álgebra de Clifford

Las álgebras de Clifford están estrechamente relacionadas con las álgebras exteriores . De hecho, si Q = 0, entonces el álgebra de Clifford Cl( V , Q ) es simplemente el álgebra exterior ⋀V . Siempre que 2 sea invertible en el cuerpo base K , existe un isomorfismo lineal canónico entre ⋀V y Cl( V , Q ) . Es decir, son isomorfos naturalmente como espacios vectoriales, pero con multiplicaciones diferentes (en el caso de característica dos, siguen siendo isomorfos como espacios vectoriales, pero no naturalmente). La multiplicación de Clifford junto con el subespacio distinguido es estrictamente más rica que el producto exterior, ya que utiliza la información adicional proporcionada por Q.  

El álgebra de Clifford es un álgebra filtrada ; el álgebra graduada asociada es el álgebra exterior.

Más precisamente, las álgebras de Clifford pueden pensarse como cuantizaciones (cf. grupo cuántico ) del álgebra exterior, de la misma manera que el álgebra de Weyl es una cuantización del álgebra simétrica .

Las álgebras de Weyl y las álgebras de Clifford admiten una estructura adicional de un *-álgebra , y pueden unificarse como términos pares e impares de una superálgebra , como se discute en las álgebras CCR y CAR .

Las álgebras de Clifford también se conocen a veces como álgebras geométricas , sobre todo en el caso de los números reales.

Toda forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial real de dimensión finita es equivalente a la forma diagonal estándar: $${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\dots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\dots -v_{p+q}^{2},}$$ donde n = p + q es la dimensión del espacio vectorial. El par de enteros ( p , q ) se denomina signatura de la forma cuadrática. El espacio vectorial real con esta forma cuadrática se suele denotar R ^{p , q} . El álgebra de Clifford en R ^{p , q} se denota Cl _{p , q} ( R ). El símbolo Cl _n ( R ) significa Cl _{n , 0} ( R ) o Cl _{0, n} ( R ) , dependiendo de si el autor prefiere espacios definidos positivos o negativos.

Una base estándar { e ₁ , ..., e _n } para R ^{p , q} consta de n = p + q vectores mutuamente ortogonales, p de los cuales al cuadrado es +1 y q de los cuales al cuadrado es −1 . De dicha base, el álgebra Cl _{p , q} ( R ) tendrá por lo tanto p vectores que al cuadrado es +1 y q vectores que al cuadrado es −1 .  

Algunos casos de baja dimensión son:

• Cl _0,0 ( R ) es naturalmente isomorfo a R ya que no hay vectores distintos de cero.
• Cl _0,1 ( R ) es un álgebra bidimensional generada por e ₁ que al cuadrado es −1 , y es algebraico-isomorfa a C , el campo de los números complejos .
• Cl _1,0 ( R ) es un álgebra bidimensional generada por e ₁ que al cuadrado es 1 , y es algebraico-isomorfa a los números complejos divididos .
• Cl _0,2 ( R ) es un álgebra de cuatro dimensiones generada por {1, e ₁ , e ₂ , e ₁ e ₂ } . Los últimos tres elementos son todos cuadrados −1 y anticonmutan, por lo que el álgebra es isomorfa a los cuaterniones H . 
• Cl _2,0 ( R ) ≅ Cl _1,1 ( R ) es isomorfo al álgebra de cuaterniones divididos .
• Cl _0,3 ( R ) es un álgebra de 8 dimensiones isomorfa a la suma directa H ⊕ H , los bicuaterniones divididos .
• Cl _3,0 ( R ) ≅ Cl _1,2 ( R ) , también llamada álgebra de Pauli , ^{[ 7 ] [ 8 ]} es isomorfa al álgebra de bicuaterniones .

También se pueden estudiar las álgebras de Clifford en espacios vectoriales complejos. Toda forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial complejo de dimensión n es equivalente a la forma diagonal estándar .$${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}.}$$ Así, para cada dimensión n , salvo isomorfismo, existe una única álgebra de Clifford de un espacio vectorial complejo con una forma cuadrática no degenerada. Denotaremos el álgebra de Clifford en C ⁿ con la forma cuadrática estándar por Cl _n ( C ) .

En los primeros casos se observa que

• Cl ₀ ( C ) ≅ C , los números complejos
• Cl ₁ ( C ) ≅ C ⊕ C , los números bicomplejos
• Cl ₂ ( C ) ≅ M ₂ ( C ) , los bicuaterniones

donde M _n ( C ) denota el álgebra de matrices n × n sobre C .

