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Grupo cíclico

En álgebra abstracta , un grupo cíclico o grupo monogénico es un grupo , denotado C n (también frecuentemente Z {\displaystyle \mathbb {Z} } n o Z n , que no debe confundirse co...

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En álgebra abstracta , un grupo cíclico o grupo monogénico es un grupo , denotado C n (también frecuentementeZ{\displaystyle \mathbb {Z} }n o Z n , que no debe confundirse con el anillo conmutativo de números p -ádicos ), que es generado por un solo elemento. [ 1 ] Es decir, es un conjunto de elementos invertibles con una sola operación binaria asociativa , y contiene un elemento g tal que cualquier otro elemento del grupo puede obtenerse aplicando repetidamente la operación de grupo a g o a su inverso. Cada elemento puede escribirse como una potencia entera de g en notación multiplicativa, o como un múltiplo entero de g en notación aditiva. Este elemento g se llama generador del grupo. [ 1 ]    

Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo aditivo de Z , los enteros . Todo grupo cíclico finito de orden n es isomorfo al grupo aditivo de Z / n Z , los enteros módulo n . Todo grupo cíclico es un grupo abeliano (lo que significa que su operación de grupo es conmutativa ), y todo grupo abeliano finitamente generado es un producto directo de grupos cíclicos.   

Todo grupo cíclico de orden primo es un grupo simple , que no puede descomponerse en grupos más pequeños. En la clasificación de grupos simples finitos , una de las tres clases infinitas está formada por los grupos cíclicos de orden primo. Por lo tanto, los grupos cíclicos de orden primo se encuentran entre los bloques de construcción a partir de los cuales se pueden formar todos los grupos.

Definición y notación

Las seis raíces complejas sextas de la unidad forman un grupo cíclico bajo la multiplicación. Aquí, z es un generador, pero z² no lo es, porque sus potencias no producen las potencias impares de z . 

Para cualquier elemento g en cualquier grupo G , se puede formar el subgrupo que consta de todas sus potencias enteras : ⟨ g ⟩ = { g k | k ∈ Z } , llamado subgrupo cíclico generado por g . El orden de g es |⟨ g ⟩|, el número de elementos en ⟨ g ⟩, abreviado convencionalmente como | g |, como ord( g ), o como o( g ). Es decir, el orden de un elemento es igual al orden del subgrupo cíclico que genera.     

Un grupo cíclico es un grupo que es igual a uno de sus subgrupos cíclicos: G = ⟨ g ⟩ para algún elemento g , llamado generador de G . 

Para un grupo cíclico finito G de orden n, tenemos G = { e , g , g 2 , ... , g n −1 } , donde e es el elemento identidad y g i = g j siempre que i ≡ j ( mod n ); en particular g n = g 0 = e , y g −1 = g n − 1 . Un grupo abstracto definido por esta multiplicación se suele denotar C n , y decimos que G es isomorfo al grupo cíclico estándar C n . Dicho grupo también es isomorfo a Z / n Z , el grupo de los enteros módulo n con la operación de suma, que es el grupo cíclico estándar en notación aditiva. Bajo el isomorfismo χ definido por χ ( g i ) = i el elemento identidad e corresponde a 0, los productos corresponden a sumas y las potencias corresponden a múltiplos.      

Por ejemplo, el conjunto de raíces sextas complejas de la unidad:GRAMO={±1,±(12+32i),±(12−32i)}{\displaystyle G=\left\{\pm 1,\pm {\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)},\pm {\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)}\right\}}forma un grupo bajo la multiplicación. Es cíclico, puesto que es generado por la raíz primitiva.z=12+32i=mi2πi/6:{\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i=e^{2\pi i/6}:}es decir, G = ⟨ z ⟩ = { 1, z , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 } con z 6 = 1. Bajo un cambio de letras, esto es isomorfo a (estructuralmente igual a) el grupo cíclico estándar de orden 6, definido como C 6 = ⟨ g ⟩ = { e , g , g 2 , g 3 , g 4 , g 5 } con multiplicación g j · g k = g j + k (mod 6) , de modo que g 6 = g 0 = e . Estos grupos también son isomorfos a Z /6 Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5} con la operación de suma módulo 6, con z k y g k correspondientes a k . Por ejemplo, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) corresponde a z 1 · z 2 = z 3 , y 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) corresponde a z 2 · z 5 = z 7 = z 1 , y así sucesivamente. Cualquier elemento genera su propio subgrupo cíclico, como ⟨ z 2 ⟩ = { e , z 2 , z 4 } de orden 3, isomorfo a C 3 y Z /3 Z ; y ⟨ z 5 ⟩ = { e , z 5 , z 10 = z 4 , z 15 = z 3 , z 20 = z 2 , z 25 = z } = G , de modo que z 5 tiene orden 6 y es un generador alternativo de G .  

