Análisis de Clifford

El análisis de Clifford , que utiliza álgebras de Clifford que llevan el nombre de William Kingdon Clifford , es el estudio de los operadores de Dirac y los operadores de tipo Dirac en análisis y geometría, junto con sus aplicaciones. Ejemplos de operadores de tipo Dirac incluyen, pero no se limitan a, el operador de Hodge-Dirac,${\displaystyle d+{\star }d{\star }}$en una variedad riemanniana , el operador de Dirac en el espacio euclidiano y su inverso en${\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$y sus equivalentes conformes en la esfera, el laplaciano en el espacio euclidiano n y el operador de Atiyah -Singer-Dirac en una variedad de espín, operadores de tipo Rarita-Schwinger/Stein-Weiss, laplacianos conformes, laplacianos espinoriales y operadores de Dirac en variedades de espín ^C , sistemas de operadores de Dirac, el operador de Paneitz , operadores de Dirac en el espacio hiperbólico , el laplaciano hiperbólico y las ecuaciones de Weinstein.

En el espacio euclidiano, el operador de Dirac tiene la forma

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

donde e ₁ , ..., e _n es una base ortonormal para R ⁿ , y se considera que R ⁿ está incrustado en un álgebra de Clifford compleja , Cl _n ( C ) de modo que e _j ² = −1 .

Esto da

${\displaystyle D^{2}=-\Delta _{n}}$

donde Δ _n es el laplaciano en el espacio n -euclidiano.

La solución fundamental al operador de Dirac euclidiano es

${\displaystyle G(xy):={\frac {1}{\omega _{n}}}{\frac {xy}{\|xy\|^{n}}}}$

donde ω _n es el área superficial de la esfera unitaria S ^{n −1} .

Tenga en cuenta que

${\displaystyle D{\frac {1}{(n-2)\omega _{n}\|xy\|^{n-2}}}=G(xy)}$

dónde

${\displaystyle {\frac {1}{(n-2)\;\omega _{n}\;\|xy\|^{n-2}}}}$

es la solución fundamental de la ecuación de Laplace para n ≥ 3 .

El ejemplo más básico de un operador de Dirac es el operador de Cauchy-Riemann.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}}$

en el plano complejo. De hecho, muchas propiedades básicas del análisis complejo de una variable se mantienen para muchos operadores de tipo Dirac de primer orden. En el espacio euclidiano, esto incluye un teorema de Cauchy , una fórmula integral de Cauchy , el teorema de Morera , la serie de Taylor , la serie de Laurent y el teorema de Liouville . En este caso, el núcleo de Cauchy es G ( x − y ). La demostración de la fórmula integral de Cauchy es la misma que en una variable compleja y utiliza el hecho de que cada vector no nulo x en el espacio euclidiano tiene un inverso multiplicativo en el álgebra de Clifford, a saber:

${\displaystyle -{\frac {x}{\|x\|^{2}}}\in \mathbf {R} ^{n}.}$

Salvo un signo, esta inversa es la inversa de Kelvin de x . Las soluciones a la ecuación de Dirac euclidiana Df = 0 se denominan funciones monogénicas (izquierda). Las funciones monogénicas son casos especiales de espinores armónicos en una variedad de espín .

En 3 y 4 dimensiones, el análisis de Clifford a veces se denomina análisis cuaterniónico . Cuando n = 4 , el operador de Dirac se conoce a veces como operador de Cauchy-Riemann-Fueter. Además, algunos aspectos del análisis de Clifford se denominan análisis hipercomplejo.

El análisis de Clifford tiene análogos de las transformadas de Cauchy , los núcleos de Bergman , los núcleos de Szegő , los operadores de Plemelj , los espacios de Hardy , la fórmula de Kerzman-Stein y la transformada Π o de Beurling-Ahlfors . Todos ellos se han aplicado en la resolución de problemas de contorno , incluyendo problemas de contorno móviles, integrales singulares y análisis armónico clásico . En particular, el análisis de Clifford se ha utilizado para resolver, en ciertos espacios de Sobolev , el problema completo de las olas de agua en 3D. Este método funciona en todas las dimensiones mayores que 2.

Gran parte del análisis de Clifford funciona si reemplazamos el álgebra de Clifford compleja por un álgebra de Clifford real , Cl _n . Sin embargo, este no es el caso cuando necesitamos lidiar con la interacción entre el operador de Dirac y la transformada de Fourier .

