Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Modelo Dicke

El modelo de Dicke es un modelo fundamental de la óptica cuántica que describe la interacción entre la luz y la materia . En este modelo, la luz se describe como un único modo c...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita
Este artículo se publicó en la revista científica revisada por pares PLOS One (2020). Haga clic para ver la versión publicada.

El modelo de Dicke es un modelo fundamental de la óptica cuántica que describe la interacción entre la luz y la materia . En este modelo, la luz se describe como un único modo cuántico, mientras que la materia se describe como un conjunto de sistemas de dos niveles . Cuando el acoplamiento entre la luz y la materia supera un valor crítico, el modelo de Dicke muestra una transición de fase de campo medio a una fase superradiante . Esta transición pertenece a la clase de universalidad de Ising y se ha observado en experimentos de electrodinámica cuántica de cavidades . Si bien la transición superradiante guarda cierta analogía con la inestabilidad láser , estas dos transiciones pertenecen a clases de universalidad diferentes.

Descripción

El modelo de Dicke es un modelo mecánico cuántico que describe el acoplamiento entre una cavidad monomodo ynorte{\displaystyle N}sistemas de dos niveles , o equivalentementenorte{\displaystyle N}grados de libertad de espín 1/2 . El modelo fue introducido por primera vez en 1973 por K. Hepp y EH Lieb . [ 1 ] Su estudio se inspiró en el trabajo pionero de RH Dicke sobre la emisión superradiante de luz en el espacio libre [ 2 ] y recibió su nombre en su honor.

Como cualquier otro modelo en mecánica cuántica, el modelo de Dicke incluye un conjunto de estados cuánticos (el espacio de Hilbert ) y un operador de energía total (el hamiltoniano ). El espacio de Hilbert del modelo de Dicke viene dado por (el producto tensorial de) los estados de la cavidad y de los sistemas de dos niveles. El espacio de Hilbert de la cavidad puede ser generado por estados de Fock connorte{\displaystyle n}fotones , denotados por|norte⟩{\displaystyle |n\rangle }Estos estados se pueden construir a partir del estado de vacío. |norte=0⟩{\displaystyle |n=0\rangle }utilizando los operadores de escalera canónicos ,a†{\displaystyle a^{\dagger }}ya{\displaystyle a}, que suman y restan un fotón de la cavidad, respectivamente. Los estados de cada sistema de dos niveles se denominan arriba y abajo y se definen mediante los operadores de espín .σ→j=(σjincógnita, σjy, σjz){\displaystyle {\vec {\sigma }}_{j}=(\sigma _{j}^{x},~\sigma _{j}^{y},~\sigma _{j}^{z})}, satisfaciendo el álgebra de espín[σjincógnita, σky]=iℏσjzδj,k{\displaystyle [\sigma _{j}^{x},~\sigma _{k}^{y}]=i\hbar \sigma _{j}^{z}\delta _{j,k}}. Aquíℏ{\displaystyle \hbar }es la constante de Planck reducida yj=(0,1,2,...,norte){\displaystyle j=(0,1,2,...,N)}indica un sistema específico de dos niveles. [ 3 ]

El hamiltoniano del modelo de Dicke es

Aquí, el primer término describe la energía de la cavidad y es igual al producto de la energía de un solo fotón de la cavidad.ℏωdo{\displaystyle \hbar \omega _ {c}}(dóndeωdo{\displaystyle \omega _{c}}es la frecuencia de la cavidad), veces el número de fotones en la cavidad,nortedo=a†a{\displaystyle n_{c}=a^{\dagger }a}. El segundo término describe la energía de los sistemas de dos niveles, dondeℏωz{\displaystyle \hbar \omega _ {z}}es la diferencia de energía entre los estados de cada sistema de dos niveles. El último término describe el acoplamiento entre los sistemas de dos niveles y la cavidad y se supone que es proporcional a una constante,λ{\displaystyle \lambda }, veces el inverso de la raíz cuadrada del número de sistemas de dos niveles. Esta suposición permite obtener una transición de fase en el límite denorte→∞{\displaystyle N\to \infty }(véase más abajo ). El acoplamiento se puede escribir como la suma de dos términos: un término corrotante que conserva el número de excitaciones y es proporcional aaσ++a†σ−{\displaystyle a\sigma ^{+}+a^{\dagger }\sigma ^{-}}y un término de contrarrotación proporcional aaσ−+a†σ+{\displaystyle a\sigma ^{-}+a^{\dagger }\sigma ^{+}}, dóndeσ±=σincógnita±iσy{\displaystyle \sigma ^{\pm }=\sigma ^{x}\pm i\sigma ^{y}}son los operadores de la escalera giratoria.

