Mapa del gato de Arnold

En matemáticas , el mapa del gato de Arnold es un mapa caótico del toro dentro de sí mismo, llamado así en honor a Vladimir Arnold , quien demostró sus efectos en la década de 1960 utilizando una imagen de un gato, de ahí el nombre. ^[1] Es un ejemplo simple y pedagógico de automorfismos torales hiperbólicos.

Pensando en el toro como el espacio cociente , el mapa del gato de Arnold es la transformación dada por la fórmula ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \Gamma :\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}}$

${\displaystyle \Gamma (x,y)=(2x+y,x+y){\bmod {1}}.}$

De manera equivalente, en notación matricial , esto es

${\displaystyle \Gamma \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}.}$

Es decir, con una unidad igual al ancho de la imagen cuadrada, la imagen se desplaza una unidad hacia arriba, luego dos unidades hacia la derecha, y todo lo que se encuentra fuera de esa unidad cuadrada se desplaza hacia atrás por la unidad hasta que queda dentro del cuadrado.

El mapa recibe su nombre del manuscrito de Arnold de 1967 con André Avez, Problèmes ergodiques de la mécanique classique ^[1] , en el que se utilizó el contorno de un gato para ilustrar la acción del mapa sobre el toro. En el libro original, estaba subtitulado con una nota humorística:

La Société Protectrice des Animaux ha dado permiso para reproducir esta imagen, así como otras.

En el ruso nativo de Arnold, el mapa se conoce como " okroshka (sopa fría) de gato" ( en ruso : окрошка из кошки ), en referencia a las propiedades de mezcla del mapa, y que forma un juego de palabras. Arnold escribió más tarde que le parecía "extraño" el nombre "Arnold's Cat" con el que se conoce al mapa en inglés y otros idiomas. ^[2]

• Γ es invertible porque la matriz tiene determinante 1 y por lo tanto su inversa tiene entradas enteras ,
• Γ es preservación del área ,
• Γ tiene un único punto fijo hiperbólico (los vértices del cuadrado). La transformación lineal que define la función es hiperbólica: sus valores propios son números irracionales, uno mayor y otro menor que 1 (en valor absoluto), por lo que están asociados respectivamente a un espacio propio en expansión y a otro en contracción que son también las variedades estable e inestable . Los espacios propios son ortogonales porque la matriz es simétrica . Puesto que los vectores propios tienen componentes racionalmente independientes , ambos espacios propios cubren densamente el toro. La función del gato de Arnold es un ejemplo particularmente conocido de un automorfismo toral hiperbólico , que es un automorfismo de un toro dado por una matriz unimodular cuadrada que no tiene valores propios de valor absoluto 1. ^[3]
• El conjunto de puntos con una órbita periódica es denso en el toro. En realidad, un punto es periódico si y solo si sus coordenadas son racionales .
• Γ es topológicamente transitiva (es decir, hay un punto cuya órbita es densa ).
• El número de puntos con período es exactamente (donde y son los valores propios de la matriz). Por ejemplo, los primeros términos de esta serie son 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205... ^[4] (La misma ecuación se cumple para cualquier automorfismo toral hiperbólico unimodular si se reemplazan los valores propios).${\estilo de visualización n}$${\displaystyle |\lambda_{1}^{n}+\lambda_{2}^{n}-2|}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$
• Γ es ergódico y mixto ,
• Γ es un difeomorfismo de Anosov y en particular es estructuralmente estable .
• El toro de aplicación de Γ es una variedad solv y, como ocurre con otros difeomorfismos de Anosov, esta variedad tiene geometría solv .

Es posible definir un análogo discreto del mapa del gato. Una de las características de este mapa es que la imagen parece aleatorizada por la transformación, pero vuelve a su estado original después de una serie de pasos. Como se puede ver en la imagen adyacente, la imagen original del gato se corta y luego se envuelve en la primera iteración de la transformación. Después de algunas iteraciones, la imagen resultante parece bastante aleatoria o desordenada, pero después de más iteraciones la imagen parece tener un mayor orden (imágenes fantasmales del gato, múltiples copias más pequeñas dispuestas en una estructura repetitiva e incluso copias invertidas de la imagen original) y, en última instancia, vuelve a la imagen original.

