Teorema de imposibilidad de Arrow

El teorema de imposibilidad de Arrow es un resultado clave en la teoría de la elección social , que muestra que ninguna regla de decisión basada en clasificación puede satisfacer los requisitos de la teoría de la elección racional . ^[1] En particular, Arrow mostró que ninguna regla de este tipo puede satisfacer todas las condiciones aparentemente simples y razonables que incluyen la independencia de alternativas irrelevantes , el principio de que una elección entre dos alternativas A y B no debe depender de la calidad de una tercera opción C no relacionada . ^{[2] [3] [4]}

El resultado se cita con mayor frecuencia en las discusiones sobre las reglas de votación . ^[5] Sin embargo, el teorema de Arrow es sustancialmente más amplio y se puede aplicar a métodos de toma de decisiones sociales distintos de la votación. Por lo tanto, generaliza la paradoja de votación de Condorcet y muestra que existen problemas similares para cada procedimiento de toma de decisiones colectivas basado en comparaciones relativas . ^[1]

Los métodos de votación por orden de preferencia, como el sistema de mayoría simple y el sistema de elección por orden de preferencia (segunda vuelta) son muy sensibles a los saboteadores, ^{[6] [7]} particularmente en situaciones en las que no son forzados . ^{[8] [9]} Por el contrario, los métodos de votación por orden de preferencia basados ​​en la regla de la mayoría (Condorcet) minimizan de manera única el número de elecciones nulas ^[9] al restringirlas a situaciones raras ^{[10] [11]} llamadas empates cíclicos . ^[8] Bajo algunos modelos idealizados de comportamiento de los votantes (por ejemplo, el espectro izquierda-derecha de Black ), los efectos de los saboteadores pueden desaparecer por completo para estos métodos. ^{[12] [13]}

El teorema de Arrow no cubre las reglas de votación calificada y, por lo tanto, no se puede utilizar para informar sobre su susceptibilidad al efecto de spoiler . Sin embargo, el teorema de Gibbard muestra la susceptibilidad de estos métodos a la votación estratégica , y las generalizaciones del teorema de Arrow describen casos en los que los métodos calificados son susceptibles al efecto de spoiler.

Cuando Kenneth Arrow demostró su teorema en 1950, inauguró el campo moderno de la teoría de la elección social , una rama de la economía del bienestar que estudia los mecanismos para agregar preferencias y creencias en una sociedad. ^[14] Tal mecanismo de estudio puede ser un mercado , un sistema de votación , una constitución o incluso un marco moral o ético . ^[1]

En el contexto del teorema de Arrow, se supone que los ciudadanos tienen preferencias ordinales , es decir, ordenamientos de candidatos . Si A y B son candidatos o alternativas diferentes, entonces significa que A es preferido a B. Se requiere que las preferencias individuales (o votos) satisfagan las propiedades intuitivas de los ordenamientos, por ejemplo, deben ser transitivas —si y , entonces . La función de elección social es entonces una función matemática que asigna los ordenamientos individuales a un nuevo ordenamiento que representa las preferencias de toda la sociedad. ${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle A\succeq B}$${\displaystyle B\succeq C}$${\displaystyle A\succeq C}$

El teorema de Arrow supone como antecedente que cualquier regla de elección social no degenerada satisfará: ^[15]

• Dominio sin restricciones : la función de elección social es unafunción totalsobre el dominio de todoslos ordenamientos posibles de resultados, no solo unafunción parcial.
  • En otras palabras, el sistema siempre debe tomar alguna decisión y no puede simplemente "darse por vencido" cuando los votantes tienen opiniones inusuales.
  • Sin este supuesto, la regla de la mayoría satisface los axiomas de Arrow al "darse por vencido" siempre que haya un ciclo de Condorcet. ^[9]
• No dictadura : el sistema no depende sólo del voto de un votante.^[3]
  • Esto debilita el anonimato ( un voto, un valor ) para permitir reglas que tratan a los votantes de manera desigual.
  • Básicamente define las elecciones sociales como aquellas que dependen de la aportación de más de una persona. ^[3]
• No imposición : el sistema no ignora por completo a los votantes al elegir entre algunos pares de candidatos.^[4][16]
  • En otras palabras, es posible que cualquier candidato derrote a cualquier otro candidato, dada cierta combinación de votos. ^{[4] [16] [17]}
  • Esto se suele sustituir por el axioma de eficiencia de Pareto, más fuerte : si cada votante prefiere A sobre B , entonces A debería derrotar a B. Sin embargo, la condición de no imposición, más débil, es suficiente. ^[4]

