Desigualdad entre AM y GM

Si${\displaystyle a,b,c>0}$, entonces la desigualdad AM-GM nos dice que

${\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)\geq 2{\sqrt {1\cdot {a}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {b}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {c}}}=8{\sqrt {abc}}}$

Un límite superior simple para${\displaystyle n!}$Se puede encontrar. AM-GM nos dice

${\displaystyle 1+2+\dots +n\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}}$

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}}$

y entonces

${\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}\right)^{n}\geq n!}$

con igualdad en${\displaystyle n=1}$.

De forma equivalente,

${\displaystyle (n+1)^{n}\geq 2^{n}n!}$

Consideremos la función

${\displaystyle f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}$

para todos los números reales positivos x , y y z . Supongamos que deseamos encontrar el valor mínimo de esta función. Se puede reescribir como: 

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&=6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}\\&=6\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}}\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle x_{1}={\frac {x}{y}},\qquad x_{2}=x_{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}},\qquad x_{4}=x_{5}=x_{6}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

Aplicando la desigualdad AM-GM para n = 6 , obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}}\\&=6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}\\&=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}.\end{aligned}}}$

Además, sabemos que ambos lados son iguales precisamente cuando todos los términos de la media son iguales:

${\displaystyle f(x,y,z)=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}\quad {\mbox{when}}\quad {\frac {x}{y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

Todos los puntos ( x , y , z ) que satisfacen estas condiciones se encuentran en una semirrecta que parte del origen y están dados por

${\displaystyle (x,y,z)={\biggr (}t,{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt {3}}\,t,{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\,t{\biggr )}\quad {\mbox{with}}\quad t>0.}$

La igualdad AM-GM se puede utilizar para demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz .

En matemáticas financieras , la desigualdad AM-GM muestra que la rentabilidad anualizada , la media geométrica, es menor que la rentabilidad anual promedio, la media aritmética.

En teoría de grafos , la desigualdad AM-GM se puede utilizar para demostrar que el número de vértices de un grafo bipartito en${\displaystyle n}$vértices está limitado superiormente por${\displaystyle {\frac {n^{2}}{4}}}$. ^{[ 4 ]} Los vértices de un grafo bipartito con${\displaystyle n}$Los vértices se pueden dividir en dos clases.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$. Dado que solo podemos dibujar aristas entre vértices de una clase y otra, el número máximo de vértices viene dado por${\displaystyle |A||B|}$Mediante la desigualdad AM-GM, podemos acotar${\displaystyle |A||B|}$desde arriba así:

${\displaystyle |A||B|\leq ({\frac {|A|+|B|}{2}})^{2}\leq {\frac {n^{2}}{4}}}$

El polinomio de Motzkin$${\displaystyle x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1}$$es un polinomio no negativo que no es una suma de polinomios cuadrados . Se puede demostrar que es no negativo usando la desigualdad AM-GM con${\displaystyle x_{1}=x^{4}y^{2}}$,${\displaystyle x_{2}=x^{2}y^{4}}$, y${\displaystyle x_{3}=1}$, ^{[ 5 ]} es decir,$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{(x^{4}y^{2})\cdot (x^{2}y^{4})\cdot (1)}}\leq {{(x^{4}y^{2})+(x^{2}y^{4})+(1)} \over {3}}.}$$Simplificando y multiplicando ambos lados por 3 se obtiene$${\displaystyle {3x^{2}y^{2}}\leq {x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}+1},}$$así ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {0\leq x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1}.}$$

La desigualdad de Jensen establece que el valor de una función cóncava de una media aritmética es mayor o igual que la media aritmética de los valores de la función. Dado que la función logaritmo es cóncava, tenemos

${\displaystyle \log \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum \log x_{i}={\frac {1}{n}}\log \left(\prod x_{i}\right)=\log \left(\left(\prod x_{i}\right)^{1/n}\right).}$

Tomando los antilogaritmos (la exponencial) de los extremos izquierdo y derecho, obtenemos la desigualdad AM-GM.

Tenemos que demostrar que

${\displaystyle \alpha ={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\beta }$

con igualdad solo cuando todos los números son iguales.

Si no todos los números son iguales, entonces existen${\displaystyle x_{i},x_{j}}$de tal manera que${\displaystyle x_{i}<\alpha <x_{j}}$. Reemplazando x _i por${\displaystyle \alpha }$y x _j por${\displaystyle (x_{i}+x_{j}-\alpha )}$dejará la media aritmética de los números sin cambios, pero aumentará la media geométrica porque

${\displaystyle \alpha (x_{j}+x_{i}-\alpha )-x_{i}x_{j}=(\alpha -x_{i})(x_{j}-\alpha )>0}$

Si los números aún no son iguales, continuamos reemplazando números como se indicó anteriormente. Después de como máximo${\displaystyle (n-1)}$tales pasos de reemplazo todos los números habrán sido reemplazados por${\displaystyle \alpha }$mientras que la media geométrica aumenta estrictamente en cada paso. Después del último paso, la media geométrica será${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\alpha \alpha \cdots \alpha }}=\alpha }$, demostrando la desigualdad.

