Geometría diferencial

El estudio de la geometría diferencial, o al menos el estudio de la geometría de las formas suaves, se remonta al menos a la antigüedad clásica . En particular, se conocía mucho sobre la geometría de la Tierra , una geometría esférica , en la época de los antiguos matemáticos griegos. Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra alrededor del año 200 a. C., y alrededor del año 150 d. C., Ptolomeo introdujo en su Geografía la proyección estereográfica para representar la forma de la Tierra. ^{[ 1 ]} Implícitamente, durante todo este tiempo, se utilizaron en geodesia , aunque de forma mucho más simplificada, principios que constituyen la base de la geometría diferencial y el cálculo. Es decir, ya en los Elementos de Euclides se entendía que una línea recta podía definirse por su propiedad de proporcionar la distancia más corta entre dos puntos, y la aplicación de este mismo principio a la superficie de la Tierra lleva a la conclusión de que los círculos máximos , que solo son localmente similares a las líneas rectas en un plano, proporcionan el camino más corto entre dos puntos en la superficie terrestre. De hecho, las mediciones de distancia a lo largo de tales trayectorias geodésicas realizadas por Eratóstenes y otros pueden considerarse una medida rudimentaria de la longitud de arco de las curvas, un concepto que no tuvo una definición rigurosa en términos de cálculo hasta el siglo XVII.

Por aquel entonces, solo existían aplicaciones mínimas y explícitas de la teoría de los infinitesimales al estudio de la geometría, precursoras del estudio moderno de la materia basado en el cálculo. En los Elementos de Euclides se analiza la noción de tangencia de una línea a un círculo, y Arquímedes aplicó el método de exhaución para calcular las áreas de figuras lisas como el círculo y los volúmenes de sólidos tridimensionales lisos como la esfera, los conos y los cilindros. ^{[ 1 ]}

Hubo poco desarrollo en la teoría de la geometría diferencial entre la Antigüedad y el comienzo del Renacimiento . Antes del desarrollo del cálculo por Newton y Leibniz , el desarrollo más significativo en la comprensión de la geometría diferencial provino del desarrollo de la proyección de Mercator por Gerardus Mercator como una forma de mapear la Tierra. Mercator comprendía las ventajas y los inconvenientes de su diseño de mapa, y en particular era consciente de la naturaleza conforme de su proyección, así como de la diferencia entre praga , las líneas de distancia más corta en la Tierra, y directio , las trayectorias de línea recta en su mapa. Mercator notó que las praga eran curvaturas oblicuas en esta proyección. ^{[ 1 ]} Este hecho refleja la falta de un mapa que conserve la métrica de la superficie de la Tierra en un plano plano, una consecuencia del posterior Theorema Egregium de Gauss .

El primer tratamiento sistemático o riguroso de la geometría utilizando la teoría de los infinitesimales y nociones del cálculo comenzó alrededor del siglo XVII, cuando Gottfried Leibniz e Isaac Newton desarrollaron el cálculo . En ese momento, el reciente trabajo de René Descartes, que introdujo las coordenadas analíticas en la geometría, permitió describir rigurosamente formas geométricas de creciente complejidad. En particular, alrededor de esta época, Pierre de Fermat , Newton y Leibniz comenzaron el estudio de las curvas planas y la investigación de conceptos como puntos de inflexión y círculos de osculación , que ayudan en la medición de la curvatura . De hecho, ya en su primer artículo sobre los fundamentos del cálculo, Leibniz señala que la condición infinitesimal${\displaystyle d^{2}y=0}$indica la existencia de un punto de inflexión. Poco después, los hermanos Bernoulli , Jacob y Johann, hicieron importantes contribuciones iniciales al uso de infinitesimales para estudiar geometría. En las clases impartidas por Johann Bernoulli en ese momento, recopiladas posteriormente por L'Hôpital en el primer libro de texto sobre cálculo diferencial , se calculan las tangentes a curvas planas de varios tipos utilizando la condición${\displaystyle dy=0}$y de manera similar se calculan los puntos de inflexión. ^{[ 1 ]} Al mismo tiempo, se comprende la ortogonalidad entre los círculos osculadores de una curva plana y las direcciones tangentes, y se escribe la primera fórmula analítica para el radio de un círculo osculador, esencialmente la primera fórmula analítica para la noción de curvatura .

Tras el desarrollo de la geometría analítica y las curvas planas, Alexis Clairaut comenzó a estudiar las curvas espaciales con tan solo 16 años. ^{[ 2 ] [ 1 ]} En su libro, Clairaut introdujo la noción de direcciones tangente y subtangente a las curvas espaciales en relación con las direcciones que se encuentran a lo largo de una superficie sobre la cual se ubica la curva espacial. De este modo, Clairaut demostró una comprensión implícita del espacio tangente de una superficie y estudió esta idea utilizando el cálculo por primera vez. Es importante destacar que Clairaut introdujo la terminología de curvatura y doble curvatura , esencialmente la noción de curvaturas principales que posteriormente estudiaron Gauss y otros.

