Grupo Chow

En geometría algebraica , los grupos de Chow (nombrados en honor a Wei-Liang Chow por Claude Chevalley ( 1958 ) ) de una variedad algebraica sobre cualquier cuerpo son análogos algebraico-geométricos de la homología de un espacio topológico . Los elementos del grupo de Chow se forman a partir de subvariedades (denominadas ciclos algebraicos ) de forma similar a como se forman los grupos de homología simplicial o celular a partir de subcomplejos. Cuando la variedad es lisa , los grupos de Chow pueden interpretarse como grupos de cohomología (compárese con la dualidad de Poincaré ) y poseen una multiplicación denominada producto de intersección . Los grupos de Chow contienen información valiosa sobre una variedad algebraica y, por consiguiente, son difíciles de calcular en general.

Equivalencia racional y grupos de Chow

Para lo que sigue, defina una variedad sobre un campo. $k$ ser un esquema integral de tipo finito sobre $k$ Para cualquier plan $X$ de tipo finito sobre $k$ , un ciclo algebraico en $X$ significa una combinación lineal finita de subvariedades de $X$ con coeficientes enteros . (Aquí y más adelante, se entiende que las subvariedades son cerradas en $X$ (a menos que se indique lo contrario.) Para un número natural $i$ , el grupo $Z_{i}(X)$ de $i$ ciclos -dimensionales (o $i$ - ciclos , para abreviar) en $X$ es el grupo abeliano libre en el conjunto de $i$ Subvariedades dimensionales de $X$ .

Para una variedad $W$ de dimensión $i+1$ y cualquier función racional $f$ en $W$ que no es idénticamente cero, el divisor de $f$ es el $i$ -ciclo

(f)=\sum _ {Z}\operatorname {ord} _ {Z}(f)Z,

donde la suma se extiende sobre todos $i$ subvariedades dimensionales $Z$ de $W$ y el entero $\operatorname {ord} _ {Z}(f)$ denota el orden de desaparición de $f$ a lo largo de $Z$ . (De este modo $\operatorname {ord} _ {Z}(f)$ es negativo si $f$ tiene un poste a lo largo $Z$ .) La definición del orden de desaparición requiere cierto cuidado $W$ singular. ^{[ 1 ]}

Para un plan $X$ de tipo finito sobre $k$ , el grupo de $i$ -ciclos racionalmente equivalentes a cero es el subgrupo de $Z_{i}(X)$ generados por los ciclos $(f)$ a pesar de $(i+1)$ subvariedades dimensionales $W$ de $X$ y todas las funciones racionales distintas de cero $f$ en $W$ El grupo Chow $CH_{i}(X)$ de $i$ ciclos dimensionales en $X$ es el grupo cociente de $Z_{i}(X)$ por el subgrupo de ciclos racionalmente equivalentes a cero. A veces se escribe $[Z]$ para la clase de una subvariedad $Z$ en el grupo Chow, y si dos subvariedades $Z$ y $W$ tener $[Z]=[W]$ , entonces $Z$ y $W$ Se dice que son racionalmente equivalentes .

Por ejemplo, cuando $X$ es una variedad de dimensiones $n$ , el grupo Chow $CH_{n-1}(X)$ es el grupo de clases divisor de $X$ . Cuando $X$ es suave sobre $k$ (o más generalmente, un esquema factorial normal localmente noetheriano ^{[ 2 ]} ), esto es isomorfo al grupo de Picard de haces de líneas en $X$ .

Ejemplos de equivalencia racional

Equivalencia racional en el espacio proyectivo

Los ciclos racionalmente equivalentes definidos por hipersuperficies son fáciles de construir en el espacio proyectivo porque todos pueden construirse como los lugares de anulación del mismo fibrado vectorial. Por ejemplo, dados dos polinomios homogéneos de grado $d$ , entonces $f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))$ , podemos construir una familia de hipersuperficies definidas como el lugar geométrico de anulación de $sf+tg$ . Esquemáticamente, esto se puede construir como

X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{n}

utilizando la proyección $\pi _{1}:X\to \mathbb {P} ^{1}$ podemos ver la fibra sobre un punto $[s_{0}:t_{0}]$ es la hipersuperficie proyectiva definida por $s_{0}f+t_{0}g$ . Esto se puede utilizar para demostrar que la clase de ciclo de cada hipersuperficie de grado $d$ es racionalmente equivalente a $d[\mathbb {P} ^{n-1}]$ , desde $sf+tx_{0}^{d}$ puede utilizarse para establecer una equivalencia racional. Nótese que el lugar geométrico de $x_{0}^{d}=0$ es $\mathbb {P} ^{n-1}$ y tiene multiplicidad $d$ , que es el coeficiente de su clase de ciclo.