El hamiltoniano de la ecuación 1 supone que todos los espines son idénticos (es decir, tienen la misma diferencia de energía y están acoplados por igual a la cavidad). Bajo esta suposición, se pueden definir los operadores de espín macroscópicos. Sα=∑j=1norteσjα{\displaystyle S^{\alpha }=\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{\alpha }}, conα=incógnita,y,z{\displaystyle \alpha =x,y,z}, que satisfacen el álgebra de espín ,[Sincógnita,Sy]=iℏSz{\displaystyle [S^{x},S^{y}]=i\hbar S^{z}}. Utilizando estos operadores, se puede reescribir el hamiltoniano en la ecuación 1 como

Esta notación simplifica el estudio numérico del modelo porque implica un único espín-S conS≤norte/2{\displaystyle S\leq N/2}, cuyo espacio de Hilbert tiene tamaño2S+1{\displaystyle 2S+1}, en vez denorte{\displaystyle N}espín 1/2, cuyo espacio de Hilbert tiene tamaño2norte{\displaystyle 2^{N}}.

El modelo de Dicke tiene una simetría global ,

PorquePAG{\displaystyle {\mathcal {P}}}cuadrados a la unidad (es decir, si se aplica dos veces, devuelve cada estado a su estado original), tiene dos valores propios,1{\displaystyle 1}y−1{\displaystyle -1}. Esta simetría está asociada con una cantidad conservada : la paridad del número total de excitaciones,PAG=(−1)nortemiincógnita{\displaystyle P=(-1)^{N_{ex}}}, dónde

Esta conservación de la paridad se puede observar en el hecho de que cada término del hamiltoniano conserva el número de excitación, excepto los términos que giran en sentido contrario, que solo pueden cambiar el número de excitación mediante±2{\displaystyle \pm 2}Se dice que un estado del modelo de Dicke es normal cuando se conserva esta simetría, y superradiante cuando esta simetría se rompe espontáneamente.

El modelo de Dicke está estrechamente relacionado con otros modelos de óptica cuántica. Específicamente, el modelo de Dicke con un único sistema de dos niveles,norte=1{\displaystyle N=1}, se llama modelo Rabi . En ausencia de términos contrarrotatorios, el modelo se llama Jaynes-Cummings paranorte=1{\displaystyle N=1}y Tavis-Cummings pornorte>1{\displaystyle N>1}Estos dos modelos conservan el número de excitaciones.nortemiincógnita{\displaystyle N_{ex}}y se caracterizan por unaU(1){\displaystyle U(1)}simetría. La ruptura espontánea de esta simetría da lugar a un estado láser (véase más abajo ).

La relación entre el modelo de Dicke y otros modelos se resume en la tabla siguiente [ 4 ].

Transición de fase superradiante

Representación esquemática del parámetro de orden de la transición de Dicke, que es cero en la fase normal y finito en la fase superradiante. El recuadro muestra la energía libre en las fases normal y superradiante, véase la ecuación 5 .

Los primeros estudios del modelo de Dicke consideraron sus propiedades de equilibrio. [ 1 ] Estos trabajos consideraron el límite denorte→∞{\displaystyle N\to \infty }(también conocido como límite termodinámico ) y asumió una función de partición térmica ,Z=exp⁡(−H/kBT){\displaystyle Z=\exp(-H/k_{B}T)}, dóndekB{\displaystyle k_{B}}es la constante de Boltzmann yT{\displaystyle T}es la temperatura . Se encontró que, cuando el acoplamientoλ{\displaystyle \lambda }cruza un valor críticoλdo{\displaystyle \lambda _{c}}El modelo de Dicke experimenta una transición de fase de segundo orden , conocida como transición de fase superradiante . En su derivación original, Hepp y Lieb [ 1 ] omitieron los efectos de los términos contrarrotatorios y, por lo tanto, consideraron el modelo de Tavis-Cummings (véase más arriba). Estudios posteriores del modelo completo de Dicke encontraron que la transición de fase aún ocurre en presencia de términos contrarrotatorios, aunque con un acoplamiento crítico diferente. [ 5 ]

La transición superradiante rompe espontáneamente la simetría de paridad,PAG{\displaystyle {\mathcal {P}}}, definido en la ecuación 3. El parámetro de orden de esta transición de fase es⟨a⟩/norte{\displaystyle \langle {a}\rangle /{\sqrt {N}}}En el límite termodinámico , esta cantidad tiende a cero si el sistema es normal, o a uno de dos valores posibles si el sistema es superradiante. Estos dos valores corresponden a estados físicos del campo de la cavidad con fases opuestas (véase la ecuación 3) y, correspondientemente, a estados del espín con fases opuestas.incógnita{\displaystyle x}componentes). Cerca de la transición de fase superradiante, el parámetro de orden depende deλ{\displaystyle \lambda }como⟨a⟩/norte∼(λdo−λ)−1/2{\displaystyle \langle {a}\rangle /{\sqrt {N}}\sim (\lambda _{c}-\lambda )^{-1/2}}Esta dependencia corresponde al exponente crítico de campo medio.β=1/2{\displaystyle \beta =1/2}.