Cuando consideramos el semiplano superior R ^{n ,+} con frontera R ^{n −1} , el espacio generado por e ₁ , ..., e _{n −1} , bajo la transformada de Fourier, el símbolo del operador de Dirac

${\displaystyle D_{n-1}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

es iζ donde

${\displaystyle \zeta =\zeta _ {1}e_ {1}+\cdots +\zeta _ {n-1}e_ {n-1}.}$

En este contexto, las fórmulas de Plemelj son

${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}+G(xy)|_{\mathbf {R} ^{n-1}}}$

y los símbolos para estos operadores son, salvo un signo,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right).}$

Estos son operadores de proyección, también conocidos como idempotentes mutuamente anulables, en el espacio de funciones de cuadrado integrable con valores Cl _n ( C ) en R ^{n −1} .

Tenga en cuenta que

${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}=\sum _ {j=1}^{n-1}e_ {j}R_ {j}}$

donde R _j es el j -ésimo potencial de Riesz,

${\displaystyle {\frac {x_{j}}{\|x\|^{n}}}.}$

Como símbolo de${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}}$es

${\displaystyle {\frac {i\zeta }{\|\zeta \|}}}$

Se determina fácilmente a partir de la multiplicación de Clifford que

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}R_{j}^{2}=1.}$

Entonces, el operador de convolución${\displaystyle G|_{\mathbf {R} ^{n}}}$es una generalización natural al espacio euclidiano de la transformada de Hilbert .

Supongamos que U ′ es un dominio en R ^{n −1} y g ( x ) es una función analítica real con valores en Cl _n ( C ) . Entonces g tiene una extensión de Cauchy-Kovalevskaia a la ecuación de Dirac en algún entorno de U ′ en R ⁿ . La extensión viene dada explícitamente por

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\left(x_{n}e_{n}^{-1}D_{n-1}\right)^{j}g(x).}$

Cuando esta extensión se aplica a la variable x en

${\displaystyle e^{-i\langle x,\zeta \rangle }\left({\tfrac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right)\right)}$

lo entendemos

${\displaystyle e^{-i\langle x,\zeta \rangle }}$

es la restricción a R ^{n −1} de E ₊  + E ₋ donde E ₊ es una función monogénica en el semiespacio superior y E ₋ es una función monogénica en el semiespacio inferior. 

También existe un teorema de Paley-Wiener en el espacio n -euclidiano que surge en el análisis de Clifford.

Muchos operadores de tipo Dirac presentan covarianza bajo transformaciones conformes en la métrica. Esto se cumple para el operador de Dirac en el espacio euclidiano y para el operador de Dirac en la esfera bajo transformaciones de Möbius. En consecuencia, esto también se cumple para los operadores de Dirac en variedades conformemente planas y variedades conformes que son simultáneamente variedades de espín .

Dado un conjunto de espines M con un fibrado espinorial S y una sección suave s ( x ) en S , entonces, en términos de una base ortonormal local e ₁ ( x ), ..., e _n ( x ) del fibrado tangente de M , el operador de Atiyah-Singer-Dirac que actúa sobre s se define como:

${\displaystyle Ds(x)=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}s(x),}$

dónde${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}}$es la conexión de espín , el levantamiento a S de la conexión de Levi-Civita en M. Cuando M es un espacio n -euclidiano, volvemos al operador de Dirac euclidiano .

A partir de un operador de Atiyah-Singer-Dirac D, obtenemos la fórmula de Lichnerowicz.

${\displaystyle D^{2}=\Gamma ^{*}\Gamma +{\tfrac {\tau }{4}},}$

donde τ es la curvatura escalar en la variedad , y Γ ^∗ es el adjunto de Γ. El operador D ² se conoce como el laplaciano espinorial.

Si M es compacta y τ ≥ 0 y τ > 0 en algún punto, entonces no existen espinores armónicos no triviales en la variedad. Este es el teorema de Lichnerowicz. Es fácil ver que el teorema de Lichnerowicz es una generalización del teorema de Liouville del análisis complejo de una variable. Esto nos permite observar que, sobre el espacio de secciones espinoriales suaves en dicha variedad, el operador D es invertible.

En los casos en que el operador de Atiyah-Singer-Dirac es invertible en el espacio de secciones espinoriales suaves con soporte compacto se puede introducir

${\displaystyle C(x,y):=D^{-1}*\delta _{y},\qquad x\neq y\in M,}$

donde δ _y es la función delta de Dirac evaluada en y . Esto da lugar a un núcleo de Cauchy , que es la solución fundamental de este operador de Dirac. A partir de este, se puede obtener una fórmula integral de Cauchy para espinores armónicos . Con este núcleo, gran parte de lo descrito en la primera sección de esta entrada se mantiene para los operadores invertibles de Atiyah-Singer-Dirac.

