movimiento browniano

La teoría de Einstein consta de dos partes: la primera consiste en la formulación de una ecuación de difusión para partículas brownianas, en la que el coeficiente de difusión se relaciona con el desplazamiento cuadrático medio de una partícula browniana, mientras que la segunda consiste en relacionar el coeficiente de difusión con cantidades físicas medibles. ^{[ 18 ]} De esta manera, Einstein pudo determinar el tamaño de los átomos y cuántos átomos hay en un mol, o el peso molecular en gramos, de un gas. ^{[ 19 ]} De acuerdo con la ley de Avogadro , este volumen es el mismo para todos los gases ideales, es decir, 22,414  litros a temperatura y presión estándar. El número de átomos contenidos en este volumen se denomina constante de Avogadro o número de Avogadro (aproximadamente6,02 × 10 ²³  mol ⁻¹ ), y la determinación de este número equivale al conocimiento de la masa de un átomo, ya que esta última se obtiene dividiendo la masa molar del gas por la constante de Avogadro .

La primera parte del argumento de Einstein consistía en determinar la distancia que recorre una partícula browniana en un intervalo de tiempo dado. ^{[ 4 ]} La mecánica clásica no puede determinar esta distancia debido a la enorme cantidad de bombardeos que sufre una partícula browniana, aproximadamente del orden de 10 ¹⁴ colisiones por segundo. ^{[ 2 ]}

Observó el incremento de las posiciones de las partículas en el tiempo.${\displaystyle \tau }$en un espacio unidimensional ( x ) (con las coordenadas elegidas de modo que el origen se encuentre en la posición inicial de la partícula) como una variable aleatoria (${\displaystyle q}$) con alguna función de densidad de probabilidad${\displaystyle \varphi (q)}$(es decir,${\displaystyle \varphi (q)}$es la densidad de probabilidad para un salto de magnitud${\displaystyle q}$, es decir, la densidad de probabilidad de que la partícula incremente su posición desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle x+q}$en el intervalo de tiempo${\displaystyle \tau }$Además, asumiendo la conservación del número de partículas, expandió la densidad numérica.${\displaystyle \rho (x,t+\tau )}$(número de partículas por unidad de volumen alrededor${\displaystyle x}$) en ese momento${\displaystyle t+\tau }$en una serie de Taylor , $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t+\tau )={}&\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}+\cdots \\[2ex]={}&\int _{-\infty }^{\infty }\rho (xq,t)\,\varphi (q)\,dq=\mathbb {E} _{q}{\left[\rho (xq,t)\right]}\\[1ex]={}&\rho (x,t)\,\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (q)\,dq-{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\,\int _{-\infty }^{\infty }q\,\varphi (q)\,dq+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2}}\varphi (q)\,dq+\cdots \\[1ex]={}&\rho (x,t)\cdot 1-0+{\cfrac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2}}\varphi (q)\,dq+\cdots \end{aligned}}}$$ donde la segunda igualdad es por definición de${\displaystyle \varphi }$La integral del primer término es igual a uno por definición de probabilidad, y el segundo y los demás términos pares (es decir, el primer y los demás momentos impares ) se anulan debido a la simetría espacial. Lo que queda da lugar a la siguiente relación: $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2\tau }}\varphi (q)\,dq+{\text{momentos pares de orden superior.}}}$$ Donde el coeficiente después del laplaciano , el segundo momento de probabilidad de desplazamiento${\displaystyle q}$, se interpreta como difusividad de masa D : $${\displaystyle D=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {q^{2}}{2\tau }}\varphi (q)\,dq.}$$ Entonces, la densidad de partículas brownianas ρ en el punto x en el instante t satisface la ecuación de difusión : $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}$$

