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Seguridad asintótica

La seguridad asintótica (a veces también denominada renormalizabilidad no perturbativa ) es un concepto de la teoría cuántica de campos que busca encontrar una teoría cuántica c...

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La seguridad asintótica (a veces también denominada renormalizabilidad no perturbativa ) es un concepto de la teoría cuántica de campos que busca encontrar una teoría cuántica consistente y predictiva del campo gravitatorio . Su ingrediente clave es un punto fijo no trivial del flujo del grupo de renormalización de la teoría, que controla el comportamiento de las constantes de acoplamiento en el régimen ultravioleta (UV) y hace que las cantidades físicas sean seguras frente a divergencias. Aunque fue propuesta originalmente por Steven Weinberg para encontrar una teoría de la gravedad cuántica , la idea de un punto fijo no trivial que proporciona una posible completitud UV también puede aplicarse a otras teorías de campos, en particular a aquellas perturbativamente no renormalizables . En este sentido, es similar a la trivialidad cuántica .

La esencia de la seguridad asintótica radica en la observación de que los puntos fijos no triviales del grupo de renormalización pueden utilizarse para generalizar el procedimiento de renormalización perturbativa . En una teoría asintóticamente segura, los acoplamientos no necesitan ser pequeños ni tender a cero en el límite de alta energía, sino que tienden a valores finitos: se aproximan a un punto fijo UV no trivial . La variación de las constantes de acoplamiento, es decir, su dependencia de la escala descrita por el grupo de renormalización (GR), es, por lo tanto, especial en su límite UV, en el sentido de que todas sus combinaciones adimensionales permanecen finitas. Esto basta para evitar divergencias no físicas, por ejemplo, en las amplitudes de dispersión . El requisito de un punto fijo UV restringe la forma de la acción desnuda y los valores de las constantes de acoplamiento desnudas, que se convierten en predicciones del programa de seguridad asintótica en lugar de entradas.

En cuanto a la gravedad, el procedimiento estándar de renormalización perturbativa falla, ya que la constante de Newton , el parámetro de expansión relevante, tiene dimensión de masa negativa, lo que hace que la relatividad general sea perturbativamente no renormalizable. Esto ha impulsado la búsqueda de marcos no perturbativos que describan la gravedad cuántica, incluyendo la seguridad asintótica que, a diferencia de otros enfoques , se caracteriza por el uso de métodos de teoría cuántica de campos, sin depender de técnicas perturbativas. Actualmente, existe evidencia creciente de un punto fijo adecuado para la seguridad asintótica, aunque aún falta una prueba rigurosa de su existencia.  

Motivación

La gravedad, a nivel clásico, se describe mediante las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein .Rμν−12gramoμνR+gramoμνΛ=8πGRAMOdo4Tμν{\displaystyle \textstyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}\,T_{\mu \nu }}Estas ecuaciones combinan la geometría del espaciotiempo codificada en la métricagramoμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}con el contenido de materia comprendido en el tensor energía-momentoTμν{\displaystyle T_{\mu \nu }}La naturaleza cuántica de la materia se ha probado experimentalmente; por ejemplo, la electrodinámica cuántica es actualmente una de las teorías más precisamente confirmadas en física. Por esta razón, la cuantización de la gravedad también parece plausible. Desafortunadamente, la cuantización no se puede realizar de la manera estándar (renormalización perturbativa): una simple consideración de conteo de potencias ya señala la no renormalizabilidad perturbativa, dado que la dimensión de masa de la constante de Newton es−2{\displaystyle -2}El problema se presenta de la siguiente manera. Según el punto de vista tradicional, la renormalización se implementa mediante la introducción de contra-términos que deberían cancelar las expresiones divergentes que aparecen en las integrales de bucle . Sin embargo, al aplicar este método a la gravedad, los contra-términos necesarios para eliminar todas las divergencias se multiplican hasta un número infinito. Dado que esto inevitablemente conlleva un número infinito de parámetros libres que deben medirse en los experimentos, es improbable que el programa tenga capacidad predictiva más allá de su uso como teoría efectiva de baja energía .

Resulta que las primeras divergencias en la cuantización de la relatividad general que no pueden absorberse en contra-términos de manera consistente (es decir, sin necesidad de introducir nuevos parámetros) aparecen ya a nivel de un lazo en presencia de campos de materia. [ 1 ] A nivel de dos lazos, las divergencias problemáticas surgen incluso en la gravedad pura. [ 2 ] Para superar esta dificultad conceptual, se requirió el desarrollo de técnicas no perturbativas, proporcionando varias teorías candidatas de gravedad cuántica . Durante mucho tiempo, la opinión predominante ha sido que el concepto mismo de teoría cuántica de campos —aunque notablemente exitosa en el caso de las otras interacciones fundamentales— está condenado al fracaso para la gravedad. Por el contrario, la idea de seguridad asintótica mantiene los campos cuánticos como el ámbito teórico y en su lugar abandona solo el programa tradicional de renormalización perturbativa.  