La declaración original de Arrow del teorema incluía la capacidad de respuesta no negativa como condición, es decir, que aumentar el rango de un resultado no debería hacerlo perder ; en otras palabras, que una regla de votación no debería penalizar a un candidato por ser más popular. ^[2] Sin embargo, esta suposición no es necesaria ni se utiliza en su prueba (excepto para derivar la condición más débil de la eficiencia de Pareto), y Arrow posteriormente corrigió su declaración del teorema para eliminar la inclusión de esta condición. ^{[3] [18]}

Un axioma comúnmente considerado de elección racional es la independencia de alternativas irrelevantes (IIA), que dice que al decidir entre A y B , la opinión de uno sobre una tercera opción C no debería afectar su decisión. ^[2]

• Independencia de alternativas irrelevantes (IIA) : la preferencia social entre el candidato A y el candidato B solo debería depender de las preferencias individualesentre A y B.
  • En otras palabras, la preferencia social no debería cambiar de a si los votantes cambian su preferencia sobre si . ^[3]${\displaystyle A\succ B}$${\displaystyle B\succ A}$${\displaystyle A\succ C}$
  • Esto es equivalente a la afirmación sobre la independencia de los candidatos a spoiler cuando se utiliza la construcción estándar de una función de colocación . ^[17]

El IIA se ilustra a veces con un pequeño chiste del filósofo Sidney Morgenbesser : ^[19]

Morgenbesser pide postre y una camarera le dice que puede elegir entre tarta de arándanos o de manzana. Pide tarta de manzana. Poco después, la camarera vuelve y le explica que también puede elegir tarta de cerezas. Morgenbesser responde: "En ese caso, pediré tarta de arándanos".

El teorema de Arrow muestra que si una sociedad desea tomar decisiones evitando siempre dichas contradicciones, no puede utilizar únicamente información jerarquizada. ^[19]

El ejemplo de Condorcet ya es suficiente para ver la imposibilidad de un sistema de votación por orden de preferencia justo , dadas condiciones de equidad más fuertes que las que supone el teorema de Arrow. ^[20] Supongamos que tenemos tres candidatos ( , , y ) y tres votantes cuyas preferencias son las siguientes: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

Si se elige como ganador, se puede argumentar que cualquier sistema de votación justo diría que debería ganar en su lugar, ya que dos votantes (1 y 2) prefieren y solo un votante (3) prefiere . Sin embargo, por el mismo argumento se prefiere a , y se prefiere a , por un margen de dos a uno en cada ocasión. Por lo tanto, aunque cada votante individual tiene preferencias consistentes, las preferencias de la sociedad son contradictorias: se prefiere sobre cuál se prefiere sobre cuál se prefiere sobre . ${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$

Debido a este ejemplo, algunos autores atribuyen a Condorcet el mérito de haber dado un argumento intuitivo que presenta el núcleo del teorema de Arrow. ^[20] Sin embargo, el teorema de Arrow es sustancialmente más general; se aplica a métodos de toma de decisiones distintos de las elecciones de un hombre, un voto, como los mercados o la votación ponderada , basada en papeletas clasificadas .

Sea un conjunto de alternativas . Las preferencias de un votante sobre son una relación binaria completa y transitiva sobre (a veces llamada preorden total ), es decir, un subconjunto de las que satisfacen: ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\times A}$

1. (Transitividad) Si está en y está en , entonces está en ,${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$${\displaystyle R}$
2. (Completitud) Al menos uno de o debe estar en .${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}$${\displaystyle R}$

