Curvatura

Una curva parametrizada por la longitud de arco es una función vectorial que se denota con la letra griega gamma con una barra superior, –γ , que describe la posición de un punto en la curva, P , en términos de su distancia de longitud de arco, s , a lo largo de la curva desde algún otro punto de referencia en la curva. Así, para algún intervalo I = [ a , b ] en${\displaystyle \mathbb {R} }$, – γ : yo →${\displaystyle \mathbb {R} }$ⁿ con

$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}(s)={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s).}$$

Si – γ es una curva diferenciable, entonces la primera derivada de – γ , – γ ′ ( s ) es un vector tangente unitario, T ( s ) , y

$${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s)\right\|=1}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}(s)={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s).}$$

Si – γ es dos veces diferenciable, la segunda derivada de – γ es T ′ ( s ) , que también es el vector de curvatura, K ( s ) .

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}(s)={\boldsymbol {T}}'(s)={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)}$$

La curvatura es la magnitud de la segunda derivada de – γ . $${\displaystyle \kappa (s)=\left\|{\boldsymbol {K}}(s)\right\|=\left\|{\boldsymbol {T}}'(s)\right\|=\left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)\right\|}$$

El parámetro s también puede interpretarse como un parámetro de tiempo. Entonces , – γ (s) describe la trayectoria de una partícula que se mueve a lo largo de la curva a una velocidad unitaria constante. La curvatura puede entenderse entonces como una medida de la rapidez con que gira la dirección de la partícula. ^{[ 5 ]}

Una curva dos veces diferenciable, γ : [ a , b ] →${\displaystyle \mathbb {R} }$ⁿ , que no está parametrizado por la longitud de arco, puede ser reparametrizado nuevamente por la longitud de arco siempre que γ ′ (t)no sea cero en todas partes, de modo que1/ ‖ γ ′ (t) ‖ sea siempre un número positivo finito.

El parámetro de longitud de arco, s , se define por

$${\displaystyle s(t)~{=}~\int _{a}^{t}\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(x)\right\|\,\mathrm {d} {x},}$$

que tiene una función inversa t ( s ) . La parametrización de la longitud de arco es la función – γ que se define como

$${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s)~{=}~{\boldsymbol {\gamma }}(t(s)).}$$

Tanto γ como – γ trazan el mismo camino en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y, por lo tanto, tienen el mismo vector de curvatura y curvatura en cada punto P de la curva. Para un s dado y su correspondiente t = t ( s ) , el punto P y su vector tangente unitario, T , vector de curvatura, K , y curvatura, κ , son:

$${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s)={\boldsymbol {\gamma }}(t)}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}-{\boldsymbol {T}}\left({\boldsymbol {T}}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa =\left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)\right\|&={\frac {\sqrt {{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'(t){\bigr \|}{\vphantom {'}}^{2}{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}''(t){\bigr \|}{\vphantom {'}}^{2}-{\bigl (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}}}{{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'(t){\bigr \|}{\vphantom {'}}^{3}}}\\\\&={\frac {\left\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}{\sqrt {1-\left({\boldsymbol {T}}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}''(t){\bigr \|}}}\right)^{2}~}}~~.\\\end{aligned}}}$$

El vector de curvatura, K , es la componente perpendicular de γ ′ ′ ( t ) / ‖ γ ′ ( t ) ‖ ² con respecto al vector tangente γ ′ ( t ) . Esto también se refleja en la segunda expresión para la curvatura: la expresión dentro de los paréntesis es cos θ , donde θ es el ángulo entre los vectores T y γ ′ ′ ( t ) , de modo que la raíz cuadrada produce sin θ .

Si γ es dos veces continuamente diferenciable, entonces también lo son s(t) y – γ , mientras que T ( t ) es continuamente diferenciable, y K ( t ) y κ ( t ) son continuas.

A menudo resulta difícil o imposible expresar la parametrización de la longitud de arco, – γ , en forma cerrada , incluso cuando γ se da en forma cerrada. Esto suele ocurrir cuando resulta difícil o imposible expresar s ( t ) o su inversa t ( s ) en forma cerrada. Sin embargo, la curvatura solo puede expresarse en términos de las primeras y segundas derivadas de γ , sin referencia directa a – γ .

El vector de curvatura, denotado con una K mayúscula , es la derivada del vector tangente unitario, T , con respecto a la longitud de arco, s :

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {T}}}{\mathrm {d} s}}.}$$

El vector de curvatura representa tanto la dirección hacia la que gira la curva como la intensidad de dicho giro.