Historia

Tras darse cuenta de la no renormalizabilidad perturbativa de la gravedad, los físicos intentaron emplear técnicas alternativas para solucionar el problema de la divergencia, como la resuma o teorías extendidas con campos de materia y simetrías adecuadas, todas ellas con sus propios inconvenientes. En 1976, Steven Weinberg propuso una versión generalizada de la condición de renormalizabilidad, basada en un punto fijo no trivial del flujo del grupo de renormalización (GR) subyacente para la gravedad. [ 3 ] Esto se denominó seguridad asintótica. [ 4 ] [ 5 ] La idea de una completitud UV mediante un punto fijo no trivial de los grupos de renormalización había sido propuesta anteriormente por Kenneth G. Wilson y Giorgio Parisi en la teoría de campos escalares [ 6 ] [ 7 ] (véase también Trivialidad cuántica ). La aplicabilidad a teorías perturbativamente no renormalizables se demostró explícitamente por primera vez para el modelo sigma no lineal [ 8 ] y para una variante del modelo de Gross-Neveu . [ 9 ]

En cuanto a la gravedad, los primeros estudios sobre este nuevo concepto se realizaron end=2+ϵ{\displaystyle d=2+\epsilon }Dimensiones del espaciotiempo a finales de los setenta. En exactamente dos dimensiones existe una teoría de la gravedad pura que es renormalizable según el punto de vista antiguo. (Para representar la acción de Einstein-Hilbert)116πGRAMO∫d2incógnitagramoR{\displaystyle \textstyle {1 \over 16\pi G}\int \mathrm {d} ^{2}x{\sqrt {g}}\,R}adimensional, constante de NewtonGRAMO{\displaystyle G}debe tener dimensión de masa cero.) Para pequeños pero finitosϵ{\displaystyle \epsilon }La teoría de perturbaciones sigue siendo aplicable, y se puede expandir la función beta (β{\displaystyle \beta }-función) que describe el grupo de renormalización que varía la constante de Newton como una serie de potencias enϵ{\displaystyle \epsilon }. De hecho, en este sentido fue posible demostrar que muestra un punto fijo no trivial. [ 4 ]

Sin embargo, no estaba claro cómo hacer una continuación desded=2+ϵ{\displaystyle d=2+\epsilon }ad=4{\displaystyle d=4}dimensiones ya que los cálculos se basaban en la pequeñez del parámetro de expansiónϵ{\displaystyle \epsilon }Los métodos computacionales para un tratamiento no perturbativo no estaban disponibles en ese momento. Por esta razón, la idea de seguridad asintótica en gravedad cuántica se dejó de lado durante algunos años. Solo a principios de los 90, aspectos de2+ϵ{\displaystyle 2+\epsilon }La gravedad dimensional ha sido revisada en varios trabajos, pero aún no se ha extendido a la dimensión cuatro.

En cuanto a los cálculos más allá de la teoría de perturbaciones, la situación mejoró con la llegada de nuevos métodos de grupo de renormalización funcional , en particular la llamada acción promedio efectiva (una versión dependiente de la escala de la acción efectiva ). Introducida en 1993 por Christof Wetterich y Tim R Morris para teorías escalares, [ 10 ] [ 11 ] y por Martin Reuter y Christof Wetterich para teorías de gauge generales (en el espacio euclidiano plano), [ 12 ] es similar a una acción wilsoniana ( energía libre de grano grueso ) [ 6 ] y aunque se argumenta que difiere a un nivel más profundo, [ 13 ] de hecho está relacionada por una transformación de Legendre. [ 11 ] La dependencia de la escala de corte de este funcional está gobernada por una ecuación de flujo funcional que, a diferencia de los intentos anteriores, puede aplicarse fácilmente también en presencia de simetrías de gauge locales.

En 1996, Martin Reuter construyó una acción promedio efectiva similar y la ecuación de flujo asociada para el campo gravitatorio. [ 14 ] Cumple con el requisito de independencia del fondo , uno de los principios fundamentales de la gravedad cuántica. Este trabajo puede considerarse un avance esencial en los estudios relacionados con la seguridad asintótica en gravedad cuántica, ya que proporciona la posibilidad de realizar cálculos no perturbativos para dimensiones espaciotemporales arbitrarias. Se demostró que, al menos para la truncación de Einstein-Hilbert , el ansatz más simple para la acción promedio efectiva, existe un punto fijo no trivial.

