Campo cúbico

En matemáticas , específicamente en el área de la teoría algebraica de números , un cuerpo cúbico es un cuerpo de números algebraicos de grado tres.

Si K es una extensión de cuerpo de los números racionales Q de grado [ K : Q ]  =  3, entonces K se llama cuerpo cúbico . Cualquier cuerpo de este tipo es isomorfo a un cuerpo de la forma

${\displaystyle \mathbf {Q} [x]/(f(x))}$

donde f es un polinomio cúbico irreducible con coeficientes en Q. Si f tiene tres raíces reales , entonces K se denomina cuerpo cúbico totalmente real y es un ejemplo de cuerpo totalmente real . Si, por otro lado, f tiene una raíz no real, entonces K se denomina cuerpo cúbico complejo .

Un cuerpo cúbico K se denomina cuerpo cúbico cíclico si contiene las tres raíces de su polinomio generador f . De forma equivalente, K es un cuerpo cúbico cíclico si es una extensión de Galois de Q , en cuyo caso su grupo de Galois sobre Q es cíclico de orden tres. Esto solo puede ocurrir si K es totalmente real. Es un caso raro, ya que si el conjunto de cuerpos cúbicos se ordena por el discriminante , la proporción de cuerpos cúbicos cíclicos tiende a cero a medida que la cota del discriminante tiende a infinito. ^{[ 1 ]}

Un campo cúbico se denomina campo cúbico puro si se puede obtener adjuntando la raíz cúbica real.${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}}$de un entero positivo n libre de cubos al campo de los números racionales Q. Dichos campos son siempre campos cúbicos complejos ya que cada número positivo tiene dos raíces cúbicas complejas no reales.

• Al añadir la raíz cúbica real de 2 a los números racionales se obtiene el campo cúbico.${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$Este es un ejemplo de un campo cúbico puro y, por lo tanto, de un campo cúbico complejo. De hecho, de todos los campos cúbicos puros, tiene el discriminante más pequeño (en valor absoluto ), a saber, −108. ^{[ 2 ]}
• El campo cúbico complejo obtenido al adjuntar a Q una raíz de x³ + x² − 1 ^no es puro. Tiene el discriminante más pequeño (en valor absoluto) de todos los campos cúbicos, a saber, −23 ^{. [ 3 ]}
• Al adjuntar una raíz de x³ ⁺ x² − ^2x − 1 a Q se obtiene un cuerpo cúbico cíclico y, por lo tanto, un cuerpo cúbico totalmente real. Tiene el discriminante más pequeño de todos los cuerpos cúbicos totalmente reales, a saber, 49. ^{[ 4 ]}
• El cuerpo obtenido al adjuntar a Q una raíz de x³ ⁺ x² − ^3x − 1 es un ejemplo de un cuerpo cúbico totalmente real que no es cíclico. Su discriminante es 148, el discriminante más pequeño de un cuerpo cúbico totalmente real no cíclico. ^{[ 5 ]}
• Ningún campo ciclotómico es cúbico porque el grado de un campo ciclotómico es igual a φ( n ), donde φ es la función totiente de Euler , que solo toma valores pares excepto φ(1)  =  φ(2)  =  1.

Un cuerpo cúbico cíclico K es su propia clausura de Galois con grupo de Galois Gal( K / Q ) isomorfo al grupo cíclico de orden _tres . Sin embargo, cualquier otro cuerpo cúbico K es una extensión no-Galois de Q y tiene una extensión de cuerpo N de grado dos como su clausura de Galois. El grupo de Galois Gal( N / Q ) es isomorfo al grupo simétrico S3 sobre tres letras.

El discriminante de un campo cúbico K se puede escribir de forma única como df ² donde d es un discriminante fundamental . Entonces, K es cíclico si y solo si d  = 1, en cuyo caso el único subcampo de la clausura de Galois de K es Q mismo. Si d  ≠ 1, entonces la clausura de Galois N de K contiene un único campo cuadrático k cuyo discriminante es d (en el caso de d  = 1, el subcampo Q a veces se considera como el campo cuadrático "degenerado" del discriminante 1). El conductor de N sobre k es f , y f ² es el discriminante relativo de N sobre K . El discriminante de N es d ³ f ⁴ . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

El cuerpo K es un cuerpo cúbico puro si y solo si d  =  −3. Este es el caso para el cual el cuerpo cuadrático contenido en la clausura de Galois de K es el cuerpo ciclotómico de raíces cúbicas de la unidad . ^{[ 7 ]}

Dado que el signo del discriminante de un cuerpo numérico K es (−1) ^{r ₂} , donde r ₂ es el número de pares conjugados de incrustaciones complejas de K en C , el discriminante de un cuerpo cúbico será positivo precisamente cuando el cuerpo sea totalmente real, y negativo si es un cuerpo cúbico complejo.

Dado un número real N  >  0, existen solo un número finito de campos cúbicos K cuyo discriminante D _K satisface | D _K |  ≤ N . ^{[ 9 ]} Se conocen fórmulas que calculan la descomposición prima de D _K , por lo que puede calcularse explícitamente. ^{[ 10 ]} 

A diferencia de los campos cuadráticos, varios campos cúbicos no isomorfos K ₁ , ..., K _m pueden compartir el mismo discriminante D . El número m de estos campos se llama multiplicidad ^{[ 11 ]} del discriminante D . Algunos ejemplos pequeños son m  =  2 para D = −1836, 3969, m = 3 para D = −1228, 22356, m = 4 para D = −3299, 32009, y m = 6 para D = −70956, 3054132.                 

Cualquier campo cúbico K tendrá la forma K  = Q (θ) para algún número θ que sea raíz de un polinomio irreducible. 