El vector de curvatura tiene las siguientes propiedades:

• La magnitud del vector de curvatura es la curvatura:$${\displaystyle \kappa =\left\|{\boldsymbol {K}}\right\|.}$$

• El vector de curvatura es perpendicular al vector tangente unitario T , o en términos del producto escalar:$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {T}}=0~.}$$

• El vector de curvatura es la segunda derivada de una parametrización de longitud de arco – γ :$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}(s)={\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s).}$$

• El vector de curvatura de una parametrización general, γ , es la componente perpendicular de γ ′ ′ ( t ) / ‖ γ ′ ( t ) ‖ ² con respecto al vector tangente γ ′ ( t ) :$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}-{\boldsymbol {T}}\left({\boldsymbol {T}}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}\right).}$$Si la curva está en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, entonces el vector de curvatura también se puede expresar como:$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}(t)={\boldsymbol {T}}\times {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|^{2}}}\times {\boldsymbol {T}}}$$donde × denota el producto vectorial .

• Si el vector de curvatura no es cero:
  • El vector de curvatura apunta desde el punto P de la curva en la dirección del centro del círculo osculador.
  • El vector de curvatura y el vector tangente son vectores perpendiculares que abarcan el plano osculador, el plano que contiene el círculo osculador.
  • El vector de curvatura escalado a longitud unitaria es el vector normal unitario, N :$${\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\frac {K}{\left\|K\right\|}}.}$$

• El vector de curvatura es una propiedad geométrica diferencial de la curva en P ; no depende de cómo se parametriza la curva.

Históricamente, la curvatura de una curva diferenciable se definía mediante el círculo osculador , que es el círculo que mejor aproxima la curva en un punto. Más precisamente, dado un punto P en una curva, cualquier otro punto Q de la curva define un círculo (o a veces una línea) que pasa por Q y es tangente a la curva en P. El círculo osculador es el límite , si existe, de este círculo cuando Q tiende a P. Entonces, el centro de curvatura y el radio de curvatura de la curva en P son el centro y el radio del círculo osculador.

El radio de curvatura, R , es el recíproco de la curvatura ^{[ 6 ]} , siempre que la curvatura no sea cero: $${\displaystyle R={\frac {1}{\kappa }}~.}$$

Para una curva γ , dado que un vector de curvatura no nulo , K ( t ) , apunta desde el punto P = γ ( t ) hacia el centro de curvatura, pero la magnitud de K ( t ) es la curvatura, κ ( t ) , el centro de curvatura, C ( t ) es

$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}(t)+{\frac {{\boldsymbol {K}}(t)}{\kappa (t)^{2}}}~.}$$

Cuando la curvatura es cero, por ejemplo en una línea recta o en un punto de inflexión, el radio de curvatura es infinito y el centro de curvatura es indeterminado o "en el infinito".

Dados dos puntos P y Q en una curva γ , sea s ( P , Q ) la longitud de arco de la porción de la curva entre P y Q , y sea d ( P , Q ) la longitud del segmento de recta desde P hasta Q. La curvatura de γ en P viene dada por el límite

$${\displaystyle \kappa ({\boldsymbol {P}})=\lim _{{\boldsymbol {Q}}\to {\boldsymbol {P}}}{\sqrt {\frac {24{\bigl (}s({\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {Q}})-d({\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {Q}}){\bigr )}}{s({\boldsymbol {P}},{\boldsymbol {Q}}){\vphantom {Q}}^{3}}}}~,}$$

donde el límite se toma cuando el punto Q se aproxima a P en γ . El denominador también puede tomarse como d ( P , Q ) ^³ . La fórmula es válida en cualquier dimensión. La fórmula se deduce verificándola para el círculo osculador.

Puede haber algunas situaciones en las que no se cumplan las condiciones previas de las fórmulas anteriores, pero en las que aún sea apropiado aplicar el concepto de curvatura.

Puede ser útil aplicar el concepto de curvatura a una curva γ en un punto P = γ ( t ₀ ) si las derivadas laterales de γ ′ ( t ₀ ) existen pero tienen valores diferentes, o lo mismo ocurre con γ ′ ′ ( t ₀ ) . En tal caso, podría ser útil describir la curva con curvatura en cada lado. Tal podría ser el caso de una curva que se construye por partes .