Suponiendo que N partículas parten del origen en el tiempo inicial t = 0, la ecuación de difusión tiene la solución: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \rho (x,t)={\frac {N}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right)}.}$$ Esta expresión (que es una distribución normal con la media${\displaystyle \mu =0}$y varianza${\displaystyle \sigma ^{2}=2Dt}$generalmente llamado movimiento browniano${\displaystyle B_{t}}$) permitió a Einstein calcular los momentos directamente. Se observa que el primer momento se anula, lo que significa que la partícula browniana tiene la misma probabilidad de moverse hacia la izquierda que hacia la derecha. Sin embargo, el segundo momento no se anula, sino que viene dado por $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}=2Dt.}$$ Esta ecuación expresa el desplazamiento cuadrático medio en función del tiempo transcurrido y la difusividad. A partir de esta expresión, Einstein argumentó que el desplazamiento de una partícula browniana no es proporcional al tiempo transcurrido, sino a su raíz cuadrada. ^{[ 18 ]} Su argumento se basa en un cambio conceptual del "conjunto" de partículas brownianas a la partícula browniana "individual": podemos hablar tanto del número relativo de partículas en un instante dado como del tiempo que tarda una partícula browniana en alcanzar un punto determinado. ^{[ 21 ]}

La segunda parte de la teoría de Einstein relaciona la constante de difusión con magnitudes físicamente medibles, como el desplazamiento cuadrático medio de una partícula en un intervalo de tiempo determinado. Este resultado permite la determinación experimental del número de Avogadro y, por lo tanto, del tamaño de las moléculas. Einstein analizó el establecimiento de un equilibrio dinámico entre fuerzas opuestas. La belleza de su argumento reside en que el resultado final no depende de las fuerzas que intervienen en el establecimiento de dicho equilibrio dinámico.

En su tratamiento original, Einstein consideró un experimento de presión osmótica , pero se puede llegar a la misma conclusión de otras maneras.

Consideremos, por ejemplo, partículas suspendidas en un fluido viscoso en un campo gravitatorio. La gravedad tiende a hacer que las partículas se asienten, mientras que la difusión actúa para homogeneizarlas, impulsándolas hacia regiones de menor concentración. Bajo la acción de la gravedad, una partícula adquiere una velocidad descendente de v = μmg , donde m es la masa de la partícula, g es la aceleración debida a la gravedad y μ es la movilidad de la partícula en el fluido. George Stokes había demostrado que la movilidad para una partícula esférica con radio r es${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{6\pi \eta r}}}$donde η es la viscosidad dinámica del fluido. En un estado de equilibrio dinámico, y bajo la hipótesis de un fluido isotérmico, las partículas se distribuyen según la distribución barométrica.$${\displaystyle \rho =\rho _{o}\,\exp \left({-{\frac {mgh}{k_{\text{B}}T}}}\right),}$$ donde ρ − ρ _o es la diferencia de densidad de partículas separadas por una diferencia de altura, de${\displaystyle h=z-z_{o}}$, k _B es la constante de Boltzmann (la relación entre la constante universal de los gases , R , y la constante de Avogadro , N _A ), y T es la temperatura absoluta .

El equilibrio dinámico se establece porque cuanto más se atraen las partículas hacia abajo por la gravedad , mayor es la tendencia de las partículas a migrar a regiones de menor concentración. El flujo viene dado por la ley de Fick . $${\displaystyle J=-D{\frac {d\rho }{dh}},}$$ donde J = ρv . Introduciendo la fórmula para ρ , encontramos que $${\displaystyle v={\frac {Dmg}{k_{\text{B}}T}}.}$$

En un estado de equilibrio dinámico, esta velocidad también debe ser igual a v = μmg . Ambas expresiones para v son proporcionales a mg , lo que refleja que la derivación es independiente del tipo de fuerzas consideradas. De manera similar, se puede derivar una fórmula equivalente para partículas cargadas idénticas de carga q en un campo eléctrico uniforme de magnitud E , donde mg se reemplaza por la fuerza electrostática qE . Igualando estas dos expresiones se obtiene la relación de Einstein para la difusividad, independiente de mg , qE u otras fuerzas similares: $${\displaystyle {\frac {\mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}}{2t}}=D=\mu k_{\text{B}}T={\frac {\mu RT}{N_{\text{A}}}}={\frac {RT}{6\pi \eta rN_{\text{A}}}}.}$$ Aquí, la primera igualdad se deduce de la primera parte de la teoría de Einstein, la tercera de la definición de la constante de Boltzmann como k _B = R / N _A , y la cuarta de la fórmula de Stokes para la movilidad. Midiendo el desplazamiento cuadrático medio en un intervalo de tiempo junto con la constante universal de los gases R , la temperatura T , la viscosidad η y el radio de la partícula r , se puede determinar la constante de Avogadro N _A.

