ecuación de Boltzmann

El conjunto de todas las posiciones posibles r y momentos p se denomina espacio de fases del sistema; en otras palabras, un conjunto de tres coordenadas para cada coordenada de posición x, y, z , y tres más para cada componente de momento p _x , p _y , p _z . Todo el espacio es de 6 dimensiones : un punto en este espacio es ( r , p ) = ( x, y, z, p _x , p _y , p _z ) , y cada coordenada está parametrizada por el tiempo t . Un elemento diferencial relevante se escribe $${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} =dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}.}$$

Dado que la probabilidad de N moléculas, que todas tienen r y p dentro${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$, está en cuestión, en el corazón de la ecuación hay una cantidad f que da esta probabilidad por unidad de volumen del espacio de fases, o probabilidad por unidad de longitud al cubo por unidad de momento al cubo, en un instante de tiempo t . Esta es una función de densidad de probabilidad : f ( r , p , t ) , definida de manera que, $${\displaystyle dN=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {r} \,d^{3}\mathbf {p} }$$ es el número de moléculas cuyas posiciones se encuentran dentro de un elemento de volumen.${\displaystyle d^{3}\mathbf {r} }$sobre r y los momentos que se encuentran dentro de un elemento del espacio de momentos${\displaystyle d^{3}\mathbf {p} }$alrededor de p , en el instante t . ^{[ 5 ]} La integración sobre una región del espacio de posiciones y del espacio de momentos da como resultado el número total de partículas que tienen posiciones y momentos en esa región:

$${\displaystyle {\begin{aligned}N&=\int \limits _{\mathrm {momenta} }d^{3}\mathbf {p} \int \limits _{\mathrm {posiciones} }d^{3}\mathbf {r} \,f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\\[5pt]&=\iiint \limits _{\mathrm {momenta} }\quad \iiint \limits _{\mathrm {posiciones} }f(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z},t)\,dx\,dy\,dz\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}\end{aligned}}}$$

que es una integral séxtuple . Mientras que f está asociada con varias partículas, el espacio de fases es para una partícula (no para todas, como suele ser el caso con sistemas deterministas de muchos cuerpos ), ya que solo se trata de un r y un p . No forma parte del análisis usar r ₁ , p ₁ para la partícula 1, r ₂ , p ₂ para la partícula 2, etc. hasta r _N , p _N para la partícula N.

Se supone que las partículas del sistema son idénticas (por lo que cada una tiene una masa m idéntica ). Para una mezcla de más de una especie química , se necesita una distribución para cada una, como se explica más adelante.

La ecuación general se puede escribir entonces como ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{fuerza}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{diferencia}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{colisión}},}$$

donde el término "fuerza" corresponde a las fuerzas ejercidas sobre las partículas por una influencia externa (no por las partículas mismas), el término "difusión" representa la difusión de partículas y "colisión" es el término de colisión , que describe las fuerzas que actúan entre partículas en colisiones. Las expresiones para cada término del lado derecho se proporcionan a continuación. ^{[ 6 ]}

Nótese que algunos autores utilizan la velocidad de la partícula v en lugar del momento p ; están relacionados en la definición de momento por p = m v .

Dividiendo ( 3 ) por dt y sustituyendo en ( 2 ) se obtiene:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }}$$

En este contexto, F ( r , t ) es el campo de fuerza que actúa sobre las partículas en el fluido, y m es la masa de las partículas. El término del lado derecho se añade para describir el efecto de las colisiones entre partículas; si es cero, las partículas no colisionan. La ecuación de Boltzmann sin colisiones, donde las colisiones individuales se reemplazan por interacciones agregadas de largo alcance, por ejemplo, interacciones de Coulomb , se suele denominar ecuación de Vlasov .

Esta ecuación es más útil que la principal anterior, aunque sigue siendo incompleta, ya que f no se puede resolver a menos que se conozca el término de colisión en f . Este término no se puede hallar tan fácilmente ni de forma tan general como los demás; es un término estadístico que representa las colisiones de partículas y requiere conocer las estadísticas que siguen las partículas, como las distribuciones de Maxwell-Boltzmann , Fermi-Dirac o Bose-Einstein .

