Proceso puntual

Para definir procesos puntuales generales, comenzamos con un espacio de probabilidad.${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}$y un espacio mensurable${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$dónde${\displaystyle S}$es un segundo espacio de Hausdorff localmente compacto y numerable.${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es su σ -álgebra de Borel . Consideremos ahora un núcleo localmente finito con valores enteros.${\displaystyle \xi }$ de${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}})}$en${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$, es decir, un mapeo ${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}}$de tal manera que:

1. Por cada${\displaystyle \omega \in \Omega }$,${\displaystyle \xi (\omega ,\cdot )}$es una medida localmente finita (de valor entero) en${\displaystyle S}$.
2. Por cada${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$,${\displaystyle \xi (\cdot ,B):\Omega \to \mathbb {Z} _{+}}$es una variable aleatoria sobre${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$.

Este núcleo define una medida aleatoria de la siguiente manera. Nos gustaría pensar en${\displaystyle \xi }$ como definición de un mapeo que mapea${\displaystyle \omega \in \Omega }$en una medida${\displaystyle \xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ (a saber,${\displaystyle \Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$), dónde${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$es el conjunto de todas las medidas localmente finitas en${\displaystyle S}$Ahora, para que este mapeo sea medible, necesitamos definir un${\displaystyle \sigma }$-campo terminado${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$. Este${\displaystyle \sigma }$-el campo se construye como el álgebra mínima de modo que todos los mapas de evaluación de la forma ${\displaystyle \pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)}$, dónde${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$es relativamente compacto , son medibles. Equipado con este${\displaystyle \sigma }$-campo, entonces${\displaystyle \xi }$es un elemento aleatorio, donde para cada ${\displaystyle \omega \in \Omega }$,${\displaystyle \xi _{\omega }}$es una medida localmente finita sobre${\displaystyle S}$.

Ahora, mediante un proceso puntual en${\displaystyle S}$Nos referimos simplemente a una medida aleatoria de valor entero (o, equivalentemente, a un núcleo de valor entero).${\displaystyle \xi }$construido como se indicó anteriormente. El ejemplo más común para el espacio de estados S es el espacio euclidiano R ⁿ o un subconjunto del mismo, donde un caso especial particularmente interesante lo da la semirrecta real [0,∞). Sin embargo, los procesos puntuales no se limitan a estos ejemplos y pueden utilizarse, entre otras cosas, también si los puntos son subconjuntos compactos de R ⁿ , en cuyo caso ξ se suele denominar proceso de partículas .

A pesar del nombre proceso de punto, dado que S podría no ser un subconjunto de la línea real, podría sugerir que ξ es un proceso estocástico .

Cada instancia (o evento) de un proceso puntual ξ puede representarse como

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

dónde${\displaystyle \delta }$denota la medida de Dirac , n es una variable aleatoria de valor entero y${\displaystyle X_{i}}$son elementos aleatorios de S. Si${\displaystyle X_{i}}$Los son casi con seguridad distintos (o equivalentemente, casi con seguridad distintos)${\displaystyle \xi (x)\leq 1}$a pesar de${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$), entonces el proceso puntual se conoce como simple .

Otra representación diferente pero útil de un evento (un evento en el espacio de eventos, es decir, una serie de puntos) es la notación de conteo, donde cada instancia se representa como un${\displaystyle N(t)}$función, una función continua que toma un intervalo:

${\displaystyle N{\begin{cases}{\mathbb {R} ^{2}}\to {\mathbb {N} }\\(t_{1},t_{2})\mapsto \int _{t_{1}}^{t_{2}}\xi (t)\,dt\end{cases}}}$

que es el número de eventos en el intervalo de observación${\displaystyle (t_{1},t_{2}]}$A veces se denota por${\displaystyle N_{t_{1},t_{2}}}$, y${\displaystyle N_{T}}$o${\displaystyle N(T)}$significar${\displaystyle N_{0,T}}$.