El tipo de equilibrio dinámico propuesto por Einstein no era nuevo. J.J. Thomson ^{[ 22 ]} ya lo había señalado en su ciclo de conferencias en la Universidad de Yale en mayo de 1903: el equilibrio dinámico entre la velocidad generada por un gradiente de concentración, según la ley de Fick, y la velocidad debida a la variación de la presión parcial causada al poner iones en movimiento «nos proporciona un método para determinar la constante de Avogadro que es independiente de cualquier hipótesis sobre la forma o el tamaño de las moléculas, o sobre la manera en que interactúan entre sí». ^{[ 22 ]}

Walther Nernst también encontró en 1888 una expresión idéntica a la fórmula de Einstein para el coeficiente de difusión ^{[ 23 ],} en la que expresó el coeficiente de difusión como la relación entre la presión osmótica y la relación entre la fuerza de fricción y la velocidad que produce. La primera se igualó a la ley de van 't Hoff, mientras que la segunda se obtuvo mediante la ley de Stokes . Él escribe:${\displaystyle k'=p_{o}/k}$para el coeficiente de difusión k′ , donde${\displaystyle p_{o}}$es la presión osmótica y k es la relación entre la fuerza de fricción y la viscosidad molecular, que se supone que viene dada por la fórmula de Stokes para la viscosidad. Al introducir la ley de los gases ideales por unidad de volumen para la presión osmótica, la fórmula se vuelve idéntica a la de Einstein. ^{[ 24 ]} El uso de la ley de Stokes en el caso de Nernst, así como en Einstein y Smoluchowski, no es estrictamente aplicable, ya que no se aplica al caso en que el radio de la esfera es pequeño en comparación con el camino libre medio . ^{[ 25 ]}

Confirmar experimentalmente la fórmula de Einstein resultó difícil. Los intentos iniciales de Theodor Svedberg en 1906 y 1907 fueron criticados por Einstein y Perrin por no medir una magnitud directamente comparable a la fórmula. Victor Henri, en 1908, tomó fotografías a través de un microscopio y encontró discrepancias cuantitativas con la fórmula, pero nuevamente el análisis fue incierto. ^{[ 26 ]} Las predicciones de Einstein fueron finalmente confirmadas en una serie de experimentos llevados a cabo por Chaudesaigues en 1908 y Perrin en 1909. ^{[ 27 ] [ 12 ]} La confirmación de la teoría de Einstein constituyó un progreso empírico para la teoría cinética del calor . En esencia, Einstein demostró que el movimiento puede predecirse directamente a partir del modelo cinético de equilibrio térmico . La importancia de la teoría radicaba en que confirmaba la explicación de la teoría cinética sobre la segunda ley de la termodinámica como una ley esencialmente estadística. ^{[ 28 ]}

La teoría del movimiento browniano de Smoluchowski , ^{[ 29 ]} contextualizada posteriormente en revisiones exhaustivas de la física estocástica, ^{[ 30 ]} parte de la misma premisa que la de Einstein y deriva la misma distribución de probabilidad ρ ( x , t ) para el desplazamiento de una partícula browniana a lo largo del eje x en el tiempo t . Por lo tanto, obtiene la misma expresión para el desplazamiento cuadrático medio:${\textstyle \mathbb {E} {\left[(\Delta x)^{2}\right]}}$Sin embargo, cuando lo relaciona con una partícula de masa m que se mueve a una velocidad u que es el resultado de una fuerza de fricción regida por la ley de Stokes, encuentra $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[(\Delta x)^{2}\right]}=2Dt=t{\frac {32}{81}}{\frac {mu^{2}}{\pi \mu a}}=t{\frac {64}{27}}{\frac {{\frac {1}{2}}mu^{2}}{3\pi \mu a}}}$$ donde μ es el coeficiente de viscosidad y a es el radio de la partícula.