Una idea clave aplicada por Boltzmann fue determinar el término de colisión resultante únicamente de colisiones de dos cuerpos entre partículas que se suponen no correlacionadas antes de la colisión. Esta suposición fue denominada por Boltzmann como el " Stosszahlansatz " y también se conoce como la " suposición del caos molecular ". Bajo esta suposición, el término de colisión puede escribirse como una integral en el espacio de momentos sobre el producto de funciones de distribución de una partícula: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} '_{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} '_{B},t)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{B},}$$ donde p _A y p _B son los momentos de dos partículas cualesquiera (etiquetadas como A y B para mayor comodidad) antes de una colisión (para el término de pérdida) o después de la colisión (para el término de ganancia), p ′ _A y p ′ _B son los momentos después de la colisión (para el término de pérdida) o antes de la colisión (para el término de ganancia), $${\displaystyle g=\left|{\frac {\mathbf {p} _{B}}{m}}-{\frac {\mathbf {p} _{A}}{m}}\right|=\left|{\frac {\mathbf {p} '_{B}}{m}}-{\frac {\mathbf {p} '_{A}}{m}}\right|}$$ es la magnitud de la velocidad relativa , e I ( g , Ω) es la sección transversal diferencial de la colisión, en la que los momentos relativos de las partículas que colisionan se transforman en un ángulo θ en el elemento del ángulo sólido d Ω , debido a la colisión. Nótese que g es una función de p _A y p _B , y p ′ _A junto con p ′ _B son funciones de p _A , p _B , y θ (oculto en d Ω ).

Dado que gran parte del desafío para resolver la ecuación de Boltzmann se origina en el complejo término de colisión, se han realizado intentos para "modelar" y simplificar dicho término. La ecuación modelo más conocida se debe a Bhatnagar, Gross y Krook. ^{[ 7 ]} La aproximación BGK se basa en la suposición de que el efecto de las colisiones moleculares es forzar una función de distribución de no equilibrio en un punto del espacio físico a regresar a una función de distribución de equilibrio maxwelliano, y que la velocidad a la que esto ocurre es proporcional a la frecuencia de colisión molecular. Por lo tanto, la ecuación de Boltzmann se modifica a la forma BGK:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\nu (f_{0}-f),}$$

dónde${\displaystyle \nu }$es la frecuencia de colisión molecular, y${\displaystyle f_{0}}$es la función de distribución maxwelliana local dada la temperatura del gas en este punto del espacio. Esto también se denomina "aproximación del tiempo de relajación".

La ecuación de Boltzmann se puede utilizar para derivar las leyes de conservación de la dinámica de fluidos para la masa, la carga, el momento y la energía. ^{[ 8 ] : 163} Para un fluido que consta de un solo tipo de partícula, la densidad numérica n viene dada por $${\displaystyle n=\int f\,d^{3}\mathbf {p} .}$$

El valor promedio de cualquier función A es $${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{n}}\int Af\,d^{3}\mathbf {p} .}$$

Dado que las ecuaciones de conservación involucran tensores, se utilizará la convención de suma de Einstein, donde los índices repetidos en un producto indican la suma sobre esos índices. Por lo tanto,${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto x_{i}}$y${\displaystyle \mathbf {p} \mapsto p_{i}=mv_{i}}$, dónde${\displaystyle v_{i}}$es el vector de velocidad de la partícula. Definir${\displaystyle A(p_{i})}$como alguna función del momento${\displaystyle p_{i}}$solamente, cuyo valor total se conserva en una colisión. Supongamos también que la fuerza${\displaystyle F_{i}}$es una función de la posición solamente, y que f es cero para${\displaystyle p_{i}\to \pm \infty }$Multiplicando la ecuación de Boltzmann por A e integrando sobre el momento se obtienen cuatro términos que, utilizando la integración por partes, pueden expresarse como