Equivalencia racional de ciclos en una curva

Si tomamos dos haces de líneas distintos $L,L'\in \operatorname {Pic} (C)$ de una curva proyectiva suave $C$ , entonces los lugares de desaparición de una sección genérica de ambos haces de líneas definen clases de ciclos no equivalentes en $CH(C)$ Esto se debe a que $\operatorname {Div} (C)\cong \operatorname {Pic} (C)$ para variedades suaves, por lo que las clases divisorias de $s\in H^{0}(C,L)$ y $s'\in H^{0}(C,L')$ definir clases no equivalentes.

El anillo Chow

Cuando el plan $X$ es suave sobre un campo $k$ , los grupos Chow forman un anillo , no solo un grupo abeliano graduado. Es decir, cuando $X$ es suave sobre $k$ , definir $CH^{i}(X)$ ser el grupo Chow de codimensión - $i$ ciclos en $X$ . (Cuando $X$ es una variedad de dimensiones $n$ , esto simplemente significa que $CH^{i}(X)=CH_{ni}(X)$ .) Luego los grupos $CH^{*}(X)$ formen un anillo graduado conmutativo con el producto:

CH^{i}(X)\times CH^{j}(X)\rightarrow CH^{i+j}(X).

El producto surge de la intersección de ciclos algebraicos. Por ejemplo, si $Y$ y $Z$ son subvariedades suaves de $X$ de codimensión $i$ y $j$ respectivamente, y si $Y$ y $Z$ intersecan transversalmente , entonces el producto $[Y][Z]$ en $CH^{i+j}(X)$ es la suma de los componentes irreducibles de la intersección $Y\cap Z$ , que todos tienen codimensión $i+j$ .

De manera más general, en varios casos, la teoría de la intersección construye un ciclo explícito que representa el producto $[Y][Z]$ en el anillo Chow. Por ejemplo, si $Y$ y $Z$ son subvariedades de dimensión complementaria (lo que significa que sus dimensiones suman la dimensión de $X$ ) cuya intersección tiene dimensión cero, entonces $[Y][Z]$ es igual a la suma de los puntos de la intersección con coeficientes llamados números de intersección . Para cualquier subvariedad $Y$ y $Z$ de un plan sin problemas $X$ encima $k$ , sin ninguna suposición sobre la dimensión de la intersección, la teoría de la intersección de William Fulton y Robert MacPherson construye un elemento canónico de los grupos de Chow de $Y\cap Z$ cuya imagen en los grupos Chow de $X$ es el producto $[Y][Z]$ . ^{[ 3 ]}

Ejemplos

Espacio proyectivo

El anillo Chow del espacio proyectivo $\mathbb {P} ^{n}$ sobre cualquier campo $k$ es el anillo

CH^{*}(\mathbb {P} ^{n})\cong \mathbf {Z} [H]/(H^{n+1}),

dónde $H$ es la clase de un hiperplano (el lugar geométrico de ceros de una única función lineal). Además, cualquier subvariedad $Y$ de grado $d$ y codimensión $a$ en el espacio proyectivo es racionalmente equivalente a $dH^{a}$ De ello se deduce que para cualesquiera dos subvariedades $Y$ y $Z$ de dimensión complementaria en $\mathbb {P} ^{n}$ y títulos $a$ , $b$ , respectivamente, su producto en el anillo Chow es simplemente

[Y]\cdot [Z]=a\,b\,H^{n}

dónde $H^{n}$ es la clase de un $k$ -punto racional en $\mathbb {P} ^{n}$ . Por ejemplo, si $Y$ y $Z$ Si se intersecan transversalmente, se deduce que $Y\cap Z$ es un ciclo cero de grado $ab$ . Si el campo base $k$ es algebraicamente cerrado , esto significa que hay exactamente $ab$ puntos de intersección; esta es una versión del teorema de Bézout , un resultado clásico de la geometría enumerativa .