Descripción de campo medio de la transición

La forma más sencilla de describir la transición superradiante es utilizar una aproximación de campo medio , en la que los operadores de campo de la cavidad se sustituyen por sus valores esperados. Bajo esta aproximación, que es exacta en el límite termodinámico, el hamiltoniano de Dicke de la ecuación 1 se convierte en una suma de términos independientes, cada uno actuando sobre un sistema de dos niveles diferente, que puede diagonalizarse independientemente. En equilibrio térmico (véase más arriba), se encuentra que la energía libre por sistema de dos niveles es [ 6 ].

El acoplamiento crítico de la transición se puede encontrar mediante la condicióndF/dα(α=0)=0{\displaystyle dF/d\alpha (\alpha =0)=0}, lo que lleva a

Paraλ<λdo{\displaystyle \lambda <\lambda _{c}},F{\displaystyle F}tiene un mínimo, mientras que paraλ>λdo{\displaystyle \lambda >\lambda _{c}}, tiene dos mínimos. En el límite deT→0{\displaystyle T\to 0}se obtiene una expresión para el acoplamiento crítico de la transición de fase superradiante a temperatura cero,λdo=ωdoωz/2{\displaystyle \lambda _{c}={\sqrt {\omega _{c}\omega _{z}}}/2}.

Límite semiclásico y caos

Límite semiclasico

Un espacio de fases para el modelo de Dicke en el subespacio atómico simétrico conS=norte/2{\displaystyle S=N/2}puede construirse considerando el producto tensorial de los estados coherentes de Glauber

dóndeD(q,pag)=mi−S4(q2+pag2)exp⁡(S2(q+ipag)a†){\textstyle D(q,p)=e^{-{\frac {S}{4}}\left(q^{2}+p^{2}\right)}\exp \left({\sqrt {\frac {S}{2}}}\left(q+ip\right)a^{\dagger }\right)}es el operador de desplazamiento y|0⟩{\textstyle \left\vert 0\right\rangle }es el estado de Fock de vacío de fotones y los estados coherentes SU(2)

dóndeR(Q,PAG)=(1−Q2+PAG24)Sexp⁡(14−Q2−PAG2(Q+iPAG)S+ℏ){\textstyle R(Q,P)=\left(1-{\frac {Q^{2}+P^{2}}{4}}\right)^{S}\exp \left({\sqrt {\frac {1}{4-Q^{2}-P^{2}}}}\left(Q+iP\right){\frac {S^{+}}{\hbar }}\right)}es el operador de rotación en la esfera de Bloch ,Q2+PAG2≤4,{\textstyle Q^{2}+P^{2}\leq 4,}y|S,−S⟩{\displaystyle \left\vert {S,-S}\right\rangle }es el estado con todos los átomos en su estado fundamental. Esto produce un espacio de fases de cuatro dimensiones con coordenadas canónicas.(q,pag){\textstyle (q,p)}y(Q,PAG){\displaystyle (Q,P)}.

Se obtiene un hamiltoniano clásico tomando el valor esperado del hamiltoniano de Dicke dado por la ecuación 2 bajo estos estados, [ 7 ] [ 8 ]

Porcentaje de trayectorias clásicas con exponente de Lyapunov positivo en función de la energía por partícula.mi/S{\textstyle E/S}y el parámetro de acoplamientoλ{\textstyle \lambda }(dividido por el acoplamiento crítico)λdo=ωdoωz/2{\textstyle \lambda _{c}={\sqrt {\omega _{c}\omega _{z}}}/2}). Los parámetros sonωdo=ωz=1{\displaystyle \omega _{c}=\omega _{z}=1}.

En el límite denorte→∞{\displaystyle N\to \infty }, la dinámica cuántica dada por el hamiltoniano cuántico de la ecuación 2 y la dinámica clásica dada por la ecuación 9 coinciden. Para un tamaño de sistema finito, existe una correspondencia clásica y cuántica que se rompe en el tiempo de Ehrenfest , que es inversamente proporcional anorte{\displaystyle N}.