Asociando la energía cinética${\textstyle mu^{2}/2}$con la energía térmica${\textstyle RT/N}$La expresión para el desplazamiento cuadrático medio es 64/27 veces mayor que la hallada por Einstein. Esta discrepancia surge de diferentes enfoques teóricos: Einstein supuso que el arrastre de Stokes se aplicaba directamente a la velocidad de deriva macroscópica, mientras que Smoluchowski realizó un análisis de colisión cinemática más detallado, pero introdujo una ligera variación en el cálculo al promediar sobre la distribución de velocidad maxwelliana. Arnold Sommerfeld comentó la fracción 27/64 en su necrología sobre Smoluchowski: «El coeficiente numérico de Einstein, que difiere del de Smoluchowski en 27/64, solo puede ponerse en duda». ^{[ 31 ]}

Smoluchowski ^{[ 32 ]} intenta responder a la pregunta de por qué una partícula browniana debería ser desplazada por bombardeos de partículas más pequeñas cuando las probabilidades de impactarla en las direcciones frontal y posterior son exactamente iguales. Para abordar esta paradoja, se basa en la inevitabilidad de las fluctuaciones estadísticas:

• Si la probabilidad de m ganancias y${\textstyle n-m}$Las pérdidas siguen una distribución binomial ,

$${\displaystyle P_{m,n}={\binom {n}{m}}2^{-n}}$$ con probabilidades a priori iguales de 1/2, la ganancia total media es $${\displaystyle \mathbb {E} {\left[2m-n\right]}=\sum _{m={\frac {n}{2}}}^{n}(2m-n)P_{m,n}={\frac {nn!}{2^{n+1}\left[\left({\frac {n}{2}}\right)!\right]^{2}}}}$$

• Si n es lo suficientemente grande como para que la aproximación de Stirling pueda usarse en la forma${\textstyle n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}}$, entonces se puede aproximar la ganancia absoluta total esperada que representa la deriva neta. ^{[ 33 ]} Esta ganancia esperada será:

$${\displaystyle \mathbb {E} {\left[2m-n\right]}\approx {\sqrt {\frac {n}{2\pi }}}}$$ demostrando que el desplazamiento neto aumenta proporcionalmente a la raíz cuadrada de la población total de eventos de colisión.

Supongamos que una partícula browniana de masa M está rodeada de partículas más ligeras de masa m que viajan a una velocidad u . Smoluchowski razona que la mecánica de estas interacciones produce un efecto macroscópicamente observable:

• En cualquier colisión individual entre una partícula de fluido circundante y la partícula browniana, la velocidad transmitida a esta última será${\textstyle mu/M}$Esta relación es extremadamente pequeña, del orden de 10⁻⁷ ^cm /s.
• Sin embargo, en un gas habrá más de 10¹⁶ ^colisiones por segundo, e incluso más en un líquido, donde se espera que haya aproximadamente 10²⁰ ^colisiones por segundo.
• Debido a la inmensa magnitud de las colisiones, los desequilibrios estadísticos son inevitables. Mientras que algunas colisiones acelerarán la partícula browniana, otras la desacelerarán.
• Si existe un exceso medio de un tipo de colisión (por ejemplo, más impactos desde la izquierda que desde la derecha) del orden de 10⁸ ^a 10¹⁰ ^colisiones en un solo segundo, entonces la velocidad instantánea de la partícula browniana puede estar en cualquier punto entre 10 y 1000 cm/s.
• Por lo tanto, aunque existen probabilidades iguales de colisiones hacia adelante y hacia atrás, el gran volumen de eventos crea una tendencia neta a mantener la partícula browniana en movimiento errático y continuo, muy similar a las fluctuaciones predichas por el teorema de la papeleta.

Estos órdenes de magnitud no toman en consideración la velocidad de la partícula browniana, U , que depende activamente de las colisiones que tienden a acelerarla y desacelerarla. Cuanto mayor sea U , mayor será la resistencia de las colisiones que la retardarán, de modo que la velocidad de una partícula browniana nunca puede aumentar sin límite. Si tal proceso ilimitado pudiera ocurrir, sería equivalente a una máquina de movimiento perpetuo de segundo tipo. Dado que la equipartición de la energía se aplica a este sistema en equilibrio térmico, la energía cinética de la partícula browniana,${\textstyle MU^{2}/2}$será igual, en promedio, a la energía cinética de la partícula de fluido circundante,${\textstyle mu^{2}/2}$.

En 1906, Smoluchowski publicó un modelo unidimensional para describir una partícula que experimenta movimiento browniano. ^{[ 34 ]} El modelo supone colisiones con${\textstyle M\gg m}$donde M es la masa de la partícula de prueba y m la masa de una de las partículas individuales que componen el fluido. Para construir este marco teórico, se hacen varias suposiciones simplificadoras:

• Las colisiones de partículas se limitan a una dimensión a lo largo de un único eje.
• Es igualmente probable que la partícula de prueba sea impactada desde la izquierda que desde la derecha.
• Cada colisión siempre produce exactamente la misma magnitud discreta de cambio de velocidad,${\textstyle \Delta V}$.

