polinomio cuadrático complejo

Desde${\displaystyle f_{c}(x)}$es conjugado afín a la forma general del polinomio cuadrático y se usa a menudo para estudiar dinámicas complejas y para crear imágenes de conjuntos de Mandelbrot , Julia y Fatou .

Cuando uno quiere un cambio de${\displaystyle \theta }$ a${\displaystyle c}$: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle c=c(\theta )={\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\left(1-{\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\right).}$

Cuando uno quiere un cambio de${\displaystyle r}$a${\displaystyle c}$, la transformación de parámetros es ^{[ 5 ]}

${\displaystyle c=c(r)={\frac {1-(r-1)^{2}}{4}}=-{\frac {r}{2}}\left({\frac {r-2}{2}}\right)}$

y la transformación entre las variables en${\displaystyle z_{t+1}=z_{t}^{2}+c}$y${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t})}$es

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right).}$

Existe una semiconjugación entre la transformación diádica (el mapa de duplicación) y el caso polinómico cuadrático de c = –2.

Here ${\displaystyle f^{n}}$ denotes the n-th iterate of the function ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle f_{c}^{n}(z)=f_{c}^{1}(f_{c}^{n-1}(z))}$

so

${\displaystyle z_{n}=f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Because of the possible confusion with exponentiation, some authors write ${\displaystyle f^{\circ n}}$ for the nth iterate of ${\displaystyle f}$.

The monic and centered form ${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$ can be marked by:

• The parameter ${\displaystyle c}$
• The external angle ${\displaystyle \theta }$ of the ray that lands:
  • At c in Mandelbrot set on the parameter plane
  • On the critical value:z = c in Julia set on the dynamic plane

so :

${\displaystyle f_{c}=f_{\theta }}$

${\displaystyle c=c({\theta })}$

Examples:

• c is the landing point of the 1/6 external ray of the Mandelbrot set, and is ${\displaystyle z\to z^{2}+i}$ (where i^2=-1)
• c is the landing point the 5/14 external ray and is ${\displaystyle z\to z^{2}+c}$ with ${\displaystyle c=-1.23922555538957+0.412602181602004*i}$

• 
  1/4
• 
  1/6
• 
  9/56
• 
  129/16256

The monic and centered form, sometimes called the Douady-Hubbard family of quadratic polynomials,^[6] is typically used with variable ${\displaystyle z}$ and parameter${\displaystyle c}$:

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.}$

When it is used as an evolution function of the discrete nonlinear dynamical system,

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})}$

it is named the quadraticmap:^[7]

${\displaystyle f_{c}:z\to z^{2}+c.}$

The Mandelbrot set is the set of values of the parameter c for which the initial condition z₀ = 0 does not cause the iterates to diverge to infinity.

A critical value${\displaystyle z_{cv}}$ of ${\displaystyle f_{c}}$ is the image of a critical point:

${\displaystyle z_{cv}=f_{c}(z_{cr})}$

Since

${\displaystyle z_{cr}=0}$

we have

${\displaystyle z_{cv}=c}$

So the parameter ${\displaystyle c}$ is the critical value of ${\displaystyle f_{c}(z)}$.

A critical level curve the level curve which contain critical point. It acts as a sort of skeleton^[10] of dynamical plane

Example: level curves cross at saddle point, which is a special type of critical point.

• 
  attracting
• 
  atractivo
• 
  atractivo
• 
  parabólico
• Vídeo para c a lo largo del rayo interno 0

El conjunto límite crítico es el conjunto de órbitas directas de todos los puntos críticos.

La órbita directa de un punto crítico se denomina órbita crítica . Las órbitas críticas son muy importantes porque toda órbita periódica atractora atrae un punto crítico, por lo que estudiar las órbitas críticas nos ayuda a comprender la dinámica en el conjunto de Fatou . ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{1}=f_{c}(z_{0})=c}$

${\displaystyle z_{2}=f_{c}(z_{1})=c^{2}+c}$

${\displaystyle z_{3}=f_{c}(z_{2})=(c^{2}+c)^{2}+c}$

${\displaystyle \ \vdots }$

Esta órbita cae dentro de un ciclo periódico de atracción, si es que existe alguno.

El sector crítico es un sector del plano dinámico que contiene el punto crítico.

Un conjunto crítico es un conjunto de puntos críticos.

${\displaystyle P_{n}(c)=f_{c}^{n}(z_{cr})=f_{c}^{n}(0)}$

entonces

${\displaystyle P_{0}(c)=0}$

${\displaystyle P_{1}(c)=c}$

${\displaystyle P_{2}(c)=c^{2}+c}$

${\displaystyle P_{3}(c)=(c^{2}+c)^{2}+c}$

Estos polinomios se utilizan para:

• Encontrar los centros de estos componentes del conjunto de Mandelbrot de período n . Los centros son raíces de polinomios críticos de grado n .