En lugar de las notaciones de cociente Z / n Z , Z /( n ), o Z / n , algunos autores denotan un grupo cíclico finito como Z n , pero esto choca con la notación de la teoría de números , donde Z p denota un anillo numérico p -ádico , o localización en un ideal primo .

Por otro lado, en un grupo cíclico infinito G = ⟨ g ⟩ , las potencias g k dan elementos distintos para todos los enteros k , de modo que G = { ... , g − 2 , g − 1 , e , g , g 2 , ... } , y G es isomorfo al grupo estándar C = C ∞ y a Z , el grupo aditivo de los enteros. Un ejemplo es el primer grupo de frisos . Aquí no hay ciclos finitos, y el nombre "cíclico" puede resultar engañoso. [ 2 ]

Para evitar esta confusión, Bourbaki introdujo el término grupo monogénico para un grupo con un solo generador y restringió "grupo cíclico" a un grupo monogénico finito, evitando el término "grupo cíclico infinito". [ nota 1 ]

Ejemplos

Suma entera y modular

El conjunto de enteros Z , con la operación de suma, forma un grupo. [ 1 ] Es un grupo cíclico infinito , porque todos los enteros se pueden escribir sumando o restando repetidamente el único número 1. En este grupo, 1 y −1 son los únicos generadores . Todo grupo cíclico infinito es isomorfo a Z.   

Para cada entero positivo n , el conjunto de enteros módulo n , nuevamente con la operación de suma, forma un grupo cíclico finito, denotado Z / n Z . [ 1 ] Un entero modular i es un generador de este grupo si i es primo relativo a n , porque estos elementos pueden generar todos los demás elementos del grupo mediante la suma de enteros. (El número de tales generadores es φ ( n ), donde φ es la función totiente de Euler .) Todo grupo cíclico finito G es isomorfo a Z / n Z , donde n = | G | es el orden del grupo.    

Las operaciones de suma sobre enteros y enteros modulares, utilizadas para definir los grupos cíclicos, son las operaciones de suma de anillos conmutativos , también denotados Z y Z / n Z o Z /( n ). Si p es un primo , entonces Z / p Z es un cuerpo finito , y se suele denotar F p o GF( p ) para cuerpo de Galois.

multiplicación modular

Para cada entero positivo n , el conjunto de los enteros módulo n que son primos relativos a n se escribe como ( Z / n Z ) × ; forma un grupo bajo la operación de multiplicación. Este grupo no siempre es cíclico, pero lo es cuando n es 1, 2, 4, una potencia de un primo impar , o el doble de una potencia de un primo impar (secuencia A033948 en la OEIS ) . [ 4 ] [ 5 ] Este es el grupo multiplicativo de unidades del anillo Z / n Z ; hay φ ( n ) de ellos, donde nuevamente φ es la función totiente de Euler . Por ejemplo, ( Z /6 Z ) × = {1, 5} , y como 6 es el doble de un primo impar, este es un grupo cíclico. En cambio, ( Z /8 Z ) × = {1, 3, 5, 7} es un 4-grupo de Klein y no es cíclico. Cuando ( Z / n Z ) × es cíclico, sus generadores se denominan raíces primitivas módulo n .   

Para un número primo p , el grupo ( Z / pZ ) × es siempre cíclico, y consta de los elementos no nulos del cuerpo finito de orden p . De forma más general, todo subgrupo finito del grupo multiplicativo de cualquier cuerpo es cíclico. [ 6 ]  

Simetrías rotacionales

El conjunto de simetrías rotacionales de un polígono forma un grupo cíclico finito. [ 7 ] Si hay n formas diferentes de mover el polígono sobre sí mismo mediante una rotación (incluida la rotación nula), entonces este grupo de simetría es isomorfo a Z / n Z . En tres o más dimensiones existen otros grupos de simetría finitos que son cíclicos , pero que no son todos rotaciones alrededor de un eje, sino más bien rotoreflexiones .

