Clasificación de Petrov

En geometría diferencial y física teórica , la clasificación de Petrov (también conocida como clasificación de Petrov-Pirani-Penrose) describe las posibles simetrías algebraicas del tensor de Weyl en cada evento en una variedad lorentziana .

Se aplica con mayor frecuencia al estudio de soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein , pero, estrictamente hablando, la clasificación es un teorema de matemáticas puras que se aplica a cualquier variedad lorentziana, independientemente de cualquier interpretación física. La clasificación fue descubierta en 1954 por A. Z. Petrov e independientemente por Félix Pirani en 1957.

Podemos pensar en un tensor de cuarto rango , como el tensor de Weyl , evaluado en algún evento , como si actuara sobre el espacio de bivectores en ese evento como un operador lineal que actúa sobre un espacio vectorial:

${\displaystyle X^{ab}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}X^{mn}}$

Entonces, es natural considerar el problema de encontrar los valores propios.${\displaystyle \lambda }$y vectores propios (que ahora se denominan bivectores propios)${\displaystyle X^{ab}}$de tal manera que

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}\,X^{mn}=\lambda \,X^{ab}}$

En los espaciotiempos lorentzianos (de cuatro dimensiones), existe un espacio de seis dimensiones de bivectores antisimétricos en cada evento. Sin embargo, las simetrías del tensor de Weyl implican que cualquier bivector propio debe pertenecer a un subconjunto de cuatro dimensiones. Por lo tanto, el tensor de Weyl (en un evento dado) puede tener, de hecho, como máximo cuatro bivectores propios linealmente independientes.

Los autovectores del tensor de Weyl pueden tener diversas multiplicidades , y cualquier multiplicidad entre ellos indica una especie de simetría algebraica del tensor de Weyl en el evento dado. Los diferentes tipos de tensor de Weyl (en un evento dado) se pueden determinar resolviendo una ecuación característica , en este caso una ecuación cuártica . Todo lo anterior se desarrolla de forma similar a la teoría de los autovectores de un operador lineal ordinario.

Estos bivectores propios están asociados con ciertos vectores nulos en el espaciotiempo original, que se denominan direcciones nulas principales (en un evento dado). El álgebra multilineal relevante es algo compleja (véanse las citas a continuación), pero el teorema de clasificación resultante establece que existen precisamente seis tipos posibles de simetría algebraica. Estos se conocen como los tipos de Petrov :

• Tipo I : cuatro direcciones nulas principales simples,
• Tipo II : una dirección nula principal doble y dos simples,
• Tipo D : dos direcciones nulas principales dobles,
• Tipo III : una dirección nula principal triple y una simple,
• Tipo N : una dirección nula principal cuádruple,
• Tipo O : el tensor de Weyl se anula.

En la figura se muestran las posibles transiciones entre los tipos de Petrov, lo que también puede interpretarse como una indicación de que algunos tipos de Petrov son "más especiales" que otros. Por ejemplo, el tipo I , el tipo más general, puede degenerar en los tipos II o D , mientras que el tipo II puede degenerar en los tipos III , N o D.

Diferentes eventos en un espaciotiempo dado pueden tener diferentes tipos de Petrov. Un tensor de Weyl que tiene tipo I (en algún evento) se llama algebraicamente general ; de lo contrario, se llama algebraicamente especial (en ese evento). En la Relatividad General, los espaciotiempos de tipo O son conformemente planos .

El formalismo de Newman-Penrose se utiliza con frecuencia en la práctica para la clasificación. Consideremos el siguiente conjunto de bivectores, construidos a partir de tétradas de vectores nulos (nótese que en algunas notaciones, los símbolos l y n se intercambian):

${\displaystyle U_{ab}=-2l_{[a}{\bar {m}}_{b]}}$

${\displaystyle V_{ab}=2n_{[a}m_{b]}}$

${\displaystyle W_{ab}=2m_{[a}{\bar {m}}_{b]}-2n_{[a}l_{b]}.}$

El tensor de Weyl puede expresarse como una combinación de estos bivectores a través de