Estos resultados marcan el punto de partida para muchos cálculos posteriores. Dado que en el trabajo pionero de Martin Reuter no estaba claro hasta qué punto los hallazgos dependían del ansatz de truncamiento considerado, el siguiente paso obvio consistió en ampliar el truncamiento. Este proceso fue iniciado por Roberto Percacci y colaboradores, comenzando con la inclusión de campos de materia. [ 15 ] Hasta el presente, muchos trabajos diferentes de una comunidad en continuo crecimiento, incluyendo, por ejemplo,F(R){\displaystyle f(R)}- y las truncaciones al cuadrado del tensor de Weyl - han confirmado independientemente que el escenario de seguridad asintótica es realmente posible: se demostró la existencia de un punto fijo no trivial dentro de cada truncamiento estudiado hasta ahora. [ 16 ] Aunque todavía falta una prueba final, hay evidencia creciente de que el programa de seguridad asintótica puede conducir finalmente a una teoría cuántica de la gravedad consistente y predictiva dentro del marco general de la teoría cuántica de campos .

Ideas principales

Espacio de teoría

Trayectorias del flujo del grupo de renormalización en el espacio teórico, parametrizadas por infinitas constantes de acoplamiento. Por convención, las flechas del campo vectorial (y la de la trayectoria verde) apuntan de escalas UV a IR. El conjunto de acciones que se encuentran dentro del espacio teórico y son atraídas hacia el punto fijo bajo el flujo RG inverso (es decir, que van en la dirección opuesta a las flechas) se denomina superficie crítica UV. La hipótesis de seguridad asintótica es que una trayectoria solo puede realizarse en la naturaleza si está contenida en la superficie crítica UV, ya que solo entonces tiene un límite de alta energía bien comportado (trayectorias naranja, azul y magenta, a modo de ejemplo). Las trayectorias fuera de esta superficie escapan del espacio teórico parak→∞{\displaystyle k\rightarrow \infty }Dado que desarrollan divergencias inaceptables en el UV, al pasar a escalas menores se aproximan a la superficie crítica del UV. Esta situación está representada por la trayectoria verde, que se sitúa por encima de la superficie y se aleja de ella al aumentar la escala RG (en dirección opuesta a la flecha verde).

El programa de seguridad asintótica adopta un punto de vista wilsoniano moderno sobre la teoría cuántica de campos. Aquí, los datos de entrada básicos que se fijan al principio son, en primer lugar, los tipos de campos cuánticos que portan los grados de libertad de la teoría y, en segundo lugar, las simetrías subyacentes . Para cualquier teoría considerada, estos datos determinan la etapa en la que tiene lugar la dinámica del grupo de renormalización, el llamado espacio de teoría. Consiste en todos los funcionales de acción posibles que dependen de los campos seleccionados y respetan los principios de simetría prescritos. Cada punto en este espacio de teoría representa así una acción posible. A menudo se puede pensar en el espacio como generado por todos los monomios de campo adecuados. En este sentido, cualquier acción en el espacio de teoría es una combinación lineal de monomios de campo, donde los coeficientes correspondientes son las constantes de acoplamiento .{gramoα}{\displaystyle \{g_{\alpha }\}}(Aquí se supone que todos los acoplamientos son adimensionales. Los acoplamientos siempre pueden hacerse adimensionales multiplicándolos por una potencia adecuada de la escala RG).

Flujo del grupo de renormalización

El grupo de renormalización (GR) describe el cambio de un sistema físico debido al suavizado o promediado de detalles microscópicos al pasar a una resolución menor. Esto introduce una noción de dependencia de escala para los funcionales de acción de interés. Las transformaciones infinitesimales del GR mapean acciones a acciones cercanas, dando lugar así a un campo vectorial en el espacio de la teoría. La dependencia de escala de una acción está codificada en una "corrección" de las constantes de acoplamiento que parametrizan esta acción.{gramoα}≡{gramoα(k)}{\displaystyle \{g_{\alpha }\}\equiv \{g_{\alpha }(k)\}}, con la escala RGk{\displaystyle k}Esto da lugar a una trayectoria en el espacio teórico (trayectoria RG), que describe la evolución de una función de acción con respecto a la escala. Es necesario determinar, mediante mediciones, cuál de todas las trayectorias posibles se realiza en la naturaleza.