${\displaystyle f(X)=X^{3}-aX+b}$

donde a y b son enteros. El discriminante de f es Δ  =  4 a ³  −  27 b ² . Denotando el discriminante de K por D , el índice i (θ) de θ se define entonces por Δ  = i (θ) ² D . 

En el caso de un campo cúbico no cíclico K, esta fórmula de índice se puede combinar con la fórmula del conductor D = f ² d para obtener una descomposición del discriminante polinomial Δ = i (θ) ² f ² d en el cuadrado del producto i (θ) f y el discriminante d del campo cuadrático k asociado con el campo cúbico K , donde d es libre de cuadrados salvo un posible factor 2 ² o 2 ³ . Georgy Voronoy dio un método para separar i (θ) y f en la parte cuadrada de Δ. ^{[ 12 ]}

El estudio del número de cuerpos cúbicos cuyo discriminante es menor que una cota dada es un área de investigación actual. Sea N ⁺ ( X ) (respectivamente N ⁻ ( X )) el número de cuerpos cúbicos totalmente reales (respectivamente complejos) cuyo discriminante está acotado por X en valor absoluto. A principios de la década de 1970, Harold Davenport y Hans Heilbronn determinaron el primer término del comportamiento asintótico de N ^± ( X ) (es decir, cuando X tiende a infinito). ^{[ 13 ] [ 14 ]} Mediante un análisis del residuo de la función zeta de Shintani , combinado con un estudio de las tablas de cuerpos cúbicos compiladas por Karim Belabas ( Belabas 1997 ) y algunas heurísticas , David P. Roberts conjeturó una fórmula asintótica más precisa: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle N^{\pm }(X)\sim {\frac {A_{\pm }}{12\zeta (3)}}X+{\frac {4\zeta ({\frac {1}{3}})B_{\pm }}{5\Gamma ({\frac {2}{3}})^{3}\zeta ({\frac {5}{3}})}}X^{\frac {5}{6}}}$

donde A _±  =  1 o 3, B _±  =  1 o${\displaystyle {\sqrt {3}}}$Según el caso totalmente real o complejo, ζ( s ) es la función zeta de Riemann y Γ( s ) es la función gamma . Bhargava, Shankar y Tsimerman (2013) publicaron demostraciones de esta fórmula utilizando métodos basados ​​en el trabajo anterior de Bhargava, así como Taniguchi y Thorne (2013) basándose en la función zeta de Shintani.

Según el teorema de unidad de Dirichlet , el rango unitario libre de torsión r de un cuerpo numérico algebraico K con r ₁ incrustaciones reales y r ₂ pares de incrustaciones complejas conjugadas se determina mediante la fórmula r = r ₁ + r ₂ − 1. Por lo tanto, un cuerpo cúbico totalmente real K con r ₁ = 3, r ₂ = 0 tiene dos unidades independientes ε ₁ , ε ₂ y un cuerpo cúbico complejo K con r ₁ = r ₂ = 1 tiene una única unidad fundamental ε ₁ . Estos sistemas fundamentales de unidades pueden calcularse mediante algoritmos de fracciones continuas generalizadas de Voronoi , ^{[ 16 ]} que han sido interpretados geométricamente por Delone y Faddeev . ^{[ 17 ]}

• Şaban Alaca, Kenneth S. Williams, Introducción a la teoría algebraica de números , Cambridge University Press , 2004.
• Belabas, Karim (1997), "Un algoritmo rápido para calcular campos cúbicos", Mathematics of Computation , 66 (219): 1213–1237 , doi : 10.1090/s0025-5718-97-00846-6 , MR 1415795 
• Bhargava, Manjul ; Shankar, Arul; Tsimerman, Jacob (2013), "Sobre el teorema de Davenport-Heilbronn y los términos de segundo orden", Inventiones Mathematicae , 193 (2): 439–499 , arXiv : 1005.0672 , Bibcode : 2013InMat.193..439B , doi : 10.1007/s00222-012-0433-0 , MR 3090184 , S2CID 253738365  
• Cohen, Henri (1993), A Course in Computational Algebraic Number Theory , Graduate Texts in Mathematics, vol.  138, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55640-4, MR 1228206 
• Cohn, Harvey (1954), "La densidad de campos cúbicos abelianos", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 5 (3): 476– 477, doi : 10.2307/2031963 , JSTOR 2031963 , MR 0064076  
• Davenport, Harold ; Heilbronn, Hans (1971), "Sobre la densidad de discriminantes de campos cúbicos. II", Proceedings of the Royal Society A , 322 (1551): 405–420 , Bibcode : 1971RSPSA.322..405D , doi : 10.1098/rspa.1971.0075 , MR 0491593 , S2CID 122814162  
• Hasse, Helmut (1930), "Arithmetische Theorie der kubischen Zahlkörper auf klassenkörpertheoretischer Grundlage", Mathematische Zeitschrift (en alemán), 31 (1): 565– 582, doi : 10.1007/BF01246435 , S2CID 121649559 
• Roberts, David P. (2001), "Densidad de discriminantes de campo cúbico", Mathematics of Computation , 70 (236): 1699–1705 , arXiv : math/9904190 , doi : 10.1090/s0025-5718-00-01291-6 , MR 1836927 , S2CID 7524750  
• Taniguchi, Takashi; Thorne, Frank (2013), "Términos secundarios en funciones de conteo para campos cúbicos", Duke Mathematical Journal , 162 (13): 2451–2508 , arXiv : 1102.2914 , doi : 10.1215/00127094-2371752 , MR 3127806 , S2CID 16463250  

• Contenido multimedia relacionado con el campo cúbico en Wikimedia Commons.