Descenso (matemáticas)

En matemáticas , la idea de descenso extiende la idea intuitiva de "pegado" en topología . Dado que el pegamento que utilizan los topólogos es el uso de relaciones de equivalencia en espacios topológicos , la teoría comienza con algunas ideas sobre identificación.

El caso de la construcción de haces vectoriales a partir de datos sobre una unión disjunta de espacios topológicos es un buen punto de partida.

Supongamos que X es un espacio topológico cubierto por conjuntos abiertos X _i . Sea Y la unión disjunta de los X _i , de modo que existe una aplicación natural

${\displaystyle p:Y\rightarrow X.}$

Consideramos que Y está "por encima" de X , con la proyección de Xi _" hacia abajo" sobre X. En este lenguaje, el descenso implica un fibrado vectorial en Y (es decir, un fibrado dado en cada Xi ₎ , y nuestro objetivo es " unir" esos fibrados _Vi para formar un único fibrado V en X. Lo que queremos decir es que V , al restringirse a Xi _, debería devolver Vi _, salvo isomorfismo de fibrados.

Los datos necesarios son entonces los siguientes: en cada superposición

${\displaystyle X_{ij},}$

intersección de X _i y X _j , necesitaremos mapeos

${\displaystyle f_{ij}:V_{i}\rightarrow V_{j}}$

para utilizar para identificar V _i y V _j allí, fibra por fibra. Además, el f _ij debe satisfacer condiciones basadas en las propiedades reflexivas, simétricas y transitivas de una relación de equivalencia (condiciones de pegado). Por ejemplo, la composición

${\displaystyle f_{jk}\circ f_{ij}=f_{ik}}$

para transitividad (y eligiendo la notación apropiada). Los f _ii deben ser mapas identidad y por lo tanto la simetría se convierte en${\displaystyle f_{ij}=f_{ji}^{-1}}$(de modo que sea un isomorfismo fibrado).

Estas son, de hecho, condiciones estándar en la teoría de haces de fibras (véase el mapa de transición ). Una aplicación importante a tener en cuenta es el cambio de fibra  : si las fibras f _ij son todo lo que se necesita para formar un haz, entonces existen muchas maneras de formar un haz asociado . Es decir, podemos tomar esencialmente las mismas fibras f _ij , actuando sobre diversas fibras.

Otro punto importante es la relación con la regla de la cadena : la discusión sobre la forma de construir campos tensoriales se puede resumir como "una vez que se aprende a descender por el fibrado tangente , para el cual la transitividad es la regla de la cadena jacobiana , el resto es simplemente 'naturalidad de las construcciones tensoriales'".

Para acercarnos a la teoría abstracta necesitamos interpretar la unión disjunta de la

${\displaystyle X_{ij}}$

ahora como

${\displaystyle Y\times _ {X}Y,}$

el producto fibrado (aquí un ecualizador ) de dos copias de la proyección p . Los haces en X _ij que debemos controlar son V _i y V _j , los retrocesos a la fibra de V a través de los dos mapas de proyección diferentes a X.

Por lo tanto, al pasar a un nivel más abstracto, se puede eliminar el aspecto combinatorio (es decir, prescindir de los índices) y obtener algo que tenga sentido para p que no sea de la forma especial de recubrimiento con la que comenzamos. Esto permite entonces un enfoque de teoría de categorías : lo que queda por hacer es reformular las condiciones de pegado.

Estas ideas se desarrollaron entre 1955 y 1965 (aproximadamente el momento en que se cumplieron los requisitos de la topología algebraica, pero no los de la geometría algebraica ). Desde el punto de vista de la teoría de categorías abstractas, el trabajo de Beck sobre las comónadas fue una síntesis de dichas ideas; véase el teorema de monadicidad de Beck .

Las dificultades de la geometría algebraica con el paso al cociente son agudas. La urgencia (por decirlo de alguna manera) del problema para los geómetras explica el título del seminario TDTE de Grothendieck de 1959 sobre teoremas de descenso y técnicas de existencia (véase FGA ), que conecta la cuestión del descenso con la cuestión del functor representable en geometría algebraica en general, y el problema de los módulos en particular.

Dejar${\displaystyle p:X'\to X}$Cada haz F en X da lugar a un datum de descenso .

${\displaystyle (F'=p^{*}F,\alpha :p_{0}^{*}F'\simeq p_{1}^{*}F'),\,p_{i}:X''=X'\times _{X}X'\to X'}$,

dónde${\displaystyle \alpha }$satisface la condición de cociclo ^{[ 1 ]}

${\displaystyle p_{02}^{*}\alpha =p_{12}^{*}\alpha \circ p_{01}^{*}\alpha ,\,p_{ij}:X'\times _{X}X'\times _{X}X'\to X'\times _{X}X'}$.

El descenso totalmente fiel dice: El functor${\displaystyle F\mapsto (F',\alpha )}$es totalmente fiel. La teoría del descenso indica las condiciones para las cuales existe un descenso totalmente fiel, y cuándo este functor es una equivalencia de categorías.

• Conexión Grothendieck
• Pila (matemáticas)
• Descendiente galo
• Topología de Grothendieck
• Categoría de fibras
• Teorema de monadicidad de Beck
• descendencia cohomológica
• Descenso fielmente plano
• Descenso monádico

• SGA 1 , Cap. VIII – esta es la referencia principal
• Sigfrido Bosch ; Werner Lütkebohmert; Michel Raynaud (1990). Modelos Neron . Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol.  21. Springer-Verlag . ISBN 3540505873. Un capítulo sobre la teoría del descenso es más accesible que SGA.
• Pedicchio, Maria Cristina ; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de haces . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol.  97. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 . 

Otras posibles fuentes incluyen:

• Angelo Vistoli , Notas sobre topologías de Grothendieck, categorías fibradas y teoría del descenso arXiv : math.AG/0412512
• Mattieu Romagny, Un camino directo a las pilas algebraicas

• ¿Qué es la teoría de la descendencia?