El elemento que está en se interpreta como que se prefiere la alternativa a la alternativa . Esta situación se suele denotar como o . Denote el conjunto de todas las preferencias en por . Sea un entero positivo. Una función de bienestar social ordinal (clasificada) es una función ^[2]${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} \succ \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} R\mathbf {b} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Pi (A)}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \mathrm {F} :\Pi (A)^{N}\to \Pi (A)}$

que agrega las preferencias de los votantes en una única preferencia sobre . Una tupla de preferencias de los votantes se denomina perfil de preferencias . ${\displaystyle A}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})\in \Pi (A)^{N}}$

Teorema de imposibilidad de Arrow : si hay al menos tres alternativas, entonces no existe una función de bienestar social que satisfaga las tres condiciones enumeradas a continuación: ^[21]

Eficiencia de Pareto

Si se prefiere la alternativa a para todos los ordenamientos , entonces se prefiere a por . ^[2]${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{N}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})}$

No dictadura

No existe ningún individuo cuyas preferencias prevalezcan siempre. Es decir, no existe tal cosa como que para todos y para todos y , cuando se prefiere a por entonces se prefiere a por . ^[2]${\displaystyle i}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,N\}}$${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})\in \Pi (A)^{N}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle F(R_{1},R_{2},\ldots ,R_{N})}$

Independencia de alternativas irrelevantes

Para dos perfiles de preferencia y tales que para todos los individuos , las alternativas y tienen el mismo orden en que en , las alternativas y tienen el mismo orden en que en . ^[2]${\displaystyle (R_{1},\ldots ,R_{N})}$${\displaystyle (S_{1},\ldots ,S_{N})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle F(R_{1},\ldots ,R_{N})}$${\displaystyle F(S_{1},\ldots ,S_{N})}$

El teorema de imposibilidad de Arrow todavía se mantiene si la eficiencia de Pareto se debilita a la siguiente condición: ^[4]

No imposición

Para cualesquiera dos alternativas a y b , existe un perfil de preferencia R ₁ , …, R _N tal que a es preferido a b por F( R ₁ , R ₂ , …, R _N ) .

El teorema de Arrow establece que ninguna regla de votación por orden de preferencia puede satisfacer siempre la independencia de las alternativas irrelevantes, pero no dice nada sobre la frecuencia de los saboteadores. Esto llevó a Arrow a señalar que "la mayoría de los sistemas no van a funcionar mal todo el tiempo. Todo lo que he demostrado es que todos pueden funcionar mal a veces". ^{[26] [27]}

Los intentos de lidiar con los efectos del teorema de Arrow adoptan uno de dos enfoques: aceptar su regla y buscar los métodos menos propensos a generar spoilers, o abandonar uno o más de sus supuestos, por ejemplo centrándose en reglas de votación calificada . ^[19]

El primer conjunto de métodos estudiados por los economistas son los métodos de la regla de la mayoría, o de Condorcet . Estas reglas limitan los saboteadores a situaciones en las que la regla de la mayoría es contradictoria en sí misma, llamadas ciclos de Condorcet , y como resultado minimizan de manera única la posibilidad de un efecto saboteador entre reglas clasificadas. (De hecho, muchas funciones de bienestar social diferentes pueden cumplir las condiciones de Arrow bajo tales restricciones del dominio. Sin embargo, se ha demostrado que bajo cualquier restricción de este tipo, si existe alguna función de bienestar social que se adhiera a los criterios de Arrow, entonces el método de Condorcet se adherirá a los criterios de Arrow. ^[9] ) Condorcet creía que las reglas de votación deberían satisfacer tanto la independencia de alternativas irrelevantes como el principio de la regla de la mayoría , es decir, si la mayoría de los votantes colocan a Alice por delante de Bob , Alice debería derrotar a Bob en la elección. ^[20]

Desafortunadamente, como demostró Condorcet, esta regla puede ser intransitiva en algunos perfiles de preferencia. ^[28] Así, Condorcet demostró una forma más débil del teorema de imposibilidad de Arrow mucho antes que Arrow, bajo el supuesto más fuerte de que un sistema de votación en el caso de dos candidatos estará de acuerdo con un voto de mayoría simple. ^[20]