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}&=\Psi _{0}U_{ab}U_{cd}\\&\,\,\,+\Psi _{1}(U_{ab}W_{cd}+W_{ab}U_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{2}(V_{ab}U_{cd}+U_{ab}V_{cd}+W_{ab}W_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{3}(V_{ab}W_{cd}+W_{ab}V_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{4}V_{ab}V_{cd}+cc\end{aligned}}}$

donde el${\displaystyle \{\Psi _{j}\}}$son los escalares de Weyl y cc es el conjugado complejo. Los seis tipos diferentes de Petrov se distinguen por cuáles de los escalares de Weyl se anulan. Las condiciones son

• Tipo I  :${\displaystyle \Psi _{0}=0}$,
• Tipo II  :${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=0}$,
• Tipo D  :${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$,
• Tipo III  :${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=0}$,
• Tipo N  :${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=0}$,
• Tipo O  :${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$.

Dada una métrica en una variedad lorentziana${\displaystyle M}$, el tensor de Weyl${\displaystyle C}$para que se pueda calcular esta métrica. Si el tensor de Weyl es algebraicamente especial en algún${\displaystyle p\in M}$, existe un conjunto útil de condiciones, hallado por Lluis (o Louis) Bel y Robert Debever, ^{[ 1 ]} para determinar con precisión el tipo Petrov en${\displaystyle p}$. Denotando los componentes del tensor de Weyl en${\displaystyle p}$por${\displaystyle C_{abcd}}$(suponiendo que no es cero, es decir, que no es de tipo O ), el criterio de Bel se puede enunciar como:

• ${\displaystyle C_{abcd}}$es de tipo N si y solo si existe un vector${\displaystyle k(p)}$satisfactorio

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{d}=0}$

dónde${\displaystyle k}$es necesariamente nulo y único (salvo escalado).

• Si${\displaystyle C_{abcd}}$no es de tipo N , entonces${\displaystyle C_{abcd}}$es de tipo III si y solo si existe un vector${\displaystyle k(p)}$satisfactorio

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=0={^{*}C}_{abcd}\,k^{b}k^{d}}$

dónde${\displaystyle k}$es necesariamente nulo y único (salvo escalado).

• ${\displaystyle C_{abcd}}$es de tipo II si y solo si existe un vector${\displaystyle k}$satisfactorio

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$y${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$(${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$)

dónde${\displaystyle k}$es necesariamente nulo y único (salvo escalado).

• ${\displaystyle C_{abcd}}$es de tipo D si y solo si existen dos vectores linealmente independientes${\displaystyle k}$,${\displaystyle k'}$satisfaciendo las condiciones

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$,${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$(${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$)

y

${\displaystyle C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}}$,${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}}$(${\displaystyle \gamma \delta \neq 0}$).

dónde${\displaystyle {{}^{*}C}_{abcd}}$es el dual del tensor de Weyl en${\displaystyle p}$.

De hecho, para cada criterio anterior, existen condiciones equivalentes para que el tensor de Weyl sea de ese tipo. Estas condiciones equivalentes se expresan en términos del dual y el autodual del tensor de Weyl y ciertos bivectores, y se recogen en Hall (2004).

Los criterios de Bel encuentran aplicación en la relatividad general, donde la determinación del tipo Petrov de tensores de Weyl algebraicamente especiales se logra mediante la búsqueda de vectores nulos.

Según la relatividad general , los distintos tipos de Petrov, algebraicamente especiales, tienen algunas interpretaciones físicas interesantes, por lo que a veces se denomina a esta clasificación clasificación de campos gravitatorios .

Las regiones de tipo D están asociadas con los campos gravitatorios de objetos masivos aislados, como las estrellas. Más precisamente, los campos de tipo D se presentan como el campo exterior de un objeto gravitatorio, caracterizado completamente por su masa y momento angular. (Un objeto más general podría tener momentos multipolares superiores distintos de cero). Las dos direcciones nulas principales dobles definen congruencias nulas entrantes y salientes radiales cerca del objeto que origina el campo.

