operadores de creación y aniquilación

Los operadores de creación y los operadores de aniquilación son operadores matemáticos que tienen amplias aplicaciones en mecánica cuántica , especialmente en el estudio de osciladores armónicos cuánticos y sistemas de muchas partículas. ^{[ 1 ]} Un operador de aniquilación (generalmente denotado${\displaystyle {\hat {a}}}$) reduce en uno el número de partículas en un estado dado. Un operador de creación (generalmente denotado${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$) aumenta en uno el número de partículas en un estado dado, y es el adjunto del operador de aniquilación. En muchos subcampos de la física y la química , el uso de estos operadores en lugar de funciones de onda se conoce como segunda cuantización . Fueron introducidos por Paul Dirac . ^{[ 2 ]}

Los operadores de creación y aniquilación pueden actuar sobre estados de diversos tipos de partículas. Por ejemplo, en química cuántica y teoría de muchos cuerpos, estos operadores suelen actuar sobre estados electrónicos . También pueden referirse específicamente a los operadores de escalera para el oscilador armónico cuántico . En este último caso, el operador de creación se interpreta como un operador de elevación, que añade un cuanto de energía al sistema oscilador (de forma similar para el operador de descenso). Pueden utilizarse para representar fonones . La construcción de hamiltonianos mediante estos operadores tiene la ventaja de que la teoría satisface automáticamente el teorema de descomposición de clústeres . ^{[ 3 ]}

Las matemáticas para los operadores de creación y aniquilación de bosones son las mismas que para los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico . ^{[ 4 ]} Por ejemplo, el conmutador de los operadores de creación y aniquilación asociados al mismo estado bosónico es igual a uno, mientras que todos los demás conmutadores se anulan. Sin embargo, para los fermiones las matemáticas son diferentes, ya que implican anticonmutadores en lugar de conmutadores. ^{[ 5 ]}

En el contexto del oscilador armónico cuántico , se reinterpretan los operadores de escalera como operadores de creación y aniquilación, que añaden o restan cuantos fijos de energía al sistema oscilador.

Los operadores de creación/aniquilación son diferentes para bosones (espín entero) y fermiones ( espín semientero ). Esto se debe a que sus funciones de onda tienen propiedades de simetría diferentes .

Primero consideremos el caso bosónico más simple de los fotones del oscilador armónico cuántico. Comencemos con la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico unidimensional independiente del tiempo , $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

Realiza una sustitución de coordenadas para adimensionalizar la ecuación diferencial. $${\displaystyle x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.}$$

La ecuación de Schrödinger para el oscilador se convierte en: $${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

Tenga en cuenta que la cantidad${\displaystyle \hbar \omega =h\nu }$es la misma energía que la encontrada para los cuantos de luz y que el paréntesis en el hamiltoniano se puede escribir como $${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}.}$$

Los dos últimos términos se pueden simplificar considerando su efecto sobre una función diferenciable arbitraria.${\displaystyle f(q),}$

$${\displaystyle \left({\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)}$$ lo cual implica, $${\displaystyle {\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}=1,}$$ coincidiendo con la relación de conmutación canónica usual${\displaystyle -i[q,p]=1}$, en representación del espacio de posiciones:${\displaystyle p:=-i{\frac {d}{dq}}}$.

Por lo tanto, $${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1}$$ y la ecuación de Schrödinger para el oscilador se convierte, con la sustitución de lo anterior y la reordenación del factor de 1/2, $${\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).}$$

Si uno define $${\displaystyle a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)}$$ como el "operador de creación" o el "operador de elevación" y $${\displaystyle a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)}$$ como el "operador de aniquilación" o el "operador de descenso" , la ecuación de Schrödinger para el oscilador se reduce a $${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$ Esto es significativamente más sencillo que la forma original. Simplificaciones adicionales de esta ecuación permiten derivar todas las propiedades enumeradas hasta ahora.