Utilizando el teorema de Stokes , o de otra manera, se puede determinar además que bajo un cambio de métrica conforme, los operadores de Dirac asociados a cada métrica son proporcionales entre sí y, en consecuencia, también lo son sus inversos, si existen.

Todo esto ofrece posibles vínculos con la teoría del índice de Atiyah-Singer y otros aspectos del análisis geométrico que involucran operadores de tipo Dirac.

En el análisis de Clifford también se consideran operadores diferenciales en el semiplano superior, el disco o la hipérbola con respecto a la métrica hiperbólica o de Poincaré .

Para el semiplano superior, se divide el álgebra de Clifford , Cl _n, en Cl _{n −1} + Cl _{n −1} e _n . Así, para a en Cl _n, se puede expresar a como b + ce _n con a , b en Cl _{n −1} . Entonces se tienen los operadores de proyección P y Q definidos de la siguiente manera: P ( a ) = b y Q ( a ) = c . El operador de Hodge-Dirac que actúa sobre una función f con respecto a la métrica hiperbólica en el semiplano superior se define ahora como:

${\displaystyle Mf=Df+{\frac {n-2}{x_{n}}}Q(f)}$.

En este caso

${\displaystyle M^{2}f=-\triangle _{n}P(f)+{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial P(f)}{\partial x_{n}}}-\left(\triangle _{n}Q(f)-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial Q(f)}{\partial x_{n}}}+{\frac {n-2}{x_{n}^{2}}}Q(f)\right)e_{n}}$.

El operador

${\displaystyle \triangle _{n}-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$

es el laplaciano con respecto a la métrica de Poincaré, mientras que el otro operador es un ejemplo de un operador de Weinstein.

El laplaciano hiperbólico es invariante bajo las acciones del grupo conforme, mientras que el operador de Dirac hiperbólico es covariante bajo dichas acciones.

Los operadores de Rarita-Schwinger , también conocidos como operadores de Stein-Weiss, surgen en la teoría de representación para los grupos Spin y Pin . El operador R _k es un operador diferencial de primer orden conformemente covariante . Aquí k = 0, 1, 2, .... Cuando k = 0, el operador de Rarita-Schwinger es simplemente el operador de Dirac. En la teoría de representación para el grupo ortogonal , O( n ), es común considerar funciones que toman valores en espacios de polinomios armónicos homogéneos . Cuando se refina esta teoría de representación al recubrimiento doble Pin( n ) de O( n ), se reemplazan los espacios de polinomios armónicos homogéneos por espacios de k soluciones polinómicas homogéneas de la ecuación de Dirac, también conocidas como k polinomios monogénicos. Se considera una función f ( x , u ) donde x en U , un dominio en R ⁿ , y u varía sobre R ⁿ . Además, f ( x , u ) es un polinomio k -monogénico en u . Ahora aplicamos el operador de Dirac D _x en x a f ( x , u ). Ahora, como el álgebra de Clifford no es conmutativa D _x f ( x , u ), entonces esta función ya no es k monogénica sino un polinomio armónico homogéneo en u . Ahora, para cada polinomio armónico h _k homogéneo de grado k hay una descomposición de Almansi-Fischer

${\displaystyle h_{k}(x)=p_{k}(x)+xp_{k-1}(x)}$

donde p _k y p _{k −1} son respectivamente k y k −1 polinomios monogénicos . Sea P la proyección de h _k sobre p _k, entonces el operador de Rarita-Schwinger se define como PD _k , y se denota por R _k . Usando el lema de Euler se puede determinar que

${\displaystyle D_{u}up_{k-1}(u)=(-n-2k+2)p_{k-1}.}$

Entonces

${\displaystyle R_{k}=\left(I+{\frac {1}{n+2k-2}}uD_{u}\right)D_{x}.}$

Existe una comunidad dinámica e interdisciplinaria en torno a las álgebras de Clifford y geométricas, con una amplia gama de aplicaciones. Las principales conferencias sobre este tema incluyen la Conferencia Internacional sobre Álgebras de Clifford y sus Aplicaciones en Física Matemática (ICCA) y la serie de conferencias sobre Aplicaciones del Álgebra Geométrica en Informática e Ingeniería (AGACSE) . Una de las principales publicaciones es la revista Advances in Applied Clifford Algebras de Springer .

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• Grupo de espín
• Estructura de espín
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