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complejo CW

En matemáticas , y específicamente en topología , un complejo CW (también complejo celular o complejo de celdas ) es un espacio topológico que se construye uniendo bolas topológ...

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En matemáticas , y específicamente en topología , un complejo CW (también complejo celular o complejo de celdas ) es un espacio topológico que se construye uniendo bolas topológicas (llamadas celdas ) de diferentes dimensiones de maneras específicas. La noción generaliza tanto las variedades como los complejos simpliciales y tiene una importancia particular para la topología algebraica . [ 1 ] Fue introducido inicialmente por JHC Whitehead para satisfacer las necesidades de la teoría de la homotopía . [ 2 ] Los complejos CW tienen mejores propiedades categóricas que los complejos simpliciales , pero aún conservan una naturaleza combinatoria que permite la computación (a menudo con un complejo mucho más pequeño).

La C en CW significa "cierre finito" y la W "topología débil". [ 2 ]

Definición

complejo CW

Un complejo CW se construye tomando la unión de una secuencia de espacios topológicos.∅=incógnita−1⊂incógnita0⊂incógnita1⊂⋯{\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots }de tal manera que cadaincógnitak{\displaystyle X_{k}}se obtiene deincógnitak−1{\displaystyle X_{k-1}}pegando copias de células K(miαk)α∈J{\displaystyle (e_{\alpha }^{k})_{\alpha \in J}}, cada uno homeomorfo a la bola unitaria abiertaBk{\displaystyle B^{k}}enk{\displaystyle k}espacio euclidiano de -dimensiones , aincógnitak−1{\displaystyle X_{k-1}}mediante el pegado continuo de mapasgramoαk:∂mi¯αk→incógnitak−1{\displaystyle g_{\alpha }^{k}:\partial {\bar {e}}_{\alpha }^{k}\to X_{k-1}}dóndemi¯k≅B¯k{\displaystyle {\bar {e}}^{k}\cong {\bar {B}}^{k}}la bola de unidad cerrada. Los mapas también se llaman mapas de adjunción . Por lo tanto, como un conjunto,incógnitak=incógnitak−1⊔αmiαk{\displaystyle X_{k}=X_{k-1}\sqcup _{\alpha }e_{\alpha }^{k}}.

Para ser precisos,incógnitak{\displaystyle X_{k}}es homeomorfo a(incógnitak−1⊔(J×mi¯k))/∼{\displaystyle (X_{k-1}\sqcup (J\times {\overline {e}}^{k}))/\sim }, (aquími¯k{\displaystyle {\overline {e}}^{k}}está cerradok{\displaystyle k}-disco enRk{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}) donde equipamosJ{\displaystyle J}con la topología discreta y donde∼{\displaystyle \sim }es la relación de equivalencia generada por(a,incógnita)∼gramoak(incógnita){\displaystyle (a,x)\sim g_{a}^{k}(x)}paraa∈J{\displaystyle a\in J}yincógnita∈∂mik{\displaystyle x\in \partial e^{k}}.

Cadaincógnitak{\displaystyle X_{k}}Se le denomina el esqueleto k del complejo.

La topología deincógnita=∪kincógnitak{\displaystyle X=\cup _{k}X_{k}}es una topología débil : un subconjuntoU⊂incógnita{\displaystyle U\subset X}está abierto si y solo siU∩incógnitak{\displaystyle U\cap X_{k}}está abierto para cada k-esqueletoincógnitak{\displaystyle X_{k}}.

En el lenguaje de la teoría de categorías , la topología enincógnita{\displaystyle X}es el límite directo del diagramaincógnita−1↪incógnita0↪incógnita1↪⋯{\displaystyle X_{-1}\hookrightarrow X_{0}\hookrightarrow X_{1}\hookrightarrow \cdots }El nombre "CW" significa "topología débil de cierre finito", lo cual se explica mediante el siguiente teorema:

Teorema : Un espacio de Hausdorff X es homeomorfo a un complejo CW si y solo si existe una partición de X en "celdas abiertas".miαk{\displaystyle e_{\alpha }^{k}}, cada una con su correspondiente cierre (o "celda cerrada")mi¯αk:=dolincógnita(miαk){\displaystyle {\bar {e}}_{\alpha }^{k}:=cl_{X}(e_{\alpha }^{k})}que satisface:

  • Para cadamiαk{\displaystyle e_{\alpha }^{k}}, existe una sobreyección continuagramoαk:Dk→mi¯αk{\displaystyle g_{\alpha }^{k}:D^{k}\to {\bar {e}}_{\alpha }^{k}}desdek{\displaystyle k}bola cerrada de dimensión tal que
    • La restricción al balón abiertogramoαk:Bk→miαk{\displaystyle g_{\alpha }^{k}:B^{k}\to e_{\alpha }^{k}}es un homeomorfismo.
    • (finitud de cierre) La imagen del límitegramoαk(∂Dk){\displaystyle g_{\alpha }^{k}(\partial D^{k})}está cubierta por un número finito de celdas cerradas, cada una con una dimensión celular menor que k.
  • (topología débil) Un subconjunto de X es cerrado si y solo si cumple con cada celda cerrada en un conjunto cerrado.

Esta partición de X también se denomina celulación .

La construcción, en palabras

La construcción del complejo CW es una generalización directa del siguiente proceso:

  • Un complejo CW de 0 dimensiones es simplemente un conjunto de cero o más puntos discretos (con la topología discreta ).
  • Un complejo CW unidimensional se construye tomando la unión disjunta de un complejo CW cero-dimensional con una o más copias del intervalo unitario . Para cada copia, existe una función que " pega " su frontera (sus dos extremos) a elementos del complejo cero-dimensional (los puntos). La topología del complejo CW es la topología del espacio cociente definido por estas funciones de pegado.
  • En general, un complejo CW n-dimensional se construye tomando la unión disjunta de un complejo CW k -dimensional (para algúnk<norte{\displaystyle k<n}) con una o más copias de la bola n -dimensional . Para cada copia, hay un mapa que "pega" su límite (el(norte−1){\displaystyle (n-1)}esfera -dimensional ) a elementos de lak{\displaystyle k}complejo de -dimensiones. La topología del complejo CW es la topología cociente definida por estos mapas de pegado.
  • Se puede construir un complejo CW de dimensión infinita repitiendo el proceso anterior un número numerable de veces. Dado que la topología de la unión∪kincógnitak{\displaystyle \cup _{k}X_{k}}Si es indeterminado, se adopta la topología de límite directo , ya que el diagrama sugiere fuertemente un límite directo. Esto resulta tener grandes ventajas técnicas.

Complejos CW regulares

Un complejo CW regular es un complejo CW cuyos mapas de pegado son homeomorfismos. En consecuencia, la partición de X también se denomina celulación regular .

Un grafo sin bucles se representa mediante un complejo CW regular unidimensional. Un grafo cerrado de 2 celdas incrustado en una superficie es un complejo CW regular bidimensional. Finalmente, la conjetura de la celulación regular de la 3-esfera afirma que todo grafo 2-conexo es el 1-esqueleto de un complejo CW regular en la esfera tridimensional . [ 3 ]

Complejos CW relativos

En términos generales, un complejo CW relativo se diferencia de un complejo CW en que le permitimos tener un bloque de construcción adicional que no necesariamente posee una estructura celular. Este bloque adicional puede tratarse como una célula (−1)-dimensional en la definición anterior. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

Ejemplos

Complejos CW de 0 dimensiones

Todo espacio topológico discreto es un complejo CW de dimensión 0.

complejos CW unidimensionales

Algunos ejemplos de complejos CW unidimensionales son: [ 7 ]