Si${\textstyle N_{\text{R}}}$es el número de colisiones desde la derecha y${\textstyle N_{\text{L}}}$el número de colisiones desde la izquierda entonces después de N colisiones la velocidad de la partícula habrá cambiado en${\textstyle \Delta V(2N_{\text{R}}-N)}$La multiplicidad viene dada simplemente por: $${\displaystyle {\binom {N}{N_{\text{R}}}}={\frac {N!}{N_{\text{R}}!(N-N_{\text{R}})!}}}$$ y el número total de estados posibles viene dado por${\textstyle 2^{N}}$Por lo tanto, la probabilidad de que la partícula sea golpeada desde la derecha${\textstyle N_{\text{R}}}$El tiempo es: $${\displaystyle P_{N}(N_{\text{R}})={\frac {N!}{2^{N}N_{\text{R}}!(N-N_{\text{R}})!}}}$$

Debido a su simplicidad, el modelo unidimensional de Smoluchowski solo puede describir cualitativamente el movimiento browniano. Para una partícula realista que experimenta movimiento browniano en un fluido, muchas de las suposiciones no se aplican. Por ejemplo, la suposición de que en promedio hay un número igual de colisiones desde la derecha que desde la izquierda se desmorona una vez que la partícula está en movimiento, ya que chocará con las partículas en su trayectoria y creará una fuerza de arrastre dependiente de la velocidad. Además, habría una distribución estadística continua de diferentes posibles${\textstyle \Delta V}$s regida por la distribución de Maxwell-Boltzmann de las velocidades de las moléculas del fluido, en lugar de un único valor discreto en un líquido o gas físico.

La ecuación de difusión produce una aproximación de la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad asociada con la posición de la partícula que se mueve bajo un movimiento browniano bajo la definición física. La aproximación se vuelve válida en escalas de tiempo mucho mayores que la escala de tiempo de colisiones atómicas individuales, ya que no incluye un término para describir la aceleración de partículas durante la colisión. La evolución temporal de la posición de la partícula browniana en todas las escalas de tiempo se describe usando la ecuación de Langevin , una ecuación que involucra un campo de fuerza aleatorio que representa el efecto de las fluctuaciones térmicas del solvente sobre la partícula. ^{[ 17 ]} En escalas de tiempo más largas, donde la aceleración es despreciable, la dinámica de partículas individuales se puede aproximar usando dinámica browniana en lugar de dinámica de Langevin .

En dinámica estelar , un cuerpo masivo (estrella, agujero negro , etc.) puede experimentar movimiento browniano al responder a las fuerzas gravitacionales de las estrellas circundantes. ^{[ 35 ]} La velocidad rms V del objeto masivo, de masa M , está relacionada con la velocidad rms${\displaystyle v_{\star }}$de las estrellas de fondo por $${\displaystyle MV^{2}\approx mv_{\star }^{2}}$$ dónde${\displaystyle m\ll M}$es la masa de las estrellas de fondo. La fuerza gravitacional del objeto masivo hace que las estrellas cercanas se muevan más rápido de lo que lo harían de otro modo, aumentando ambas${\displaystyle v_{\star }}$y V. ^[ 35 ^] La velocidad browniana de ^Sgr A* , el agujero negro supermasivo en el centro de la galaxia Vía Láctea , se predice a partir de esta fórmula que es menor que 1  km  s ⁻¹ . ^{[ 36 ]}

El movimiento browniano puede modelarse mediante una caminata aleatoria . ^{[ 39 ]}

En el caso general, el movimiento browniano es un proceso de Markov y se describe mediante ecuaciones integrales estocásticas . ^{[ 40 ]}

El matemático francés Paul Lévy demostró el siguiente teorema, que proporciona una condición necesaria y suficiente para que un proceso estocástico continuo X con valores en R ⁿ sea, de hecho, un movimiento browniano n- dimensional. Por lo tanto, la condición de Lévy puede utilizarse como una definición alternativa del movimiento browniano.