Fórmula del haz proyectivo

Dado un haz vectorial $E\to X$ de rango $r$ sobre un plan adecuado y sin contratiempos $X$ sobre un campo, el anillo de Chow del haz proyectivo asociado $\mathbb {P} (E)$ se puede calcular utilizando el anillo de Chow de $X$ y las clases de Chern de $E$ Si dejamos $\zeta =c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1))$ y $c_{1},\ldots ,c_{r}$ las clases Chern de $E$ , entonces existe un isomorfismo de anillos

CH^{\bullet }(\mathbb {P} (E))\cong {\frac {CH^{\bullet }(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}

Superficies de Hirzebruch

Por ejemplo, el anillo de Chow de una superficie de Hirzebruch se puede calcular fácilmente utilizando la fórmula del haz proyectivo. Recordemos que se construye como $F_{a}=\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(a))$ encima $\mathbb {P} ^{1}$ . Entonces, la única clase de Chern no trivial de este fibrado vectorial es $c_{1}=aH$ . Esto implica que el anillo de Chow es isomorfo a

CH^{\bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet }(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta )}}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta ]}{(H^{2},\zeta ^{2}+aH\zeta )}}

Observaciones

Para otras variedades algebraicas, los grupos de Chow pueden tener un comportamiento más rico. Por ejemplo, sea $X$ ser una curva elíptica sobre un campo $k$ . Luego el grupo de Chow de ciclos cero en $X$ encaja en una secuencia exacta

0\rightarrow X(k)\rightarrow CH_{0}(X)\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow 0.

Así, el grupo de Chow de una curva elíptica $X$ está estrechamente relacionado con el grupo $X(k)$ de $k$ - puntos racionales de $X$ . Cuando $k$ es un campo numérico , $X(k)$ se denomina grupo Mordell-Weil de $X$ y algunos de los problemas más profundos de la teoría de números son intentos de comprender este grupo. Cuando $k$ En el caso de los números complejos , el ejemplo de una curva elíptica muestra que los grupos de Chow pueden ser grupos abelianos no numerables .

Funtorialidad

Para un morfismo adecuado $f:X\to Y$ de planes sobre $k$ , hay un homomorfismo de empuje hacia adelante $f_{*}:CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y)$ para cada entero $i$ . Por ejemplo, para un plan adecuado $X$ encima $k$ , esto da un homomorfismo $CH_{0}(X)\to \mathbf {Z}$ , que toma un punto cerrado en $X$ en su grado más $k$ . (Un punto cerrado en $X$ tiene la forma $\operatorname {Spec} (E)$ para un campo de extensión finito $E$ de $k$ y su grado significa el grado del campo $E$ encima $k$ .)

Para un morfismo plano $f:X\to Y$ de planes sobre $k$ con fibras de dimensión $r$ (posiblemente vacío), hay un homomorfismo $f^{*}:CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X)$ .

Una herramienta computacional clave para los grupos de Chow es la secuencia de localización , como sigue. Para un esquema $X$ sobre un campo $k$ y un subesquema cerrado $Z$ de $X$ , hay una secuencia exacta

CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,

donde el primer homomorfismo es el impulso hacia adelante asociado al morfismo propio $Z\to X$ y el segundo homomorfismo es un retroceso con respecto al morfismo plano. $X-Z\to X$ . ^{[ 4 ]} La secuencia de localización puede extenderse hacia la izquierda utilizando una generalización de los grupos de Chow, grupos de homología motivacional (Borel-Moore) , también conocidos como grupos de Chow superiores . ^{[ 5 ]}

Para cualquier morfismo $f:X\to Y$ de planes fluidos sobre $k$ , hay un homomorfismo de retroceso $f^{*}:CH^{i}(Y)\to CH^{i}(X)$ , que de hecho es un homomorfismo de anillos $CH^{*}(Y)\to CH^{*}(X)$ .

Ejemplos de retrocesos planos

Nótese que se pueden construir no-ejemplos utilizando explosiones; por ejemplo, si tomamos la explosión del origen en $\mathbb {A} ^{2}$ entonces la fibra sobre el origen es isomorfa a $\mathbb {P} ^{1}$ .