En esta sección, los cuaterniones de Hamilton se construyen como la subálgebra par del álgebra de Clifford Cl _3,0 ( R ) .

^{Sea el} espacio vectorial V un espacio tridimensional real R³ y la forma cuadrática la forma cuadrática usual. Entonces, para v , w en R³ tenemos la forma bilineal (o producto escalar) ^. $${\displaystyle v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$ Ahora introducimos el producto de Clifford de los vectores v y w dado por $${\displaystyle vw+wv=2(v\cdot w).}$$

Denotemos un conjunto de vectores unitarios ortogonales de R ³ como { e ₁ , e ₂ , e ₃ } , entonces el producto de Clifford produce las relaciones $${\displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{1}e_{3}=-e_{3}e_{1},\,\,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},}$$ y $${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=1.}$$ El elemento general del álgebra de Clifford Cl _3,0 ( R ) viene dado por $${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{1}e_{3}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.}$$

La combinación lineal de los elementos de grado par de Cl _3,0 ( R ) define la subálgebra par Cl ^[0] _3,0 ( R ) con el elemento general $${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{1}e_{3}+q_{3}e_{1}e_{2}.}$$ Los elementos base pueden identificarse con los elementos base de cuaternión i , j , k como $${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{1}e_{3},k=e_{1}e_{2},}$$ lo que demuestra que la subálgebra par Cl ^[0] _3,0 ( R ) es el álgebra de cuaterniones reales de Hamilton .

Para ver esto, calcula $${\displaystyle i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,}$$ y $${\displaystyle ij=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}=-e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k.}$$ Finalmente, $${\displaystyle ijk=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}e_{1}e_{2}=-1.}$$

En esta sección, los cuaterniones duales se construyen como la subálgebra par de un álgebra de Clifford del espacio real de cuatro dimensiones con una forma cuadrática degenerada. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

Sea el espacio vectorial V un espacio real ^de cuatro dimensiones R⁴ , y sea la forma cuadrática Q una forma degenerada derivada de la métrica euclidiana en R³ . Para v , w en R⁴ ^, introducimos la forma bilineal degenerada ^.$${\displaystyle d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$ Este producto escalar degenerado proyecta las mediciones de distancia en R ⁴ sobre el hiperplano R ^{3 .}

El producto de Clifford de los vectores v y w viene dado por $${\displaystyle vw+wv=-2\,d(v,w).}$$ Nótese que el signo negativo se introduce para simplificar la correspondencia con los cuaterniones.

Denotemos un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales de R ⁴ como { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ } , entonces el producto de Clifford produce las relaciones $${\displaystyle e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m},\,\,\,m\neq n,}$$ y $${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$$

El elemento general del álgebra de Clifford Cl( R ⁴ , d ) tiene 16 componentes. La combinación lineal de los elementos de grado par define la subálgebra par Cl ^[0] ( R ⁴ , d ) con el elemento general $${\displaystyle H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$

Los elementos base pueden identificarse con los elementos base de cuaternión i , j , k y la unidad dual ε como $${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$ Esto proporciona la correspondencia de Cl ^[0] _0,3,1 ( R ) con el álgebra de cuaterniones dual .

Para ver esto, calcula $${\displaystyle \varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3}=0,}$$ y $${\displaystyle \varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .}$$ Los intercambios de e ₁ y e ₄ alternan signos un número par de veces y muestran que la unidad dual ε conmuta con los elementos base del cuaternión i , j , k .

Para dim V = 1 , si Q tiene diagonalización diag( a ) , un vector no nulo x tal que Q ( x ) = a , entonces Cl( V , Q ) es algebraico-isomorfo a un álgebra K generada por un elemento ^{x que satisface x²} = a , el álgebra cuadrática K [ X ]/( X² ⁻ a ) .

En particular, si a = 0 (es decir, Q es la forma cuadrática cero) entonces Cl( V , Q ) es algebraico-isomorfo al álgebra de números duales sobre K .

Si a es un cuadrado distinto de cero en K , entonces Cl( V , Q ) ≃ K ⊕ K.

De lo contrario, Cl( V , Q ) es isomorfo a la extensión de campo cuadrática K ( √ a ) de K .

