Superficie racional

En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , una superficie racional es una superficie biracionalmente equivalente al plano proyectivo , o en otras palabras, una variedad racional de dimensión dos. Las superficies racionales son las más simples de las aproximadamente 10 clases de superficies de la clasificación de Enriques-Kodaira de superficies complejas, y fueron las primeras superficies que se investigaron.

Toda superficie racional no singular se puede obtener ampliando repetidamente una superficie racional mínima . Las superficies racionales mínimas son el plano proyectivo y las superficies de Hirzebruch Σ _r para r = 0 o r ≥ 2.

Invariantes: Los plurigenerados son todos 0 y el grupo fundamental es trivial.

Diamante de Hodge :

donde n es 0 para el plano proyectivo, 1 para superficies de Hirzebruch y mayor que 1 para otras superficies racionales.

El grupo de Picard es la red unimodular impar I _{1, n} , excepto para las superficies de Hirzebruch Σ _{2 m} cuando es la red unimodular par II _1,1 .

Guido Castelnuovo demostró que cualquier superficie compleja tal que q y P ₂ (la irregularidad y el segundo plurigenus) se anulen es racional. Esto se utiliza en la clasificación de Enriques-Kodaira para identificar las superficies racionales. Zariski (1958) demostró que el teorema de Castelnuovo también se cumple para cuerpos de característica positiva.

El teorema de Castelnuovo también implica que cualquier superficie compleja uniracional es racional, porque si una superficie compleja es uniracional entonces su irregularidad y plurigeneración están limitadas por las de una superficie racional y por lo tanto son todas 0, por lo que la superficie es racional. La mayoría de las variedades complejas uniracionales de dimensión 3 o mayor no son racionales. En la característica p > 0 Zariski (1958) encontró ejemplos de superficies uniracionales ( superficies de Zariski ) que no son racionales.

Hubo un tiempo en que no estaba claro si una superficie compleja tal que q y P ₁ se desvanecen es racional, pero Federigo Enriques encontró un contraejemplo (una superficie de Enriques ) .

• Superficies de Bordiga : Una incrustación de grado 6 del plano proyectivo en P ⁴ definido por los cuárticos a través de 10 puntos en posición general.
• Superficies de Châtelet
• Superficies de Coble
• Superficies cúbicas Las superficies cúbicas no singulares son isomorfas al plano proyectivo ampliado en 6 puntos y son superficies de Fano. Algunos ejemplos con nombre incluyen la cúbica de Fermat , la superficie cúbica de Cayley y la superficie diagonal de Clebsch .
• Superficies del Pezzo (Superficies Fano)
• Superficie de Enneper
• Superficies de Hirzebruch Σ _n
• P ¹ × P ¹ El producto de dos líneas proyectivas es la superficie de Hirzebruch Σ ₀ . Es la única superficie con dos resoluciones diferentes.
• El plano proyectivo
• Superficie de Segre Intersección de dos cuádricas, isomorfa al plano proyectivo ampliado en 5 puntos.
• Superficie de Steiner Una superficie en P ⁴ con singularidades que es biracional al plano proyectivo.
• Superficies blancas , una generalización de las superficies de Bordiga.
• Superficie veronesa Una incrustación del plano proyectivo en P ⁵ .

• Lista de superficies algebraicas

• Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, Sr.  2030225
• Beauville, Arnaud (1996), Superficies algebraicas complejas , London Mathematical Society Student Texts, vol. 34 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-49510-3, Sr.  1406314
• Zariski, Oscar (1958), "Sobre el criterio de racionalidad de Castelnuovo p _a = P ₂ = 0 de una superficie algebraica", Illinois Journal of Mathematics , 2 : 303–315, ISSN  0019-2082, MR  0099990

• Le Superficie Algebriche: Una herramienta para estudiar visualmente la geografía de superficies algebraicas suaves (mínimas) complejas