El grupo de todas las rotaciones de un círculo ( el grupo del círculo , también denotado S₁ ) no es cíclico, ya que no existe una única rotación cuyas potencias enteras generen todas las rotaciones. De hecho, el grupo cíclico infinito C∞ es numerable , mientras que S₁ no lo es. El grupo de rotaciones por ángulos racionales es numerable, pero tampoco es cíclico.

teoría de Galois

Una raíz n -ésima de la unidad es un número complejo cuya potencia n  -ésima es 1, una raíz del polinomio x n − 1 . El conjunto de todas las raíces n -ésimas de la unidad forma un grupo cíclico de orden n bajo la multiplicación. [ 1 ] Los generadores de este grupo cíclico son las raíces primitivas n -ésimas de la unidad ; son las raíces del polinomio ciclotómico n- ésimo . Por ejemplo, el polinomio z 3 − 1 se factoriza como ( z − 1)( z − ω )( z − ω 2 ) , donde ω = e 2 πi /3 ; el conjunto {1, ω , ω 2 } = { ω 0 , ω 1 , ω 2 } forma un grupo cíclico bajo la multiplicación. El grupo de Galois de la extensión del cuerpo de los números racionales generados por las raíces n -ésimas de la unidad forma un grupo diferente, isomorfo al grupo multiplicativo ( Z/ n Z ) × de orden φ ( n ) , que es cíclico para algunos pero no para todos los n (ver más arriba). 

Una extensión de cuerpo se denomina extensión cíclica si su grupo de Galois es cíclico. Para cuerpos de característica cero , dichas extensiones son objeto de la teoría de Kummer y están íntimamente relacionadas con la resolubilidad mediante radicales . Para una extensión de cuerpos finitos de característica p , su grupo de Galois es siempre finito y cíclico, generado por una potencia de la aplicación de Frobenius . [ 8 ] Recíprocamente, dado un cuerpo finito F y un grupo cíclico finito G , existe una extensión de cuerpo finito de F cuyo grupo de Galois es G. [ 9 ]     

Subgrupos

Todos los subgrupos y grupos cociente de grupos cíclicos son cíclicos. Específicamente, todos los subgrupos de Z son de la forma ⟨ m ⟩ = m Z , donde m es un entero positivo. Todos estos subgrupos son distintos entre sí y, aparte del grupo trivial {0} = 0 Z , todos son isomorfos a Z . El retículo de subgrupos de Z es isomorfo al dual del retículo de números naturales ordenados por divisibilidad . [ 10 ] Por lo tanto, dado que un número primo p no tiene divisores no triviales, p Z es un subgrupo propio maximal y el grupo cociente Z / p Z es simple ; de ​​hecho, un grupo cíclico es simple si y solo si su orden es primo. [ 11 ]  

Todos los grupos cociente Z / n Z son finitos, con la excepción de Z /0 Z = Z /{0}. Para cada divisor positivo d de n , el grupo cociente Z / n Z tiene precisamente un subgrupo de orden d , generado por la clase residual de n / d . No existen otros subgrupos.    

Propiedades adicionales

Todo grupo cíclico es abeliano . [ 1 ] Es decir, su operación de grupo es conmutativa : gh = hg (para todo g y h en G ). Esto es evidente para los grupos de suma entera y modular, ya que r + s ≡ s + r (mod n ) , y se deduce para todos los grupos cíclicos, puesto que todos son isomorfos a estos grupos estándar. Para un grupo cíclico finito de orden n , g n es el elemento identidad para cualquier elemento g . Esto se deduce nuevamente utilizando el isomorfismo a la suma modular, ya que kn ≡ 0 (mod n ) para todo entero k . (Esto también es cierto para un grupo general de orden n , debido al teorema de Lagrange ).  

Para una potencia primordialpagk{\displaystyle p^{k}}, el grupoZ/pagkZ{\displaystyle Z/p^{k}Z}Se denomina grupo cíclico primario . El teorema fundamental de los grupos abelianos establece que todo grupo abeliano finitamente generado es un producto directo finito de grupos cíclicos primarios e infinitos.

Dado que un grupo cíclico es abeliano, cada una de sus clases de conjugación consta de un solo elemento. Por lo tanto, un grupo cíclico de orden n tiene n clases de conjugación. 

