Superficie racional

En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , una superficie racional es una superficie birracionalmente equivalente al plano proyectivo , o dicho de otro modo, una variedad racional de dimensión dos. Las superficies racionales son las más simples de las aproximadamente diez clases de superficies en la clasificación de Enriques-Kodaira de superficies complejas, y fueron las primeras superficies en ser investigadas.

Toda superficie racional no singular se puede obtener mediante la expansión repetida de una superficie racional mínima . Las superficies racionales mínimas son el plano proyectivo y las superficies de Hirzebruch Σ _r para r = 0 o r ≥ 2.

Invariantes: Los plurigéneros son todos 0 y el grupo fundamental es trivial.

Diamante Hodge :

donde n es 0 para el plano proyectivo, y 1 para las superficies de Hirzebruch y mayor que 1 para otras superficies racionales.

El grupo de Picard es la red unimodular impar I _{1, n} , excepto para las superficies de Hirzebruch Σ _{2 m} cuando es la red unimodular par II _1,1 .

Guido Castelnuovo demostró que cualquier superficie compleja tal que q y P₂ (la irregularidad y el segundo plurigeno) se anulen es racional. Esto se utiliza en la clasificación de Enriques-Kodaira para identificar las superficies racionales. _Zariski (1958) demostró que el teorema de Castelnuovo también se cumple sobre cuerpos de característica positiva.

El teorema de Castelnuovo también implica que cualquier superficie compleja uniracional es racional, ya que si una superficie compleja es uniracional, entonces su irregularidad y plurigéneros están acotados por los de una superficie racional y, por lo tanto, son todos cero, de modo que la superficie es racional. La mayoría de las variedades complejas uniracionales de dimensión 3 o superior no son racionales. En característica p > 0, Zariski (1958) encontró ejemplos de superficies uniracionales ( superficies de Zariski ) que no son racionales.

En un momento dado no estaba claro si una superficie compleja tal que q y P ₁ se anulan es racional, pero Federigo Enriques encontró un contraejemplo (una superficie de Enriques ) .

• Superficies de Bordiga : Una incrustación de grado 6 del plano proyectivo en P ⁴ definida por las cuárticas que pasan por 10 puntos en posición general.
• Superficies de castillo
• Superficies de Coble
• Las superficies cúbicas no singulares son isomorfas al plano proyectivo expandido en 6 puntos y son superficies de Fano. Algunos ejemplos conocidos son la cúbica de Fermat , la superficie cúbica de Cayley y la superficie diagonal de Clebsch .
• superficies del Pezzo (superficies Fano)
• Superficie de Enneper
• Superficies de Hirzebruch Σ _n
• P ¹ × P ¹ El producto de dos líneas proyectivas es la superficie de Hirzebruch Σ ₀ . Es la única superficie con dos reglas diferentes.
• El plano proyectivo
• Superficie de Segre Intersección de dos cuádricas, isomorfas al plano proyectivo ampliado en 5 puntos.
• Superficie de Steiner Una superficie en P ⁴ con singularidades que es birracional al plano proyectivo.
• Superficies blancas , una generalización de las superficies de Bordiga.
• Superficie de Veronese Una incrustación del plano proyectivo en P ⁵ .

• Lista de superficies algebraicas

• Barth, Lobo P .; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol.  4, Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225 
• Beauville, Arnaud (1996), Superficies algebraicas complejas , London Mathematical Society Student Texts, vol.  34 (2.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-49510-3, MR 1406314 
• Zariski, Oscar (1958), "Sobre el criterio de racionalidad de Castelnuovo p _a = P ₂ = 0 de una superficie algebraica", Illinois Journal of Mathematics , 2 : 303– 315, ISSN 0019-2082 , MR 0099990  

• Le Superficie Algebriche : Una herramienta para estudiar visualmente la geografía de superficies lisas algebraicas complejas (mínimas)