan.

Notación de traza

En física, la formulación más común y convencional del modelo sigma comienza con la definición

L_{\mu }=\pi _{\mathfrak {m}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)

Aquí, el $g^{-1}\partial _{\mu }g$ es el retroceso de la forma Maurer-Cartan , para $g\in G$ , sobre la variedad espaciotemporal. El $\pi _{\mathfrak {m}}$ es una proyección sobre la parte de paridad impar de la involución de Cartan. Es decir, dado el álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ de $G$ La involución descompone el espacio en componentes de paridad par e impar. ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}$ correspondientes a los dos autoestados de la involución. El lagrangiano del modelo sigma se puede escribir entonces como

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)

Esto se reconoce inmediatamente como el primer término del modelo de Skyrme .

forma métrica

La forma métrica equivalente de esto es escribir un elemento de grupo. $g\in G$ como la geodésica $g=\exp(\theta ^{i}T_{i})$ de un elemento $\theta ^{i}T_{i}\in {\mathfrak {g}}$ del álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ . El $[T_{i},T_{j}]={f_{ij}}^{k}T_{k}$ son los elementos básicos del álgebra de Lie; ${f_{ij}}^{k}$ son las constantes de estructura de ${\mathfrak {g}}$ .

Sustituyendo esto directamente en lo anterior y aplicando la forma infinitesimal de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff se llega rápidamente a la expresión equivalente.

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge \star {\mathrm {d} \phi _{j}}={\frac {1}{2}}\;{W_{i}}^{m}{W^{n}}_{j}\;\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge \star {\mathrm {d} \phi _{j}}\;\;\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})

dónde $\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})$ ahora es obviamente (proporcional a) la forma de Matar, y el ${W_{i}}^{m}$ son los vielbeins que expresan la métrica "curva" $g_{ij}$ en términos de la métrica "plana" $\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})$ El artículo sobre la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff proporciona una expresión explícita para los vielbeins. Se pueden escribir como

W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}

dónde $M$ es una matriz cuyos elementos de matriz son ${M_{j}}^{k}=\theta ^{i}{f_{ij}}^{k}$ .

Para el modelo sigma en un espacio simétrico, a diferencia de un grupo de Lie, el $T_{i}$ están limitados a abarcar el subespacio ${\mathfrak {m}}$ en lugar de todo ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}$ . El conmutador de Lie en ${\mathfrak {m}}$ no estará dentro ${\mathfrak {m}}$ ; de hecho, uno tiene $[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}$ y por lo tanto, todavía se necesita una proyección.

Extensiones

El modelo puede extenderse de diversas maneras. Además del modelo de Skyrme mencionado anteriormente , que introduce términos cuárticos, el modelo puede ampliarse con un término de torsión para obtener el modelo de Wess-Zumino-Witten .

Otra posibilidad se observa con frecuencia en los modelos de supergravedad . Aquí, se observa que la forma de Maurer-Cartan $g^{-1}dg$ Parece ser de "calibre puro". En la construcción anterior para espacios simétricos, también se puede considerar la otra proyección.

A_{\mu }=\pi _{\mathfrak {h}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)

donde, como antes, el espacio simétrico correspondía a la división ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}$ Este término adicional puede interpretarse como una conexión en el haz de fibras . $M\times H$ (se transforma como un campo de calibre). Es lo que queda "sobrante" de la conexión en $G$ Puede dotarse de su propia dinámica mediante la escritura.

{\mathcal {L}}=g_{ij}F^{i}\wedge {\star }F^{j}

con $F^{i}=dA^{i}$ . Nótese que el diferencial aquí es simplemente "d", y no una derivada covariante; este no es el tensor de energía-impulso de Yang-Mills. Este término no es invariante de gauge por sí mismo; debe tomarse junto con la parte de la conexión que se incrusta en $L_{\mu }$ , de modo que, en conjunto, el $L_{\mu }$ Ahora, con la conexión como parte de ella, junto con este término, forma un lagrangiano invariante de gauge completo (que sí tiene los términos de Yang-Mills, cuando se expande).

Referencias

↑ página 114, David Tong : Lecciones sobre teoría estadística de campos
↑ Julian S. Schwinger, "Una teoría de las interacciones fundamentales", Ann. Phys. 2 (407), 1957.
↑ Jurgen Jost (1991) Geometría riemanniana y análisis geométrico, Springer

Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), "La corriente vectorial axial en la desintegración beta", Il Nuovo Cimento , 16 (4): 705–726 , Bibcode : 1960NCim...16..705G , doi : 10.1007/BF02859738 , S2CID 122945049

Ketov, Sergei (2009). "Modelo sigma no lineal" . Scholarpedia . 4 (1): 8508. Bibcode : 2009SchpJ...4.8508K . doi : 10.4249/scholarpedia.8508 .

[1] ágina 114, David Tong : Lecciones sobre teoría estadística de campos

[2] Julian S. Schwinger, "Una teoría de las interacciones fundamentales", Ann. Phys. 2 (407), 1957.

[3] Jurgen Jost (1991) Geometría riemanniana y análisis geométrico, Springer

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