A diferencia de las reglas pluralistas, como la segunda vuelta por orden de preferencia o la pluralidad de primera preferencia , ^[6] los métodos de Condorcet evitan el efecto saboteador en elecciones no cíclicas, en las que los candidatos pueden ser elegidos por la regla de la mayoría. Los politólogos han descubierto que estos ciclos son bastante raros, lo que sugiere que pueden tener una importancia práctica limitada. ^[11] Los modelos de votación espacial también sugieren que es probable que estas paradojas sean poco frecuentes ^{[29] [10]} o incluso inexistentes. ^[12]

Poco después de que Arrow publicara su teorema, Duncan Black mostró su propio resultado notable, el teorema del votante mediano . El teorema demuestra que si los votantes y los candidatos están dispuestos en un espectro de izquierda a derecha , las condiciones de Arrow son todas completamente compatibles y todas se cumplirán con cualquier regla que satisfaga el principio de la regla de la mayoría de Condorcet . ^{[12] [13]}

Más formalmente, el teorema de Black supone que las preferencias tienen un único pico : la satisfacción de un votante con un candidato sube y luego baja a medida que el candidato se mueve a lo largo de un espectro. Por ejemplo, en un grupo de amigos que eligen un volumen para la música, cada amigo probablemente tendría su propio volumen ideal; a medida que el volumen se vuelve progresivamente demasiado alto o demasiado bajo, se sentirían cada vez más insatisfechos. Si el dominio se restringe a perfiles donde cada individuo tiene una preferencia de un solo pico con respecto al ordenamiento lineal, entonces las preferencias sociales son acíclicas. En esta situación, los métodos de Condorcet satisfacen una amplia variedad de propiedades altamente deseables, incluida la de ser totalmente a prueba de spoilers. ^{[12] [13] [9]}

La regla no se generaliza completamente del espectro político a la brújula política, un resultado relacionado con el teorema del caos de McKelvey-Schofield . ^{[12] [30]} Sin embargo, existe un ganador de Condorcet bien definido si la distribución de votantes es rotacionalmente simétrica o tiene una mediana definida de manera única . ^{[31] [32]} En la mayoría de las situaciones realistas, donde las opiniones de los votantes siguen una distribución aproximadamente normal o se pueden resumir con precisión en una o dos dimensiones, los ciclos de Condorcet son raros (aunque no inauditos). ^{[29] [8]}

El teorema de Campbell-Kelly muestra que los métodos Condorcet son la clase de sistemas de votación por orden de preferencia más resistente a los efectos de spoiler: siempre que sea posible para algún sistema de votación por orden de preferencia evitar un efecto de spoiler, un método Condorcet lo hará. ^[9] En otras palabras, reemplazar un método por orden de preferencia con su variante Condorcet (es decir, elegir un ganador Condorcet si existe y, de lo contrario, ejecutar el método) a veces evitará un efecto de spoiler, pero nunca puede crear uno nuevo. ^[9]

En 1977, Ehud Kalai y Eitan Muller dieron una caracterización completa de las restricciones de dominio admitiendo una función de bienestar social no dictatorial y a prueba de estrategias . Estas corresponden a preferencias para las cuales hay un ganador de Condorcet. ^[33]

Holliday y Pacuit idearon un sistema de votación que minimiza demostrablemente el número de candidatos capaces de arruinar una elección, aunque al precio de perder en ocasiones la positividad del voto (aunque a un ritmo mucho menor que el observado en la votación por segunda vuelta ). ^{[8] [ aclaración necesaria ]}

Como se muestra arriba, la prueba del teorema de Arrow se basa fundamentalmente en el supuesto de votación por orden de preferencia y no es aplicable a los sistemas de votación por clasificación . Esto abre la posibilidad de cumplir todos los criterios dados por Arrow. Estos sistemas piden a los votantes que califiquen a los candidatos en una escala numérica (por ejemplo, de 0 a 10) y luego eligen al candidato con el promedio más alto (para la votación por puntuación) o la mediana ( juicio de mayoría graduada ). ^{[34] : 4–5}

Como el teorema de Arrow ya no se aplica, se requieren otros resultados para determinar si los métodos calificados son inmunes al efecto spoiler y bajo qué circunstancias. Intuitivamente, la información cardinal solo puede conducir a dicha inmunidad si es significativa; simplemente proporcionar datos cardinales no es suficiente. ^[35]