  • Un intervalo . Se puede construir a partir de dos puntos ( x e y ) y la bola unidimensional B (un intervalo), de manera que un extremo de B se une a x y el otro a y . Los dos puntos x e y son las celdas 0; el interior de B es la celda 1. Alternativamente, se puede construir a partir de un solo intervalo, sin celdas 0.
  • Un círculo . Se puede construir a partir de un único punto x y la bola unidimensional B , de modo que ambos extremos de B estén unidos a x . Alternativamente, se puede construir a partir de dos puntos x e y y dos bolas unidimensionales A y B , de modo que los extremos de A estén unidos a x e y , y los extremos de B también estén unidos a x e y .
  • Un grafo. Dado un grafo , se puede construir un complejo CW unidimensional en el que las celdas 0 son los vértices y las celdas 1 son las aristas del grafo. Los extremos de cada arista se identifican con los vértices incidentes a ella. Esta representación de un grafo combinatorio como un espacio topológico se denomina a veces grafo topológico .
    • Los grafos 3-regulares pueden considerarse como complejos CW unidimensionales genéricos . Específicamente, si X es un complejo CW unidimensional, el mapa adjunto para una 1-celda es un mapa de un espacio de dos puntos a X ,F:{0,1}→incógnita{\displaystyle f:\{0,1\}\to X}. Este mapa puede ser perturbado para ser disjunto del 0-esqueleto de X si y solo siF(0){\displaystyle f(0)}yF(1){\displaystyle f(1)}no son vértices de valencia 0 de X.
  • La estructura CW estándar en los números reales tiene como esqueleto 0 los enteros.Z{\displaystyle \mathbb {Z} }y como 1-células los intervalos{[norte,norte+1]:norte∈Z}{\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}. De manera similar, la estructura CW estándar enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}tiene celdas cúbicas que son productos de las celdas 0 y 1 deR{\displaystyle \mathbb {R} }Esta es la estructura de celda de red cúbica estándar enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

Complejos CW de dimensión finita

Algunos ejemplos de complejos CW de dimensión finita son: [ 7 ]

  • Una esfera n- dimensional . Admite una estructura CW con dos celdas, una 0-celda y una n-celda. Aquí la n-celdaDnorte{\displaystyle D^{n}}está unido por el mapeo constante desde su límiteSnorte−1{\displaystyle S^{n-1}}a la única celda 0. Una descomposición celular alternativa tiene una esfera de ( n -1) dimensiones (el " ecuador ") y dos celdas n que están unidas a ella (el "hemisferio superior" y el "hemisferio inferior"). Inductivamente, esto daSnorte{\displaystyle S^{n}}una descomposición CW con dos celdas en cada dimensión k tal que0≤k≤norte{\displaystyle 0\leq k\leq n}.
  • El espacio proyectivo real n -dimensional . Admite una estructura CW con una celda en cada dimensión.
  • La terminología para un complejo CW bidimensional genérico es una sombra . [ 8 ]
  • Un poliedro es, naturalmente, un complejo CW.
  • Las variedades grassmannianas admiten una estructura CW llamada celdas de Schubert .
  • Las variedades diferenciables , algebraicas y proyectivas tienen el tipo de homotopía de los complejos CW.
  • La compactificación de un punto de una variedad hiperbólica con cúspides tiene una descomposición canónica CW con una sola celda 0 (el punto de compactificación), denominada descomposición de Epstein-Penner . Estas descomposiciones celulares se denominan frecuentemente descomposiciones poliédricas ideales y se utilizan en programas informáticos populares, como SnapPea .

Complejos CW de dimensión infinita

  • La esfera de dimensión infinitaS∞:=doolimetronorte→∞Snorte{\displaystyle S^{\infty }:=\mathrm {colim} _{n\to \infty }S^{n}}. Admite una estructura CW con 2 celdas en cada dimensión que se ensamblan de tal manera quenorte{\displaystyle n}-el esqueleto está dado precisamente por elnorte{\displaystyle n}-esfera.
  • Los espacios proyectivos de dimensión infinitaRPAG∞{\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }},doPAG∞{\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}yHPAG∞{\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}.RPAG∞{\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}tiene una célula en cada dimensión,doPAG∞{\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}, tiene una celda en cada dimensión par yHPAG∞{\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}tiene una celda en cada dimensión divisible por 4. Los esqueletos respectivos vienen dados porRPAGnorte{\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}},doPAGnorte{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}(2n-esqueleto) yHPAGnorte{\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}(4n-esqueleto).