Cabe señalar que la estrategia de reemplazo funciona igual de bien desde el lado derecho. Si alguno de los números es 0, entonces también lo será la media geométrica, demostrando así la desigualdad trivialmente. Por lo tanto, podemos suponer que todos los números son positivos. Si no son todos iguales, entonces existen ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$de tal manera que${\displaystyle 0<x_{i}<\beta <x_{j}}$. Reemplazando${\displaystyle x_{i}}$por${\displaystyle \beta }$y${\displaystyle x_{j}}$por${\displaystyle {\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}}$deja la media geométrica sin cambios pero disminuye estrictamente la media aritmética ya que

${\displaystyle x_{i}+x_{j}-\beta -{\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}={\frac {(\beta -x_{i})(x_{j}-\beta )}{\beta }}>0}$La demostración sigue entonces líneas similares a las de la sustitución anterior.

La siguiente demostración por casos se basa directamente en reglas aritméticas bien conocidas, pero emplea la técnica poco utilizada de inducción hacia adelante y hacia atrás. Es esencialmente de Augustin Louis Cauchy y se puede encontrar en su Cours d'analyse . ^{[ 7 ]}

La siguiente demostración utiliza inducción matemática y algunos cálculos diferenciales básicos .

Base de inducción : Para n = 1 la afirmación es verdadera con igualdad.

Hipótesis de inducción : Supongamos que la afirmación AM-GM se cumple para todas las elecciones de n números reales no negativos.

Paso de inducción : Para demostrar la afirmación para n + 1 números reales no negativos x ₁ , . . . , x _n , x _{n +1} , necesitamos demostrar que

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1}})^{\frac {1}{n+1}}\geq 0}$

con igualdad solo si todos los n + 1 números son iguales.

Si todos los números son cero, la desigualdad se cumple con igualdad. Si algunos números, pero no todos, son cero, tenemos una desigualdad estricta. Por lo tanto, podemos suponer que, a continuación, todos los números n + 1 son positivos.

Consideramos el último número x _{n +1} como una variable y definimos la función

${\displaystyle f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}t})^{\frac {1}{n+1}},\qquad t>0.}$

Demostrar el paso de inducción equivale a demostrar que f ( t ) ≥ 0 para todo t > 0 , y que f ( t ) = 0 solo si x ₁ , . . . , x _n y t son todos iguales. Esto se puede lograr analizando los puntos críticos de f mediante cálculo básico.  

La primera derivada de f viene dada por

${\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}},\qquad t>0.}$

Un punto crítico t ₀ tiene que satisfacer f′ ( t ₀ ) = 0 , lo que significa

${\displaystyle ({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t_{0}^{-{\frac {n}{n+1}}}=1.}$

Después de un pequeño reajuste obtenemos

${\displaystyle t_{0}^{\frac {n}{n+1}}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}},}$

y finalmente

${\displaystyle t_{0}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}},}$

que es la media geométrica de x ₁ , . . . , x _n . Este es el único punto crítico de f . Dado que f′′ ( t ) > 0 para todo t > 0 , la función f es estrictamente convexa y tiene un mínimo global estricto en t ₀ . A continuación, calculamos el valor de la función en este mínimo global:   

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{1/n}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}{\Bigr )}\\&\geq 0,\end{aligned}}}$

donde la desigualdad final se cumple debido a la hipótesis de inducción. La hipótesis también dice que podemos tener igualdad solo cuando x ₁ , . . . , x _n son todos iguales. En este caso, su media geométrica t ₀ tiene el mismo valor. Por lo tanto, a menos que x ₁ , . . . , x _n , x _{n +1} sean todos iguales, tenemos f ( x _{n +1} ) > 0 . Esto completa la demostración. 

Esta técnica se puede utilizar de la misma manera para demostrar la desigualdad generalizada AM-GM y la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el espacio euclidiano R ⁿ .

George Pólya proporcionó una demostración similar a la que sigue. Sea f ( x ) = e ^{x –1} – x para todo x real , con primera derivada f′ ( x ) = e ^{x –1} – 1 y segunda derivada f′′ ( x ) = e ^{x –1} . Observe que f (1) = 0 , f′ (1) = 0 y f′′ ( x ) > 0 para todo x real , por lo tanto f es estrictamente convexa con mínimo absoluto en x = 1 . Por lo tanto x ≤ e ^{x –1} para todo x real con igualdad solo para x = 1 .   