Tomando el límite UV

La construcción de una teoría cuántica de campos equivale a encontrar una trayectoria RG que se extiende infinitamente en el sentido de que el funcional de acción descrito por{gramoα(k)}{\displaystyle \{g_{\alpha }(k)\}}se comporta adecuadamente para todos los valores del parámetro de escala de momento.k{\displaystyle k}incluido el límite infrarrojok→0{\displaystyle k\rightarrow 0}y el límite ultravioleta (UV)k→∞{\displaystyle k\rightarrow \infty }La seguridad asintótica es una forma de abordar este último límite. Su requisito fundamental es la existencia de un punto fijo del flujo RG. Por definición, este es un punto{gramoα∗}{\displaystyle \{g_{\alpha }^{*}\}}en el espacio teórico donde se detiene la propagación de todos los acoplamientos, o, en otras palabras, un cero de todas las funciones beta :βγ({gramoα∗})=0{\displaystyle \beta _{\gamma }(\{g_{\alpha }^{*}\})=0}a pesar deγ{\displaystyle \gamma }Además, ese punto fijo debe tener al menos una dirección atractiva en el UV. Esto garantiza que haya una o más trayectorias RG que convergen en el punto fijo al aumentar la escala. El conjunto de todos los puntos en el espacio de la teoría que son "atraídos" hacia el punto fijo UV al pasar a escalas mayores se denomina superficie crítica UV . Por lo tanto, la superficie crítica UV consta de todas aquellas trayectorias que están a salvo de divergencias UV en el sentido de que todos los acoplamientos se aproximan a valores finitos del punto fijo a medida quek→∞{\displaystyle k\rightarrow \infty }La hipótesis clave que subyace a la seguridad asintótica es que solo las trayectorias que se extienden completamente dentro de la superficie crítica ultravioleta de un punto fijo apropiado pueden extenderse infinitamente y, por lo tanto, definir una teoría cuántica de campos fundamental. Es evidente que tales trayectorias se comportan adecuadamente en el límite ultravioleta, ya que la existencia de un punto fijo les permite "permanecer en un punto" durante un "tiempo" de renormalización infinitamente largo.

Respecto al punto fijo, las direcciones UV-atractivas se consideran relevantes, mientras que las UV-repulsivas se consideran irrelevantes, ya que los campos de escala correspondientes aumentan y disminuyen, respectivamente, al reducir la escala. Por lo tanto, la dimensionalidad de la superficie crítica UV es igual al número de acoplamientos relevantes. En consecuencia, una teoría asintóticamente segura es más predictiva cuanto menor sea la dimensionalidad de la superficie crítica UV correspondiente.

Por ejemplo, si la superficie crítica UV tiene una dimensión finita.norte{\displaystyle n}es suficiente realizar solonorte{\displaystyle n}mediciones para identificar de forma única la trayectoria RG de la naturaleza. Una vez quenorte{\displaystyle n}Se miden los acoplamientos relevantes, y el requisito de seguridad asintótica fija todos los demás acoplamientos, ya que estos últimos deben ajustarse de tal manera que la trayectoria del grupo de renormalización se sitúe dentro de la superficie crítica ultravioleta. En este sentido, la teoría es altamente predictiva, puesto que un número infinito de parámetros se fijan mediante un número finito de mediciones.

A diferencia de otros enfoques, aquí no se requiere una acción básica que deba elevarse a una teoría cuántica como entrada. Son el espacio de teorías y las ecuaciones de flujo del grupo de renormalización los que determinan los posibles puntos fijos ultravioleta. Dado que dicho punto fijo, a su vez, corresponde a una acción básica, se puede considerar esta última como una predicción en el programa de seguridad asintótica. Esto puede entenderse como una estrategia de búsqueda sistemática entre teorías que ya son "cuánticas", la cual identifica las "islas" de teorías físicamente aceptables en el "mar" de teorías inaceptables plagadas de singularidades de corto alcance.

Puntos fijos gaussianos y no gaussianos

Un punto fijo se denomina gaussiano si corresponde a una teoría libre. Sus exponentes críticos coinciden con las dimensiones de masa canónicas de los operadores correspondientes, que generalmente equivalen a los valores triviales del punto fijo.gramoα∗=0{\displaystyle g_{\alpha }^{*}=0}para todos los acoplamientos esencialesgramoα{\displaystyle g_{\alpha }}Por lo tanto, la teoría de perturbaciones estándar solo es aplicable en las proximidades de un punto fijo gaussiano. En este sentido, la seguridad asintótica en el punto fijo gaussiano equivale a la renormalizabilidad perturbativa más la libertad asintótica . Sin embargo, debido a los argumentos presentados en las secciones introductorias, esta posibilidad queda descartada para la gravedad.