Para dim V = 2 , si Q tiene diagonalización diag( a , b ) con a y b distintos de cero ⁽ lo cual siempre existe si Q no es degenerado), entonces Cl( V , Q ) es isomorfo a un álgebra K generada por elementos x e y que satisface x² = a , y² = ^b y xy = −yx .

Por lo tanto, Cl( V , Q ) es isomorfo al álgebra de cuaterniones (generalizada) ( a , b ) _K . Recuperamos los cuaterniones de Hamilton cuando a = b = −1 , ya que H = (−1, −1) _R .

Como caso especial, si algún x en V satisface Q ( x ) = 1 , entonces Cl( V , Q ) ≃ M ₂ ( K ) .

Dado un espacio vectorial V , se puede construir el álgebra exterior ⋀ V , cuya definición es independiente de cualquier forma cuadrática en V. Resulta que si K no tiene característica 2 , entonces existe un isomorfismo natural entre ⋀ V y Cl( V , Q ) considerados como espacios vectoriales (y existe un isomorfismo en característica dos, que puede no ser natural). Este es un isomorfismo de álgebra si y solo si Q = 0. Por lo tanto, se puede considerar el álgebra de Clifford Cl( V , Q ) como un enriquecimiento (o más precisamente, una cuantización, véase la Introducción) del álgebra exterior en V con una multiplicación que depende de Q (aún se puede definir el producto exterior independientemente de Q ).   

La forma más sencilla de establecer el isomorfismo es elegir una base ortogonal { e ₁ , ..., e _n } para V y extenderla a una base para Cl( V , Q ) como se describió anteriormente . El mapeo Cl( V , Q ) → ⋀ V está determinado por $${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}.}$$Nótese que esto solo funciona si la base { e ₁ , ..., e _n } es ortogonal. Se puede demostrar que esta aplicación es independiente de la elección de la base ortogonal y, por lo tanto, proporciona un isomorfismo natural.

Si la característica de K es 0 , también se puede establecer el isomorfismo mediante antisimetrizado. Definimos las funciones f _k  : V × ⋯ × V → Cl( V , Q ) mediante $${\displaystyle f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}$$ donde la suma se toma sobre el grupo simétrico de k elementos, S _k . Dado que f _k es alternante , induce una única aplicación lineal ⋀ ^k V → Cl( V , Q ) . La suma directa de estas aplicaciones da una aplicación lineal entre ⋀ V y Cl( V , Q ) . Se puede demostrar que esta aplicación es un isomorfismo lineal, y es natural.

Una forma más sofisticada de ver la relación es construir una filtración en Cl( V , Q ) . Recordemos que el álgebra tensorial T ( V ) tiene una filtración natural: F ⁰ ⊂ F ¹ ⊂ F ² ⊂ ⋯ , donde F ^k contiene sumas de tensores con orden ≤ k . Proyectando esto al álgebra de Clifford se obtiene una filtración en Cl( V , Q ) . El álgebra graduada asociada$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{F}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}$$ es naturalmente isomorfo al álgebra exterior ⋀ V . Dado que el álgebra graduada asociada de un álgebra filtrada es siempre isomorfa al álgebra filtrada como espacios vectoriales filtrados (al elegir complementos de F ^k en F ^{k +1} para todo k ), esto proporciona un isomorfismo (aunque no uno natural) en cualquier característica, incluso dos. 

En lo que sigue, suponga que la característica no ^es 2. [ ^{e ]} 

Las álgebras de Clifford son álgebras graduadas Z 2 ₍ también conocidas como superálgebras ). De hecho, la aplicación lineal en V definida por v ↦ − v ( reflexión a través del origen ) preserva la forma cuadrática Q y, por lo tanto, por la propiedad universal de las álgebras de Clifford, se extiende a un automorfismo de álgebra.$${\displaystyle \alpha$$ :\operatorname {Cl} (V,Q)\to \operatorname {Cl} (V,Q).}

Dado que α es una involución (es decir, su cuadrado es igual a la identidad ), se puede descomponer Cl( V , Q ) en autoespacios positivos y negativos de α. $${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$$ dónde $${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl} (V,Q)\mid \alpha (x)=(-1)^{i}x\right\}.}$$

Dado que α es un automorfismo, se deduce que: $${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q)}$$ donde los superíndices entre corchetes se leen módulo  2. Esto le da a Cl( V , Q ) la estructura de un álgebra graduada Z 2 _. El subespacio Cl ^[0] ( V , Q ) forma una subálgebra de Cl( V , Q ) , llamada subálgebra par . El subespacio Cl ^[1] ( V , Q ) se llama la parte impar de Cl( V , Q ) (no es una subálgebra). Esta graduación Z ₂ juega un papel importante en el análisis y la aplicación de las álgebras de Clifford. El automorfismo α se llama involución principal o involución de grado . Los elementos que son puros en esta graduación Z ₂ se dicen simplemente pares o impares.