Caos cuántico

El modelo de Dicke proporciona un sistema ideal para estudiar la correspondencia cuántico-clásica y el caos cuántico . [ 9 ]

El sistema clásico dado por la ecuación 9 es caótico o regular dependiendo de los valores de los parámetros.λ{\textstyle \lambda },ωdo{\textstyle \omega _{c}}, yωz{\textstyle \omega _{z}}y la energíami{\textstyle E}. [ 8 ] [ 10 ] Nótese que puede haber caos tanto en el régimen normal como en el superradiante .

Recientemente se descubrió que la tasa de crecimiento exponencial del correlador fuera de orden temporal coincide con los exponentes clásicos de Lyapunov [ 11 ] [ 12 ] en el régimen caótico y en puntos inestables del régimen regular. Además, la evolución de la probabilidad de supervivencia (es decir, la fidelidad de un estado consigo mismo en un momento posterior) de estados coherentes iniciales altamente deslocalizados en la base de autovalores de energía se describe bien mediante la teoría de matrices aleatorias [ 13 ] [ 14 ] , mientras que los estados coherentes iniciales fuertemente afectados por la presencia de cicatrices cuánticas muestran comportamientos que rompen la ergodicidad [ 15 ] [ 16 ] .

Modelo abierto Dicke

El modelo de Dicke de la ecuación 1 supone que el modo de cavidad y los sistemas de dos niveles están perfectamente aislados del entorno externo. En experimentos reales, esta suposición no es válida: el acoplamiento a modos libres de luz puede causar la pérdida de fotones de cavidad y la desintegración de los sistemas de dos niveles (es decir, canales de disipación). Cabe mencionar que estos experimentos utilizan campos de excitación (por ejemplo, campos láser ) para implementar el acoplamiento entre el modo de cavidad y los sistemas de dos niveles. Los diversos canales de disipación pueden describirse añadiendo un acoplamiento a grados de libertad ambientales adicionales. Al promediar sobre la dinámica de estos grados de libertad externos, se obtienen ecuaciones de movimiento que describen un sistema cuántico abierto . Según la aproximación común de Born-Markov, la dinámica del sistema puede describirse con la ecuación maestra cuántica en forma de Lindblad [ 17 ].

Aquí,ρ{\displaystyle \rho }es la matriz de densidad del sistema,Lα{\displaystyle L_{\alpha }}es el operador de Lindblad del canal de desintegraciónα{\displaystyle \alpha }, yγα{\displaystyle \gamma _{\alpha }}la tasa de decaimiento asociada. Cuando el hamiltonianoH{\displaystyle H}viene dada por la ecuación 1 , el modelo se denomina modelo abierto de Dicke.

En la siguiente tabla se muestran algunos procesos de desintegración comunes que son relevantes para los experimentos:

En la descripción teórica del modelo, a menudo se considera el estado estacionario dondedρ/dt=0{\displaystyle d\rho /dt=0}. En el límite denorte→∞{\displaystyle N\to \infty }El estado estacionario del modelo de Dicke abierto muestra una transición de fase continua, a menudo denominada transición superradiante de no equilibrio . Los exponentes críticos de esta transición son los mismos que los de la transición superradiante de equilibrio a temperatura finita (y difieren de la transición superradiante a temperatura cero).

Transición superradiante y superradiancia de Dicke

Representación esquemática de la diferencia entre la superradiancia de Dicke y la transición superradiante del modelo abierto de Dicke.

La transición superradiante del modelo abierto de Dicke está relacionada con la superradiancia de Dicke , pero difiere de ella .

La superradiancia de Dicke es un fenómeno colectivo en el que muchos sistemas de dos niveles emiten fotones de forma coherente en el espacio libre. [ 2 ] [ 18 ] Ocurre si los sistemas de dos niveles se preparan inicialmente en su estado excitado y se colocan a una distancia mucho menor que la longitud de onda del fotón correspondiente. En estas condiciones, la desintegración espontánea de los sistemas de dos niveles se vuelve mucho más rápida: los sistemas de dos niveles emiten un pulso corto de luz con gran amplitud. En condiciones ideales, la duración del pulso es inversamente proporcional al número de sistemas de dos niveles,norte{\displaystyle N}y la intensidad máxima de la luz emitida se escala comonorte2{\displaystyle N^{2}}Esto contrasta con la emisión espontánea denorte{\displaystyle N}sistemas independientes de dos niveles, cuyo tiempo de decaimiento no depende denorte{\displaystyle N}y donde la intensidad del pulso se escala comonorte{\displaystyle N}.