Por el contrario, un punto fijo no trivial, es decir, un punto fijo cuyos exponentes críticos difieren de los canónicos, se denomina no gaussiano . Normalmente esto requieregramoα∗≠0{\displaystyle g_{\alpha }^{*}\neq 0}por al menos uno esencialgramoα{\displaystyle g_{\alpha }}Es precisamente este punto fijo no gaussiano el que proporciona un posible escenario para la gravedad cuántica. Hasta el momento, los estudios sobre este tema se han centrado principalmente en establecer su existencia.

Gravedad cuántica de Einstein (QEG)

El término gravedad cuántica de Einstein (QEG) describe cualquier teoría cuántica de campos de la gravedad que (independientemente de su acción desnuda ) toma la métrica del espaciotiempo como variable de campo dinámica y cuya simetría viene dada por la invariancia de difeomorfismos . Esto fija el espacio de la teoría y un flujo de grupo de renormalización (RG) de la acción media efectiva definida sobre él, pero no especifica a priori ningún funcional de acción concreto. Sin embargo, la ecuación de flujo determina un campo vectorial en ese espacio de la teoría que puede ser investigado. Si presenta un punto fijo no gaussiano mediante el cual se puede tomar el límite ultravioleta de forma "asintóticamente segura", este punto adquiere el estatus de acción desnuda.

Gravedad cuadrática cuántica (QQG)

Una realización específica de QEG es la gravedad cuadrática cuántica (QQG). Esta es una extensión cuántica de la relatividad general obtenida al agregar todos los términos cuadráticos locales en curvatura al lagrangiano de Einstein-Hilbert. [ 17 ] [ 18 ] Se ha demostrado que QQG, además de ser renormalizable, también presenta un punto fijo UV [ 19 ] (incluso en presencia de sectores de materia realistas). [ 20 ] Por lo tanto, puede considerarse una realización concreta de seguridad asintótica.

Implementación mediante la acción promedio efectiva

Ecuación exacta del grupo de renormalización funcional

La herramienta principal para investigar el flujo RG gravitacional con respecto a la escala de energía.k{\displaystyle k}En el nivel no perturbativo se encuentra la acción promedio efectivaΓk{\displaystyle \Gamma _{k}}para la gravedad. [ 14 ] Es la versión dependiente de la escala de la acción efectiva donde en los modos de campo integral funcional subyacentes con momentos covariantes por debajok{\displaystyle k}se suprimen mientras que solo se integran los restantes. Para un espacio de teoría dado, seaΦ{\displaystyle \Phi }yΦ¯{\displaystyle {\bar {\Fi }}}denotemos el conjunto de campos dinámicos y de fondo, respectivamente. EntoncesΓk{\displaystyle \Gamma _{k}}satisface la siguiente ecuación funcional RG de tipo Wetterich-Morris (FRGE): [ 10 ] [ 11 ]

k∂kΓk[Φ,Φ¯]=12STr[(Γk(2)[Φ,Φ¯]+Rk[Φ¯])−1k∂kRk[Φ¯]].{\displaystyle k\partial _{k}\Gamma _{k}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}{\big ]}={\frac {1}{2}}\,{\mbox{STr}}{\Big [}{\big (}\Gamma _{k}^{(2)}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}{\big ]}+{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]{\big )}^{-1}k\partial _{k}{\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]{\Big ]}.}

AquíΓk(2){\displaystyle \Gamma _{k}^{(2)}}es la segunda derivada funcional deΓk{\displaystyle \Gamma _{k}}con respecto a los campos cuánticos Φ{\displaystyle \Phi }en fijoΦ¯{\displaystyle {\bar {\Phi }}}El operador de supresión de modoRk[Φ¯]{\displaystyle {\mathcal {R}}_{k}[{\bar {\Phi }}]}proporciona unak{\displaystyle k}-término de masa dependiente para fluctuaciones con momentos covariantespag2≪k2{\displaystyle p^{2}\ll k^{2}}y desaparece parapag2≫k2{\displaystyle p^{2}\gg k^{2}}Su aparición en el numerador y el denominador hace que la supertraza(STr){\displaystyle ({\mbox{STr}})}tanto infrarrojo como UV finito, alcanzando su máximo en momentospag2≈k2{\displaystyle p^{2}\approx k^{2}}La FRGE es una ecuación exacta sin aproximaciones perturbativas. Dada una condición inicial, determina:Γk{\displaystyle \Gamma _{k}}para todas las escalas de forma única.