El tensor electrogravitacional (o tensor de marea ) en una región de tipo D es muy similar a los campos gravitatorios descritos en la gravedad newtoniana por un potencial gravitatorio de tipo Coulomb . Dicho campo de marea se caracteriza por tensión en una dirección y compresión en las direcciones ortogonales; los autovalores siguen el patrón (-2,1,1). Por ejemplo, una nave espacial que orbita la Tierra experimenta una pequeña tensión a lo largo de un radio desde el centro de la Tierra y una pequeña compresión en las direcciones ortogonales. Al igual que en la gravedad newtoniana, este campo de marea suele decaer como${\displaystyle O(r^{-3})}$, dónde${\displaystyle r}$es la distancia desde el objeto.

Si el objeto gira alrededor de algún eje , además de los efectos de marea, habrá varios efectos gravitomagnéticos , como fuerzas de espín-espín sobre giroscopios llevados por un observador. En el vacío de Kerr , que es el ejemplo más conocido de solución de vacío de tipo D , esta parte del campo decae como${\displaystyle O(r^{-4})}$.

Las regiones de tipo III están asociadas con un tipo de radiación gravitacional longitudinal . En dichas regiones, las fuerzas de marea tienen un efecto de cizallamiento . Esta posibilidad a menudo se ignora, en parte porque la radiación gravitacional que surge en la teoría de campo débil es de tipo N , y en parte porque la radiación de tipo III decae como${\displaystyle O(r^{-2})}$, que es más rápida que la radiación de tipo N.

Las regiones de tipo N están asociadas con la radiación gravitacional transversal , que es el tipo que los astrónomos han detectado con LIGO . La dirección nula principal cuádruple corresponde al vector de onda que describe la dirección de propagación de esta radiación. Típicamente decae como${\displaystyle O(r^{-1})}$, por lo que el campo de radiación de largo alcance es de tipo N.

Las regiones de tipo II combinan los efectos mencionados anteriormente para los tipos D , III y N , de una manera no lineal bastante compleja.

Las regiones de tipo O , o regiones conformemente planas , se asocian con lugares donde el tensor de Weyl se anula idénticamente. En este caso, se dice que la curvatura es de Ricci pura . En una región conformemente plana, cualquier efecto gravitatorio debe deberse a la presencia inmediata de materia o a la energía de campo de algún campo no gravitatorio (como un campo electromagnético ). En cierto sentido, esto significa que ningún objeto distante ejerce influencia a largo alcance sobre los eventos en nuestra región. Más precisamente, si existen campos gravitatorios variables en el tiempo en regiones distantes, la información aún no ha llegado a nuestra región conformemente plana.

La radiación gravitacional emitida por un sistema aislado generalmente no presenta características algebraicas especiales. El teorema de desprendimiento describe cómo, al alejarse de la fuente de radiación, los distintos componentes del campo de radiación se van desprendiendo, hasta que finalmente solo se percibe radiación de tipo N a grandes distancias. Esto es similar al teorema de desprendimiento electromagnético .

En algunas soluciones (más o menos) conocidas, el tensor de Weyl tiene el mismo tipo de Petrov en cada evento:

• El vacío de Kerr es de tipo D en todas partes ,
• Ciertas aspiradoras Robinson/Trautman son de tipo III en todas partes ,
• Los espaciotiempos de onda pp son de tipo N en todas partes ,
• Los modelos FLRW son de tipo O en todas partes .

En términos más generales, cualquier espaciotiempo con simetría esférica debe ser de tipo D (o O ). Se conocen todos los espaciotiempos algebraicamente especiales que poseen diversos tipos de tensor de energía-impulso ; por ejemplo, todas las soluciones de vacío de tipo D.

Algunas clases de soluciones pueden caracterizarse de forma invariante mediante simetrías algebraicas del tensor de Weyl: por ejemplo, la clase de soluciones de electrovacío nulo o polvo nulo no conformemente planas que admiten una congruencia nula expansiva pero no retorcida es precisamente la clase de espaciotiempos de Robinson/Trautmann . Estas suelen ser de tipo II , pero incluyen ejemplos de tipo III y tipo N.

