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anillos borromeos

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En matemáticas , los anillos borromeos [ a ] son ​​tres curvas cerradas simples en el espacio tridimensional que están topológicamente vinculadas y no pueden separarse entre sí, pero que se dividen en dos bucles no anudados ni vinculados cuando se corta o elimina cualquiera de las tres. Generalmente, estos anillos se representan como tres círculos en el plano, siguiendo el patrón de un diagrama de Venn , que se cruzan alternativamente por encima y por debajo en los puntos donde se cruzan. Se dice que otras ternas de curvas forman los anillos borromeos siempre que sean topológicamente equivalentes a las curvas representadas en este dibujo.

Los anillos borromeos reciben su nombre de la Casa de Borromeo, de origen italiano , que utilizaba la forma circular de estos anillos como elemento de su escudo de armas . Sin embargo, diseños basados ​​en los anillos borromeos se han empleado en diversas culturas, incluyendo la nórdica y la japonesa. Se han utilizado en el simbolismo cristiano como símbolo de la Trinidad y, en el comercio moderno, como logotipo de la cerveza Ballantine , lo que les ha valido el nombre alternativo de anillos Ballantine . Se han creado réplicas físicas de los anillos borromeos a partir de ADN u otras moléculas, y tienen análogos en el estado de Efimov y los núcleos borromeos , ambos con tres componentes unidos entre sí, aunque ninguno de ellos está unido.

Geométricamente, los anillos de Borromeo pueden representarse mediante elipses enlazadas o (utilizando los vértices de un icosaedro regular ) mediante rectángulos áureos enlazados . Es imposible representarlos mediante círculos en el espacio tridimensional, pero se ha conjeturado que pueden representarse mediante copias de cualquier curva cerrada simple no circular en el espacio. En teoría de nudos , se puede demostrar que los anillos de Borromeo están enlazados contando sus n- coloraciones de Fox . Como enlaces, son brunnianos , alternantes , algebraicos e hiperbólicos . En topología aritmética , ciertas ternas de números primos tienen propiedades de enlace análogas a las de los anillos de Borromeo.

Definición y notación

Es común en las publicaciones de matemáticas que definen los anillos borromeos hacerlo como un diagrama de enlace , un dibujo de curvas en el plano con cruces marcados para indicar qué curva o parte de una curva pasa por encima o por debajo en cada cruce. Dicho dibujo puede transformarse en un sistema de curvas en el espacio tridimensional incrustando el plano en el espacio y deformando las curvas dibujadas en él por encima o por debajo del plano incrustado en cada cruce, como se indica en el diagrama. El diagrama comúnmente utilizado para los anillos borromeos consiste en tres círculos iguales centrados en los vértices de un triángulo equilátero , lo suficientemente cerca entre sí como para que sus interiores tengan una intersección común (como en un diagrama de Venn o los tres círculos utilizados para definir el triángulo de Reuleaux ). Sus cruces alternan entre arriba y abajo cuando se consideran en orden consecutivo alrededor de cada círculo; [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] otra forma equivalente de describir la relación de arriba-abajo entre los tres círculos es que cada círculo pasa por encima de un segundo círculo en ambos cruces, y por debajo del tercer círculo en ambos cruces. [ 5 ] Se dice que dos enlaces son equivalentes si hay una deformación continua del espacio (una isotopía ambiental ) que lleva uno al otro, y los anillos borromeos pueden referirse a cualquier enlace que sea equivalente en este sentido al diagrama estándar para este enlace. [ 4 ]

En The Knot Atlas , los anillos borromeos se denotan con el código "L6a4"; la notación significa que se trata de un enlace con seis cruces y un diagrama alternado, el cuarto de los cinco enlaces alternados de 6 cruces identificados por Morwen Thistlethwaite en una lista de todos los enlaces primos con hasta 13 cruces. [ 6 ] En las tablas de nudos y enlaces del libro de Dale Rolfsen de 1976, Knots and Links , que amplía las listas anteriores de la década de 1920 de Alexander y Briggs, a los anillos borromeos se les dio la notación de Alexander-Briggs "6 3 2 ", lo que significa que este es el segundo de los tres enlaces de 3 componentes y 6 cruces que se listan. [ 6 ] [ 7 ] La notación de Conway para los anillos borromeos, ".1", es una descripción abreviada del diagrama de enlace estándar para este enlace. [ 8 ]

Historia y simbolismo

Valknut enla piedra Stora Hammars I
Símbolo de la Trinidad cristiana , adaptado de un manuscrito del siglo XIII.
Triángulos entrelazados en el templo de Marundeeswarar.