Las solucionesΓk{\displaystyle \Gamma _{k}}de la interpolación FRGE entre la acción desnuda (microscópica) enk→∞{\displaystyle k\rightarrow \infty }y la acción efectivaΓ[Φ]=Γk=0[Φ,Φ¯=Φ]{\displaystyle \Gamma [\Phi ]=\Gamma _{k=0}{\big [}\Phi ,{\bar {\Phi }}=\Phi {\big ]}}enk→0{\displaystyle k\rightarrow 0}Pueden visualizarse como trayectorias en el espacio de la teoría subyacente . Nótese que la FRGE en sí misma es independiente de la acción desnuda. En el caso de una teoría asintóticamente segura, la acción desnuda está determinada por el funcional de punto fijo.Γ∗=Γk→∞{\displaystyle \Gamma _{*}=\Gamma _{k\rightarrow \infty }}.

Truncamientos del espacio de teoría

Supongamos que existe un conjunto de funcionales base.{PAGα[⋅]}{\displaystyle \{P_{\alpha }[\,\cdot \,]\}}abarcando el espacio teórico en consideración de modo que cualquier funcional de acción, es decir cualquier punto de este espacio teórico, pueda escribirse como una combinación lineal de losPAGα{\displaystyle P_{\alpha }}'s. Luego solucionesΓk{\displaystyle \Gamma _{k}}de la FRGE tienen expansiones de la forma

Γk[Φ,Φ¯]=∑α=1∞gramoα(k)PAGα[Φ,Φ¯].{\displaystyle \Gamma _{k}[\Phi ,{\bar {\Phi }}]=\sum \limits _{\alpha =1}^{\infty }g_{\alpha }(k)P_{\alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi }}].}

Al insertar esta expansión en la FRGE y expandir la traza en su lado derecho para extraer las funciones beta , se obtiene la ecuación RG exacta en forma de componentes:k∂kgramoα(k)=βα(gramo1,gramo2,⋯){\displaystyle k\partial _{k}g_{\alpha }(k)=\beta _{\alpha }(g_{1},g_{2},\cdots )}Junto con las condiciones iniciales correspondientes, estas ecuaciones fijan la evolución de los acoplamientos dinámicos.gramoα(k){\displaystyle g_{\alpha }(k)}y así determinarΓk{\displaystyle \Gamma _{k}}completamente. Como se puede ver, la FRGE da lugar a un sistema de infinitas ecuaciones diferenciales acopladas, ya que hay infinitos acoplamientos, y laβ{\displaystyle \beta }Las funciones pueden depender de todas ellas. Esto hace que sea muy difícil resolver el sistema en general.

Una posible solución consiste en restringir el análisis a un subespacio de dimensión finita como aproximación del espacio teórico completo. En otras palabras, dicha truncación del espacio teórico establece a cero todos los acoplamientos excepto un número finito, considerando únicamente la base reducida.{PAGα[⋅]}{\displaystyle \{P_{\alpha }[\,\cdot \,]\}}conα=1,⋯,norte{\displaystyle \alpha =1,\cdots ,N}Esto equivale al ansatz

Γk[Φ,Φ¯]=∑α=1nortegramoα(k)PAGα[Φ,Φ¯],{\displaystyle \Gamma _{k}[\Phi ,{\bar {\Phi }}]=\sum \limits _{\alpha =1}^{N}g_{\alpha }(k)P_{\alpha }[\Phi ,{\bar {\Phi }}],}

lo que conduce a un sistema de un número finito de ecuaciones diferenciales acopladas,k∂kgramoα(k)=βα(gramo1,⋯,gramonorte){\displaystyle k\partial _{k}g_{\alpha }(k)=\beta _{\alpha }(g_{1},\cdots ,g_{N})}, que ahora se puede resolver empleando técnicas analíticas o numéricas.

Claramente, se debe elegir una truncación de manera que incorpore tantas características del flujo exacto como sea posible. Aunque es una aproximación, el flujo truncado aún exhibe el carácter no perturbativo de la FRGE, y laβ{\displaystyle \beta }Las funciones pueden contener contribuciones de todas las potencias de los acoplamientos.

Evidencia a partir de ecuaciones de flujo truncadas

Diagrama de flujo para la truncación de Einstein-Hilbert de la gravedad cuántica. Las flechas apuntan desde las escalas UV a IR. El color de fondo oscuro indica una región de flujo rápido; en las regiones de fondo claro, el flujo es lento o incluso nulo. Este último caso incluye una vecindad del punto fijo gaussiano en el origen y el punto fijo no gaussiano en el centro de las flechas espirales, respectivamente. La trayectoria de cruce tangente a las flechas verdes conecta el punto fijo no gaussiano con el gaussiano y actúa como una separatriz .