Alquiler${\displaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}}$, dónde${\displaystyle p}$es el operador de momento adimensionalizado , uno tiene

$${\displaystyle [q,p]=i\,}$$ y $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que esto implica $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}$$

Los operadores${\displaystyle a\,}$y${\displaystyle a^{\dagger }\,}$pueden contrastarse con los operadores normales , que conmutan con sus adjuntos. ^{[ nb 1 ]}

Utilizando las relaciones de conmutación dadas anteriormente, el operador hamiltoniano se puede expresar como $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)}$$

Se pueden calcular las relaciones de conmutación entre los${\displaystyle a\,}$y${\displaystyle a^{\dagger }\,}$operadores y el hamiltoniano: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1}{2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

Estas relaciones se pueden utilizar para encontrar fácilmente todos los autoestados de energía del oscilador armónico cuántico de la siguiente manera.

Suponiendo que${\displaystyle \psi _{n}}$es un autoestado del hamiltoniano${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}}$. Utilizando estas relaciones de conmutación, se deduce que ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\[1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}}$$

Esto demuestra que${\displaystyle a\psi _{n}}$y${\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}}$También son autoestados del hamiltoniano, con autovalores${\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }$y${\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }$respectivamente. Esto identifica a los operadores${\displaystyle a}$y${\displaystyle a^{\dagger }}$como operadores de "descenso" y "ascenso" entre autoestados adyacentes. La diferencia de energía entre autoestados adyacentes es${\displaystyle \Delta E=\hbar \omega }$.

El estado fundamental se puede encontrar asumiendo que el operador de descenso posee un núcleo no trivial:${\displaystyle a\,\psi _{0}=0}$con${\displaystyle \psi _{0}\neq 0}$. Aplicando el hamiltoniano al estado fundamental,

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.}$$ Entonces${\displaystyle \psi _{0}}$es una autofunción del hamiltoniano.

Esto da la energía del estado fundamental${\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2}$, lo que permite identificar el valor propio de energía de cualquier estado propio${\displaystyle \psi _{n}}$como ^{[ 6 ]}$${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

Además, resulta que el primer operador mencionado en (*), el operador numérico${\displaystyle N=a^{\dagger }a\,,}$juega el papel más importante en las aplicaciones, mientras que el segundo,${\displaystyle aa^{\dagger }\,}$puede ser simplemente reemplazado por${\displaystyle N+1}$.

Como consecuencia, $${\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.}$$

El operador de evolución temporal es entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}}$$

Gracias a la teoría de la representación y a las C*-álgebras, los operadores derivados anteriormente son en realidad un caso específico de una noción más generalizada de operadores de creación y aniquilación en el contexto de las álgebras CCR y CAR . Matemáticamente, y aún más en general, los operadores de escalera pueden entenderse en el contexto de un sistema de raíces de un grupo de Lie semisimple y el álgebra de Lie semisimple asociada sin necesidad de realizar la representación como operadores en un espacio de Hilbert funcional . ^{[ 8 ]}

En el caso de la representación en el espacio de Hilbert, los operadores se construyen de la siguiente manera. Sea${\displaystyle H}$sea ​​un espacio de Hilbert de una partícula (es decir, cualquier espacio de Hilbert, visto como la representación del estado de una sola partícula).

La descripción del operador de aniquilación y creación también ha sido útil para analizar ecuaciones clásicas de reacción-difusión, como la situación en la que un gas de moléculas${\displaystyle A}$se difunden e interactúan al contacto, formando un producto inerte:${\displaystyle A+A\to \emptyset }$Para ver cómo este tipo de reacción puede describirse mediante el formalismo de operadores de aniquilación y creación, considere${\displaystyle n_{i}}$partículas en un sitio i en una red unidimensional. Cada partícula se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda con cierta probabilidad, y cada par de partículas en el mismo sitio se aniquilan mutuamente con otra probabilidad.