El nombre «anillos borromeos» proviene del uso de estos anillos, en forma de tres círculos entrelazados, en el escudo de armas de la aristocrática familia Borromeo en el norte de Italia . [ 9 ] [ 10 ] El vínculo en sí es mucho más antiguo y ha aparecido en forma de valknut , tres triángulos equiláteros entrelazados con lados paralelos, en piedras con imágenes nórdicas que datan del siglo VII. [ 11 ] El santuario Ōmiwa en Japón también está decorado con un motivo de los anillos borromeos, en su forma circular convencional. [ 2 ] Un pilar de piedra en el templo Marundeeswarar del siglo VI en la India muestra tres triángulos equiláteros rotados entre sí para formar un eneagrama regular ; al igual que los anillos borromeos, estos tres triángulos están entrelazados y no entrelazados por pares, [ 12 ] pero este patrón de cruce describe un vínculo diferente al de los anillos borromeos. [ 13 ]

Una superficie de Seifert de los anillos borromeos

Los anillos borromeos se han utilizado en diferentes contextos para indicar la fuerza en la unidad. [ 14 ] En particular, algunos han utilizado el diseño para simbolizar la Trinidad . [ 3 ] Un manuscrito francés del siglo XIII que representaba los anillos borromeos etiquetados como unidad en la Trinidad se perdió en un incendio en la década de 1940, pero fue reproducido en un libro de 1843 por Adolphe Napoléon Didron . Didron y otros han especulado que la descripción de la Trinidad como tres círculos iguales en el canto 33 del Paraíso de Dante se inspiró en imágenes similares, aunque Dante no detalla la disposición geométrica de estos círculos. [ 15 ] [ 16 ] El psicoanalista Jacques Lacan encontró inspiración en los anillos borromeos como modelo para su topología de la subjetividad humana, donde cada anillo representa un componente lacaniano fundamental de la realidad (lo "real", lo "imaginario" y lo "simbólico"). [ 17 ]

Los anillos se usaban como logotipo de la cerveza Ballantine y todavía se usan en la marca Ballantine, ahora distribuida por el propietario actual de la marca, la Pabst Brewing Company . [ 18 ] [ 19 ] Por esta razón, a veces se les ha llamado los "anillos Ballantine". [ 3 ] [ 18 ]

El primer trabajo de teoría de nudos que incluyó los anillos borromeos fue un catálogo de nudos y enlaces compilado en 1876 por Peter Tait . [ 3 ] En matemáticas recreativas , los anillos borromeos fueron popularizados por Martin Gardner , quien presentó superficies de Seifert para los anillos borromeos en su columna de septiembre de 1961 " Juegos Matemáticos " en Scientific American . [ 19 ] En 2006, la Unión Matemática Internacional decidió en el XXV Congreso Internacional de Matemáticos en Madrid, España, utilizar un nuevo logotipo basado en los anillos borromeos. [ 2 ]

Anillos parciales y múltiples

En la Europa medieval y renacentista, varios signos visuales consisten en tres elementos entrelazados de la misma manera que se muestran los anillos borromeos entrelazados (en su representación bidimensional convencional), pero con elementos individuales que no son bucles cerrados. Ejemplos de tales símbolos son los cuernos de piedra de Snoldelev [ 20 ] y las medias lunas de Diana de Poitiers . [ 3 ]

Algunos enlaces de la teoría de nudos contienen múltiples configuraciones de anillos borromeos; un enlace de cinco bucles de este tipo se utiliza como símbolo en el discordianismo , basado en una representación en los Principia Discordia . [ 21 ]

Propiedades matemáticas

Vinculación

Diagrama de enlace algebraico para los anillos borromeos. La línea media vertical punteada negra es una esfera de Conway que divide el diagrama en 2-enredos .