Truncamiento de Einstein-Hilbert

Como se describió en la sección anterior, la FRGE se presta a una construcción sistemática de aproximaciones no perturbativas a las funciones beta gravitacionales proyectando el flujo RG exacto sobre subespacios abarcados por un ansatz adecuado paraΓk{\displaystyle \Gamma _{k}}En su forma más simple, tal ansatz viene dado por la acción de Einstein-Hilbert donde la constante de NewtonGRAMOk{\displaystyle G_{k}}y la constante cosmológicaΛk{\displaystyle \Lambda _{k}}depende de la escala RGk{\displaystyle k}. Dejargramoμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}ygramo¯μν{\displaystyle {\bar {g}}_{\mu \nu }}denotan la métrica dinámica y la métrica de fondo, respectivamente. EntoncesΓk{\displaystyle \Gamma _{k}}lecturas, para dimensión espaciotemporal arbitrariad{\displaystyle d},

Γk[gramo,gramo¯,ξ,ξ¯]=116πGRAMOk∫ddincógnitagramo(−R(gramo)+2Λk)+Γknovia[gramo,gramo¯]+Γkgh[gramo,gramo¯,ξ,ξ¯].{\displaystyle \Gamma _{k}[g,{\bar {g}},\xi ,{\bar {\xi }}]={\frac {1}{16\pi G_{k}}}\int {\text{d}}^{d}x\,{\sqrt {g}}\,{\big (}-R(g)+2\Lambda _{k}{\big )}+\Gamma _{k}^{\text{gf}}[g,{\bar {g}}]+\Gamma _{k}^{\text{gh}}[g,{\bar {g}},\xi ,{\bar {\xi }}].}
Retrato de fase para la truncación de Einstein-Hilbert. Se muestran las trayectorias del grupo de renormalización correspondientes al diagrama de flujo del lado izquierdo. (Obtenido por primera vez en la Ref. [ 21 ] )

AquíR(gramo){\displaystyle R(g)}es la curvatura escalar construida a partir de la métricagramoμν{\displaystyle g_{\mu \nu }}. Además,Γknovia{\displaystyle \Gamma _{k}^{\text{gf}}}denota la acción de fijación del calibre yΓkgh{\displaystyle \Gamma _{k}^{\text{gh}}}la acción fantasma con los campos fantasmaξ{\displaystyle \xi }yξ¯{\displaystyle {\bar {\xi }}}.

El correspondienteβ{\displaystyle \beta }-funciones que describen la evolución de la constante de Newton adimensionalgramok=kd−2GRAMOk{\displaystyle g_{k}=k^{d-2}G_{k}}y la constante cosmológica adimensionalλk=k−2Λk{\displaystyle \lambda _{k}=k^{-2}\Lambda _{k}}, se han derivado por primera vez en la referencia [ 14 ] para cualquier valor de la dimensionalidad del espacio-tiempo, incluidos los casos ded{\displaystyle d}abajo y arriba4{\displaystyle 4}dimensiones. En particular, end=4{\displaystyle d=4}dimensiones dan lugar al diagrama de flujo RG que se muestra en el lado izquierdo. El resultado más importante es la existencia de un punto fijo no gaussiano adecuado para la seguridad asintótica. Es UV-atractivo tanto engramo{\displaystyle g}- y enλ{\displaystyle \lambda }-dirección.

Este punto fijo está relacionado con el que se encuentra end=2+ϵ{\displaystyle d=2+\epsilon }dimensiones por métodos perturbativos en el sentido de que se recupera en el enfoque no perturbativo presentado aquí insertandod=2+ϵ{\displaystyle d=2+\epsilon }en elβ{\displaystyle \beta }-funciones y expansión en potencias deϵ{\displaystyle \epsilon }. [ 14 ] Dado que elβ{\displaystyle \beta }Se demostró que las funciones existen y se calcularon explícitamente para cualquier valor real, es decir, no necesariamente entero.d{\displaystyle d}Aquí no se requiere ninguna continuación analítica. El punto fijo end=4{\displaystyle d=4}Las dimensiones también son un resultado directo de las ecuaciones de flujo no perturbativo y, a diferencia de los intentos anteriores, no hay extrapolación enϵ{\displaystyle \epsilon }se requiere.