La probabilidad de que una partícula abandone el sitio durante el corto período de tiempo dt es proporcional a${\displaystyle n_{i}\,dt}$Digamos que es una probabilidad.${\displaystyle \alpha n_{i}dt}$saltar a la izquierda y${\displaystyle \alpha n_{i}\,dt}$saltar a la derecha. Todo${\displaystyle n_{i}}$Las partículas permanecerán en su lugar con una probabilidad${\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt}$(Dado que dt es tan corto, la probabilidad de que dos o más personas se vayan durante dt es muy pequeña y se ignorará).

Ahora podemos describir la ocupación de partículas en la red como un 'ket' de la forma${\displaystyle |\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle }$Representa la yuxtaposición (o conjunción, o producto tensorial) de los estados numéricos.${\displaystyle \dots ,|n_{-1}\rangle }$,${\displaystyle |n_{0}\rangle }$,${\displaystyle |n_{1}\rangle ,\dots }$ubicados en los sitios individuales de la red. Recuerde que

$${\displaystyle a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle }$$ y $${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle ,}$$ para todo n ≥ 0 , mientras $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

Esta definición de los operadores se modificará ahora para adaptarse a la naturaleza "no cuántica" de este problema y utilizaremos la siguiente definición: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}}$$

Nótese que, aunque el comportamiento de los operadores en los kets se ha modificado, estos operadores siguen obedeciendo la relación de conmutación. $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

Ahora define${\displaystyle a_{i}}$para que se aplique${\displaystyle a}$a${\displaystyle |n_{i}\rangle }$. Correspondientemente, defina${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$como se aplica${\displaystyle a^{\dagger }}$a${\displaystyle |n_{i}\rangle }$. Por lo tanto, por ejemplo, el efecto neto de${\displaystyle a_{i-1}a_{i}^{\dagger }}$es mover una partícula desde el${\displaystyle (i-1)}$-ésimo al i -ésimo sitio mientras se multiplica por el factor apropiado.

Esto permite escribir el comportamiento puramente difusivo de las partículas como $${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .}$$

El término de reacción se puede deducir observando que${\displaystyle n}$Las partículas pueden interactuar en${\displaystyle n(n-1)}$de diferentes maneras, de modo que la probabilidad de que un par se aniquile es${\displaystyle \lambda n(n-1)dt}$, lo que produce un término $${\displaystyle \lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})}$$

donde el estado numérico n se reemplaza por el estado numérico n − 2 en el sitio${\displaystyle i}$a cierto ritmo.

Así, el estado evoluciona por $${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle }$$

Otros tipos de interacciones pueden incluirse de manera similar.

Este tipo de notación permite utilizar técnicas de teoría cuántica de campos en el análisis de sistemas de reacción-difusión. ^{[ 10 ]}

En las teorías cuánticas de campos y en los problemas de muchos cuerpos se trabaja con operadores de creación y aniquilación de estados cuánticos,${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$y${\displaystyle a_{i}^{\,}}$Estos operadores cambian los valores propios del operador número , $${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},}$$ por uno, en analogía con el oscilador armónico. Los índices (como${\displaystyle i}$) representan números cuánticos que etiquetan los estados de partícula única del sistema; por lo tanto, no son necesariamente números únicos. Por ejemplo, una tupla de números cuánticos${\displaystyle (n,\ell ,m,s)}$se utiliza para etiquetar los estados en el átomo de hidrógeno .

Las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación en un sistema de múltiples bosones son: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$es el conmutador y${\displaystyle \delta _{ij}}$es el delta de Kronecker .

Para los fermiones , el conmutador se reemplaza por el anticonmutador.${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$,$${\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}}$$ Por lo tanto, intercambiar disjuntos (es decir,${\displaystyle i\neq j}$Los operadores en un producto de operadores de creación o aniquilación invertirán el signo en sistemas de fermiones, pero no en sistemas de bosones.

Si los estados etiquetados con i son una base ortonormal de un espacio de Hilbert H , entonces el resultado de esta construcción coincide con la construcción del álgebra CCR y el álgebra CAR en la sección anterior. Si representan "autovectores" correspondientes al espectro continuo de algún operador, como en el caso de partículas no ligadas en la teoría cuántica de campos, entonces la interpretación es más sutil.