En la teoría de nudos , los anillos borromeos son un ejemplo sencillo de un enlace brunniano , un enlace que no se puede separar pero que se deshace en bucles separados sin nudos tan pronto como se elimina cualquiera de sus componentes. Existen infinitos enlaces brunnianos e infinitos enlaces brunnianos de tres curvas, de los cuales los anillos borromeos son los más simples. [ 13 ] [ 22 ]

Hay varias maneras de ver que los anillos borromeos están vinculados. Una es usar las n- coloraciones de Fox , coloraciones de los arcos de un diagrama de enlace con los enteros módulo n de manera que en cada cruce, los dos colores en el cruce inferior tengan el mismo promedio (módulo n ) que el color del arco de cruce superior, y de manera que se utilicen al menos dos colores. El número de coloraciones que cumplen estas condiciones es un invariante de nudo , independiente del diagrama elegido para el enlace. Un enlace trivial con tres componentes tienenorte3−norte{\displaystyle n^{3}-n}coloraciones, obtenidas a partir de su diagrama estándar eligiendo un color independientemente para cada componente y descartando elnorte{\displaystyle n}Coloraciones que solo usan un color. Por otro lado, para el diagrama estándar de los anillos borromeos, los mismos pares de arcos se encuentran en dos cruces inferiores, lo que obliga a que los arcos que los cruzan tengan el mismo color entre sí, de lo cual se deduce que las únicas coloraciones que cumplen las condiciones de cruce violan la condición de usar más de un color. Debido a que el enlace trivial tiene muchas coloraciones válidas y los anillos borromeos no tienen ninguna, no pueden ser equivalentes. [ 4 ] [ 23 ]

Los anillos borromeos son un enlace alternante , ya que su diagrama de enlace convencional tiene cruces que alternan entre pasar por encima y por debajo de cada curva, en orden a lo largo de la curva. También son un enlace algebraico , un enlace que puede descomponerse mediante esferas de Conway en 2-enredos . Son el enlace algebraico alternante más simple que no tiene un diagrama que sea simultáneamente alternante y algebraico. [ 24 ] De las conjeturas de Tait se deduce que el número de cruces de los anillos borromeos (el menor número de cruces en cualquiera de sus diagramas de enlace) es 6, el número de cruces en su diagrama alternante. [ 4 ]

forma de anillo

Una posible disposición 3D de los anillos borromeos: si son circulares vistos desde arriba, entonces deben curvarse fuera de un solo plano. [ 4 ]

Los anillos borromeos se suelen dibujar con sus anillos proyectándose en círculos en el plano del dibujo, pero los anillos borromeos circulares tridimensionales son un objeto imposible : no es posible formar los anillos borromeos a partir de círculos en el espacio tridimensional. [ 4 ]

De forma más general, Michael H. Freedman y Richard Skora ( 1987 ) demostraron, utilizando geometría hiperbólica de cuatro dimensiones , que ningún enlace de Brunn puede ser exactamente circular. [ 25 ] Para tres anillos en su disposición borromea convencional, esto se puede ver al considerar el diagrama de enlaces . Si se supone que dos de los círculos se tocan en sus dos puntos de intersección, entonces se encuentran en un plano o en una esfera. En cualquier caso, el tercer círculo debe pasar por este plano o esfera cuatro veces, sin estar dentro de él, lo cual es imposible. [ 26 ] Otro argumento a favor de la imposibilidad de realizaciones circulares, de Helge Tverberg , utiliza geometría inversiva para transformar tres círculos cualesquiera de modo que uno de ellos se convierta en una línea, lo que facilita argumentar que los otros dos círculos no se enlazan con él para formar los anillos borromeos. [ 27 ] 

Realización de anillos borromeos mediante elipses.
Tres rectángulos áureos enlazados en un icosaedro regular

Sin embargo, los anillos borromeos pueden realizarse utilizando elipses. [ 2 ] Estas pueden considerarse de excentricidad arbitrariamente pequeña : por muy cercanas a ser circulares que sean sus formas, siempre que no sean perfectamente circulares, pueden formar enlaces borromeos si se posicionan adecuadamente. Una realización de los anillos borromeos mediante tres rectángulos áureos mutuamente perpendiculares puede encontrarse dentro de un icosaedro regular conectando tres pares opuestos de sus aristas. [ 2 ] Cualquiera de tres polígonos sin nudos en el espacio euclidiano puede combinarse, tras una transformación de escala adecuada, para formar los anillos borromeos. Si los tres polígonos son planos, entonces no es necesario el escalado. [ 28 ] En particular, debido a que los anillos borromeos pueden realizarse mediante tres triángulos, el número mínimo de lados posible para cada uno de sus bucles, el número de varillas de los anillos borromeos es nueve. [ 29 ]