Consideremos una lista de números reales no negativos x ₁ , x ₂ , . . . , x _n . Si todos son cero, entonces la desigualdad AM-GM se cumple con igualdad. Por lo tanto, podemos suponer en lo que sigue que su media aritmética α > 0 . Mediante la aplicación n veces de la desigualdad anterior, obtenemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}{{\frac {x_{1}}{\alpha }}{\frac {x_{2}}{\alpha }}\cdots {\frac {x_{n}}{\alpha }}}&\leq {e^{{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1}e^{{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1}\cdots e^{{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1}}\\&=\exp {\Bigl (}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1{\Bigr )},\qquad (*)\end{aligned}}}$

con igualdad si y solo si x _i = α para todo i ∈ {1, . . . , n } . El argumento de la función exponencial se puede simplificar:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{\alpha }}-n\\&={\frac {n\alpha }{\alpha }}-n\\&=0.\end{aligned}}}$

Volviendo a (*) ,

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}{\alpha ^{n}}}\leq e^{0}=1,}$

lo que produce x ₁ x ₂ · · · x _n ≤ α ⁿ , por lo tanto el resultado ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq \alpha .}$

Si alguno de los${\displaystyle x_{i}}$son${\displaystyle 0}$, entonces no hay nada que probar. Así que podemos asumir que todo${\displaystyle x_{i}}$son estrictamente positivos.

Dado que las medias aritmética y geométrica son homogéneas de grado 1, sin pérdida de generalidad supongamos que${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=1}$. Colocar${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}x_{i}}$, y${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$. La desigualdad se demostrará (junto con el caso de igualdad) si podemos demostrar que el mínimo de${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$sujeto a la restricción${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1,}$es igual a${\displaystyle 1}$y el mínimo solo se alcanza cuando${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$. Demostremos primero que el problema de minimización con restricciones tiene un mínimo global.

Colocar${\displaystyle K=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\colon 0\leq x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\leq n\}}$. Desde la intersección${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$es compacto, el teorema del valor extremo garantiza que el mínimo de${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$sujeto a las restricciones${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$y${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in K}$se alcanza en algún punto dentro${\displaystyle K}$. Por otro lado, observe que si alguno de los${\displaystyle x_{i}>n}$, entonces${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})>1}$, mientras${\displaystyle F(1,1,\ldots ,1)=1}$, y${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)\in K\cap \{G=1\}}$Esto significa que el mínimo dentro${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$es de hecho un mínimo global, ya que el valor de${\displaystyle F}$en cualquier momento dentro${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$Ciertamente no es menor que el mínimo, y el valor de${\displaystyle F}$en cualquier momento${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$no dentro${\displaystyle K}$es estrictamente mayor que el valor en${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)}$, que no es menor que el mínimo.

El método de los multiplicadores de Lagrange dice que el mínimo global se alcanza en un punto${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$donde el gradiente de${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$es${\displaystyle \lambda }$veces el gradiente de${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$, para algunos${\displaystyle \lambda }$Demostraremos que el único momento en que esto ocurre es cuando${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$y ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=1.}$

Calcular ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{n}}}$ y

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x_{i}}}=\prod _{j\neq i}x_{j}={\frac {G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}{x_{i}}}={\frac {1}{x_{i}}}}$

a lo largo de la restricción. Por lo tanto, al establecer los gradientes proporcionales entre sí, se obtiene para cada${\displaystyle i}$eso${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {\lambda }{x_{i}}},}$y entonces${\displaystyle n\lambda =x_{i}.}$Dado que el lado izquierdo no depende de${\displaystyle i}$De ello se deduce que${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$y desde entonces${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$De ello se deduce que${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$y${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$, según se desee.

Existe una desigualdad similar para la media aritmética ponderada y la media geométrica ponderada . Específicamente, sean dados los números no negativos x ₁ , x ₂ , . . . , x _n y los pesos no negativos w ₁ , w ₂ , . . . , w _n . Sea w = w ₁ + w ₂ + · · · + w _n . Si w > 0 , entonces la desigualdad 

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}\geq {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}}$

Se cumple con igualdad si y solo si todos los x _k con w _k > 0 son iguales. Aquí se utiliza la convención 0 ⁰ = 1 .

Si todos los w _k = 1 , esto se reduce a la desigualdad anterior de medias aritméticas y geométricas.

Una versión más robusta de esto, que también proporciona una versión reforzada de la versión sin ponderación, se debe a Aldaz. Específicamente, sean dados los números no negativos x ₁ , x ₂ , . . . , x _n y los pesos no negativos w ₁ , w ₂ , . . . , w _n . Supongamos además que la suma de los pesos es 1. Entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\geq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}+\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left(x_{i}^{\frac {1}{2}}-\sum _{k=1}^{n}w_{k}x_{k}^{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$. ^{[ 9 ]}

La mayoría de las generalizaciones matriciales de la desigualdad de la media geométrica aritmética se aplican al nivel de normas unitariamente invariantes, ya que, incluso si las matrices${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son semidefinidas positivas , la matriz${\displaystyle AB}$puede que no sea semidefinida positiva y, por lo tanto, puede que no tenga una raíz cuadrada canónica. En ^{[ 10 ]} Bhatia y Kittaneh demostraron que para cualquier norma unitariamente invariante${\displaystyle |||\cdot |||}$y matrices semidefinidas positivas${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$es el caso que

${\displaystyle |||AB|||\leq {\frac {1}{2}}|||A^{2}+B^{2}|||}$

Más tarde, en ^{[ 11 ]} los mismos autores demostraron la desigualdad más fuerte que

${\displaystyle |||AB|||\leq {\frac {1}{4}}|||(A+B)^{2}|||}$

Finalmente, es conocido por dimensión${\displaystyle n=2}$que se cumple la siguiente generalización matricial más fuerte posible de la desigualdad de la media aritmético-geométrica , y se conjetura que se cumple para todo${\displaystyle n}$

${\displaystyle |||(AB)^{\frac {1}{2}}|||\leq {\frac {1}{2}}|||A+B|||}$

Esta desigualdad conjeturada fue demostrada por Stephen Drury en 2012. De hecho, demostró ^{[ 12 ].}

${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{j}(AB)}}\leq {\frac {1}{2}}\lambda _{j}(A+B),\ j=1,\ldots ,n.}$

En finanzas, gran parte de la investigación se centra en estimar con precisión la tasa de retorno de un activo a lo largo de varios periodos futuros. En el caso de los rendimientos lognormales de los activos, existe una fórmula exacta para calcular el rendimiento aritmético a partir del rendimiento geométrico.

Para simplificar, supongamos que estamos considerando rendimientos geométricos anuales r ₁ , r ₂ , ... , r _N durante un horizonte temporal de N años, es decir

${\displaystyle r_{n}={\frac {V_{n}-V_{n-1}}{V_{n-1}}},}$

dónde:

${\displaystyle V_{n}}$= valor del activo en el momento${\displaystyle n}$,

${\displaystyle V_{n-1}}$= valor del activo en el momento${\displaystyle n-1}$.

Los rendimientos geométricos y aritméticos se definen respectivamente como

${\displaystyle g_{N}=\left(\prod _{n=1}^{N}(1+r_{n})\right)^{1/N}-1,}$

${\displaystyle a_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}r_{n}.}$

Cuando los rendimientos geométricos anuales de los activos se distribuyen lognormalmente, se puede utilizar la siguiente fórmula para convertir el rendimiento medio geométrico en el rendimiento medio aritmético: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle 1+g_{N}={\frac {1+a_{N}}{\sqrt {1+{\frac {\sigma ^{2}}{(1+a_{N})^{2}}}}}},}$

dónde${\displaystyle \sigma ^{2}}$es la varianza de los rendimientos observados de los activos _. Esta ecuación implícita para N se puede resolver exactamente de la siguiente manera. Primero, observe que al establecer

${\displaystyle z=(1+a_{N})^{2},}$

obtenemos una ecuación polinómica de grado 2:

${\displaystyle z^{2}-(1+g)^{2}-(1+g)^{2}\sigma ^{2}=0.}$

Resolviendo esta ecuación para z y utilizando la definición de z , obtenemos 4 posibles soluciones para a _N :

${\displaystyle a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1\pm {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

Sin embargo, observe que

${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}\geq 1.}$

Esto implica que las únicas 2 soluciones posibles son (ya que los rendimientos de los activos son números reales):

${\displaystyle a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

Finalmente, esperamos que la derivada de a _N con respecto a g _N sea no negativa, ya que un aumento en el rendimiento geométrico nunca debería causar una disminución en el rendimiento aritmético. De hecho, ambos miden el crecimiento promedio del valor de un activo y, por lo tanto, deberían moverse en direcciones similares. Esto nos deja con una solución a la ecuación implícita para a _N , a saber:

${\displaystyle a_{N}={\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

Por lo tanto, bajo el supuesto de que los rendimientos de los activos siguen una distribución lognormal, el rendimiento aritmético de los activos está totalmente determinado por el rendimiento geométrico de los mismos.