${\displaystyle {\text{centers}}=\{c:P_{n}(c)=0\}}$

• encontrar raíces de componentes del conjunto de Mandelbrot de período n ( mínimo local de${\displaystyle P_{n}(c)}$)
• Puntos de Misiurewicz

${\displaystyle M_{n,k}=\{c:P_{k}(c)=P_{k+n}(c)\}}$

Los diagramas de polinomios críticos se denominan curvas críticas . ^{[ 14 ]}

Estas curvas crean el esqueleto (las líneas oscuras) de un diagrama de bifurcación . ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Se puede utilizar el espacio de Julia-Mandelbrot de 4 dimensiones (4D) para un análisis global de este sistema dinámico. ^{[ 17 ]}

En este espacio existen dos tipos básicos de planos 2D:

• el plano dinámico (dinámico),${\displaystyle f_{c}}$-plano o plano c
• el plano de parámetros o plano z

También existe otro plano utilizado para analizar dichos sistemas dinámicos, el plano w :

• el plano de conjugación ^{[ 18 ]}
• avión modelo ^{[ 19 ]}

Plano de parámetros 2D

• Tipos de planos de parámetros
• 
  plano de parámetros r (mapa logístico)
• 
  plano de parámetros c

El espacio de fases de una aplicación cuadrática se denomina su plano de parámetros . Aquí:

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}}$es constante y${\displaystyle c}$es variable.

En el plano de parámetros no existen ni dinámicas ni órbitas. Sin embargo, sí existe un conjunto de valores para dichos parámetros.

El plano de parámetros consta de:

• El conjunto de Mandelbrot
  • El lugar geométrico de bifurcación = límite del conjunto de Mandelbrot con puntos raíz
  • Componentes hiperbólicas acotadas del conjunto de Mandelbrot = interior del conjunto de Mandelbrot ^{[ 20 ]} con rayos internos
• Exterior del conjunto de Mandelbrot con
  • rayos externos
  • Líneas equipotenciales

Además del conjunto mencionado anteriormente, existen muchos subtipos diferentes del plano de parámetros. ^{[ 21 ] [ 22 ]}

Véase también  :

• Mapa de Boettcher que mapea el exterior del conjunto de Mandelbrot al exterior del disco de la unidad
• Mapa multiplicador que mapea el interior del componente hiperbólico del conjunto de Mandelbrot al interior del disco unitario.

El plano complejo extendido más un punto en el infinito

• la esfera de Riemann

En el plano de parámetros:

• ${\displaystyle c}$es una variable
• ${\displaystyle z_{0}=0}$es constante

La primera derivada de${\displaystyle f_{c}^{n}(z_{0})}$con respecto a c es

${\displaystyle z_{n}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Esta derivada se puede encontrar mediante iteración comenzando con

${\displaystyle z_{0}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{0}(z_{0})=1}$

y luego reemplazando en cada paso consecutivo

${\displaystyle z_{n+1}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n+1}(z_{0})=2\cdot {}f_{c}^{n}(z)\cdot {\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0})+1=2\cdot z_{n}\cdot z_{n}'+1.}$

Esto se puede verificar fácilmente utilizando la regla de la cadena para la derivada.

Esta derivada se utiliza en el método de estimación de distancias para dibujar un conjunto de Mandelbrot .

En el plano dinámico:

• ${\displaystyle z}$es una variable;
• ${\displaystyle c}$es una constante.

En un punto fijo${\displaystyle z_{0}}$,

${\displaystyle f_{c}'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}(z_{0})=2z_{0}.}$

En un punto periódico z ₀ de período p, la primera derivada de una función

${\displaystyle (f_{c}^{p})'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}^{p}(z_{0})=\prod _{i=0}^{p-1}f_{c}'(z_{i})=2^{p}\prod _{i=0}^{p-1}z_{i}=\lambda }$

a menudo se representa por${\displaystyle \lambda }$y se le conoce como el multiplicador o el número característico de Lyapunov. Su logaritmo se denomina exponente de Lyapunov. El valor absoluto del multiplicador se utiliza para comprobar la estabilidad de los puntos periódicos (también fijos) .

En un punto no periódico , la derivada, denotada por${\displaystyle z'_{n}}$, se puede encontrar mediante iteración comenzando con

${\displaystyle z'_{0}=1,}$

y luego usando

${\displaystyle z'_{n}=2*z_{n-1}*z'_{n-1}.}$

Esta derivada se utiliza para calcular la distancia externa al conjunto de Julia.

La derivada schwarziana (SD para abreviar) de f es: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle (Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$