Nota . El álgebra de Clifford no es un álgebra graduada Z , sino que está filtrada Z , donde Cl ^{≤ i} ( V , Q ) es el subespacio generado por todos los productos de como máximo i elementos de V .  $${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q).}$$

El grado de un número de Clifford generalmente se refiere al grado en la escala Z.

La subálgebra par Cl ^[0] ( V , Q ) de un álgebra de Clifford es isomorfa a un álgebra de Clifford. ^{[ f ] [ g ]} Si V es la suma directa ortogonal de un vector a de norma no nula Q ( a ) y un subespacio U , entonces Cl ^[0] ( V , Q ) es isomorfa a Cl( U , −Q ( a ) Q | U ₎ , donde Q | _U es la forma Q restringida a U. En particular sobre los reales, esto implica que: $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbf {R} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Cl} _{p,q-1}(\mathbf {R} )&q>0\\\operatorname {Cl} _{q,p-1}(\mathbf {R} )&p>0\end{cases}}}$$

En el caso definido negativo, esto da una inclusión Cl _{0, n − 1} ( R ) ⊂ Cl _{0, n} ( R ) , que extiende la secuencia

Asimismo, en el caso complejo, se puede demostrar que la subálgebra par de Cl _n ( C ) es isomorfa a Cl _{n −1} ( C ) .

Además del automorfismo α , existen dos antiautomorfismos que desempeñan un papel importante en el análisis de las álgebras de Clifford. Recordemos que el álgebra tensorial T ( V ) incluye un antiautomorfismo que invierte el orden en todos los productos de vectores: $${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}$$ Dado que el ideal I _Q es invariante bajo esta inversión, esta operación desciende a un antiautomorfismo de Cl( V , Q ) llamado transposición u operación de inversión , denotada por x ^t . La transposición es un antiautomorfismo: ( xy ) ^t = y ^t x ^t . La operación de transposición no utiliza la graduación Z ₂ , por lo que definimos un segundo antiautomorfismo componiendo α y la transposición. Llamamos a esta operación conjugación de Clifford denotada${\displaystyle {\bar {x}}}$$${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.}$$ De los dos antiautomorfismos, la transpuesta es la más fundamental. ^{[ h ]}

Nótese que todas estas operaciones son involuciones . Se puede demostrar que actúan como ±1 en elementos que son puros en la graduación Z. De hecho, las tres operaciones dependen únicamente del grado módulo 4. Es decir, si x es puro con grado k, entonces  $${\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x}$$ donde los signos vienen dados por la siguiente tabla:

Cuando la característica no es 2 , la forma cuadrática Q en V puede extenderse a una forma cuadrática en todo Cl( V , Q ) (que también hemos denotado por Q ). Una definición independiente de la base de una de dichas extensiones es $${\displaystyle Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t} }x\right\rangle _{0}}$$ donde ⟨ a ⟩ ₀ denota la parte escalar de a (la parte de grado 0 en la graduación Z ). Se puede demostrar que $${\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}$$ donde los v _i son elementos de V – esta identidad no es verdadera para elementos arbitrarios de Cl( V , Q ) .

La forma bilineal simétrica asociada en Cl( V , Q ) viene dada por $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle x^{\mathrm {t} }y\right\rangle _{0}.}$$ Se puede comprobar que esto se reduce a la forma bilineal original cuando se restringe a V. La forma bilineal en todo Cl( V , Q ) es no degenerada si y solo si es no degenerada en V .