Si d es un divisor de n , entonces el número de elementos en Z / n Z que tienen orden d es φ ( d ), y el número de elementos cuyo orden divide a d es exactamente d . Si G es un grupo finito en el que, para cada n > 0 , G contiene como máximo n elementos de orden divisor de n , entonces G debe ser cíclico. [ nota 2 ] El orden de un elemento m en Z / n Z es n / mcd ( n , m ).  

Si n y m son coprimos , entonces el producto directo de dos grupos cíclicos Z / n Z y Z / m Z es isomorfo al grupo cíclico Z / nm Z , y el recíproco también se cumple: esta es una forma del teorema chino del resto . Por ejemplo, Z /12 Z es isomorfo al producto directo Z /3 Z × Z /4 Z bajo el isomorfismo ( k mod 12) → ( k mod 3, k mod 4) ; pero no es isomorfo a Z /6 Z × Z /2 Z , en el que cada elemento tiene orden como máximo  6.

Si p es un número primo , entonces cualquier grupo con p elementos es isomorfo al grupo simple Z / p Z. Un número n se llama número cíclico si Z / n Z es el único grupo de orden n , lo cual es cierto precisamente cuando mcd( n , φ ( n )) = 1. [ 13 ] La secuencia de números cíclicos incluye todos los primos, pero algunos son compuestos como el 15. Sin embargo, todos los números cíclicos son impares excepto el 2. Los números cíclicos son:   

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... (secuencia A003277 en el OEIS )

La definición implica inmediatamente que los grupos cíclicos tienen presentación de grupo C ∞ = ⟨ x | ⟩ y C n = ⟨ x | x n ⟩ para n finito . [ 14 ] 

Objetos asociados

Representaciones

La teoría de la representación del grupo cíclico constituye un caso base fundamental para la teoría de la representación de grupos finitos más generales. En el caso complejo , una representación de un grupo cíclico se descompone en una suma directa de caracteres lineales, lo que hace transparente la conexión entre la teoría de caracteres y la teoría de la representación. En el caso de característica positiva , las representaciones indescomponibles del grupo cíclico forman un modelo y una base inductiva para la teoría de la representación de grupos con subgrupos de Sylow cíclicos y, más generalmente, para la teoría de la representación de bloques de defecto cíclico.

Gráfico cíclico

Un grafo cíclico ilustra los diversos ciclos de un grupo y es particularmente útil para visualizar la estructura de grupos finitos pequeños . Un grafo cíclico para un grupo cíclico es simplemente un grafo circular , donde el orden del grupo es igual al número de nodos. Un único generador define el grupo como una ruta direccional en el grafo, y el generador inverso define una ruta hacia atrás. Una ruta trivial (identidad) puede representarse como un bucle , pero generalmente se omite. Z2 se representa a veces con dos aristas curvas como un multigrafo . [ 15 ]

Un grupo cíclico Z n , con orden n , corresponde a un único ciclo graficado simplemente como un polígono de n lados con los elementos en los vértices.

Gráfico de Cayley

El grafo de Paley de orden 13, un grafo circulante formado como el grafo de Cayley de Z /13 con conjunto generador {1,3,4}

Un grafo de Cayley es un grafo definido a partir de un par ( G , S ), donde G es un grupo y S es un conjunto de generadores para dicho grupo; tiene un vértice por cada elemento del grupo y una arista por cada producto de un elemento con un generador. En el caso de un grupo cíclico finito, con su único generador, el grafo de Cayley es un grafo de ciclo , y para un grupo cíclico infinito con su generador, el grafo de Cayley es un grafo de camino doblemente infinito . Sin embargo, los grafos de Cayley también pueden definirse a partir de otros conjuntos de generadores. Los grafos de Cayley de grupos cíclicos con conjuntos de generadores arbitrarios se denominan grafos circulantes . [ 16 ] Estos grafos pueden representarse geométricamente como un conjunto de puntos igualmente espaciados en un círculo o en una línea, donde cada punto está conectado a sus vecinos con el mismo conjunto de distancias. Son precisamente los grafos transitivos por vértice cuyo grupo de simetría incluye un grupo cíclico transitivo. [ 17 ]