Problema sin resolver en matemáticas
¿Existen tres curvas sin nudos, que no sean todas círculos, que no puedan formar los anillos borromeos?
Más problemas sin resolver en matemáticas

De forma más general, Matthew Cook conjeturó que cualquier conjunto de tres curvas cerradas simples sin nudos en el espacio, no todas circulares, pueden combinarse sin escalado para formar los anillos borromeos. Después de que Jason Cantarella sugiriera un posible contraejemplo, Hugh Nelson Howards debilitó la conjetura para que se aplicara a cualquier conjunto de tres curvas planas que no fueran todas circulares. Por otro lado, aunque existen infinitos enlaces de Brunn con tres enlaces, los anillos borromeos son los únicos que pueden formarse a partir de tres curvas convexas. [ 28 ]

Longitud de cuerda

Logotipo de la Unión Matemática Internacional

En la teoría de nudos, la longitud de cuerda de un nudo o enlace es la longitud más corta de cuerda flexible (de radio uno) que puede realizarlo. Matemáticamente, dicha realización puede describirse mediante una curva suave cuyo entorno tubular de radio uno evita las autointersecciones. La longitud mínima de cuerda de los anillos borromeos no se ha demostrado, pero el valor más pequeño que se ha alcanzado se realiza mediante tres copias de una curva plana de 2 lóbulos. [ 2 ] [ 30 ] Aunque se asemeja a un candidato anterior para la longitud mínima de cuerda, construido a partir de cuatro arcos circulares de radio dos, [ 31 ] está ligeramente modificado con respecto a esa forma y está compuesto por 42 piezas suaves definidas por integrales elípticas , lo que lo hace más corto en una fracción de un porcentaje que la realización circular por partes. Es esta realización, que se conjetura que minimiza la longitud de cuerda, la que se utilizó para el logotipo de la Unión Matemática Internacional . Su longitud es≈58.006{\displaystyle \approx 58.006}, mientras que el mejor límite inferior comprobado para la longitud es12π≈37.699{\displaystyle 12\pi \approx 37.699}. [ 2 ] [ 30 ]

Para un análogo discreto de la longitud de cuerda, la representación más corta que utiliza solo aristas de la red entera , la longitud mínima para los anillos borromeos es exactamente36{\displaystyle 36}. Esta es la longitud de una representación que utiliza tres2×4{\displaystyle 2\times 4}rectángulos enteros, inscritos en el icosaedro de Jessen de la misma manera que la representación mediante rectángulos áureos está inscrita en el icosaedro regular. [ 32 ]

Geometría hiperbólica

El complemento de los anillos borromeos, una variedad hiperbólica formada por dos octaedros ideales, se observa repetidamente en esta vista. Los anillos se encuentran infinitamente lejos, en los vértices de los octaedros.

Los anillos borromeos son un enlace hiperbólico : el espacio que rodea a los anillos borromeos (su complemento de enlace ) admite una métrica hiperbólica completa de volumen finito. Aunque actualmente se consideran numerosos los enlaces hiperbólicos, los anillos borromeos fueron uno de los primeros ejemplos en demostrarse hiperbólicos, en la década de 1970, [ 33 ] [ 34 ] y este complemento de enlace fue un ejemplo central en el vídeo Not Knot , producido en 1991 por el Geometry Center . [ 35 ]

Las variedades hiperbólicas pueden descomponerse de forma canónica en pegados de poliedros hiperbólicos (la descomposición de Epstein-Penner) y para el complemento borromeo esta descomposición consiste en dos octaedros regulares ideales . [ 34 ] [ 36 ] El volumen del complemento borromeo es16Λ(π/4)=8GRAMO≈7.32772…{\displaystyle 16\Lambda (\pi /4)=8G\approx 7.32772\dots }dóndeΛ{\displaystyle \Lambda }es la función de Lobachevsky yGRAMO{\displaystyle G}es la constante de Catalan . [ 36 ] El complemento de los anillos borromeos es universal, en el sentido de que toda 3- variedad cerrada es un recubrimiento ramificado sobre este espacio. [ 37 ]

teoría de números

En topología aritmética , existe una analogía entre nudos y números primos en la que se consideran vínculos entre primos. La terna de primos (13, 61, 937) está vinculada módulo 2 (el símbolo de Rédei es −1), pero no está vinculada por pares módulo 2 (los símbolos de Legendre son todos 1). Por lo tanto, a estos primos se les ha llamado "terna borromea propia módulo 2" [ 38 ] o "primos borromeos módulo 2" [ 39 ] .