Por esta misma época, Leonhard Euler , originalmente alumno de Johann Bernoulli, realizó importantes contribuciones no solo al desarrollo de la geometría, sino también a las matemáticas en general. ^{[ 3 ]} En cuanto a la geometría diferencial, Euler estudió la noción de una geodésica en una superficie, derivando la primera ecuación geodésica analítica , y posteriormente introdujo el primer conjunto de sistemas de coordenadas intrínsecas en una superficie, iniciando la teoría de la geometría intrínseca sobre la cual se basan las ideas geométricas modernas. ^{[ 1 ]} Por esta época, el estudio de la mecánica de Euler en la Mechanica condujo a la comprensión de que una masa que se desplaza a lo largo de una superficie sin el efecto de ninguna fuerza recorrería una trayectoria geodésica, un precursor temprano de las importantes ideas fundamentales de la relatividad general de Einstein , y también de las ecuaciones de Euler-Lagrange y la primera teoría del cálculo de variaciones , que sustenta en la geometría diferencial moderna muchas técnicas de la geometría simpléctica y el análisis geométrico . Esta teoría fue utilizada por Lagrange , uno de los creadores del cálculo de variaciones, para derivar la primera ecuación diferencial que describe una superficie mínima en términos de la ecuación de Euler-Lagrange. En 1760, Euler demostró un teorema que expresa la curvatura de una curva espacial en una superficie en términos de las curvaturas principales, conocido como el teorema de Euler .

Más adelante, en el siglo XVIII, la nueva escuela francesa liderada por Gaspard Monge comenzó a realizar contribuciones a la geometría diferencial. Monge hizo importantes aportaciones a la teoría de curvas y superficies planas, y estudió superficies de revolución y envolventes de curvas planas y espaciales. Varios alumnos de Monge contribuyeron a esta misma teoría; por ejemplo, Charles Dupin proporcionó una nueva interpretación del teorema de Euler en términos de curvaturas principales, que es la forma moderna de la ecuación. ^{[ 1 ]}

El campo de la geometría diferencial se convirtió en un área de estudio considerada como tal, distinta de la idea más amplia de geometría analítica, en el siglo XIX, principalmente a través del trabajo fundamental de Carl Friedrich Gauss y Bernhard Riemann , y también en las importantes contribuciones de Nikolai Lobachevsky sobre geometría hiperbólica y geometría no euclidiana y, durante el mismo período, el desarrollo de la geometría proyectiva .

Considerada la obra más importante en la historia de la geometría diferencial, ^{[ 4 ]} en 1827 Gauss publicó las Disquisitiones generales circa superficies curvas, donde detalla la teoría general de las superficies curvas. ^{[ 5 ] [ 4 ] [ 6 ]} En esta obra y en sus trabajos posteriores y notas inéditas sobre la teoría de superficies, Gauss ha sido considerado el inventor de la geometría no euclidiana y de la geometría diferencial intrínseca. ^{[ 6 ]} En su trabajo fundamental, Gauss introdujo el mapa de Gauss , la curvatura gaussiana , la primera y la segunda forma fundamental , demostró el Theorema Egregium , que muestra la naturaleza intrínseca de la curvatura gaussiana, y estudió las geodésicas, calculando el área de un triángulo geodésico en diversas geometrías no euclidianas sobre superficies.

En ese momento, Gauss ya opinaba que el paradigma estándar de la geometría euclidiana debía descartarse y poseía manuscritos privados sobre geometría no euclidiana que fundamentaron su estudio de los triángulos geodésicos. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Por esa misma época, János Bolyai y Lobachevsky descubrieron independientemente la geometría hiperbólica y demostraron así la existencia de geometrías consistentes fuera del paradigma de Euclides. Eugenio Beltrami elaboró ​​modelos concretos de geometría hiperbólica más adelante en la década de 1860, y Felix Klein acuñó el término geometría no euclidiana en 1871 y, a través del programa de Erlangen, puso las geometrías euclidianas y no euclidianas en igualdad de condiciones. ^{[ 8 ]} Implícitamente, la geometría esférica de la Tierra que se había estudiado desde la antigüedad era una geometría no euclidiana, una geometría elíptica .

El desarrollo de la geometría diferencial intrínseca en el lenguaje de Gauss fue impulsado por su alumno, Bernhard Riemann, en su Habilitationsschrift , Sobre las hipótesis que se encuentran en el fundamento de la geometría . ^{[ 9 ]} En este trabajo, Riemann introdujo por primera vez la noción de una métrica riemanniana y el tensor de curvatura riemanniano , y comenzó el estudio sistemático de la geometría diferencial en dimensiones superiores. Este punto de vista intrínseco en términos de la métrica riemanniana, denotada por${\displaystyle ds^{2}}$Por Riemann, fue el desarrollo de una idea de Gauss sobre el elemento lineal.${\displaystyle ds}$de una superficie. En este momento, Riemann comenzó a introducir el uso sistemático del álgebra lineal y el álgebra multilineal en el tema, haciendo un gran uso de la teoría de las formas cuadráticas en su investigación de métricas y curvatura. En este momento, Riemann aún no había desarrollado la noción moderna de variedad, ya que ni siquiera se había encontrado la noción de espacio topológico , pero sí propuso que podría ser posible investigar o medir las propiedades de la métrica del espaciotiempo a través del análisis de masas dentro del espaciotiempo, vinculándolo con la observación anterior de Euler de que las masas bajo el efecto de fuerzas no se desplazarían a lo largo de geodésicas en superficies, y prediciendo la observación fundamental de Einstein del principio de equivalencia 60 años antes de que apareciera en la literatura científica. ^{[ 6 ] [ 4 ]}