Truncamientos extendidos

Posteriormente, se ha confirmado la existencia del punto fijo hallado dentro de la truncación de Einstein - Hilbert en subespacios de complejidad creciente. El siguiente paso en este desarrollo fue la inclusión de unR2{\displaystyle R^{2}}-término en el ansatz de truncamiento. [ 22 ] Esto se ha extendido aún más al tener en cuenta polinomios de la curvatura escalar.R{\displaystyle R}(así llamadoF(R){\displaystyle f(R)}-truncamientos), [ 23 ] y el cuadrado del tensor de curvatura de Weyl . [ 24 ] [ 25 ] Además, se han investigado teorías f(R) en la aproximación de potencial local, encontrando puntos fijos no perturbativos que respaldan el escenario de seguridad asintótica, lo que lleva al llamado punto fijo de Benedetti - Caravelli (BC). En dicha formulación BC, la ecuación diferencial para el escalar de Ricci R está sobredeterminada, pero algunas de estas restricciones pueden eliminarse mediante la resolución de singularidades móviles. [ 26 ] [ 27 ]

Además, se ha investigado el impacto de varios tipos de campos de materia. [ 15 ] Asimismo, los cálculos basados ​​en una acción promedio efectiva invariante de reparametrización de campo parecen recuperar el punto fijo crucial. [ 28 ] En conjunto, estos resultados constituyen una fuerte evidencia de que la gravedad en cuatro dimensiones es una teoría cuántica de campos no perturbativamente renormalizable, de hecho con una superficie crítica UV de dimensionalidad reducida, coordinada por solo unos pocos acoplamientos relevantes. [ 16 ]

Estructura microscópica del espacio-tiempo

Los resultados de las investigaciones relacionadas con la seguridad asintótica indican que los espaciotiempos efectivos de QEG tienen propiedades de tipo fractal en escalas microscópicas. Es posible determinar, por ejemplo, su dimensión espectral y argumentar que experimentan una reducción dimensional de 4 dimensiones a distancias macroscópicas a 2 dimensiones microscópicamente. [ 29 ] [ 30 ] En este contexto, podría ser posible establecer una conexión con otros enfoques de la gravedad cuántica, por ejemplo, con las triangulaciones dinámicas causales , y comparar los resultados. [ 31 ]

Aplicaciones de la física

Las consecuencias fenomenológicas del escenario de seguridad asintótica se han investigado en muchas áreas de la física gravitacional. Por ejemplo, la seguridad asintótica en combinación con el Modelo Estándar permite hacer una afirmación sobre la masa del bosón de Higgs y el valor de la constante de estructura fina . [ 32 ] Además, proporciona posibles explicaciones para fenómenos particulares en cosmología y astrofísica , relacionados con agujeros negros o inflación , por ejemplo. [ 32 ] Estos diferentes estudios aprovechan la posibilidad de que el requisito de seguridad asintótica pueda dar lugar a nuevas predicciones y conclusiones para los modelos considerados, a menudo sin depender de supuestos adicionales, posiblemente no observados.

Crítica

Algunos investigadores argumentaron que las implementaciones actuales del programa de seguridad asintótica para la gravedad tienen características no físicas, como la variación de la constante de Newton [ 33 ] o la falta de respeto a la invariancia BRST . [ 34 ] Otros argumentaron que el concepto mismo de seguridad asintótica es un nombre inapropiado, ya que sugiere una característica novedosa en comparación con el paradigma RG wilsoniano, cuando no existe ninguna (al menos en el contexto de la teoría cuántica de campos, donde también se utiliza este término). [ 35 ]

Véase también

Referencias

  1. ^ 't Hooft, Gerard; Veltman, Martinus JG (1974). "Divergencias de un bucle en la teoría de la gravitación". Anales del Instituto Henri Poincaré . 20 (1): 69– 94. Bibcode : 1974AIHPA..20...69T .
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  • Preguntas frecuentes sobre seguridad asintótica : una recopilación de preguntas y respuestas sobre seguridad asintótica y una lista completa de referencias. 
  • Seguridad asintótica en gravedad cuántica : un artículo de Scholarpedia sobre el mismo tema con algunos detalles adicionales sobre la acción promedio efectiva gravitacional. 
  • La teoría cuántica de campos: ¿efectiva o fundamental? – Charla de Steven Weinberg en el CERN el 7 de julio de 2009. 
  • Seguridad asintótica: 30 años después – Todas las ponencias del taller celebrado en el Perimeter Institute del 5 al 8 de noviembre de 2009. 
  • Cuatro vías radicales hacia una teoría del todo : un artículo de Amanda Gefter sobre la gravedad cuántica, publicado en 2008 en New Scientist (Física y Matemáticas). 
  • "Weinberg 'Vivir con el infinito' - Conferencia Källén 2009" . YouTube . Andrea Idini. 14 de enero de 2022.(Entre el minuto 1:11:28 y el 1:18:10 del vídeo, Weinberg ofrece una breve explicación sobre la seguridad asintótica. Véase también la respuesta de Weinberg a la pregunta de Cecilia Jarlskog al final de la conferencia. La conferencia de Källén de 2009 se grabó el 13 de febrero de 2009).
  • Hossenfelder, Sabine (8 de enero de 2018). "Por qué una vieja teoría del todo está cobrando nueva vida" . Quanta Magazine .