Categoría compacta de dagas

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , las categorías compactas de daga (o categorías cerradas compactas de daga ) aparecieron por primera vez en 1989 en el trabajo de Sergio Doplicher y John E. Roberts sobre la reconstrucción de grupos topológicos compactos a partir de su categoría de representaciones unitarias continuas de dimensión finita (es decir, categorías de Tannakian ). ^{[ 1 ]} También aparecieron en el trabajo de John Baez y James Dolan como una instancia de n- categorías monoidales k -tuples semiestrictas , que describen teorías de campos cuánticos topológicos generales , ^{[ 2 ]} para n = 1 y k = 3. Son una estructura fundamental en la mecánica cuántica categórica de Samson Abramsky y Bob Coecke . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Las categorías compactas de daga se pueden usar para expresar y verificar algunos protocolos fundamentales de información cuántica , a saber: teletransportación , teletransportación de compuertas lógicas e intercambio de entrelazamiento , y nociones estándar como unitariedad, producto interno, traza, dualidad de Choi-Jamiolkowsky , positividad completa , estados de Bell y muchas otras nociones se capturan mediante el lenguaje de las categorías compactas de daga. ^{[ 3 ]} Todo esto se deduce del teorema de completitud, más adelante. La mecánica cuántica categórica toma las categorías compactas de daga como una estructura de fondo con respecto a la cual otras nociones de mecánica cuántica como los observables cuánticos y su complementariedad pueden definirse abstractamente. Esto constituye la base para un enfoque de alto nivel para el procesamiento de información cuántica .

Una categoría compacta de daga es una categoría monoidal simétrica de daga.${\displaystyle \mathbf {C} }$que también es compacto cerrado , junto con una relación para unir la estructura de daga a la estructura compacta. Específicamente, la daga se utiliza para conectar la unidad a la counidad, de modo que, para todo${\displaystyle A}$en${\displaystyle \mathbf {C} }$El siguiente diagrama conmuta:

Para resumir todos estos puntos:

• Una categoría es cerrada si tiene un functor hom interno ; es decir, si el conjunto hom de morfismos entre dos objetos de la categoría es un objeto de la categoría misma (en lugar de Set ).
• Una categoría es monoidal si está equipada con un bifunctor asociativo.${\displaystyle \mathbf {C} \otimes \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$que es asociativo, natural y tiene identidades izquierda y derecha que obedecen ciertas condiciones de coherencia .
• Una categoría monoidal es monoidal simétrica si, para cada par A , B de objetos en C , existe un isomorfismo.${\displaystyle \sigma _{A,B}:A\otimes B\simeq B\otimes A}$Eso es natural tanto en A como en B y, de nuevo, obedece a ciertas condiciones de coherencia (véase la categoría monoide simétrica para más detalles).
• Una categoría monoidal es compacta cerrada , si cada objeto${\displaystyle A\in \mathbf {C} }$tiene un objeto dual${\displaystyle A^{*}}$Las categorías con objetos duales están equipadas con dos morfismos, la unidad${\displaystyle \eta _{A}:I\to A^{*}\otimes A}$y la counidad${\displaystyle \varepsilon _{A}:A\otimes A^{*}\to I}$, que satisfacen ciertas condiciones de coherencia o de tracción.
• Una categoría es una categoría daga si está equipada con un functor involutivo.${\displaystyle \dagger \colon \mathbf {C} ^{op}\rightarrow \mathbf {C} }$Esa es la identidad en los objetos, pero asigna morfismos a sus adjuntos.
• Una categoría monoidal es simétrica respecto a una daga si es una categoría de daga y es simétrica, y tiene condiciones de coherencia que hacen que los diversos functores sean naturales.

Una categoría compacta de daga es, por lo tanto, una categoría que reúne todas las características anteriores y, además, posee una condición para relacionar la estructura de daga con la estructura compacta. Esto se logra relacionando la unidad con la counidad a través de la daga:

${\displaystyle \sigma _{A,A^{*}}\circ \varepsilon _{A}^{\dagger }=\eta _{A}}$

como se muestra en el diagrama de conmutación anterior. En la categoría FdHilb de espacios de Hilbert de dimensión finita, esta última condición puede entenderse como la definición de la daga (el conjugado hermitiano) como la transpuesta del conjugado complejo.

Las siguientes categorías son dagas compactas.

• La categoría FdHilb de espacios de Hilbert de dimensión finita y aplicaciones lineales . Los morfismos son operadores lineales entre espacios de Hilbert. El producto es el producto tensorial usual , y la daga aquí es el conjugado hermitiano .
• La categoría Rel de conjuntos y relaciones . El producto es, por supuesto, el producto cartesiano . La daga aquí es justo lo contrario .
• La categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo conmutativo . La daga aquí es simplemente la transpuesta de la matriz .
• La categoría n -Cob de cobordismos . Aquí, los cobordismos n- dimensionales son los morfismos, la unión disjunta es el tensor y la inversión de los objetos (variedades cerradas) es la daga. Una teoría cuántica de campos topológica puede definirse como un functor de n -Cob en FdHilb . ^{[ 6 ]}
• La categoría Span ( C ) de spans para cualquier categoría C con límites finitos .

En todos los ejemplos enumerados, excepto en n -Cob para n suficientemente grande , cada objeto es isomorfo a su dual: una categoría de daga compacta con esta propiedad se llama "autodual". Si${\displaystyle G}$es un grupo y Rep (${\displaystyle G}$) es su categoría de representaciones unitarias en espacios de Hilbert de dimensión finita, con el producto tensorial usual de representaciones, entonces Rep (${\displaystyle G}$) siempre es compacta como una daga, pero puede o no ser autodual, dependiendo del grupo.${\displaystyle G}$.