La medida de esperanza Eξ (también conocida como medida media ) de un proceso puntual ξ es una medida en S que asigna a cada subconjunto de Borel B de S el número esperado de puntos de ξ en B. Es decir,

${\displaystyle E\xi (B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{para todo }}B\in {\mathcal {B}}.}$

La función de Laplace${\displaystyle \Psi _{N}(f)}$de un proceso puntual N es una aplicación del conjunto de todas las funciones de valor positivo f en el espacio de estados de N , a${\displaystyle [0,\infty )}$definido de la siguiente manera:

${\displaystyle \Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]}$

Desempeñan un papel similar al de las funciones características de una variable aleatoria . Un teorema importante establece que: dos procesos puntuales tienen la misma ley si sus funcionales de Laplace son iguales.

El${\displaystyle n}$potencia de un proceso puntual,${\displaystyle \xi ^{n},}$se define en el espacio de productos${\displaystyle S^{n}}$de la siguiente manera  :

${\displaystyle \xi ^{n}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\prod _{i=1}^{n}\xi (A_{i})}$

Por el teorema de la clase monótona , esto define de forma única la medida del producto en ${\displaystyle (S^{n},B(S^{n})).}$La expectativa${\displaystyle E\xi ^{n}(\cdot )}$se llama el${\displaystyle n}$medida del momento n.º . La medida del primer momento es la medida de la media.

Dejar${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$. Las intensidades conjuntas de un proceso puntual${\displaystyle \xi }$Con respecto a la medida de Lebesgue, son funciones${\displaystyle \rho ^{(k)}:(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to [0,\infty )}$de tal manera que para cualesquiera subconjuntos de Borel acotados disjuntos${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$

${\displaystyle E\left(\prod _{i}\xi (B_{i})\right)=\int _{B_{1}\times \cdots \times B_{k}}\rho ^{(k)}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,dx_{1}\cdots dx_{k}.}$

Las intensidades conjuntas no siempre existen para procesos puntuales. Dado que los momentos de una variable aleatoria determinan dicha variable en muchos casos, cabe esperar un resultado similar para las intensidades conjuntas. De hecho, esto se ha demostrado en numerosos casos. ^{[ 2 ]}

Un proceso puntual${\displaystyle \xi \subset \mathbb {R} ^{d}}$Se dice que está estacionario si${\displaystyle \xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}}$tiene la misma distribución que${\displaystyle \xi }$a pesar de${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}.}$Para un proceso de punto estacionario, la medida media${\displaystyle E\xi (\cdot )=\lambda \|\cdot \|}$por alguna constante${\displaystyle \lambda \geq 0}$y dónde${\displaystyle \|\cdot \|}$significa la medida de Lebesgue.${\displaystyle \lambda }$se denomina intensidad del proceso puntual. Un proceso puntual estacionario en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$tiene casi con seguridad 0 o un número infinito de puntos en total. Para más información sobre procesos puntuales estacionarios y medidas aleatorias, consulte el Capítulo 12 de Daley y Vere-Jones. ^{[ 2 ]} La estacionariedad se ha definido y estudiado para procesos puntuales en espacios más generales que${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

Una transformación de procesos puntuales es una función que asigna un proceso puntual a otro proceso puntual.

El ejemplo más simple y común de un proceso puntual es el proceso puntual de Poisson , que es una generalización espacial del proceso de Poisson . Un proceso de Poisson (de conteo) en la recta se puede caracterizar por dos propiedades  : el número de puntos (o eventos) en intervalos disjuntos son independientes y tienen una distribución de Poisson . Un proceso puntual de Poisson también se puede definir utilizando estas dos propiedades. Es decir, decimos que un proceso puntual${\displaystyle \xi }$es un proceso de puntos de Poisson si se cumplen las dos condiciones siguientes.

1)${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$son independientes para subconjuntos disjuntos ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}.}$

2) Para cualquier subconjunto acotado${\displaystyle B}$,${\displaystyle \xi (B)}$tiene una distribución de Poisson con parámetro${\displaystyle \lambda \|B\|,}$dónde ${\displaystyle \|\cdot \|}$denota la medida de Lebesgue .