Recubrimientos ramificados de curvas

Consideremos el recubrimiento ramificado de curvas.

f:\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(x)-g(x,y))}}\right)\to \mathbb {A} _{x}^{1}

Dado que el morfismo se ramifica siempre $f(\alpha )=0$ obtenemos una factorización

g(\alpha ,y)=(y-a_{1})^{e_{1}}\cdots (y-a_{k})^{e_{k}}

donde uno de los $e_{i}>1$ Esto implica que los puntos $\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\}=f^{-1}(\alpha )$ tener multiplicidades $e_{1},\ldots ,e_{k}$ respectivamente. El retroceso plano del punto $\alpha$ es entonces

f^{*}[\alpha ]=e_{1}[\alpha ]+\cdots +e_{k}[\alpha _{k}]

Familia de variedades planas

Consideremos una familia plana de variedades.

X\to S

y una subvariedad $S'\subset S$ Luego, utilizando el cuadrado cartesiano

{\begin{matrix}S'\times _{S}X&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}

vemos que la imagen de $S'\times _{S}X$ es una subvariedad de $X$ Por lo tanto, tenemos

f^{*}[S']=[S'\times _{S}X]

Mapas de ciclos

Existen varios homomorfismos (conocidos como mapas cíclicos ) que conectan los grupos de Chow con teorías más computables.

Primero, para un esquema X sobre los números complejos, existe un homomorfismo de los grupos de Chow a la homología de Borel-Moore : ^{[ 6 ]}

{\mathit {CH}}_{i}(X)\rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z} ).

El factor 2 aparece porque una subvariedad i -dimensional de X tiene dimensión real 2 i . Cuando X es suave sobre los números complejos, este mapa cíclico se puede reescribir usando la dualidad de Poincaré como un homomorfismo.

{\mathit {CH}}^{j}(X)\rightarrow H^{2j}(X,\mathbf {Z} ).

En este caso ( X suave sobre C ), estos homomorfismos forman un homomorfismo de anillos del anillo de Chow al anillo de cohomología. Intuitivamente, esto se debe a que los productos tanto en el anillo de Chow como en el anillo de cohomología describen la intersección de ciclos.

Para una variedad proyectiva compleja suave , el mapeo de ciclos del anillo de Chow a la cohomología ordinaria se factoriza a través de una teoría más rica, la cohomología de Deligne . ^{[ 7 ]} Esto incorpora el mapeo de Abel-Jacobi de ciclos homológicamente equivalentes a cero al jacobiano intermedio . La secuencia exponencial muestra que CH ¹ ( X ) se mapea isomorfamente a la cohomología de Deligne, pero eso falla para CH ^j ( X ) con j > 1.

Para un esquema X sobre un cuerpo arbitrario k , existe un mapa de ciclos análogo de los grupos de Chow a la homología étale (Borel-Moore) . Cuando X es liso sobre k , este homomorfismo puede identificarse con un homomorfismo de anillos del anillo de Chow a la cohomología étale. ^{[ 8 ]}

Relación con la teoría K

Un fibrado vectorial (algebraico) E sobre un esquema liso X sobre un cuerpo tiene clases de Chern c _i ( E ) en CH ⁱ ( X ), con las mismas propiedades formales que en topología. ^{[ 9 ]} Las clases de Chern dan una conexión estrecha entre los fibrados vectoriales y los grupos de Chow. Es decir, sea K ₀ ( X ) el grupo de Grothendieck de fibrados vectoriales sobre X . Como parte del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , Grothendieck demostró que el carácter de Chern da un isomorfismo

K_{0}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} \cong \prod _{i}{\mathit {CH}}^{i}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} .

Este isomorfismo demuestra la importancia de la equivalencia racional, en comparación con cualquier otra relación de equivalencia adecuada en ciclos algebraicos.

Conjeturas

Algunas de las conjeturas más profundas en geometría algebraica y teoría de números son intentos de comprender los grupos de Chow. Por ejemplo:

El teorema de Mordell-Weil implica que el grupo de clases divisoras CH _{n -1} ( X ) es finitamente generado para cualquier variedad X de dimensión n sobre un cuerpo numérico. Es un problema abierto determinar si todos los grupos de Chow son finitamente generados para cada variedad sobre un cuerpo numérico. La conjetura de Bloch - Kato sobre los valores de las funciones L predice que estos grupos son finitamente generados. Además, el rango del grupo de ciclos módulo equivalencia homológica, y también del grupo de ciclos homológicamente equivalentes a cero, debería ser igual al orden de anulación de una función L de la variedad dada en ciertos puntos enteros. La finitud de estos rangos también se derivaría de la conjetura de Bass en la teoría K algebraica.
Para una variedad proyectiva compleja lisa X , la conjetura de Hodge predice la imagen ( tensorizada con los racionales Q ) del mapa de ciclos de los grupos de Chow a la cohomología singular. Para una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo finitamente generado (como un cuerpo finito o un cuerpo de números), la conjetura de Tate predice la imagen (tensorizada con Q _l ) del mapa de ciclos de los grupos de Chow a la cohomología l-ádica .
Para una variedad proyectiva suave X sobre cualquier cuerpo, la conjetura de Bloch - Beilinson predice una filtración en los grupos de Chow de X (tensorizados con los racionales) con fuertes propiedades. ^{[ 10 ]} La conjetura implicaría una conexión estrecha entre la cohomología singular o étale de X y los grupos de Chow de X.

Por ejemplo, sea X una superficie proyectiva compleja lisa. El grupo de Chow de ciclos cero en X se mapea sobre los enteros mediante el homomorfismo de grado; sea K el núcleo. Si el género geométrico h ⁰ ( X , Ω ² ) no es cero, Mumford demostró que K es de dimensión infinita (no la imagen de ninguna familia de dimensión finita de ciclos cero en X ). ^{[ 11 ]} La conjetura de Bloch-Beilinson implicaría una recíproca satisfactoria, la conjetura de Bloch sobre ciclos cero : para una superficie proyectiva compleja lisa X con género geométrico cero, K debería ser de dimensión finita; más precisamente, debería mapearse isomórficamente al grupo de puntos complejos de la variedad ^de Albanese de X. ^[¹² ]

Variantes

Teoría bivariante

Fulton y MacPherson extendieron el anillo de Chow a variedades singulares definiendo el " anillo de Chow operacional " y, más generalmente, una teoría bivariante asociada a cualquier morfismo de esquemas. ^{[ 13 ]} Una teoría bivariante es un par de functores covariante y contravariante que asignan a una aplicación un grupo y un anillo , respectivamente. Generaliza una teoría de cohomología , que es un functor contravariante que asigna a un espacio un anillo, concretamente un anillo de cohomología . El nombre "bivariante" se refiere al hecho de que la teoría contiene functores tanto covariantes como contravariantes. ^{[ 14 ]}

En cierto sentido, esta es la extensión más elemental del anillo de Chow a variedades singulares; otras teorías, como la cohomología motivacional, se corresponden con el anillo de Chow operacional. ^{[ 15 ]}

Otras variantes

Los grupos de Chow aritméticos son una amalgama de grupos de Chow de variedades sobre Q junto con un componente que codifica información teórica de Arakelov , es decir, formas diferenciales en la variedad compleja asociada.

La teoría de los grupos de Chow de esquemas de tipo finito sobre un cuerpo se extiende fácilmente a la de los espacios algebraicos . La principal ventaja de esta extensión es que resulta más sencillo formar cocientes en esta última categoría y, por lo tanto, es más natural considerar grupos de Chow equivariantes de espacios algebraicos. Una extensión mucho más formidable es la del grupo de Chow de una pila , que solo se ha construido en algunos casos especiales y que es necesaria, en particular, para comprender una clase fundamental virtual .

Historia

La equivalencia racional de divisores (conocida como equivalencia lineal ) se estudió en diversas formas durante el siglo XIX, dando lugar al grupo de clases ideal en teoría de números y a la variedad jacobiana en la teoría de curvas algebraicas. Para ciclos de codimensión superior, Francesco Severi introdujo la equivalencia racional en la década de 1930. En 1956, Wei-Liang Chow realizó una demostración influyente de que el producto de intersección está bien definido en ciclos módulo equivalencia racional para una variedad cuasiproyectiva suave, utilizando el lema móvil de Chow . A partir de la década de 1970, Fulton y MacPherson sentaron las bases estándar actuales para los grupos de Chow, trabajando con variedades singulares siempre que fue posible. En su teoría, el producto de intersección para variedades suaves se construye mediante deformación al cono normal . ^{[ 16 ]}