Otra situación se presenta cuando el límite de una razón resulta en un valor indeterminado 0/0 para la curvatura, por ejemplo, cuando ambas derivadas existen pero son cero. En tal caso, podría ser posible evaluar el límite subyacente utilizando la regla de l'Hôpital .

A continuación se muestran ejemplos de curvas con la aplicación de los conceptos y fórmulas pertinentes.

Círculo

El diagrama de la derecha ilustra parcialmente una explicación geométrica de por qué la curvatura de un círculo de radio R en cualquier punto P es 1/ R .

La longitud del arco rojo es L y la medida en radianes del ángulo central del arco, el ángulo ACB, es L / R. El ángulo entre las tangentes de los extremos del arco es el ángulo BDE, que tiene la misma magnitud que el ángulo central, ya que ambos ángulos son suplementarios al ángulo BDA.

La razón del ángulo entre las tangentes de los puntos extremos del arco, medido en radianes, dividido por la longitud del arco L es ( L / R )/ L = 1/ R .

Dado que la razón es 1/ R para cualquier arco del círculo que sea menor que medio círculo, para arcos que contienen cualquier punto P dado en el círculo, el límite de la razón cuando la longitud del arco tiende a cero también es 1/ R . Por lo tanto, la curvatura del círculo en cualquier punto P es 1/ R .

Una parametrización común de un círculo de radio r es γ ( t ) = ( r cos t , r sin t ) . Entonces $${\displaystyle {\begin{array}{lll}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)=(-r~\mathrm {sin} ~t,r~\mathrm {cos} ~t)&\qquad &\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|=r\\{\boldsymbol {\gamma }}''(t)=(-r~\mathrm {cos} ~t,-r~\mathrm {sin} ~t)&\qquad &\left\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right\|=r\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)=0~.\\\end{array}}}$$ La fórmula general para la curvatura da $${\displaystyle \kappa (t)={\frac {\sqrt {r^{2}\,r^{2}-0^{2}\,}}{r^{3}}}={\frac {1}{r}}~.}$$ y la fórmula para una curva plana da $${\displaystyle \kappa (t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{{\bigl (}r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}={\frac {1}{r}}.}$$

Como era de esperar, el radio de curvatura es el radio del círculo y el centro de curvatura es el centro del círculo.

El círculo es un caso raro en el que la parametrización de la longitud del arco es fácil de calcular, ya que es $${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\gamma }}}(s)=\left(r\cos {\frac {s}{r}},\,r\sin {\frac {s}{r}}\right).}$$ Se trata de una parametrización de longitud de arco, ya que la norma de $${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\gamma }}}'(s)=\left(-\sin {\frac {s}{r}},\,\cos {\frac {s}{r}}\right)}$$ es igual a uno. Entonces $${\displaystyle \kappa (s)=\left\|{\boldsymbol {\bar {\gamma }}}''(s)\right\|=\left\|\left(-{\frac {1}{r}}\cos {\frac {s}{r}},\,-{\frac {1}{r}}\sin {\frac {s}{r}}\right)\right\|={\frac {1}{r}}}$$ da el mismo valor para la curvatura.

El mismo círculo también puede definirse mediante la ecuación implícita F ( x , y ) = 0 con F ( x , y ) = x ² + y ² – r ² . Entonces, la fórmula para la curvatura en este caso da $${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{{\bigl (}F_{x}^{2}+F_{y}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{{\bigl (}4x^{2}+4y^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}\\&={\frac {8r^{2}}{{\bigl (}4r^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}}={\frac {1}{r}}.\end{aligned}}}$$

Parábola

Consideremos la parábola y = ax² ⁺ bx + c .

Es la gráfica de una función, con derivada 2 ax + b y segunda derivada 2 a . Por lo tanto, la curvatura con signo es $${\displaystyle k(x)={\frac {2a}{{\bigl (}1+\left(2ax+b\right)^{2}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{3/2}}}~.}$$ Tiene el signo de a para todos los valores de x . Esto significa que, si a > 0 , la concavidad apunta hacia arriba en todas partes; si a < 0 , la concavidad apunta hacia abajo; para a = 0 , la curvatura es cero en todas partes, lo que confirma que la parábola degenera en una línea en este caso.

La curvatura (sin signo) es máxima para x = – ⁠ b / 2 a ⁠ , es decir, en el punto estacionario (derivada cero) de la función, que es el vértice de la parábola.

Consideremos la parametrización γ ( t ) = ( t , at ² + bt + c ) = ( x , y ) . La primera derivada de x es 1 , y la segunda derivada es cero. Sustituyendo en la fórmula para parametrizaciones generales se obtiene exactamente el mismo resultado que antes, con x reemplazado por t y con primas que se refieren a derivadas con respecto al parámetro t .

