Mapa del gato de Arnold

En matemáticas , el mapa del gato de Arnold es un mapa caótico del toro en sí mismo, llamado así en honor a Vladimir Arnold , quien demostró sus efectos en la década de 1960 usando una imagen de un gato , de ahí el nombre. ^{[ 1 ]} Es un ejemplo simple y pedagógico de automorfismos torales hiperbólicos .

Pensando en el toroide${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$como el espacio cociente${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$, el mapa del gato de Arnold es la transformación${\displaystyle \Gamma$ :\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}} dado por la fórmula

${\displaystyle \Gamma (x,y)=(2x+y,x+y){\bmod {1}}.}$

De forma equivalente, en notación matricial , esto es

${\displaystyle \Gamma \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}.}$

Es decir, con una unidad igual al ancho de la imagen cuadrada, la imagen se desplaza una unidad hacia arriba, luego dos unidades hacia la derecha, y todo lo que se encuentra fuera de ese cuadrado unitario se desplaza hacia atrás una unidad hasta que queda dentro del cuadrado.

El mapa recibe su nombre del manuscrito de Arnold de 1967 con André Avez, Problèmes ergodiques de la mécanique classique , ^{[ 1 ]} en el que se utilizó el contorno de un gato para ilustrar la acción del mapa sobre el toro. En el libro original estaba subtitulado por una nota al pie humorística,

La Société Protectrice des Animaux ha dado permiso para reproducir esta imagen, así como otras.

En ruso, la lengua materna de Arnold, el mapa se conoce como " okroshka (sopa fría) de gato" ( en ruso : окрошка из кошки ), en referencia a las propiedades de mezcla del mapa, lo que constituye un juego de palabras. Arnold escribió más tarde que le parecía "extraño" el nombre "Arnold's Cat", por el que se conoce el mapa en inglés y otros idiomas. ^{[ 2 ]}

• ${\displaystyle \Gamma }$es invertible porque la matriz tiene determinante 1 y, por lo tanto, su inversa tiene entradas enteras ,
• ${\displaystyle \Gamma }$es la preservación del área ,
• ${\displaystyle \Gamma }$tiene un único punto fijo hiperbólico (los vértices del cuadrado). La transformación lineal que define el mapa es hiperbólica: sus autovalores son números irracionales, uno mayor y el otro menor que 1 (en valor absoluto), por lo que están asociados respectivamente a un autoespacio expansivo y a uno contractivo que son también las variedades estable e inestable . Los autoespacios son ortogonales porque la matriz es simétrica . Dado que los autovectores tienen componentes racionalmente independientes, ambos autoespacios cubren densamente el toro. El mapa del gato de Arnold es un ejemplo particularmente conocido de un automorfismo toral hiperbólico , que es un automorfismo de un toro dado por una matriz cuadrada unimodular sin autovalores de valor absoluto 1. ^{[ 3 ]}
• El conjunto de puntos con una órbita periódica es denso en el toro. En realidad, un punto es periódico si y solo si sus coordenadas son racionales .
• ${\displaystyle \Gamma }$es topológicamente transitivo (es decir, hay un punto cuya órbita es densa ).
• El número de puntos con período${\displaystyle n}$es exactamente${\displaystyle |\lambda _{1}^{n}+\lambda _{2}^{n}-2|}$(dónde${\displaystyle \lambda _{1}}$y${\displaystyle \lambda _{2}}$son los autovalores de la matriz). Por ejemplo, los primeros términos de esta serie son 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205 .... ^{[ 4 ]} (La misma ecuación es válida para cualquier automorfismo toral hiperbólico unimodular si se reemplazan los autovalores).
• ${\displaystyle \Gamma }$es ergódico y mezclante ,
• ${\displaystyle \Gamma }$es un difeomorfismo de Anosov y, en particular, es estructuralmente estable .
• El toro de mapeo de${\displaystyle \Gamma }$es una variedad solv , y al igual que otros difeomorfismos de Anosov, esta variedad tiene geometría solv .

Es posible definir un análogo discreto del mapa del gato. Una de las características de este mapa es que la imagen, aparentemente aleatoria tras la transformación, vuelve a su estado original después de varios pasos. Como se puede observar en la imagen adjunta, la imagen original del gato se deforma y se envuelve en la primera iteración de la transformación. Tras varias iteraciones, la imagen resultante parece bastante aleatoria o desordenada; sin embargo, tras iteraciones adicionales, la imagen adquiere mayor orden: imágenes fantasmales del gato, múltiples copias más pequeñas dispuestas en una estructura repetitiva e incluso copias invertidas de la imagen original, para finalmente regresar a la imagen original.

El mapa discreto del gato describe el flujo del espacio de fases correspondiente a la dinámica discreta de una cuenta que salta de un sitio a otro.${\displaystyle q_{t}}$(${\displaystyle 0\leq q_{t}<N}$) al sitio${\displaystyle q_{t+1}}$en un anillo circular con circunferencia${\displaystyle N}$, según la ecuación de segundo orden :

${\displaystyle q_{t+1}-3q_{t}+q_{t-1}=0\mod N}$

Definición de la variable de momento${\displaystyle p_{t}=q_{t}-q_{t-1}}$, la dinámica de segundo orden anterior se puede reescribir como un mapeo del cuadrado${\displaystyle 0\leq q,p<N}$(el espacio de fases del sistema dinámico discreto) sobre sí mismo:

${\displaystyle q_{t+1}=2q_{t}+p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t+1}=q_{t}+p_{t}\mod N}$

Este mapeo del gato de Arnold muestra un comportamiento de mezcla típico de los sistemas caóticos. Sin embargo, dado que la transformación tiene un determinante igual a la unidad, conserva el área y, por lo tanto, es invertible , siendo la transformación inversa:

${\displaystyle q_{t-1}=q_{t}-p_{t}\mod N}$

${\displaystyle p_{t-1}=-q_{t}+2p_{t}\mod N}$

Para variables reales${\displaystyle q}$y${\displaystyle p}$, es común establecer${\displaystyle N=1}$En ese caso, se obtiene una transformación del cuadrado unitario con condiciones de contorno periódicas sobre sí mismo.

Cuando${\displaystyle N}$Se establece en un valor entero, las variables de posición y momento pueden restringirse a enteros y el mapeo se convierte en un mapeo de una cuadrícula cuadrada toroidal de puntos sobre sí misma. Este tipo de mapeo de gato entero se usa comúnmente para demostrar el comportamiento de mezcla con la recurrencia de Poincaré utilizando imágenes digitales. Se puede demostrar que el número de iteraciones necesarias para restaurar la imagen nunca excede${\displaystyle 3N}$. ^{[ 5 ]}

Para una imagen, la relación entre iteraciones podría expresarse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}n=0:\quad &T^{0}(x,y)&=&{\text{Imagen de entrada}}(x,y)\\n=1:\quad &T^{1}(x,y)&=&T^{0}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=k:\quad &T^{k}(x,y)&=&T^{k-1}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=m:\quad &{\text{Imagen de salida}}(x,y)&=&T^{m}(x,y)\end{array}}}$

• Lista de mapas caóticos
• Diagrama de recurrencia

• Weisstein, Eric W. "El mapa del gato de Arnold" . MathWorld .
• Efecto de la aleatorización de las condiciones iniciales sobre el tiempo de recurrencia
• Mapa del gato de Arnold, por Enrique Zeleny, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
• El mapa de gatos de Arnold: una exploración gráfica interactiva