El mapa de gato discreto describe el flujo del espacio de fase correspondiente a la dinámica discreta de un salto de perlas desde el sitio q _t (0 ≤ q _t < N ) al sitio q _{t +1} en un anillo circular con circunferencia N , de acuerdo con la ecuación de segundo orden :

${\displaystyle q_{t+1}-3q_{t}+q_{t-1}=0\mod N}$

Al definir la variable de momento p _t = q _t  −  q _{t −1} , la dinámica de segundo orden anterior se puede reescribir como una aplicación del cuadrado 0 ≤ q , p < N (el espacio de fase del sistema dinámico discreto) sobre sí mismo:

${\displaystyle q_{t+1}=2q_{t}+p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t+1}=q_{t}+p_{t}\mod N}$

Esta representación del gato de Arnold muestra un comportamiento de mezcla típico de los sistemas caóticos. Sin embargo, dado que la transformación tiene un determinante igual a la unidad, preserva el área y, por lo tanto, es invertible ; la transformación inversa es:

${\displaystyle q_{t-1}=q_{t}-p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t-1}=-q_{t}+2p_{t}\mod N}$

Para las variables reales q y p , es común establecer N = 1. En ese caso, el resultado es una aplicación del cuadrado unitario con condiciones de contorno periódicas sobre sí mismo.

Cuando N se establece en un valor entero, las variables de posición y momento se pueden restringir a números enteros y la asignación se convierte en una asignación de una cuadrícula cuadrada toroidal de puntos sobre sí misma. Este mapa de gato entero se utiliza comúnmente para demostrar el comportamiento de mezcla con recurrencia de Poincaré utilizando imágenes digitales. Se puede demostrar que la cantidad de iteraciones necesarias para restaurar la imagen nunca supera las 3N. ^[5]

Para una imagen, la relación entre iteraciones podría expresarse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}n=0:\quad &T^{0}(x,y)&=&{\text{Imagen de entrada}}(x,y)\\n=1:\quad &T^{1}(x,y)&=&T^{0}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=k:\quad &T^{k}(x,y)&=&T^{k-1}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=m:\quad &{\text{Imagen de salida}}(x,y)&=&T^{m}(x,y)\end{array}}}$

importar  sistema operativo

Desde  PIL.Importación  de imagen  abierta  como  load_pic ,  nueva  como  new_pic

def  main ( path ,  iterations ,  keep_all = False ,  name = " arnold_cat- { name } - { index} .png " ) : " 
""     Parámetros         path:str             ruta a la fotografía         iterations:int             número de iteraciones a calcular         name:str cadena             formateable para usar como plantilla para nombres de archivo "     "" title = os.path.splitext ( os.path.split ( path )[ 1 ] )[ 0 ] counter = 0 while counter < iterations : with load_pic ( path ) as image : dim = width , height = image.size with new_pic ( image.mode , dim ) as canvas : for x in range ( width ) : for y in range ( height ) : nx = ( 2 * x + y ) % width ny = ( x + y ) % height    








      
      
       
           
                 
                
                   
                       
                                
                              

                        lienzo . putpixel (( nx ,  altura - ny - 1 ),  imagen . getpixel (( x ,  altura - y - 1 )))

        si  contador  >  0  y  no  keep_all : 
            os . remove ( ruta ) 
        contador  +=  1 
        print ( contador ,  fin = " \r " ) 
        ruta  =  nombre . formato ( nombre = título ,  índice = contador ) 
        lienzo . guardar ( ruta )

    Devolver  el lienzo

if  __name__  ==  "__main__" : 
    path  =  input ( "Ingrese la ruta a una imagen: \n\t " ) 
    while  not  os . path . exists ( path ): 
        path  =  input ( "No se pudo encontrar la imagen elegida, por favor intente nuevamente: \n\t " ) 
    result  =  main ( path ,  3 ) 
    result . show ()

• Lista de mapas caóticos
• Gráfico de recurrencia

• Weisstein, Eric W. "Mapa del gato de Arnold". MathWorld .
• Efecto de la aleatorización de las condiciones iniciales sobre el tiempo de recurrencia
• Mapa del Gato de Arnold por Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project .
• El mapa del gato de Arnold: una exploración gráfica interactiva