Complejos no CW

  • Un espacio de Hilbert de dimensión infinita no es un complejo CW: es un espacio de Baire y, por lo tanto, no puede escribirse como una unión numerable de n- esqueletos, cada uno de los cuales es un conjunto cerrado con interior vacío. Este argumento se extiende a muchos otros espacios de dimensión infinita.
  • El espacio del erizo{rmi2πiθ:0≤r≤1,θ∈Q}⊆do{\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subseteq \mathbb {C} }es homotópicamente equivalente a un complejo CW (el punto) pero no admite una descomposición CW, ya que no es localmente contraíble .
  • El pendiente hawaiano no presenta descomposición CW, ya que no es localmente contraíble en su origen. Tampoco es homotópicamente equivalente a un complejo CW, puesto que carece de una buena cobertura abierta.

Propiedades

  • Los complejos CW son localmente contraíbles. [ 9 ]
  • Si un espacio es homotópicamente equivalente a un complejo CW, entonces tiene una buena cubierta abierta. [ 10 ] Una buena cubierta abierta es una cubierta abierta tal que toda intersección finita no vacía es contraíble.
  • Los complejos CW son paracompactos . Los complejos CW finitos son compactos . Un subespacio compacto de un complejo CW siempre está contenido en un subcomplejo finito. [ 11 ] [ 12 ]
  • Los complejos CW satisfacen el teorema de Whitehead : una aplicación entre complejos CW es una equivalencia homotópica si y solo si induce un isomorfismo en todos los grupos homotópicos.
  • Un espacio de cobertura de un complejo CW también es un complejo CW. [ 13 ]
  • El producto de dos complejos CW puede transformarse en un complejo CW. Específicamente, si X e Y son complejos CW, se puede formar un complejo CW X × Y en el que cada celda es el producto de una celda en X y una celda en Y , dotada de la topología débil . El conjunto subyacente de X × Y es entonces el producto cartesiano de X e Y , como se esperaba. Además, la topología débil en este conjunto suele coincidir con la topología de producto más conocida en X × Y , por ejemplo, si X o Y son finitos. Sin embargo, la topología débil puede ser más fina que la topología de producto, por ejemplo, si ni X ni Y son localmente compactos . En este caso desfavorable, el producto X × Y en la topología de producto no es un complejo CW. Por otro lado, el producto de X e Y en la categoría de espacios generados de forma compacta coincide con la topología débil y, por lo tanto, define un complejo CW.
  • Sean X e Y complejos CW. Entonces, los espacios de funciones Hom( X , Y ) (con la topología compacta-abierta ) no son complejos CW en general. Si X es finito, entonces Hom( X , Y ) es homotópicamente equivalente a un complejo CW según un teorema de John Milnor (1959). [ 14 ] Nótese que X e Y son espacios de Hausdorff generados de forma compacta , por lo que Hom( X , Y ) se suele tomar con la variante generada de forma compacta de la topología compacta-abierta; las afirmaciones anteriores siguen siendo válidas. [ 15 ]
  • Teorema de aproximación celular

Homología y cohomología de los complejos CW

La homología y cohomología singular de los complejos CW se puede calcular fácilmente mediante la homología celular . Además, en la categoría de complejos CW y mapas celulares, la homología celular puede interpretarse como una teoría de homología . Para calcular una teoría de (co)homología extraordinaria para un complejo CW, la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch es el análogo de la homología celular.

Algunos ejemplos:

  • Para la esfera,Snorte,{\displaystyle S^{n},}Consideremos la descomposición celular con dos células: una célula 0 y una célula n . El complejo de cadena de homología celulardo∗{\displaystyle C_{*}}y la homología vienen dadas por:
dok={Zk∈{0,norte}0k∉{0,norte}Hk={Zk∈{0,norte}0k∉{0,norte}{\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}\quad H_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}}
ya que todos los diferenciales son cero.
Alternativamente, si utilizamos la descomposición ecuatorial con dos celdas en cada dimensión
dok={Z20⩽k⩽norte0de lo contrario{\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{2}&0\leqslant k\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
y los diferenciales son matrices de la forma(1−11−1).{\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).}Esto da el mismo cálculo de homología anterior, ya que el complejo de cadena es exacto en todos los términos exceptodo0{\displaystyle C_{0}}ydonorte.{\displaystyle C_{n}.}
  • ParaPAGnorte(do){\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )}obtenemos algo similar
Hk(PAGnorte(do))={Z0⩽k⩽2norte, incluso0de lo contrario{\displaystyle H^{k}\left(\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &0\leqslant k\leqslant 2n,{\text{ even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

Ambos ejemplos son particularmente sencillos porque la homología viene determinada por el número de células; es decir, los mapas de unión celular no intervienen en estos cálculos. Este es un fenómeno muy particular y no representativo del caso general.