Endomorfismos

El anillo de endomorfismos del grupo abeliano Z / n Z es isomorfo a Z / n Z mismo como anillo . [ 18 ] Bajo este isomorfismo, el número r corresponde al endomorfismo de Z / n Z que asigna a cada elemento la suma de r copias del mismo. Esto es una biyección si y solo si r es coprimo con n , por lo que el grupo de automorfismos de Z / n Z es isomorfo al grupo de unidades ( Z / n Z ) × . [ 18 ]

De manera similar, el anillo de endomorfismos del grupo aditivo de Z es isomorfo al anillo Z. Su grupo de automorfismos es isomorfo al grupo de unidades del anillo Z , que es ({−1, +1}, ×) ≅ C 2 .   

Producto tensorial y Hom de grupos cíclicos

Se puede demostrar que el producto tensorial Z / m Z ⊗ Z / n Z es isomorfo a Z / mcd( m , n ) Z . Por lo tanto, podemos formar la colección de homomorfismos de grupo de Z / m Z a Z / n Z , denotada como hom( Z / m Z , Z / n Z ) , que es en sí misma un grupo.

Para el producto tensorial, esto es consecuencia del hecho general de que R / I ⊗ R R / J ≅ R /( I + J ) , donde R es un anillo conmutativo con unidad e I y J son ideales del anillo. Para el grupo Hom, recordemos que es isomorfo al subgrupo de Z / n Z formado por los elementos de orden que dividen a m . Dicho subgrupo es cíclico de orden mcd( m , n ) , lo que completa la demostración.

Se han definido otras clases de grupos en función de su relación con los grupos cíclicos:

Grupos prácticamente cíclicos

Un grupo se denomina virtualmente cíclico si contiene un subgrupo cíclico de índice finito (el número de clases laterales que tiene el subgrupo). En otras palabras, cualquier elemento de un grupo virtualmente cíclico se puede obtener multiplicando un miembro del subgrupo cíclico por un miembro de un conjunto finito determinado. Todo grupo cíclico es virtualmente cíclico, al igual que todo grupo finito. Un grupo infinito es virtualmente cíclico si y solo si es finitamente generado y tiene exactamente dos extremos ; [ nota 3 ] un ejemplo de tal grupo es el producto directo de Z / n Z y Z , en el que el factor Z tiene índice finito n . Todo subgrupo abeliano de un grupo hiperbólico de Gromov es virtualmente cíclico. [ 20 ] 

Grupos procíclicos

Un grupo profinito se denomina procíclico si puede generarse topológicamente mediante un único elemento. Ejemplos de grupos profinitos incluyen los enteros profinitos.Z^{\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}o los enteros p -ádicosZpag{\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}para un número primo p .

Grupos cíclicos locales

Un grupo localmente cíclico es un grupo en el que cada subgrupo finitamente generado es cíclico. Un ejemplo es el grupo aditivo de los números racionales : todo conjunto finito de números racionales es un conjunto de múltiplos enteros de una única fracción unitaria , el inverso de su mínimo común denominador , y genera como subgrupo un grupo cíclico de múltiplos enteros de esta fracción unitaria. Un grupo es localmente cíclico si y solo si su retículo de subgrupos es un retículo distributivo . [ 21 ]

Grupos ordenados cíclicamente

Un grupo cíclicamente ordenado es un grupo cuyo orden cíclico se conserva en su estructura. A todo grupo cíclico se le puede asignar una estructura como grupo cíclicamente ordenado, consistente con el orden de los números enteros (o los números enteros módulo el orden del grupo). Todo subgrupo finito de un grupo cíclicamente ordenado es cíclico. [ 22 ]

Grupos metacíclicos y policíclicos

Un grupo metacíclico es un grupo que contiene un subgrupo normal cíclico cuyo cociente también es cíclico. [ 23 ] Estos grupos incluyen los grupos cíclicos, los grupos dicíclicos y los productos directos de dos grupos cíclicos. Los grupos policíclicos generalizan los grupos metacíclicos al permitir más de un nivel de extensión de grupo . Un grupo es policíclico si tiene una secuencia descendente finita de subgrupos, cada uno de los cuales es normal en el subgrupo anterior con un cociente cíclico, terminando en el grupo trivial. Todo grupo abeliano o nilpotente finitamente generado es policíclico. [ 24 ]