Sea X = ( X ₁ , ..., X _n ) un proceso estocástico continuo en un espacio de probabilidad (Ω, Σ, P ) que toma valores en R ⁿ . Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. X es un movimiento browniano con respecto a P , es decir, la ley de X con respecto a P es la misma que la ley de un movimiento browniano n- dimensional, es decir, la medida de empuje hacia adelante X _∗ ( P ) es la medida de Wiener clásica en C ₀ ( [ 0, ∞) ; R ⁿ ) .
2. ambos
   1. X es una martingala con respecto a P (y su propia filtración natural ); y
   2. para todo 1 ≤ i , j ≤ n , X _i ( t ) X _j ( t ) − δ _ij t es una martingala con respecto a P (y su propia filtración natural ), donde δ _ij denota la delta de Kronecker .

El contenido espectral de un proceso estocástico${\displaystyle X_{t}}$se puede encontrar a partir de la densidad espectral de potencia , definida formalmente como $${\displaystyle S(\omega )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \left\{\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2}\right\},}$$ dónde${\displaystyle \mathbb {E} }$representa el valor esperado . Se ha encontrado que la densidad espectral de potencia del movimiento browniano es ^{[ 41 ].}$${\displaystyle S_{BM}(\omega )={\frac {4D}{\omega ^{2}}}.}$$ donde D es el coeficiente de difusión de X _t . Para señales que ocurren naturalmente, el contenido espectral se puede encontrar a partir de la densidad espectral de potencia de una sola realización, con un tiempo disponible finito, es decir, $${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)={\frac {1}{T}}\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2},}$$ que para una realización individual de una trayectoria de movimiento browniano, ^{[ 42 ]} se encuentra que tiene valor esperado${\displaystyle \mu _{BM}(\omega ,T)}$$${\displaystyle \mu _{\text{BM}}(\omega ,T)={\frac {4D}{\omega ^{2}}}\left[1-{\frac {\sin \left(\omega T\right)}{\omega T}}\right]}$$ y varianza${\displaystyle \sigma _{\text{BM}}^{2}(\omega ,T)}$^{[ 42 ]}$${\displaystyle \sigma _{S}^{2}(f,T)=\mathbb {E} \left\{\left(S_{T}^{(j)}(f)\right)^{2}\right\}-\mu _{S}^{2}(f,T)={\frac {20D^{2}}{f^{4}}}\left[1-{\Big (}6-\cos \left(fT\right){\Big )}{\frac {2\sin \left(fT\right)}{5fT}}+{\frac {{\Big (}17-\cos \left(2fT\right)-16\cos \left(fT\right){\Big )}}{10f^{2}T^{2}}}\right].}$$

Para tiempos de realización suficientemente largos, el valor esperado del espectro de potencia de una sola trayectoria converge a la densidad espectral de potencia definida formalmente.${\displaystyle S(\omega )}$pero su coeficiente de variación${\displaystyle \gamma =\sigma /\mu }$tiende a${\displaystyle {\sqrt {5}}/2}$Esto implica la distribución de${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)}$es amplio incluso en el límite de tiempo infinito.

El movimiento browniano se suele considerar que tiene lugar en el espacio euclidiano . Es natural considerar cómo se generaliza dicho movimiento a formas más complejas, como superficies o variedades de dimensiones superiores . La formalización requiere que el espacio posea alguna forma de derivada , así como una métrica , para que se pueda definir un laplaciano . Ambos están disponibles en variedades riemannianas .

Las variedades riemannianas poseen la propiedad de que las geodésicas pueden describirse en coordenadas polares ; es decir, los desplazamientos siempre se producen en dirección radial, con un ángulo determinado. El movimiento aleatorio uniforme se describe entonces mediante gaussianas a lo largo de la dirección radial, independientemente del ángulo, al igual que en el espacio euclidiano.

El generador infinitesimal (y por lo tanto el operador característico ) del movimiento browniano en R ⁿ euclidiano es ⁠ 1 / 2 ⁠ Δ , donde Δ denota el operador de Laplace . El movimiento browniano en una variedad riemanniana m -dimensional ( M , g ) puede definirse como difusión en M con el operador característico dado por ⁠ 1 / 2 ⁠ Δ _LB , la mitad del operador de Laplace-Beltrami Δ _LB .

Uno de los temas de estudio es la caracterización del tiempo de recurrencia de Poincaré para dichos sistemas. ^{[ 16 ]}