Como se explicó anteriormente, el modelo de Dicke abierto modela sistemas de dos niveles acoplados a una cavidad cuantizada y excitados por una bomba externa. En la fase normal, la intensidad del campo de la cavidad no escala con el número de átomos.norte{\displaystyle N}, mientras que en la fase superradiante, la intensidad del campo de la cavidad es proporcional a⟨a†a⟩∼norte{\displaystyle \langle a^{\dagger }a\rangle \sim N}.

Las leyes de escala de la superradiancia de Dicke y de la transición superradiante del modelo de Dicke se resumen en la siguiente tabla:

Realizaciones experimentales

Representación esquemática de dos métodos para realizar experimentalmente el modelo de Dicke: a la izquierda, el método de equilibrio basado en el acoplamiento dipolar entre los dos niveles y, a la derecha, el método de no equilibrio basado en procesos de dos fotones, concretamente la dispersión Raman estimulada. Solo este último método se utiliza para realizar el modelo de Dicke.

La realización más simple del modelo de Dicke implica el acoplamiento dipolar entre átomos de dos niveles en una cavidad. En este sistema, la observación de la transición superradiante se ve obstaculizada por dos posibles problemas: (1) El acoplamiento puro entre átomos y cavidades suele ser débil e insuficiente para alcanzar el valor crítico.λdo{\displaystyle \lambda _{c}}, véase la ecuación 6. [ 19 ] (2) Un modelado preciso del sistema físico requiere considerarA2{\displaystyle A^{2}}términos que, según un teorema de imposibilidad , pueden impedir la transición. Ambas limitaciones pueden sortearse aplicando bombas externas a los átomos y creando un modelo de Dicke efectivo en un marco de referencia giratorio apropiado . [ 20 ] [ 21 ]

En 2010, se observó experimentalmente la transición superradiante del modelo de Dicke abierto utilizando átomos de rubidio neutros atrapados en una cavidad óptica. [ 22 ] En estos experimentos, el acoplamiento entre los átomos y la cavidad no se logra mediante un acoplamiento dipolar directo entre los dos sistemas. En cambio, los átomos son iluminados por un bombeo externo, que impulsa una transición Raman estimulada . Este proceso de dos fotones hace que el sistema de dos niveles cambie su estado de abajo a arriba , o viceversa , y emita o absorba un fotón en la cavidad. Los experimentos mostraron que el número de fotones en la cavidad muestra un fuerte aumento cuando la intensidad del bombeo cruza un umbral crítico. Este umbral se asoció con el acoplamiento crítico del modelo de Dicke.

En los experimentos, se utilizaron dos conjuntos diferentes de estados físicos como estados abajo y arriba . En algunos experimentos, [ 23 ] [ 22 ] [ 24 ] los dos estados corresponden a átomos con diferentes velocidades o momentos: el estado abajo tenía momento cero y pertenecía a un condensado de Bose-Einstein , mientras que el estado arriba tenía un momento igual a la suma del momento de un fotón de cavidad y el momento de un fotón de bombeo. [ 25 ] [ 26 ] En contraste, experimentos posteriores [ 27 ] [ 28 ] utilizaron dos niveles hiperfinos diferentes de los átomos de rubidio en un campo magnético. Esta última realización permitió a los investigadores estudiar un modelo de Dicke generalizado (véase más adelante ). En ambos experimentos, el sistema es dependiente del tiempo y el hamiltoniano de Dicke (generalizado) se realiza en un marco que rota a la frecuencia del bombeo.

Modelo generalizado y emisión láser

El modelo de Dicke puede generalizarse considerando los efectos de términos adicionales en el hamiltoniano de la ecuación 1. [ 6 ] Por ejemplo, un experimento reciente [ 28 ] realizó un modelo de Dicke abierto con términos rotatorios y contrarrotatorios ajustables independientemente. Además de la transición superradiante, este modelo de Dicke generalizado puede experimentar una inestabilidad láser , que se denominó láser invertido o contraláser . [ 6 ] Esta transición es inducida por los términos contrarrotatorios del modelo de Dicke y es más prominente cuando estos términos son mayores que los rotatorios.