Modificación de estructuras CW

Existe una técnica, desarrollada por Whitehead, para reemplazar un complejo CW por un complejo CW homotópicamente equivalente que tiene una descomposición CW más simple .

Consideremos, por ejemplo, un complejo CW arbitrario. Su 1-esqueleto puede ser bastante complicado, siendo un grafo arbitrario . Ahora consideremos un bosque maximal F en este grafo. Dado que es una colección de árboles, y los árboles son contraíbles, consideremos el espacioincógnita/∼{\displaystyle X/{\sim }}donde la relación de equivalencia se genera porincógnita∼y{\displaystyle x\sim y}si están contenidos en un árbol común en el bosque máximo F. ​​El mapa cocienteincógnita→incógnita/∼{\displaystyle X\to X/{\sim }}es una equivalencia homotópica. Además,incógnita/∼{\displaystyle X/{\sim }}hereda naturalmente una estructura CW, con células que corresponden a las células deincógnita{\displaystyle X}que no están contenidos en F. En particular, el 1-esqueleto deincógnita/∼{\displaystyle X/{\sim }}es una unión disjunta de cuñas de círculos.

Otra forma de expresar lo anterior es que un complejo CW conectado puede ser reemplazado por un complejo CW homotópicamente equivalente cuyo esqueleto 0 consiste en un solo punto.

Consideremos ascender en la escalera de conectividad: supongamos que X es un complejo CW simplemente conexo cuyo esqueleto 0 consiste en un punto. ¿Podemos, mediante modificaciones adecuadas, reemplazar X por un complejo CW homotópicamente equivalente dondeincógnita1{\displaystyle X^{1}}¿Consta de un solo punto? La respuesta es sí. El primer paso es observar queincógnita1{\displaystyle X^{1}}y los mapas adjuntos para construirincógnita2{\displaystyle X^{2}}deincógnita1{\displaystyle X^{1}}Formar una presentación de grupo . El teorema de Tietze para presentaciones de grupo establece que existe una secuencia de movimientos que podemos realizar para reducir esta presentación de grupo a la presentación trivial del grupo trivial . Hay dos movimientos de Tietze:

1) Agregar/eliminar un generador. Agregar un generador, desde la perspectiva de la descomposición CW, consiste en agregar una 1-celda y una 2-celda cuyo mapa de conexión consiste en la nueva 1-celda y el resto del mapa de conexión está enincógnita1{\displaystyle X^{1}}Si dejamosincógnita~{\displaystyle {\tilde {X}}}sea ​​el complejo CW correspondienteincógnita~=incógnita∪mi1∪mi2{\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}}entonces existe una equivalencia homotópicaincógnita~→incógnita{\displaystyle {\tilde {X}}\to X}dado al deslizar la nueva celda de 2 elementos en X.
2) Agregar/eliminar una relación. El acto de agregar una relación es similar, solo que se reemplaza X porincógnita~=incógnita∪mi2∪mi3{\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{2}\cup e^{3}}donde la nueva celda 3 tiene un mapa adjunto que consiste en la nueva celda 2 y el mapeo restante enincógnita2{\displaystyle X^{2}}. Una diapositiva similar proporciona una equivalencia de homotopíaincógnita~→incógnita{\displaystyle {\tilde {X}}\to X}.