La misma parábola también puede definirse mediante la ecuación implícita F ( x , y ) = 0, ^donde F ( x , y ) = ax² + bx + c – y . Como Fy ₌ –1 y Fyy = Fxy = 0 , se obtiene exactamente el mismo valor para la curvatura (sin signo). _{Sin embargo ,} la curvatura con signo no está definida para una ecuación implícita, ya que depende de una orientación de la curva que no está definida por dicha ecuación.

Sea γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) una representación paramétrica propia de una curva plana dos veces diferenciable. Aquí, propia significa que en el dominio de definición de la parametrización, la derivada ⁠ d γ / d t ⁠ existe y no es igual en ningún punto al vector cero.

La curvatura κ de una curva plana se puede expresar de maneras específicas para dos dimensiones, como por ejemplo:

$${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|x'y''-y'x''\right|}{{\bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}},}$$

donde las primas se refieren a derivadas con respecto a t .

Esto se puede expresar de forma independiente de las coordenadas como $${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|\det \left({\boldsymbol {\gamma }}',{\boldsymbol {\gamma }}''\right)\right|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|^{3}}},}$$

donde el numerador es el valor absoluto del determinante de la matriz de 2x2 con γ ′ y γ ′ ′ como columnas.

Estas fórmulas pueden entenderse como una aplicación de la fórmula del producto vectorial para la curvatura en tres dimensiones . Dado que los operandos tienen ceros en la tercera dimensión, el resultado del producto vectorial tendrá valores cero en las dos primeras dimensiones, por lo que solo el valor de la tercera dimensión es relevante para calcular la magnitud del producto vectorial. La fórmula para el valor de la tercera dimensión aparece, por lo tanto, en el numerador de las fórmulas anteriores.

peine de curvatura

Un peine de curvatura ^{[ 8 ]} puede usarse para representar gráficamente la curvatura de cada punto en una curva. Si γ es una curva parametrizada t , su peine se define como la curva parametrizada definida por $${\displaystyle \mathrm {Comb} (t)={\boldsymbol {\gamma }}(t)-s\,\kappa (t){\boldsymbol {N}}(t),}$$ donde κ es la curvatura, N es el vector normal unitario que apunta hacia el centro de curvatura y s es un factor de escala que se elige para mejorar la representación gráfica.

Los peines de curvatura son útiles al combinar dos curvas diferentes en entornos CAD. Proporcionan una representación visual de la continuidad entre las curvas. Esta continuidad se puede definir en uno de cuatro niveles.

G0  : Los 2 peines de curvatura están en ángulo en la unión.

G1  : Los dientes de los 2 peines son paralelos en la unión, pero tienen diferente longitud.

G2  : Los dientes son paralelos y de la misma longitud. Sin embargo, las tangentes de los 2 peines no son iguales.

G3  : Los dientes son paralelos y de la misma longitud, y las tangentes de los 2 peines son iguales.

La imagen anterior muestra una continuidad G2 en las 2 uniones.

Fórmulas de Frenet-Serret para curvas planas

La primera fórmula de Frenet-Serret relaciona el vector tangente unitario, la curvatura y el vector normal de una parametrización de longitud de arco.$${\displaystyle \mathbf {T} '(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}$$ donde las primas se refieren a las derivadas con respecto a la longitud de arco s , y N ( s ) es el vector unitario normal en la dirección de T ′ (s) .

Como las curvas planas tienen torsión cero , la segunda fórmula de Frenet-Serret proporciona la relación $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{aligned}}}$$

Para una parametrización general por un parámetro t , se necesitan expresiones que involucren derivadas con respecto a t . Como estas se obtienen multiplicando por ds / dt las derivadas con respecto a s , se tiene, para cualquier parametrización adecuada$${\displaystyle \mathbf {N} '(t)=-\kappa (t){\boldsymbol {\gamma }}'(t).}$$

Para una curva definida paramétricamente en tres dimensiones dada en coordenadas cartesianas por γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , la curvatura es

$${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {{\bigl (}z''y'-y''z'{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}+{\bigl (}x''z'-z''x'{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}+{\bigl (}y''x'-x''y'{\bigr )}{\vphantom {'}}^{2}}}{{\bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}{\bigr )}{\vphantom {'}}^{3/2}}},}$$

donde la prima denota la diferenciación con respecto al parámetro t . Tanto la curvatura ^{[ 9 ]} como el vector de curvatura pueden expresarse utilizando el producto vectorial y el vector tangente unitario T :