Realizaciones físicas

Un nudo de puño de mono
Proyecto de tejido de anillos borromeos de la teórica de nudos Laura Taalman
Anillos borromeos moleculares [ 40 ]

Un nudo de puño de mono es esencialmente una representación tridimensional de los anillos borromeos, aunque con tres capas, en la mayoría de los casos. [ 41 ] El escultor John Robinson ha creado obras de arte con tres triángulos equiláteros hechos de chapa metálica , unidos para formar anillos borromeos y que se asemejan a una versión tridimensional del valknut. [ 13 ] [ 29 ] Un diseño común para un trípode de madera plegable consiste en tres piezas talladas de una sola pieza de madera, con cada pieza compuesta por dos longitudes de madera, las patas y los lados superiores del trípode, conectadas por dos segmentos de madera que rodean un orificio central alargado en la pieza. Otra de las tres piezas pasa a través de cada uno de estos orificios, uniendo las tres piezas entre sí en el patrón de los anillos borromeos. Se ha descrito que los trípodes de esta forma provienen de artesanías indias o africanas. [ 42 ] [ 43 ]

En química, los anillos borromeos moleculares son las contrapartes moleculares de los anillos borromeos, que son arquitecturas moleculares entrelazadas mecánicamente . En 1997, el biólogo Chengde Mao y sus colaboradores de la Universidad de Nueva York lograron construir un conjunto de anillos a partir de ADN . [ 44 ] En 2003, el químico Fraser Stoddart y sus colaboradores de la UCLA utilizaron la química de coordinación para construir un conjunto de anillos en un solo paso a partir de 18 componentes. [ 40 ] Las estructuras de anillos borromeos se han utilizado para describir cúmulos de metales nobles protegidos por una capa superficial de ligandos tiolato. [ 45 ] Giuseppe Resnati y sus colaboradores sintetizaron una biblioteca de redes borromeas mediante autoensamblaje impulsado por enlaces de halógeno . [ 46 ] Para acceder al anillo borromeo molecular que consta de tres ciclos desiguales, Jay S. Siegel y sus colaboradores propusieron una síntesis paso a paso. [ 47 ]

En física, un análogo cuántico de los anillos de Borromeo se denomina estado de halo o estado de Efimov , y consiste en tres partículas ligadas que no están ligadas por pares. La existencia de tales estados fue predicha por el físico Vitaly Efimov en 1970 y confirmada por múltiples experimentos a partir de 2006. [ 48 ] [ 49 ] Este fenómeno está estrechamente relacionado con un núcleo de Borromeo , un núcleo atómico estable que consta de tres grupos de partículas que serían inestables por pares. [ 50 ] Otro análogo de los anillos de Borromeo en la teoría de la información cuántica implica el entrelazamiento de tres cúbits en el estado de Greenberger-Horne-Zeilinger . [ 14 ]

Notas

  1. ↑ Pronunciado / b ɒ r oʊ ˈ m iː ə n / [ 1 ]

Referencias

  1. ↑ Mackey & Mackay 1922 La pronunciación de 10.000 nombres propios
  2. 1 2 3 4 5 6 7 Gunn, Charles; Sullivan, John M. (2008), "Los anillos borromeos: Un vídeo sobre el nuevo logotipo de la IMU" , en Sarhangi, Reza; Séquin, Carlo H. (eds.), Bridges Leeuwarden: Matemáticas, música, arte, arquitectura, cultura , Londres: Tarquin Publications, pp. 63–70 , ISBN  978-0-9665201-9-4; ver el vídeo en sí en " The Borromean Rings: A new logo for the IMU Archived 2021-03-08 at the Wayback Machine " [w/video], Unión Matemática Internacional
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