Véase también

Notas a pie de página

Notas

  1. ↑ DEFINICIÓN 15. Un grupo se llama monogénico si admite un sistema de generadores formado por un solo elemento. Un grupo monogénico finito se llama cíclico. [ 3 ]
  2. ↑ Esta implicación sigue siendo cierta incluso si solose consideran valores primos de n . [ 12 ] (Y obsérvese que cuando n es primo, hay exactamente un elemento cuyo orden es un divisor propio de n , a saber, la identidad). 
  3. ↑ Si G tiene dos extremos, la estructura explícita de G es bien conocida: G es una extensión de un grupo finito mediante el grupo cíclico infinito o el grupo diedral infinito . [ 19 ]

Citas

  1. 1 2 3 4 5 6 "Grupo cíclico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  2. ↑ ( Lajoie y Mura 2000 , págs. 29-33) . 
  3. ↑ ( Bourbaki 1998 , p. 49) o Álgebra I: Capítulos 1–3 , p. 49, en Google Books .
  4. ↑ ( Motwani y Raghavan 1995 , pág. 401) . 
  5. ↑ ( Vinogradov 2003 , pp. 105–132, § VI RAÍCES PRIMITIVAS E ÍNDICES) . 
  6. ↑ ( Rotman 1998 , p. 65) . 
  7. ↑ ( Stewart y Golubitsky 2010 , págs. 47–48) . 
  8. ↑ ( Cox 2012 , p. 294, Teorema 11.1.7) .  
  9. ↑ ( Cox 2012 , p. 295, Corolario 11.1.8 y Teorema 11.1.9) . 
  10. ↑ ( Aluffi 2009 , pp. 82–84, 6.4 Ejemplo: Subgrupos de grupos cíclicos) . 
  11. ↑ ( Gannon 2006 , p. 18) . 
  12. ↑ ( Gallian 2010 , p. 84, Ejercicio 43).
  13. ↑ ( Jungnickel 1992 , pp. 545–547 ) . 
  14. ↑ ( Coxeter y Moser 1980 , p. 1) . 
  15. ↑ Weisstein, Eric W. "Grafo de ciclo" . MathWorld .
  16. ↑ ( Alspach 1997 , pp. 1–22) . 
  17. ↑ ( Vilfred 2004 , págs. 34-36) . 
  18. 1 2 ( Kurzweil y Stellmacher 2004 , pág. 50) . 
  19. ↑ ( Stallings 1970 , pp. 124–128 ). Véase en particular Groups of cohomological dimension one , p. 126, en Google Books .
  20. ↑ ( Alonso 1991 , Corolario 3.6) . 
  21. ↑ ( Ore 1938 , pp. 247–269) . 
  22. ↑ ( Fuchs 2011 , p. 63) . 
  23. ↑ AL Shmel'kin (2001) [1994], "Grupo metacíclico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  24. ↑ "Grupo policíclico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Referencias

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  • Stallings, John (1970), "Grupos de dimensión cohomológica uno", Aplicaciones del álgebra categórica (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Vol. XVIII, Nueva York, 1968) , Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 124–128 , MR 0255689  
  • Stewart, Ian ; Golubitsky, Martin (2010), Simetría temerosa: ¿Es Dios un geómetra?, Courier Dover Publications, págs. 47–48 , ISBN  978-0-486-47758-9
  • Vilfred, V. (2004), "Sobre grafos circulantes", en Balakrishnan, R.; Sethuraman, G.; Wilson, Robin J. (eds.), Teoría de grafos y sus aplicaciones (Universidad Anna, Chennai, 14-16 de marzo de 2001) , Alpha Science, pp. 34-36 , ISBN  8173195692
  • Vinogradov, IM (2003), "§ VI RAÍCES PRIMITIVAS E ÍNDICES" , Elementos de la teoría de números , Mineola, NY: Dover Publications, pp. 105–132 , ISBN  0-486-49530-2

Lecturas adicionales

  • Herstein, IN (1996), Álgebra abstracta (3.ª  ed.), Prentice Hall , págs. 53–60 , ISBN  978-0-13-374562-7, MR 1375019 
  • Milne, Teoría de grupos, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html
  • Introducción a los grupos cíclicos
  • Weisstein, Eric W. "Grupo cíclico" . MathWorld .
  • Grupos cíclicos de orden pequeño en GroupNames
  • Todo grupo cíclico es abeliano.