$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {T}}\times {\frac {{\boldsymbol {\gamma }}''}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'\right\|^{2}}}\times {\boldsymbol {T}}}$$

$${\displaystyle \kappa ={\frac {{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'\times {\boldsymbol {\gamma }}''{\bigr \|}}{{\bigl \|}{\boldsymbol {\gamma }}'{\bigr \|}{\vphantom {'}}^{3}}}~.}$$

Estas fórmulas están relacionadas con las fórmulas generales para la curvatura y el vector de curvatura, excepto que utilizan el producto vectorial cruzado en lugar del producto escalar escalar para expresar la componente perpendicular de γ ′ ′ / ‖ γ ′ ‖ ^2 con respecto a γ ′ .

Para una curva dibujada sobre una superficie (incrustada en el espacio euclidiano tridimensional ), se definen varias curvaturas, que relacionan la dirección de la curvatura con el vector normal unitario de la superficie , incluyendo:

• curvatura normal
• curvatura geodésica
• torsión geodésica

Cualquier curva no singular en una superficie lisa tiene su vector tangente T contenido en el plano tangente de la superficie. La curvatura normal , k _n , es la curvatura de la curva proyectada sobre el plano que contiene la tangente T de la curva y la normal de la superficie u ; la curvatura geodésica , k _g , es la curvatura de la curva proyectada sobre el plano tangente de la superficie; y la torsión geodésica (o torsión relativa ), τ _r , mide la tasa de cambio de la normal de la superficie alrededor de la tangente de la curva.

Sea la curva parametrizada por longitud de arco , y sea t = u × T de modo que T , t , u formen una base ortonormal , llamada marco de Darboux . Las cantidades anteriores están relacionadas por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {T} '\\\mathbf {t} '\\\mathbf {u} '\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\kappa _{\mathrm {g} }&\kappa _{\mathrm {n} }\\-\kappa _{\mathrm {g} }&0&\tau _{\mathrm {r} }\\-\kappa _{\mathrm {n} }&-\tau _{\mathrm {r} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}}$

Curvatura principal

Todas las curvas en la superficie con el mismo vector tangente en un punto dado tendrán la misma curvatura normal, que es la misma que la curvatura de la curva obtenida al intersecar la superficie con el plano que contiene T y u . Tomando todos los posibles vectores tangentes, los valores máximo y mínimo de la curvatura normal en un punto se denominan curvaturas principales , k ₁ y k ₂ , y las direcciones de los vectores tangentes correspondientes se denominan direcciones normales principales .

La curvatura se puede evaluar a lo largo de secciones normales a la superficie , de forma similar a la sección  Curvas en superficies anterior (véase, por ejemplo, el radio de curvatura de la Tierra ).

Algunas superficies curvas, como las hechas de una hoja de papel lisa, pueden aplanarse hasta convertirse en un plano sin distorsionar en absoluto sus características intrínsecas. Dichas superficies desarrollables tienen curvatura gaussiana cero (véase más abajo). ^{[ 10 ]}

A diferencia de las curvas, que no poseen curvatura intrínseca, sino extrínseca (su curvatura depende únicamente de la inmersión), las superficies pueden tener curvatura intrínseca, independientemente de la inmersión. La curvatura gaussiana , que recibe su nombre de Carl Friedrich Gauss , es igual al producto de las curvaturas principales, k₁k₂ _. Tiene una dimensión de longitud _-2 y es positiva para esferas , negativa para hiperboloides de una hoja ^y cero para planos y cilindros . Determina si una superficie es localmente convexa (cuando es positiva) o localmente en forma de silla de montar (cuando es negativa).

La curvatura gaussiana es una propiedad intrínseca de la superficie, lo que significa que no depende de su configuración particular . Intuitivamente, esto implica que las hormigas que viven en la superficie podrían determinar la curvatura gaussiana. Por ejemplo, una hormiga que vive en una esfera podría medir la suma de los ángulos interiores de un triángulo y determinar que es mayor de 180 grados, lo que implica que el espacio que habita tiene una curvatura positiva. Por otro lado, una hormiga que vive en un cilindro no detectaría ninguna desviación de la geometría euclidiana ; en particular, no podría detectar que las dos superficies tienen curvaturas medias diferentes (véase más adelante), que es un tipo de curvatura puramente extrínseca.