El operador de multiplicación de Clifford izquierda (respectivamente derecha) por la transpuesta a ^t de un elemento a es el adjunto de la multiplicación de Clifford izquierda (respectivamente derecha) por a con respecto a este producto interno. Es decir, $${\displaystyle \langle ax,y\rangle =\left\langle x,a^{\mathrm {t} }y\right\rangle ,}$$ y $${\displaystyle \langle xa,y\rangle =\left\langle x,ya^{\mathrm {t} }\right\rangle .}$$

En característica arbitraria, la norma espinorial Q se define en el grupo de Lipschitz por $${\displaystyle Q(x)=x^{\mathrm {t} }x.}$$ Es un homomorfismo del grupo de Lipschitz al grupo K ^× de elementos no nulos de K. Coincide con la forma cuadrática Q de V cuando V se identifica con un subespacio del álgebra de Clifford. Varios autores definen la norma espinorial de forma ligeramente diferente, de modo que difiere de la aquí descrita por un factor de −1 , 2 o −2 en Γ ^1. La diferencia no es muy importante en característica distinta de 2. 

Los elementos no nulos de K tienen norma espinorial en el grupo ( K ^× ) ^² de cuadrados de elementos no nulos del cuerpo K. Así, cuando V es de dimensión finita y no singular, obtenemos una aplicación inducida del grupo ortogonal de V al grupo K ^× / ( K ^× ) ^² , también llamada norma espinorial. La norma espinorial de la reflexión respecto a ^r⊥ , para cualquier vector r , tiene imagen Q ( r ) en K ^× / ( K ^× ) ^² , y esta propiedad la define unívocamente en el grupo ortogonal. Esto da lugar a secuencias exactas: $${\displaystyle {\begin{aligned}1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)&\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},\\1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Spin} _{V}(K)&\to \operatorname {SO} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Nótese que en la característica 2 el grupo {±1} tiene solo un elemento.

Desde el punto de vista de la cohomología de Galois de grupos algebraicos , la norma espinorial es un homomorfismo de conexión en la cohomología. Escribiendo μ ₂ para el grupo algebraico de raíces cuadradas de 1 (sobre un cuerpo de característica distinta de 2 es aproximadamente lo mismo que un grupo de dos elementos con acción de Galois trivial), la sucesión exacta corta $${\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow \operatorname {Pin} _{V}\rightarrow \operatorname {O} _{V}\rightarrow 1}$$ produce una larga secuencia exacta en cohomología, que comienza $${\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}(\operatorname {Pin} _{V};K)\to H^{0}(\operatorname {O} _{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K).}$$

El grupo de cohomología de Galois de orden 0 de un grupo algebraico con coeficientes en K es simplemente el grupo de puntos con valores en K : H ⁰ ( G ; K ) = G ( K ) , y H ¹ (μ ₂ ; K ) ≅ K ^× ‍ / ‍ ( K ^× ) ² , lo que recupera la secuencia anterior. $${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},}$$ donde la norma espinorial es el homomorfismo de conexión H ⁰ (O _V ; K ) → H ¹ (μ ₂ ; K ) .

Para describir las representaciones de espín reales, es necesario saber cómo se ubica el grupo de espín dentro de su álgebra de Clifford. El grupo pin , Pin _{p , q,} es el conjunto de elementos invertibles en Cl _{p , q} que se puede escribir como un producto de vectores unitarios: $${\displaystyle \mathrm {Pin} _{p,q}=\left\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\pm 1\right\}.}$$ En comparación con las realizaciones concretas anteriores de las álgebras de Clifford, el grupo pin corresponde a los productos de un número arbitrario de reflexiones: es una cubierta del grupo ortogonal completo O( p , q ) . El grupo spin consta de aquellos elementos de Pin _{p , q} que son productos de un número par de vectores unitarios. Por lo tanto, según el teorema de Cartan-Dieudonné, Spin es una cubierta del grupo de rotaciones propias SO( p , q ) .

Sea α  : Cl → Cl el automorfismo dado por la aplicación v ↦ − v que actúa sobre vectores puros. Entonces, en particular, Spin _{p , q} es el subgrupo de Pin _{p , q} cuyos elementos están fijados por α . Sea $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatorname {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.}$$ (Estos son precisamente los elementos de grado par en Cl _{p , q} .) Entonces el grupo de espín se encuentra dentro de Cl ^[0] _{p , q} .

Las representaciones irreducibles de Cl _{p , q} se restringen para dar representaciones del grupo pin. Recíprocamente, dado que el grupo pin se genera mediante vectores unitarios, todas sus representaciones irreducibles se inducen de esta manera. Por lo tanto, las dos representaciones coinciden. Por las mismas razones, las representaciones irreducibles del espín coinciden con las representaciones irreducibles de Cl ^[0] _{p , q} .