$${\displaystyle \int A{\frac {\partial f}{\partial t}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle A\rangle ),}$$

$${\displaystyle \int {\frac {p_{j}A}{m}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {1}{m}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(n\langle Ap_{j}\rangle ),}$$

$${\displaystyle \int AF_{j}{\frac {\partial f}{\partial p_{j}}}\,d^{3}\mathbf {p} =-nF_{j}\left\langle {\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}\right\rangle ,}$$

$${\displaystyle \int A\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}\,d^{3}\mathbf {p} ={\frac {\partial }{\partial t}}_{\text{coll}}(n\langle A\rangle )=0,}$$

donde el último término es cero, ya que A se conserva en una colisión. Los valores de A corresponden a momentos de velocidad${\displaystyle v_{i}}$(y el impulso${\displaystyle p_{i}}$, ya que son linealmente dependientes).

En mecánica hamiltoniana , la ecuación de Boltzmann se suele escribir de forma más general como $${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f],}$$ donde L es el operador de Liouville (nótese que el operador de Liouville se define a través del hamiltoniano en el artículo enlazado en lugar de las fuerzas) que describe la evolución de un volumen del espacio de fases y C es el operador de colisión. La forma no relativista de L es $${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla +\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\,.}$$

Es posible escribir ecuaciones de Boltzmann cuánticas relativistas para sistemas cuánticos relativistas en los que el número de partículas no se conserva en las colisiones. Esto tiene varias aplicaciones en cosmología física , ^{[ 9 ]} incluyendo la formación de los elementos ligeros en la nucleosíntesis del Big Bang , la producción de materia oscura y la bariogénesis . No es claro a priori que el estado de un sistema cuántico pueda caracterizarse mediante una densidad de espacio de fases clásica f . Sin embargo, para una amplia clase de aplicaciones existe una generalización bien definida de f que es la solución de una ecuación de Boltzmann efectiva que puede derivarse de los primeros principios de la teoría cuántica de campos . ^{[ 10 ]}

La ecuación de Boltzmann es útil en la dinámica galáctica. Una galaxia, bajo ciertas suposiciones, puede aproximarse como un fluido continuo; su distribución de masa se representa entonces por f ; en las galaxias, las colisiones físicas entre las estrellas son muy raras, y el efecto de las colisiones gravitacionales puede despreciarse para tiempos mucho mayores que la edad del universo .

Su generalización en la relatividad general es ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }[f]=p^{\alpha }{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial f}{\partial p^{\alpha }}}=C[f],}$$ donde Γ ^α _βγ es el símbolo de Christoffel de segundo tipo (esto supone que no hay fuerzas externas, de modo que las partículas se mueven a lo largo de geodésicas en ausencia de colisiones), con la importante sutileza de que la densidad es una función en el espacio de fases mixto contravariante-covariante ( x ⁱ , p _i ) en contraposición al espacio de fases totalmente contravariante ( x ⁱ , p ⁱ ) . ^{[ 15 ] [ 16 ]}

En cosmología física, el enfoque totalmente covariante se ha utilizado para estudiar la radiación cósmica de fondo de microondas. ^{[ 17 ]} De manera más genérica, el estudio de los procesos en el universo temprano a menudo intenta tener en cuenta los efectos de la mecánica cuántica y la relatividad general . ^{[ 9 ]} En el medio muy denso formado por el plasma primordial después del Big Bang , las partículas se crean y aniquilan continuamente. En tal entorno, la coherencia cuántica y la extensión espacial de la función de onda pueden afectar la dinámica, lo que hace cuestionable si la distribución clásica del espacio de fases f que aparece en la ecuación de Boltzmann es adecuada para describir el sistema. En muchos casos, sin embargo, es posible derivar una ecuación de Boltzmann efectiva para una función de distribución generalizada a partir de los primeros principios de la teoría cuántica de campos . ^{[ 10 ]} Esto incluye la formación de los elementos ligeros en la nucleosíntesis del Big Bang , la producción de materia oscura y la bariogénesis .