Algunos sistemas de clasificación, como la votación por rango y el juicio por mayoría , pasan la independencia de alternativas irrelevantes cuando los votantes califican a los candidatos en una escala absoluta. Sin embargo, cuando utilizan escalas relativas, los teoremas de imposibilidad más generales muestran que los métodos (dentro de ese contexto) aún fallan en la IIA. ^[36] Como Arrow sugirió más tarde, las clasificaciones relativas pueden proporcionar más información que las clasificaciones puras, ^{[37] [38] [39] [40] [41]} pero esta información no es suficiente para hacer que los métodos sean inmunes a los spoilers.

Si bien el teorema de Arrow no se aplica a los sistemas graduados, el teorema de Gibbard sí lo hace: ningún juego de votación puede ser sencillo (es decir, tener una estrategia única, clara y siempre mejor). ^[42]

El marco de Arrow asumió que las preferencias individuales y sociales son ordenamientos o clasificaciones , es decir, declaraciones sobre qué resultados son mejores o peores que otros. ^[43] Inspirándose en el conductismo estricto popular en psicología, algunos filósofos y economistas rechazaron la idea de comparar las experiencias humanas internas de bienestar . ^{[44] [19]} Dichos filósofos afirmaron que era imposible comparar la fuerza de las preferencias entre personas que no estaban de acuerdo; Sen da como ejemplo que sería imposible saber si el Gran Incendio de Roma fue bueno o malo, porque a pesar de matar a miles de romanos, tuvo el efecto positivo de permitir que Nerón expandiera su palacio. ^[39]

Arrow originalmente estuvo de acuerdo con estas posiciones y rechazó la utilidad cardinal , lo que lo llevó a centrar su teorema en las clasificaciones de preferencias. ^{[44] [45]} Sin embargo, más tarde afirmó que los métodos cardinales pueden proporcionar información útil adicional y que su teorema no es aplicable a ellos.

John Harsanyi señaló que el teorema de Arrow podría considerarse una versión más débil de su propio teorema ^{[46] [ verificación fallida ]} y otros teoremas de representación de utilidad como el teorema VNM , que generalmente muestran que el comportamiento racional requiere utilidades cardinales consistentes . ^[47]

Los economistas del comportamiento han demostrado que la irracionalidad individual implica violaciones del IIA (por ejemplo, con efectos señuelo ), ^[48] lo que sugiere que el comportamiento humano puede causar fallas del IIA incluso si el método de votación en sí no lo hace. ^[49] Sin embargo, la investigación anterior generalmente ha encontrado que dichos efectos son bastante pequeños, ^[50] y estos saboteadores psicológicos pueden aparecer independientemente del sistema electoral. Balinski y Laraki discuten técnicas de diseño de papeletas derivadas de la psicometría que minimizan estos efectos psicológicos, como pedir a los votantes que le den a cada candidato una calificación verbal (por ejemplo, "malo", "neutral", "bueno", "excelente") y emitir instrucciones a los votantes que se refieran a sus papeletas como juicios de candidatos individuales. ^{[34] [ página necesaria ]} A menudo se discuten técnicas similares en el contexto de la valoración contingente . ^[41]

Además de las resoluciones prácticas mencionadas anteriormente, existen situaciones inusuales (poco prácticas) en las que se puede satisfacer el requisito de IIA de Arrow.

Las reglas de supermayoría pueden evitar el teorema de Arrow a costa de ser poco decisivas (es decir, no devolver un resultado con frecuencia). En este caso, un umbral que requiere una mayoría para ordenar 3 resultados, para 4, etc. no produce paradojas de votación . ^[51]${\displaystyle 2/3}$${\displaystyle 3/4}$

En los modelos espaciales (ideología n-dimensional) de votación , esto se puede relajar para requerir solo (aproximadamente el 64%) de los votos para evitar ciclos, siempre que la distribución de votantes se comporte bien ( cuasicóncava ). ^[52] Estos resultados proporcionan cierta justificación para el requisito común de una mayoría de dos tercios para las enmiendas constitucionales, que es suficiente para evitar preferencias cíclicas en la mayoría de las situaciones. ^[52]${\displaystyle 1-e^{-1}}$