Las dos condiciones se pueden combinar y escribir de la siguiente manera  : Para cualquier subconjunto acotado disjunto${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$y números enteros no negativos${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$tenemos eso

${\displaystyle \Pr[\xi (B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod _{i}e^{-\lambda \|B_{i}\|}{\frac {(\lambda \|B_{i}\|)^{k_{i}}}{k_{i}!}}.}$

La constante${\displaystyle \lambda }$se denomina intensidad del proceso puntual de Poisson. Nótese que el proceso puntual de Poisson se caracteriza por un único parámetro.${\displaystyle \lambda .}$Es un proceso de puntos simple y estacionario. Para ser más específicos, se denomina al proceso de puntos anterior proceso de puntos de Poisson homogéneo. Un proceso de Poisson no homogéneo se define como se indicó anteriormente, pero reemplazando${\displaystyle \lambda \|B\|}$con${\displaystyle \int _{B}\lambda (x)\,dx}$dónde${\displaystyle \lambda }$es una función no negativa en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Un proceso de Cox (llamado así en honor a Sir David Cox ) es una generalización del proceso de puntos de Poisson, en el que utilizamos medidas aleatorias en lugar de${\displaystyle \lambda \|B\|}$. Más formalmente, dejemos${\displaystyle \Lambda }$ser una medida aleatoria . Un proceso de puntos de Cox impulsado por la medida aleatoria.${\displaystyle \Lambda }$es el proceso de puntos${\displaystyle \xi }$con las dos propiedades siguientes  :

1. Dado${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$,${\displaystyle \xi (B)}$es una distribución de Poisson con parámetro${\displaystyle \Lambda (B)}$para cualquier subconjunto acotado${\displaystyle B.}$
2. Para cualquier colección finita de subconjuntos disjuntos${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$y condicionado a${\displaystyle \Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),}$tenemos eso${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$son independientes.

Es fácil ver que los procesos puntuales de Poisson (homogéneos e inhomogéneos) son casos especiales de los procesos puntuales de Cox. La medida media de un proceso puntual de Cox es${\displaystyle E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )}$y por lo tanto, en el caso especial de un proceso puntual de Poisson, es${\displaystyle \lambda \|\cdot \|.}$

Para un proceso de puntos de Cox,${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$se denomina medida de intensidad . Además, si${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$tiene una densidad (aleatoria) ( derivada de Radon-Nikodym )${\displaystyle \lambda (\cdot )}$es decir,

${\displaystyle \Lambda (B)\,{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\,\int _{B}\lambda (x)\,dx,}$

entonces${\displaystyle \lambda (\cdot )}$Se denomina campo de intensidad del proceso puntual de Cox. La estacionariedad de las medidas de intensidad o campos de intensidad implica la estacionariedad de los procesos puntuales de Cox correspondientes.

Se han estudiado en detalle muchas clases específicas de procesos puntuales de Cox, tales como:

• Procesos puntuales de Cox log-gaussianos: ^{[ 19 ]}${\displaystyle \lambda (y)=\exp(X(y))}$para un campo aleatorio gaussiano${\displaystyle X(\cdot )}$
• Ruido de disparo Procesos puntuales de Cox:, ^{[ 20 ]}${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$para un proceso de puntos de Poisson${\displaystyle \Phi (\cdot )}$y núcleo${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Procesos puntuales de Cox con ruido de disparo generalizado: ^{[ 21 ]}${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$para un proceso puntual${\displaystyle \Phi (\cdot )}$y núcleo${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Procesos puntuales de Cox basados ​​en Lévy: ^{[ 22 ]}${\displaystyle \lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)}$por una base de Lévy${\displaystyle L(\cdot )}$y núcleo${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$, y
• Procesos puntuales de Cox permanentes: ^{[ 23 ]}${\displaystyle \lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)}$para k campos aleatorios gaussianos independientes${\displaystyle X_{i}(\cdot )}$'s
• Procesos puntuales de Cox gaussianos sigmoideos: ^{[ 24 ]}${\displaystyle \lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))}$para un campo aleatorio gaussiano${\displaystyle X(\cdot )}$y aleatorio${\displaystyle \lambda ^{\star }>0}$