Formalmente, la curvatura gaussiana solo depende de la métrica riemanniana de la superficie. Este es el célebre Teorema Egregium de Gauss , que descubrió mientras se dedicaba a estudios geográficos y cartografía.

Una definición intrínseca de la curvatura gaussiana en un punto P es la siguiente: imaginemos una hormiga atada a P con un hilo corto de longitud r . Corre alrededor de P mientras el hilo está completamente estirado y mide la longitud C ( r ) de una vuelta completa alrededor de P. Si la superficie fuera plana, la hormiga encontraría C ( r ) = 2πr . En superficies curvas, la fórmula para C ( r ) será diferente, y la curvatura gaussiana K en el punto P se puede calcular mediante el teorema de Bertrand-Diguet-Puiseux como

${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3\left({\frac {2\pi rC(r)}{\pi r^{3}}}\right).}$

La integral de la curvatura gaussiana sobre toda la superficie está estrechamente relacionada con la característica de Euler de la superficie ; véase el teorema de Gauss-Bonnet .

El análogo discreto de la curvatura, que corresponde a la curvatura concentrada en un punto y resulta particularmente útil para los poliedros , es el defecto (angular) ; el análogo del teorema de Gauss-Bonnet es el teorema de Descartes sobre el defecto angular total .

Dado que la curvatura (gaussiana) puede definirse sin referencia a un espacio de incrustación, no es necesario que una superficie esté incrustada en un espacio de dimensiones superiores para que sea curva. Dicha superficie bidimensional intrínsecamente curva es un ejemplo sencillo de una variedad riemanniana .

La curvatura media es una medida extrínseca de curvatura igual a la mitad de la suma de las curvaturas principales , k ₁ + k 2 _/ 2. Fue introducida por Sophie Germain en su trabajo sobre la teoría de la elasticidad. Tiene una dimensión de longitud ^{−1 .} La curvatura media está estrechamente relacionada con la primera variación del área superficial . En particular, una superficie mínima como una película de jabón tiene curvatura media cero y una burbuja de jabón tiene curvatura media constante. A diferencia de la curvatura de Gauss, la curvatura media es extrínseca y depende de la inmersión; por ejemplo, un cilindro y un plano son localmente isométricos , pero la curvatura media de un plano es cero mientras que la de un cilindro es distinta de cero.

La curvatura intrínseca y extrínseca de una superficie se puede combinar en la segunda forma fundamental. Esta es una forma cuadrática en el plano tangente a la superficie en un punto cuyo valor en un vector tangente X particular a la superficie es la componente normal de la aceleración de una curva a lo largo de la superficie tangente a X ; es decir, es la curvatura normal a una curva tangente a X (véase más arriba ). Simbólicamente,

${\displaystyle \operatorname {I\!I} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )=\mathbf {N} \cdot (\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {X} )}$

donde N es el vector normal unitario a la superficie. Para vectores tangentes unitarios X , la segunda forma fundamental asume el valor máximo k ₁ y el valor mínimo k ₂ , que ocurren en las direcciones principales u ₁ y u ₂ , respectivamente. Por lo tanto, según el teorema de los ejes principales , la segunda forma fundamental es

${\displaystyle \operatorname {I\!I} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )=k_{1}\left(\mathbf {X} \cdot \mathbf {u} _{1}\right)^{2}+k_{2}\left(\mathbf {X} \cdot \mathbf {u} _{2}\right)^{2}.}$

De este modo, la segunda forma fundamental codifica tanto las curvaturas intrínsecas como las extrínsecas.

Una encapsulación de la curvatura de la superficie se puede encontrar en el operador de forma, S , que es un operador lineal autoadjunto del plano tangente a sí mismo (específicamente, el diferencial del mapa de Gauss ).

Para una superficie con vectores tangentes X y normal N , el operador de forma se puede expresar de forma compacta en notación de suma de índices como

${\displaystyle \partial _{a}\mathbf {N} =-S_{ba}\mathbf {X} _{b}.}$

(Compárese con la expresión alternativa de la curvatura para una curva plana).

Las ecuaciones de Weingarten dan el valor de S en términos de los coeficientes de las primeras y segundas formas fundamentales como

${\displaystyle S=\left(EG-F^{2}\right)^{-1}{\begin{pmatrix}eG-fF&fG-gF\\fE-eF&gE-fF\end{pmatrix}}.}$

Las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma, las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , la curvatura de Gauss es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza .