Resolución de Adams

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , existe una resolución análoga a las resoluciones libres de espectros que proporciona una herramienta para construir la secuencia espectral de Adams . Esencialmente, la idea es tomar un espectro conectivo de tipo finito. $X$ y resolver iterativamente con otros espectros que están en el núcleo de homotopía de un mapa que resuelve las clases de cohomología en $H^{*}(X;\mathbb {Z} /p)$ utilizando espectros de Eilenberg-MacLane .

Esta construcción se puede generalizar utilizando un espectro. $E$ como el espectro de Brown-Peterson $BP$ o el espectro de cobordismo complejo $MU$ y se utiliza en la construcción de la secuencia espectral de Adams-Novikov ^{[ 1 ]}^{pág. 49} .

Construcción

El mod $p$ Resolución de Adams $(X_{s},g_{s})$ para un espectro $X$ es un cierto "complejo de cadena" de espectros inducidos al observar recursivamente las fibras de mapas en espectros generalizados de Eilenberg-Maclane que dan generadores para la cohomología de espectros resueltos ^{[ 1 ]}^{pág. 43} . Por esto, comenzamos considerando el mapa

${\begin{matrix}X\\\downarrow \\K\end{matrix}}$

dónde $K$ es un espectro de Eilenberg-Maclane que representa los generadores de $H^{*}(X)$ , por lo tanto es de la forma

$K=\bigvee _{k=1}^{\infty }\bigvee _{I_{k}}\Sigma ^{k}H\mathbb {Z} /p$

dónde $I_{k}$ índices una base de $H^{k}(X)$ y el mapa proviene de las propiedades de los espectros de Eilenberg-Maclane . Entonces, podemos tomar la fibra de homotopía de este mapa (que actúa como un núcleo de homotopía) para obtener un espacio $X_{1}$ . Nota: ahora establecemos $X_{0}=X$ y $K_{0}=K$ Entonces, podemos formar un diagrama conmutativo .

${\begin{matrix}X_{0}&\leftarrow &X_{1}\\\downarrow &&\\K_{0}\end{matrix}}$

donde el mapa horizontal es el mapa de fibra. Iterar recursivamente a través de esta construcción produce un diagrama conmutativo

${\begin{matrix}X_{0}&\leftarrow &X_{1}&\leftarrow &X_{2}&\leftarrow \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\K_{0}&&K_{1}&&K_{2}\end{matrix}}$

entregando la colección $(X_{s},g_{s})$ . Esto significa

$X_{s}={\text{Hofiber}}(f_{s-1}:X_{s-1}\to K_{s-1})$

es la fibra homotópica de $f_{s-1}$ y $g_{s}:X_{s}\to X_{s-1}$ Proviene de las propiedades universales de la fibra homotópica.

Resolución de la cohomología de un espectro

Ahora podemos usar la resolución de Adams para construir una libre ${\mathcal {A}}_{p}$ -resolución de la cohomología $H^{*}(X)$ de un espectro $X$ . A partir de la resolución de Adams, hay secuencias exactas cortas.

$0\leftarrow H^{*}(X_{s})\leftarrow H^{*}(K_{s})\leftarrow H^{*}(\Sigma X_{s+1})\leftarrow 0$

que pueden unirse para formar una larga secuencia exacta

$0\leftarrow H^{*}(X)\leftarrow H^{*}(K_{0})\leftarrow H^{*}(\Sigma K_{1})\leftarrow H^{*}(\Sigma ^{2}K_{2})\leftarrow \cdots$

dar una resolución gratuita de $H^{*}(X)$ como un ${\mathcal {A}}_{p}$ -módulo.

Resolución E _{* - Adams}

Debido a las dificultades técnicas que existen para estudiar el anillo de cohomología $E^{*}(E)$ en general ^{[ 2 ]}^{pág. 280} , nos restringimos al caso de considerar la coálgebra de homología $E_{*}(E)$ (de cooperaciones). Nota para el caso $E=H\mathbb {F} _{p}$ , $H\mathbb {F} _{p*}(H\mathbb {F} _{p})={\mathcal {A}}_{*}$ es el álgebra dual de Steenrod . Dado que $E_{*}(X)$ es un $E_{*}(E)$ -comomódulo, podemos formar el grupo bigraduado

${\text{Ext}}_{E_{*}(E)}(E_{*}(\mathbb {S} ),E_{*}(X))$

que contiene el $E_{2}$ -página de la secuencia espectral de Adams-Novikov para $X$ que cumple una lista de condiciones técnicas ^{[ 1 ]}^{pág. 50} . Para obtener esta página, debemos construir la $E_{*}$ -Resolución de Adams ^{[ 1 ]}^{pág. 49} , que es algo análoga a la resolución cohomológica anterior. Decimos que un diagrama de la forma

${\begin{matrix}X_{0}&\xleftarrow {g_{0}} &X_{1}&\xleftarrow {g_{1}} &X_{2}&\leftarrow \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\K_{0}&&K_{1}&&K_{2}\end{matrix}}$

donde las flechas verticales $f_{s}:X_{s}\to K_{s}$ es un $E_{*}$ -Resolución de Adams si

$X_{s+1}={\text{Hofiber}}(f_{s})$ es la fibra homotópica de $f_{s}$
$E\wedge X_{s}$ es una retractación de $E\wedge K_{s}$ , por eso $E_{*}(f_{s})$ es un monomorfismo . Por retraer, queremos decir que hay un mapa $h_{s}:E\wedge K_{s}\to E\wedge X_{s}$ de tal manera que $h_{s}(E\wedge f_{s})=id_{E\wedge X_{s}}$
$K_{s}$ es una retractación de $E\wedge K_{s}$
${\text{Ext}}^{t,u}(E_{*}(\mathbb {S} ),E_{*}(K_{s}))=\pi _{u}(K_{s})$ si $t=0$ , de lo contrario es $0$

Aunque parezca una larga lista de propiedades, son muy importantes en la construcción de la secuencia espectral. Además, las propiedades de retracción afectan la estructura de construcción de la $E_{*}$ -Resolución de Adams ya que ya no necesitamos tomar una suma de cuña de espectros para cada generador .

Construcción para espectros de anillos

La construcción de la $E_{*}$ -La resolución de Adams es bastante sencilla de enunciar en comparación con la resolución anterior para cualquier espectro de anillo asociativo, conmutativo y conectivo. $E$ satisfaciendo algunas hipótesis adicionales. Estas incluyen: $E_{*}(E)$ estar plano sobre $\pi _{*}(E)$ , $\mu _{*}$ en $\pi _{0}$ siendo un isomorfismo, y $H_{r}(E;A)$ con $\mathbb {Z} \subset A\subset \mathbb {Q}$ siendo generado finitamente para el cual el mapa de anillo único

${\displaystyle \theta$

se extiende al máximo. Si establecemos

$K_{s}=E\wedge F_{s}$

y dejar

$f_{s}:X_{s}\to K_{s}$

Sea el mapa canónico, podemos establecer

$X_{s+1}={\text{Hofiber}}(f_{s})$

Tenga en cuenta que $E$ es una retractación de $E\wedge E$ de su estructura de espectro de anillo , por lo tanto $E\wedge X_{s}$ es una retractación de $E\wedge K_{s}=E\wedge E\wedge X_{s}$ y de manera similar, $K_{s}$ es una retractación de $E\wedge K_{s}$ . Además

$E_{*}(K_{s})=E_{*}(E)\otimes _{\pi _{*}(E)}E_{*}(X_{s})$

lo que proporciona el deseado ${\text{Ext}}$ términos de la planitud.

Relación con el complejo de cobar

Resulta que el $E_{1}$ El término -de la secuencia espectral de Adams-Novikov asociada es entonces complejo cobar $C^{*}(E_{*}(X))$ .

Véase también

Referencias

1 2 3 4 Ravenel, Douglas C. (1986). Cobordismo complejo y grupos de homotopía estable de esferas . Orlando: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1OCLC 316566772
↑ Adams, J. Frank (John Frank) (1974). Homotopía estable y homología generalizada . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-00523-2OCLC 1083550 .

[:0-1] 1 2 3 4 Ravenel, Douglas C. (1986). Cobordismo complejo y grupos de homotopía estable de esferas . Orlando: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1OCLC 316566772

[:02-2] Adams, J. Frank (John Frank) (1974). Homotopía estable y homología generalizada . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-00523-2OCLC 1083550 .