Mediante la desigualdad de Jensen, se puede verificar que los procesos puntuales de Cox satisfacen la siguiente desigualdad: para todos los subconjuntos de Borel acotados${\displaystyle B}$,

${\displaystyle \operatorname {Var} (\xi (B))\geq \operatorname {Var} (\xi _{\alpha }(B)),}$

dónde${\displaystyle \xi _{\alpha }}$representa un proceso de puntos de Poisson con medida de intensidad${\displaystyle \alpha (\cdot ):=E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot ).}$Por lo tanto, los puntos se distribuyen con mayor variabilidad en un proceso de puntos de Cox en comparación con un proceso de puntos de Poisson. Esto a veces se denomina agrupamiento o propiedad atractiva del proceso de puntos de Cox.

Una clase importante de procesos puntuales, con aplicaciones a la física , la teoría de matrices aleatorias y la combinatoria , es la de los procesos puntuales determinantes . ^{[ 25 ]}

Un proceso de Hawkes${\displaystyle N_{t}}$, también conocido como proceso de conteo autoexcitado, es un proceso de punto simple cuya intensidad condicional puede expresarse como

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)\,dN_{s}\\[5pt]&=\mu (t)+\sum _{T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{aligned}}}$

dónde ${\displaystyle \nu$ :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}} es una función kernel que expresa la influencia positiva de eventos pasados.${\displaystyle T_{i}}$sobre el valor actual del proceso de intensidad${\displaystyle \lambda (t)}$,${\displaystyle \mu (t)}$es una función posiblemente no estacionaria que representa la parte esperada, predecible o determinista de la intensidad, y${\displaystyle \{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R} }$es el momento en que ocurre el i -ésimo evento del proceso. ^{[ 26 ]}

Dada una secuencia de variables aleatorias no negativas${\textstyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$, si son independientes y la cdf de${\displaystyle X_{k}}$es dado por${\displaystyle F(a^{k-1}x)}$para${\displaystyle k=1,2,\dots }$, dónde${\displaystyle a}$es una constante positiva, entonces${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\ldots \}}$se denomina proceso geométrico (PG). ^{[ 27 ]}

El proceso geométrico tiene varias extensiones, incluyendo el proceso de la serie α ^{[ 28 ]} y el proceso doblemente geométrico . ^{[ 29 ]}

La intensidad λ ( t  | H _t ) de un proceso puntual en la semirrecta real con respecto a una filtración H _t se define como 

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),}$

H _t puede denotar el historial de tiempos de puntos de eventos anteriores al tiempo t, pero también puede corresponder a otras filtraciones (por ejemplo, en el caso de un proceso de Cox).

En el${\displaystyle N(t)}$-notación, esto se puede escribir de forma más compacta:

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t}).}$

El compensador de un proceso puntual, también conocido como proyección dualmente predecible , es la función de intensidad condicional integrada definida por

${\displaystyle \Lambda (s,u)=\int _{s}^{u}\lambda (t\mid H_{t})\,\mathrm {d} t}$

La función de intensidad de Papangelou de un proceso puntual${\displaystyle N}$en el${\displaystyle n}$espacio euclidiano de -dimensiones${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ se define como

${\displaystyle \lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},}$

dónde${\displaystyle B_{\delta }(x)}$¿Está la pelota centrada en?${\displaystyle x}$de un radio${\displaystyle \delta }$, y${\displaystyle \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]}$ denota la información del proceso puntual${\displaystyle N}$ afuera${\displaystyle B_{\delta }(x)}$.

La verosimilitud logarítmica de un proceso puntual simple parametrizado, condicionado a algunos datos observados, se escribe como

${\displaystyle \ln {\mathcal {L}}(N(t)_{t\in [0,T]})=\int _{0}^{T}(1-\lambda (s))\,ds+\int _{0}^{T}\ln \lambda (s)\,dN_{s}}$^{[ 31 ]}