campo vectorial de Killing conforme

En geometría conforme , un campo vectorial de Killing conforme en una variedad de dimensión n con métrica (pseudo)riemanniana${\displaystyle g}$(también llamado vector de Killing conforme, CKV o colineación conforme), es un campo vectorial${\displaystyle X}$cuyo flujo (definido localmente) define transformaciones conformes , es decir, preserva${\displaystyle g}$hasta escalar y preservar la estructura conforme. Existen varias formulaciones equivalentes, llamadas ecuación de Killing conforme , en términos de la derivada de Lie del flujo, por ejemplo${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}$ para alguna función${\displaystyle \lambda }$en el colector. Para${\displaystyle n\neq 2}$Hay un número finito de soluciones que especifican la simetría conforme de ese espacio, pero en dos dimensiones hay una infinidad de soluciones . El nombre Killing hace referencia a Wilhelm Killing , quien fue el primero en investigar los campos vectoriales de Killing .

Un campo vectorial${\displaystyle X}$es un campo vectorial de Killing si y solo si su flujo preserva el tensor métrico.${\displaystyle g}$(estrictamente hablando, para cada subconjunto compacto de la variedad, el flujo solo necesita estar definido para un tiempo finito). Formulado matemáticamente,${\displaystyle X}$Es matar si y solo si satisface

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0.}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$es la derivada de Lie.

De forma más general, definamos un campo vectorial de w -Killing.${\displaystyle X}$como un campo vectorial cuyo flujo (local) preserva la métrica densificada${\displaystyle g\mu _{g}^{w}}$, dónde${\displaystyle \mu _{g}}$es la densidad de volumen definida por${\displaystyle g}$(es decir localmente${\displaystyle \mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}}$) y${\displaystyle w\in \mathbf {R} }$es su peso. Tenga en cuenta que un campo vectorial de Killing conserva${\displaystyle \mu _{g}}$y por lo tanto, automáticamente también satisface esta ecuación más general. Tenga en cuenta también que${\displaystyle w=-2/n}$es el peso único que hace la combinación${\displaystyle g\mu _{g}^{w}}$invariante bajo escalamiento de la métrica. Por lo tanto, en este caso, la condición depende solo de la estructura conforme . Ahora${\displaystyle X}$es un campo vectorial w -Killing si y solo si

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\left(g\mu _{g}^{w}\right)=({\mathcal {L}}_{X}g)\mu _{g}^{w}+wg\mu _{g}^{w-1}{\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=0.}$

Desde${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}}$esto es equivalente a

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g.}$

Tomando como referencia ambos lados, concluimos${\displaystyle 2\mathop {\mathrm {div} } (X)=-wn\operatorname {div} (X)}$. Por lo tanto, para${\displaystyle w\neq -2/n}$, necesariamente${\displaystyle \operatorname {div} (X)=0}$y un campo vectorial w -Killing es simplemente un campo vectorial Killing normal cuyo flujo preserva la métrica. Sin embargo, para${\displaystyle w=-2/n}$, el flujo de${\displaystyle X}$Solo tiene que preservar la estructura conforme y es, por definición, un campo vectorial de Killing conforme .

Los siguientes son equivalentes

1. ${\displaystyle X}$es un campo vectorial de Killing conforme,
2. El flujo (definido localmente) de${\displaystyle X}$conserva la estructura conforme,
3. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(g\mu _{g}^{-2/n})=0,}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\frac {2}{n}}\operatorname {div} (X)g,}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}$para alguna función${\displaystyle \lambda .}$

La discusión anterior demuestra la equivalencia de todas las formas excepto la última, que parece ser más general. Sin embargo, las dos últimas formas también son equivalentes: al tomar trazas se demuestra que necesariamente${\displaystyle \lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)}$.

La última forma deja claro que cualquier vector de Killing es también un vector de Killing conforme, con${\displaystyle \lambda \cong 0.}$

Usando eso${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=2\left(\nabla X^{\flat }\right)^{\mathrm {symm} }}$dónde${\displaystyle \nabla }$es el derivado de Levi Civita de${\displaystyle g}$(también conocida como derivada covariante ), y${\displaystyle X^{\flat }=g(X,\cdot )}$es la forma dual 1 de${\displaystyle X}$(también conocido como vector covariante asociado o vector con índices reducidos), y${\displaystyle {}^{\mathrm {symm} }}$es una proyección sobre la parte simétrica, se puede escribir la ecuación de Killing conforme en notación de índice abstracto como

${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}={\frac {2}{n}}g_{ab}\nabla _{c}X^{c}.}$

Otra notación de índice para escribir las ecuaciones de Killing conformes es

${\displaystyle X_{a;b}+X_{b;a}={\frac {2}{n}}g_{ab}X^{c}{}_{;c}.}$

• campo vectorial afín
• Tensor de eliminación conforme
• Colineación de curvatura
• Múltiple de Einstein
• campo vectorial homotético
• Operador diferencial invariante
• Campo vectorial letal
• Colineación de la materia
• Simetrías del espacio-tiempo