La transición superradiante de no equilibrio y la inestabilidad láser presentan varias similitudes y diferencias. Ambas transiciones son de tipo campo medio y pueden entenderse en términos de la dinámica de un único grado de libertad. La transición superradiante corresponde a una bifurcación de horquilla supercrítica , mientras que la inestabilidad láser corresponde a una inestabilidad de Hopf . La diferencia clave entre estos dos tipos de bifurcaciones radica en que la primera da lugar a dos soluciones estables, mientras que la segunda conduce a soluciones periódicas ( ciclos límite ). En consecuencia, en la fase superradiante el campo de la cavidad es estático (en el marco del campo de bombeo), mientras que oscila periódicamente en la fase láser. [ 6 ]

Véase también

Referencias

Este artículo fue adaptado de la siguiente fuente bajo una licencia CC BY 4.0 ( 2020 ) ( informes de revisores ): Mor M Roses; Emanuele Dalla Torre (4 de septiembre de 2020). "Modelo de Dicke" . PLOS One . 15 (9) e0235197. doi : 10.1371/JOURNAL.PONE.0235197 . ISSN 1932-6203 . PMID 32886669. Wikidata Q98950147 .   

  1. 1 2 3 4 Hepp, Klaus; Lieb, Elliott H (1973). "Sobre la transición de fase superradiante para moléculas en un campo de radiación cuantizado: el modelo máser de Dicke". Annals of Physics . 76 (2): 360– 404. Bibcode : 1973AnPhy..76..360H . doi : 10.1016/0003-4916(73)90039-0 . ISSN 0003-4916 . 
  2. 1 2 3 Dicke, RH (1954). "Coherencia en procesos de radiación espontánea" . Physical Review . 93 (1): 99– 110. Bibcode : 1954PhRv...93...99D . doi : 10.1103/PhysRev.93.99 . ISSN 0031-899X . 
  3. ↑ Nótese que los operadores de espín suelen representarse mediante matrices de Pauli.σ~α{\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{\alpha }}, a través de la relaciónσα=ℏσ~α/2{\displaystyle \sigma ^{\alpha }=\hbar {\tilde {\sigma }}^{\alpha }/2}En algunas referencias, el hamiltoniano del modelo de Dicke se representa en términos de matrices de Pauli, en lugar de operadores de espín.
  4. ↑ Larson, Jonas; Irish, Elinor K (2017). "Algunas observaciones sobre las transiciones de fase 'superradiantes' en sistemas luz-materia". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 50 (17): 174002. arXiv : 1612.00336 . Bibcode : 2017JPhA...50q4002L . doi : 10.1088/1751-8121/aa65dc . ISSN 1751-8113 . S2CID 119474228 .  
  5. ↑ Véase Garraway, BM (2011). "El modelo de Dicke en óptica cuántica: revisión del modelo de Dicke" . Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 369 (1939): 1137–1155 . Bibcode : 2011RSPTA.369.1137G . doi : 10.1098/rsta.2010.0333 . ISSN 1364-503X . PMID 21320910 .  y las referencias que contiene.
  6. 1 2 3 4 Véase Kirton, Peter; Roses, Mor M.; Keeling, Jonathan; Dalla Torre, Emanuele G. (2018). "Introducción al modelo de Dicke: del equilibrio al no equilibrio y viceversa". Tecnologías cuánticas avanzadas . 2 ( 1– 2) 1800043. arXiv : 1805.09828 . doi : 10.1002/qute.201800043 . hdl : 10023/18678 . ISSN 2511-9044 . S2CID 51695881 .  y las referencias que contiene.
  7. ↑ de Aguiar, MAM; Furuya, K; Lewenkopf, CH; Nemes, MC (1992). "Caos en un sistema espín-bosón: análisis clásico" . Annals of Physics . 216 (2): 291– 312. Bibcode : 1992AnPhy.216..291D . doi : 10.1016/0003-4916(92)90178-O .
  8. 1 2 Bastarrachea-Magnani, Miguel Ángel; López del Carpio, Baldemar; Lerma-Hernández, Sergio; Hirsch, Jorge G (2015). "Caos en el modelo de Dicke: análisis cuántico y semiclásico". Escritura física . 90 (6) 068015. Código bibliográfico : 2015PhyS...90f8015B . doi : 10.1088/0031-8949/90/6/068015 . ISSN 0031-8949 . S2CID 123306936 .  