Fishburn muestra que todas las condiciones de Arrow pueden satisfacerse para conjuntos infinitos e incontables de votantes dado el axioma de elección ; ^[53] sin embargo, Kirman y Sondermann demostraron que esto requiere privar del derecho al voto a casi todos los miembros de una sociedad (los votantes elegibles forman un conjunto de medida 0), lo que los lleva a referirse a dichas sociedades como "dictaduras invisibles". ^[54]

El teorema de Arrow no está relacionado con el voto estratégico , que no aparece en su marco ^{[3] [1],} aunque el teorema sí tiene implicaciones importantes para el voto estratégico (se utiliza como lema para demostrar el teorema de Gibbard ^[15] ). El marco arroviano de bienestar social supone que se conocen todas las preferencias de los votantes y que el único problema es agregarlas. ^[1]

La monotonía (a la que Arrow llama asociación positiva ) no es una condición del teorema de Arrow. ^[3] Este error de concepto se debe a un error del propio Arrow, que incluyó el axioma en su enunciado original del teorema, pero no lo utilizó. ^[2] Abandonar el supuesto no permite construir una función de bienestar social que cumpla con sus otras condiciones. ^[3]

Contrariamente a una idea errónea común, el teorema de Arrow se ocupa de la clase limitada de sistemas de votación por orden de preferencia , en lugar de los sistemas de votación en su conjunto. ^{[1] [55]}

• Comparación de sistemas electorales
• Paradoja de Condorcet
• Paradoja doctrinal
• Teorema de Gibbard-Satterthwaite
• Teorema de Gibbard
• Teorema de Holmström
• Teorema de May
• Fallo del mercado

• Campbell, DE (2002). "Teoremas de imposibilidad en el marco arroviano". En Arrow, Kenneth J .; Sen, Amartya K .; Suzumura, Kōtarō (eds.). Manual de elección social y bienestar. Vol. 1. Ámsterdam, Países Bajos: Elsevier. pp. 35–94. ISBN. 978-0-444-82914-6.Se examinan muchos de los enfoques discutidos en #Alternativas basadas en funciones de perfiles de preferencia ^{[ ancla rota ]} .
• Dardanoni, Valentino (2001). "Una prueba pedagógica del teorema de imposibilidad de Arrow" (PDF) . Elección social y bienestar . 18 (1): 107–112. doi :10.1007/s003550000062. JSTOR  41106398. S2CID  7589377.preimpresión.
• Hansen, Paul (2002). "Otra prueba gráfica del teorema de imposibilidad de Arrow". Revista de Educación Económica . 33 (3): 217–235. doi :10.1080/00220480209595188. S2CID  145127710.
• Hunt, Earl (2007). Las matemáticas del comportamiento. Cambridge University Press. ISBN 9780521850124.El capítulo "Definición de racionalidad: toma de decisiones personales y grupales" contiene un análisis detallado del teorema de flecha, con pruebas al respecto.
• Lewis, Harold W. (1997). ¿Por qué lanzar una moneda? : El arte y la ciencia de tomar buenas decisiones . John Wiley. ISBN 0-471-29645-7.Da ejemplos explícitos de clasificaciones de preferencias y resultados aparentemente anómalos en diferentes sistemas electorales, pero no prueba el teorema de Arrow.
• Sen, Amartya Kumar (1979). Elección colectiva y bienestar social . Ámsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-85127-7.
• Skala, Heinz J. (2012). "¿Qué nos dice el teorema de imposibilidad de Arrow?". En Eberlein, G.; Berghel, HA (eds.). Teoría y decisión: ensayos en honor a Werner Leinfellner . Springer. pp. 273–286. ISBN. 978-94-009-3895-3.
• Tang, Pingzhong; Lin, Fangzhen (2009). "Demostraciones asistidas por computadora de los teoremas de imposibilidad de Arrow y otros". Inteligencia artificial . 173 (11): 1041–1053. doi : 10.1016/j.artint.2009.02.005 .

• Entrada sobre el "teorema de imposibilidad de Arrow" en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
• Una prueba de Terence Tao, asumiendo una versión mucho más fuerte de la no dictadura.