Véase también

Referencias

Citas

↑ Fulton. Teoría de la intersección, sección 1.2 y Apéndice A.3.
↑ Proyecto Stacks, https://stacks.math.columbia.edu/tag/0BE9
↑ Fulton, Teoría de la intersección, sección 8.1.
↑ Fulton, Teoría de la Intersección, Proposición 1.8.
↑ Bloch, Ciclos algebraicos y grupos K superiores; Voevodsky, Categorías trianguladas de motivos sobre un cuerpo, sección 2.2 y Proposición 4.2.9.
↑ Fulton, Teoría de la intersección, sección 19.1
↑ Voisin, Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, vol. 1, sección 12.3.3; vol. 2, teorema 9.24.
^ Deligne, Cohomologie Etale (SGA 4 1/2), Exponer 4.
↑ Fulton, Teoría de la Intersección, sección 3.2 y Ejemplo 8.3.3.
↑ Voisin, Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, vol. 2, Conjetura 11.21.
↑ Voisin, Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, vol. 2, teorema 10.1.
↑ Voisin, Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, vol. 2, cap. 11.
↑ Fulton, Teoría de la intersección, Capítulo 17.
↑ Fulton, William; MacPherson, Robert (1981). Marco categórico para el estudio de espacios singulares . Sociedad Matemática Americana . ISBN 9780821822432.
↑ B. Totaro, Grupos de Chow, cohomología de Chow y variedades lineales
↑ Fulton, Teoría de la intersección, Capítulos 5, 6, 8.

Introductorio

Eisenbud, David; Harris, Joe, 3264 y todo eso: Un segundo curso de geometría algebraica

Avanzado

Bloch, Spencer (1986), "Ciclos algebraicos y teoría K superior ", Advances in Mathematics , 61 (3): 267–304 , doi : 10.1016/0001-8708(86)90081-2 , ISSN 0001-8708 , MR 0852815
Claude, Chevalley (1958), "Les schools d'équivalence rationelle, I" , Anneaux de Chow et apps , Séminaire Claude Chevalley, vol. 3 , págs. 1-14
Claude, Chevalley (1958), "Les schools d'équivalence rationelle, II" , Anneaux de Chow et apps , Séminaire Claude Chevalley, vol. 3 , págs. 1-18
Chow, Wei-Liang (1956), "Sobre clases de equivalencia de ciclos en una variedad algebraica", Annals of Mathematics , 64 (3): 450– 479, doi : 10.2307/1969596 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969596 , MR 0082173
Deligne, Pierre (1977), Cohomologie Etale (SGA 4 1/2) , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-08066-4, MR 0463174
Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323
Severi, Francesco (1932), "La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica", Commentarii Mathematici Helvetici , 4 : 268– 326, doi : 10.1007/bf01202721 , JFM 58.1229.01
Voevodsky, Vladimir (2000), «Categorías trianguladas de motivos sobre un campo», Ciclos, transferencias y teorías de homología motivacional , Princeton University Press , pp. 188–238 , ISBN 9781400837120, MR 1764202
Voisin, Claire (2002), Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja (2 vols.) , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-71801-1, MR 1997577

[1] Fulton. Teoría de la intersección, sección 1.2 y Apéndice A.3.

[2] Proyecto Stacks, https://stacks.math.columbia.edu/tag/0BE9

[3] Fulton, Teoría de la intersección, sección 8.1.

[4] Fulton, Teoría de la Intersección, Proposición 1.8.

[5] Bloch, Ciclos algebraicos y grupos K superiores; Voevodsky, Categorías trianguladas de motivos sobre un cuerpo, sección 2.2 y Proposición 4.2.9.

[6] Fulton, Teoría de la intersección, sección 19.1

[7] Voisin, Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, vol. 1, sección 12.3.3; vol. 2, teorema 9.24.

[8] Deligne, Cohomologie Etale (SGA 4 1/2), Exponer 4.

[9] Fulton, Teoría de la Intersección, sección 3.2 y Ejemplo 8.3.3.

[10] Voisin, Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, vol. 2, Conjetura 11.21.

[11] Voisin, Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, vol. 2, teorema 10.1.

[12] Voisin, Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, vol. 2, cap. 11.

[13] Fulton, Teoría de la intersección, Capítulo 17.

[14] Fulton, William; MacPherson, Robert (1981). Marco categórico para el estudio de espacios singulares . Sociedad Matemática Americana . ISBN 9780821822432.

[15] B. Totaro, Grupos de Chow, cohomología de Chow y variedades lineales

[16] Fulton, Teoría de la intersección, Capítulos 5, 6, 8.

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