  9. ↑ Emary, Clive; Brandes, Tobias (2003). "Caos cuántico desencadenado por precursores de una transición de fase cuántica: el modelo de Dicke" . Physical Review Letters . 90 (4) 044101. arXiv : cond-mat/0207290 . Bibcode : 2003PhRvL..90d4101E . doi : 10.1103/PhysRevLett.90.044101 . PMID 12570425. S2CID 18617320 .  
  10. ↑ Chávez-Carlos, Jorge; Bastarrachea-Magnani, Miguel Ángel; Lerma-Hernández, Sergio; Hirsch, Jorge G. (2016). "Caos clásico en sistemas de campo atómico" . Revisión física E. 94 (2) 022209. arXiv : 1604.00725 . Código Bib : 2016PhRvE..94b2209C . doi : 10.1103/PhysRevE.94.022209 . PMID 27627300 . S2CID 18123430 .  
  11. ↑ Chávez-Carlos, Jorge; López del Carpio, Baldemar; Bastarrachea-Magnani, Miguel Ángel; Stránský, Pavel; Lerma-Hernández, Sergio; Santos, Lea F.; Hirsch, Jorge G. (2019). "Exponentes de Lyapunov cuánticos y clásicos en sistemas de interacción átomo-campo" . Cartas de revisión física . 122 (2) 024101. arXiv : 1807.10292 . Código Bib : 2019PhRvL.122b4101C . doi : 10.1103/PhysRevLett.122.024101 . PMID 30720302 . 
  12. ↑ Pilatowsky-Cameo, Saúl; Chávez-Carlos, Jorge; Bastarrachea-Magnani, Miguel A.; Stránský, Pavel; Lerma-Hernández, Sergio; Santos, Lea F.; Hirsch, Jorge G. (2020). "Exponentes cuánticos positivos de Lyapunov en sistemas experimentales con límite clásico regular" . Revisión física E. 101 (1) 010202. arXiv : 1909.02578 . Código Bib : 2020PhRvE.101a0202P . doi : 10.1103/PhysRevE.101.010202 . PMID 32069677 . S2CID 210023416 .  
  13. ↑ Lerma-Hernández, S.; Villaseñor, D.; Bastarrachea-Magnani, MA; Torres-Herrera, EJ; Santos, LF; Hirsch, JG (2019). "Firmas dinámicas de caos cuántico y escalas de tiempo de relajación en un sistema espín-bosón" . Physical Review E. 100 ( 1) 012218. arXiv : 1905.03253 . Bibcode : 2019PhRvE.100a2218L . doi : 10.1103/PhysRevE.100.012218 . PMID 31499773 . 
  14. ↑ Villaseñor, David; Pilatowsky-Cameo, Saúl; Bastarrachea-Magnani, Miguel Ángel; Lerma-Hernández, Sergio; Santos, Lea F.; Hirsch, Jorge G. (2020). "Dinámica cuántica vs clásica en un sistema espín-bosón: manifestaciones de correlaciones espectrales y cicatrices" . New Journal of Physics . 22 (6): 063036. arXiv : 2002.02465 . Bibcode : 2020NJPh...22f3036V . doi : 10.1088/1367-2630/ab8ef8 . ISSN 1367-2630 . 
  15. ↑ Aguiar, MAM de; Furuya, K; Lewenkopf, C. H; Nemes, M. C (1991). "Acoplamiento partícula-espín en un sistema caótico: localización-deslocalización en las distribuciones de Husimi". Europhysics Letters . 15 (2): 125– 131. Bibcode : 1991EL.....15..125D . doi : 10.1209/0295-5075/15/2/003 . ISSN 0295-5075 . S2CID 250898244 .  
  16. ↑ Pilatowsky-Cameo, Saúl; Villaseñor, David; Bastarrachea-Magnani, Miguel A; Lerma, Sergio; Santos, Lea F; Hirsch, Jorge G (2021). "Cicatrices cuánticas en un sistema de bosones de espín: familias fundamentales de órbitas periódicas" . Nueva Revista de Física . 23 (3): 033045. arXiv : 2009.08523 . Código Bib : 2021NJPh...23c3045P . doi : 10.1088/1367-2630/abd2e6 . ISSN 1367-2630 . 
  17. ↑ Scully, Marlan O.; Zubairy, M. Suhail (1997). Óptica cuántica . Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511813993 . ISBN 978-0-521-43595-6.
  18. ↑ Gross, M.; Haroche, S. (1982). "Superradiancia: Un ensayo sobre la teoría de la emisión espontánea colectiva". Physics Reports . 93 (5): 301– 396. Bibcode : 1982PhR....93..301G . doi : 10.1016/0370-1573(82)90102-8 . ISSN 0370-1573 . 