Los espacios de Hilbert de dimensión infinita no son compactos bajo la simetría de daga y se describen mediante categorías monoidales simétricas bajo la simetría de daga .

Selinger demostró que las categorías compactas de daga admiten un lenguaje diagramático al estilo de Joyal-Street ^{[ 7 ]} y probó que las categorías compactas de daga son completas con respecto a los espacios de Hilbert de dimensión finita ^{[ 8 ] [ 9 ]} , es decir, una afirmación ecuacional en el lenguaje de las categorías compactas de daga se cumple si y solo si se puede derivar en la categoría concreta de espacios de Hilbert de dimensión finita y aplicaciones lineales. No existe una completitud análoga para Rel o n -Cob .

Este resultado de completitud implica que varios teoremas de los espacios de Hilbert se extienden a esta categoría. Por ejemplo, el teorema de no clonación implica que no existe un morfismo de clonación universal. ^{[ 10 ]} La completitud también implica características mucho más mundanas: las categorías compactas de daga pueden tener una base del mismo modo que un espacio de Hilbert puede tener una base. Los operadores pueden descomponerse en la base; los operadores pueden tener autovectores, etc. Esto se revisa en la siguiente sección.

El teorema de completitud implica que las nociones básicas de los espacios de Hilbert se extienden a cualquier categoría compacta de daga. Sin embargo, el lenguaje típico empleado cambia. La noción de base se da en términos de una coálgebra . Dado un objeto A de una categoría compacta de daga, una base es un objeto comonoide.${\displaystyle (A,\delta,\varepsilon)}$. Las dos operaciones son una copia o comultiplicación δ: A → A ⊗ A morfismo que es cocommutativo y coasociativo, y una operación de eliminación o morfismo de counidad ε: A → I . Juntas, estas obedecen cinco axiomas: ^{[ 11 ]}

Comultiplicatividad:

${\displaystyle (1_{A}\otimes \varepsilon )\circ \delta =1_{A}=(\varepsilon \otimes 1_{A})\circ \delta }$

Coasociatividad:

${\displaystyle (1_{A}\otimes \delta )\circ \delta =(\delta \otimes 1_{A})\circ \delta }$

Cocomutatividad:

${\displaystyle \sigma _{A,A}\circ \delta =\delta }$

Isometría:

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ \delta =1_{A}}$

Ley de Frobenius :

${\displaystyle (\delta ^{\dagger }\otimes 1_{A})\circ (1_{A}\otimes \delta )=\delta \circ \delta ^{\dagger }}$

Para ver que estas relaciones definen una base de un espacio vectorial en el sentido tradicional, escriba la comultiplicación y la counidad usando la notación bra-ket , y comprenda que ahora son operadores lineales que actúan sobre vectores.${\displaystyle |j\rangle }$en un espacio de Hilbert H :

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta :H&\to H\otimes H\\|j\rangle &\mapsto |j\rangle \otimes |j\rangle =|jj\rangle \\\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon :H&\to \mathbb {C} \\|j\rangle &\mapsto 1\\\end{aligned}}}$

Los únicos vectores${\displaystyle |j\rangle }$Los vectores que satisfacen los cinco axiomas anteriores deben ser ortogonales entre sí; la counidad especifica entonces de forma única la base. Los nombres sugerentes de copia y eliminación para los operadores de comultiplicación y counidad provienen de la idea de que el teorema de no clonación y el teorema de no eliminación establecen que los únicos vectores que se pueden copiar o eliminar son vectores de base ortogonales.

Dada la definición anterior de base, se pueden enunciar varios resultados para espacios de Hilbert en categorías compactas de dagas. A continuación, enumeramos algunos de ellos, tomados de ^{[ 11 ],} salvo que se indique lo contrario.

• Una base también puede entenderse como correspondiente a un observable , en el sentido de que un observable dado se factoriza en vectores base (ortogonales). Es decir, un observable está representado por un objeto A junto con los dos morfismos que definen una base:${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$.
• Un autoestado del observable${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$es cualquier objeto${\displaystyle \psi }$para qué

${\displaystyle \delta \circ \psi =\psi \otimes \psi }$

Los autoestados son ortogonales entre sí.

• Un objeto${\displaystyle \psi }$es complementario a lo observable${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$si

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ ({\overline {\psi }}\otimes \psi )=\varepsilon ^{\dagger }}$

(En mecánica cuántica, un vector de estado${\displaystyle \psi }$Se dice que algo es complementario a un observable si cualquier resultado de medición es equiprobable. Por ejemplo, un autoestado de espín de S _x es equiprobable cuando se mide en la base S _z , o los autoestados de momento son equiprobables cuando se miden en la base de posición.

• Dos observables${\displaystyle (A,\delta _{X},\varepsilon _{X})}$y${\displaystyle (A,\delta _{Z},\varepsilon _{Z})}$son complementarios si

${\displaystyle \delta _{Z}^{\dagger }\circ \delta _{X}=\varepsilon _{Z}\circ \varepsilon _{X}^{\dagger }}$

• Los objetos complementarios generan transformaciones unitarias . Es decir,

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ (\psi \otimes 1_{A})}$

es unitaria si y solo si${\displaystyle \psi }$es complementario a lo observable${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

• Categoría compacta tipo daga en el Laboratorio n