Para clasificar las representaciones de pines, basta con recurrir a la clasificación de las álgebras de Clifford . Para hallar las representaciones de espín (que son representaciones de la subálgebra par), se puede utilizar primero cualquiera de los isomorfismos (véase más arriba). $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{p,q-1},{\text{ for }}q>0}$$$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{q,p-1},{\text{ for }}p>0}$$ y realizar una representación de espín en la firma ( p , q ) como una representación de pin en la firma ( p , q − 1) o ( q , p − 1) .

Una de las principales aplicaciones del álgebra exterior se encuentra en la geometría diferencial, donde se utiliza para definir el fibrado de formas diferenciales en una variedad diferenciable . En el caso de una variedad ( pseudo ) riemanniana , los espacios tangentes vienen equipados con una forma cuadrática natural inducida por la métrica . Así, se puede definir un fibrado de Clifford por analogía con el fibrado exterior . Esto tiene varias aplicaciones importantes en la geometría riemanniana . Quizás más importante aún sea la conexión con una variedad de espín , su fibrado de espinores asociado y las variedades de espín ^c .

Las álgebras de Clifford tienen numerosas aplicaciones importantes en física. Los físicos suelen considerar que un álgebra de Clifford es un álgebra cuya base está generada por las matrices γ ₀ , ..., γ ₃ , llamadas matrices de Dirac , que tienen la propiedad de que $${\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij},}$$ donde η es la matriz de una forma cuadrática de signatura (1, 3) (o (3, 1) correspondiente a las dos opciones equivalentes de signatura métrica). Estas son precisamente las relaciones que definen el álgebra de Clifford Cl_1,3 (R), cuyacomplejaciónesCl_1,3 (R) _C , que, según laclasificación de las álgebras de Clifford, es isomorfo al álgebra dematrices complejas4 × 4Cl₄(C) ≈ M₄(C). Sin embargo, es mejor conservar la notaciónCl_1,3 (R) _C , ya que cualquier transformación que tome la forma bilineal a la forma canónicanouna transformación de Lorentz del espaciotiempo subyacente.

El álgebra de Clifford del espacio-tiempo utilizada en física tiene, por lo tanto, más estructura que Cl ₄ ( C ) . Además, posee un conjunto de transformaciones preferidas: las transformaciones de Lorentz. La necesidad de complejización depende en parte de las convenciones utilizadas y en parte de la cantidad que se desee incorporar directamente, pero la complejización suele ser necesaria en mecánica cuántica, donde la representación de espín del álgebra de Lie so (1, 3) que se encuentra dentro del álgebra de Clifford requiere convencionalmente un álgebra de Clifford compleja. Como referencia, el álgebra de Lie de espín viene dada por $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\,\gamma ^{\nu }\right],\\\left[\sigma ^{\mu \nu },\,\sigma ^{\rho \tau }\right]&=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right).\end{aligned}}}$$

Esto está en la convención (3, 1) , por lo tanto encaja en Cl_3,1 (R) _C . ^{[ 14 ]}

Las matrices de Dirac fueron escritas por primera vez por Paul Dirac cuando intentaba formular una ecuación de onda relativista de primer orden para el electrón , y proporcionaron un isomorfismo explícito del álgebra de Clifford al álgebra de matrices complejas. El resultado se utilizó para definir la ecuación de Dirac e introducir el operador de Dirac . El álgebra de Clifford completa aparece en la teoría cuántica de campos en forma de bilineales de campo de Dirac .

El uso de álgebras de Clifford para describir la teoría cuántica ha sido promovido, entre otros, por Mario Schönberg , ^{[ i ]} por David Hestenes en términos de cálculo geométrico , por David Bohm y Basil Hiley y colaboradores en forma de una jerarquía de álgebras de Clifford , y por Elio Conte et al. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Las álgebras de Clifford se han aplicado al problema del reconocimiento y clasificación de acciones en visión por computadora . Rodríguez et al . ^{[ 17 ]} proponen una incrustación de Clifford para generalizar los filtros MACH tradicionales a video (volumen espaciotemporal 3D) y datos vectoriales como el flujo óptico . Los datos vectoriales se analizan mediante la transformada de Fourier de Clifford . Con base en estos vectores, se sintetizan filtros de acción en el dominio de Fourier de Clifford y el reconocimiento de acciones se realiza mediante la correlación de Clifford. Los autores demuestran la efectividad de la incrustación de Clifford al reconocer acciones típicas de películas clásicas y transmisiones deportivas por televisión.