  19. ↑ Frisk Kockum, Anton; Miranowicz, Adam; De Liberato, Simone; Savasta, Salvatore; Nori, Franco (2019). "Acoplamiento ultra fuerte entre la luz y la materia". Nature Reviews Physics . 1 (1): 19– 40. arXiv : 1807.11636 . Bibcode : 2019NatRP...1...19F . doi : 10.1038/s42254-018-0006-2 . ISSN 2522-5820 . S2CID 51963566 .  
  20. ↑ Dimer, F.; Estienne, B.; Parkins, AS; Carmichael, HJ (2007). "Propuesta de realización de la transición de fase cuántica del modelo de Dicke en un sistema QED de cavidad óptica". Physical Review A . 75 (1) 013804. arXiv : quant-ph/0607115 . Bibcode : 2007PhRvA..75a3804D . doi : 10.1103/PhysRevA.75.013804 . ISSN 1050-2947 . S2CID 5513429 .  
  21. ^ Nagy, D.; Konya, G.; Szirmai, G.; Domokos, P. (2010). "Transición de fase del modelo Dicke en el movimiento cuántico de un condensado de Bose-Einstein en una cavidad óptica". Cartas de revisión física . 104 (13) 130401. arXiv : 0912.3260 . Código Bib : 2010PhRvL.104m0401N . doi : 10.1103/PhysRevLett.104.130401 . ISSN 0031-9007 . PMID 20481867 . S2CID 36968566 .   
  22. 1 2 Baumann, Kristian; Guerlín, Christine; Brennecke, Fernando; Esslinger, Tilman (2010). "Transición de fase cuántica de Dicke con un gas superfluido en una cavidad óptica". Naturaleza . 464 (7293): 1301–1306 . arXiv : 0912.3261 . Código Bib : 2010Natur.464.1301B . doi : 10.1038/naturaleza09009 . ISSN 0028-0836 . PMID 20428162 . S2CID 205220396 .   
  23. ↑ Black, Adam T.; Chan, Hilton W.; Vuletić, Vladan (2003). "Observación de fuerzas de fricción colectivas debidas a la autoorganización espacial de átomos: de la dispersión de Rayleigh a la de Bragg". Physical Review Letters . 91 (20) 203001. Bibcode : 2003PhRvL..91t3001B . doi : 10.1103/PhysRevLett.91.203001 . ISSN 0031-9007 . PMID 14683358 .  
  24. ↑ Klinder, Jens; Keßler, Hans; Wolke, Matthias; Mathey, Ludwig; Hemmerich, Andreas (2015). "Transición de fase dinámica en el modelo abierto de Dicke" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 112 (11): 3290– 3295. arXiv : 1409.1945 . Bibcode : 2015PNAS..112.3290K . doi : 10.1073/pnas.1417132112 . ISSN 0027-8424 . PMC 4371957. PMID 25733892 .   
  25. ↑ Ritsch, Helmut; Domokos, Peter; Brennecke, Ferdinand; Esslinger, Tilman (2013). "Átomos fríos en potenciales ópticos dinámicos generados por cavidad". Reviews of Modern Physics . 85 (2): 553– 601. arXiv : 1210.0013 . Bibcode : 2013RvMP...85..553R . doi : 10.1103/RevModPhys.85.553 . ISSN 0034-6861 . S2CID 118314846 .  
  26. ↑ Mivehvar, Farokh; Piazza, Francesco; Donner, Tobias; Ritsch, Helmut (2 de enero de 2021). "QED de cavidad con gases cuánticos: nuevos paradigmas en física de muchos cuerpos" . Advances in Physics . 70 (1): 1– 153. arXiv : 2102.04473 . Bibcode : 2021AdPhy..70....1M . doi : 10.1080/00018732.2021.1969727 . ISSN 0001-8732 . S2CID 231855430 .  
  27. ↑ Zhiqiang, Zhang; Lee, Chern Hui; Kumar, Ravi; Arnold, KJ; Masson, Stuart J.; Parkins, AS; Barrett, MD (2017). "Transición de fase de no equilibrio en un modelo de Dicke de espín 1". Optica . 4 (4): 424. arXiv : 1612.06534 . Bibcode : 2017Optic...4..424Z . doi : 10.1364/OPTICA.4.000424 . ISSN 2334-2536 . S2CID 119232097 .  
  28. 1 2 Zhang, Zhiqiang; Lee, Chern Hui; Kumar, Ravi; Arnold, KJ; Masson, Stuart J.; Grimsmo, AL; Parkins, AS; Barrett, MD (2018). "Simulación del modelo de Dicke mediante transiciones Raman asistidas por cavidad". Physical Review A . 97 (4) 043858. arXiv : 1801.07888 . Bibcode : 2018PhRvA..97d3858Z . doi : 10.1103/PhysRevA.97.043858 . ISSN 2469-9926 . S2CID 119232888 .  
Obtenido de " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dicke_model&oldid=1341291385 "