A. Coley, R. Milson, V. Pravda y A. Pravdová (2004) desarrollaron una generalización de la clasificación algebraica a una dimensión espaciotemporal arbitraria.${\displaystyle d}$Su enfoque utiliza un método de base de marco nulo , es decir, una base de marco que contiene dos vectores nulos.${\displaystyle l}$y${\displaystyle n}$, junto con${\displaystyle d-2}$Vectores de tipo espacial. Los componentes de la base del marco del tensor de Weyl se clasifican según sus propiedades de transformación bajo transformaciones de Lorentz locales . Si componentes particulares de Weyl se anulan, entonces${\displaystyle l}$y/o${\displaystyle n}$Se dice que son Direcciones Nulas Alineadas con Weyl (WANDs). En cuatro dimensiones,${\displaystyle l}$es una varita si y solo si es una dirección nula principal en el sentido definido anteriormente. Este enfoque proporciona una extensión natural de dimensiones superiores para cada uno de los diversos tipos algebraicos II , D, etc., definidos anteriormente.

De Smet (2002) definió previamente una generalización alternativa, aunque no equivalente,  basada en un enfoque espinorial . Sin embargo,  el enfoque de De Smet se limita a solo 5 dimensiones.

• Clasificación de los campos electromagnéticos
• Soluciones exactas en la relatividad general
• Clasificación Segre
• Teorema de desprendimiento
• Tensor de Plebanski
• Teorema de Goldberg-Sachs

• Coley, A.; et  al. (2004). "Clasificación del tensor de Weyl en dimensiones superiores". Classical and Quantum Gravity . 21 (7): L35– L42. arXiv : gr-qc/0401008 . Bibcode : 2004CQGra..21L..35C . doi : 10.1088/0264-9381/21/7/L01 . S2CID 31859828 . 
• de Smet, P. (2002). "Los agujeros negros en cilindros no son algebraicamente especiales". Classical and Quantum Gravity . 19 (19): 4877– 4896. arXiv : hep-th/0206106 . Bibcode : 2002CQGra..19.4877D . doi : 10.1088/0264-9381/19/19/307 . S2CID 15772816 . 
• d'Inverno, Ray (1992). Introducción a la relatividad de Einstein . Oxford: Oxford University Press . ISBN 0-19-859686-3.Véanse las secciones 21.7 y 21.8.
• Hall, Graham (2004). Simetrías y estructura de curvatura en la relatividad general (World Scientific Lecture Notes in Physics) . Singapur: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-02-1051-5.Consulte las secciones 7.3 y 7.4 para obtener un análisis exhaustivo de la clasificación de Petrov .
• MacCallum, MAH (2000). "Nota del editor: Clasificación de espacios que definen campos gravitacionales". Relatividad general y gravitación . 32 (8): 1661– 1663. Bibcode : 2000GReGr..32.1661P . doi : 10.1023/A:1001958823984 . S2CID 116370483 . 
• Penrose, Roger (1960). "Un enfoque espinorial a la relatividad general". Annals of Physics . 10 (2): 171– 201. Bibcode : 1960AnPhy..10..171P . doi : 10.1016/0003-4916(60)90021-X .
• Petrov, AZ (1954). "Klassifikacya prostranstv opredelyayushchikh polya tyagoteniya". Uh. Zapiski Kazán. Vaya. Univ . 114 (8): 55-69 . Traducción al inglés Petrov, AZ (2000). "Clasificación de espacios definidos por campos gravitatorios". Relatividad general y gravitación . 32 (8): 1665– 1685. Bibcode : 2000GReGr..32.1665P . doi : 10.1023/A:1001910908054 . S2CID 73540912 . 
• Petrov, AZ (1969). Espacios de Einstein . Oxford: Pergamon. ISBN 0080123155.Traducido por RF Kelleher y J. Woodrow.
• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C. y Herlt, E. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46136-7.Véanse los capítulos 4 y 26.