Si un complejo CW X es n -conexo, se puede encontrar un complejo CW homotópicamente equivalente.incógnita~{\displaystyle {\tilde {X}}}cuyo n -esqueletoincógnitanorte{\displaystyle X^{n}}Consta de un solo punto. El argumento a favornorte≥2{\displaystyle n\geq 2}es similar a lanorte=1{\displaystyle n=1}caso, solo uno reemplaza los movimientos de Tietze para la presentación del grupo fundamental por operaciones matriciales elementales para las matrices de presentación paraHnorte(incógnita;Z){\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )}(utilizando las matrices de presentación que provienen de la homología celular . Es decir, se pueden realizar de manera similar operaciones matriciales elementales mediante una secuencia de adición/eliminación de celdas o homotopías adecuadas de los mapas adjuntos.

'La' categoría de homotopía

La categoría de homotopía de los complejos CW es, en opinión de algunos expertos, la mejor, si no la única, candidata para la categoría de homotopía (por razones técnicas, en realidad se usa la versión para espacios con punto ). [ 16 ] En ocasiones, deben usarse construcciones auxiliares que producen espacios que no son complejos CW. Un resultado básico es que los functores representables en la categoría de homotopía tienen una caracterización simple (el teorema de representabilidad de Brown ).

Véase también

Referencias

Notas

  1. ↑ Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge University Press . ISBN 0-521-79540-0.Este libro de texto define los complejos CW en el primer capítulo y los utiliza a lo largo de toda la obra; incluye un apéndice sobre la topología de los complejos CW. Una versión electrónica gratuita está disponible en la página web del autor .
  2. 1 2 Whitehead, JHC (1949a). "Homotopía combinatoria. I." (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 55 (5): 213– 245. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09175-9 . MR 0030759 . (acceso abierto)
  3. ↑ De Agostino, Sergio (2016). La conjetura de la celularización regular de 3 esferas (PDF) . Taller internacional sobre algoritmos combinatorios.
  4. ↑ Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). Lecture Notes in Algebraic Topology . Providence, RI: American Mathematical Society.
  5. ↑ "Complejo CW en nLab" .
  6. ↑ "CW-complex - Enciclopedia de Matemáticas" .
  7. 1 2 Archivado en Ghostarchivey la Wayback Machine: canal, Animated Math (2020). "1.3 Introducción a la topología algebraica. Ejemplos de complejos CW" . Youtube .
  8. ↑ Turaev, VG (1994). Invariantes cuánticos de nudos y 3-variedades . Estudios de matemáticas de De Gruyter. Vol. 18. Berlín: Walter de Gruyter & Co. ISBN  9783110435221.
  9. ↑ Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge University Press . pág. 522. ISBN  0-521-79540-0.Proposición A.4
  10. ↑ Milnor, John (febrero de 1959). "Sobre espacios que tienen el tipo de homotopía de un complejo CW" . Transactions of the American Mathematical Society . 90 (2): 272– 280. doi : 10.2307/1993204 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1993204 .  
  11. ↑ Hatcher, Allen , Topología algebraica , Cambridge University Press (2002). ISBN 0-521-79540-0Una versión electrónica gratuita está disponible en la página web del autor .
  12. ↑ Hatcher, Allen , Vector bundles and K-theory , versión preliminar disponible en la página web del autor.
  13. ↑ Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge University Press . pág. 529. ISBN  0-521-79540-0.Ejercicio 1
  14. ↑ Milnor, John (1959). "Sobre espacios que tienen el tipo de homotopía de un complejo CW" . Trans. Amer. Math. Soc . 90 (2): 272– 280. doi : 10.1090/s0002-9947-1959-0100267-4 . JSTOR 1993204 . 
  15. ↑ "Espacios generados de forma compacta" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 3 de marzo de 2016. Consultado el 26 de agosto de 2012 .
  16. ↑ Por ejemplo, la opinión «La clase de complejos CW (o la clase de espacios del mismo tipo de homotopía que un complejo CW) es la clase más adecuada de espacios topológicos en relación con la teoría de la homotopía» aparece en Baladze, DO (2001) [1994], «CW-complex» , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

Referencias generales

  • Lundell, AT; Weingram, S. (1970). La topología de los complejos CW . Serie Universitaria Van Nostrand en Matemáticas Superiores. ISBN 0-442-04910-2.
  • Brown, R.; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011). Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica . European Mathematical Society Tracts in Mathematics Vol 15. ISBN 978-3-03719-083-8.Más detalles sobre el[Página principal del primer autor]