Tras la nueva descripción de Riemann, el enfoque de las técnicas utilizadas para estudiar la geometría diferencial pasó de los métodos ad hoc y extrínsecos del estudio de curvas y superficies a un enfoque más sistemático en términos de cálculo tensorial y el programa de Erlangen de Klein, lo que impulsó el progreso en este campo. La noción de grupos de transformaciones fue desarrollada por Sophus Lie y Jean Gaston Darboux , lo que condujo a resultados importantes en la teoría de grupos de Lie y geometría simpléctica . La noción de cálculo diferencial en espacios curvos fue estudiada por Elwin Christoffel , quien introdujo los símbolos de Christoffel que describen la derivada covariante en 1868, y por otros, como Eugenio Beltrami, quien estudió numerosas cuestiones analíticas en variedades. ^{[ 10 ]} En 1899, Luigi Bianchi publicó sus Lecciones sobre geometría diferencial , que estudiaban la geometría diferencial desde la perspectiva de Riemann, y un año después Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro publicaron su libro de texto que desarrollaba sistemáticamente la teoría del cálculo diferencial absoluto y el cálculo tensorial . ^{[ 11 ] [ 4 ]} Fue en este lenguaje que Einstein utilizó la geometría diferencial en el desarrollo de la relatividad general y la geometría pseudoriemanniana .

La geometría diferencial moderna surgió a principios del siglo XX como respuesta a las contribuciones fundamentales de muchos matemáticos, entre las que destaca la obra de Henri Poincaré sobre los fundamentos de la topología . ^{[ 12 ]} A principios del siglo XX, se produjo un importante movimiento dentro de las matemáticas para formalizar los aspectos fundamentales de la materia y evitar crisis de rigor y precisión, conocido como el programa de Hilbert . Como parte de este movimiento más amplio, Felix Hausdorff destiló la noción de espacio topológico en 1914, y para 1942 existían diversas nociones de variedad de naturaleza combinatoria y geométrica diferencial. ^{[ 12 ]}

El interés en el tema también se centró por el surgimiento de la teoría de la relatividad general de Einstein y la importancia de las ecuaciones de campo de Einstein. La teoría de Einstein popularizó el cálculo tensorial de Ricci y Levi-Civita e introdujo la notación.${\displaystyle g}$para una métrica riemanniana, y${\displaystyle \Gamma }$para los símbolos de Christoffel, ambos provenientes de G en Gravitación . Élie Cartan ayudó a reformular los fundamentos de la geometría diferencial de variedades diferenciables en términos de cálculo exterior y la teoría de marcos móviles , lo que condujo en el mundo de la física a la teoría de Einstein-Cartan . ^{[ 13 ] [ 4 ]}

Después de este desarrollo inicial, muchos matemáticos contribuyeron al desarrollo de la teoría moderna, incluyendo a Jean-Louis Koszul que introdujo conexiones en haces vectoriales , Shiing-Shen Chern que introdujo clases características al tema y comenzó el estudio de variedades complejas , Sir William Vallance Douglas Hodge y Georges de Rham que ampliaron la comprensión de las formas diferenciales , Charles Ehresmann que introdujo la teoría de haces de fibras y conexiones de Ehresmann , y otros. ^{[ 13 ] [ 4 ]} De particular importancia fue Hermann Weyl que hizo contribuciones importantes a los fundamentos de la relatividad general, introdujo el tensor de Weyl que proporcionó una visión de la geometría conforme y definió por primera vez la noción de calibre que condujo al desarrollo de la teoría de calibre en física y matemáticas .

A mediados y finales del siglo XX, la geometría diferencial como disciplina amplió su alcance y desarrolló vínculos con otras áreas de las matemáticas y la física. El desarrollo de la teoría de gauge y la teoría de Yang-Mills en física puso de relieve los haces y las conexiones, lo que condujo a avances en la teoría de gauge . Se investigaron numerosos resultados analíticos, incluyendo la demostración del teorema del índice de Atiyah-Singer . El desarrollo de la geometría compleja fue impulsado por resultados paralelos en geometría algebraica , y Shing-Tung Yau y otros demostraron resultados en la geometría y el análisis global de variedades complejas . En la segunda mitad del siglo XX, se desarrollaron nuevas técnicas analíticas en relación con los flujos de curvatura, como el flujo de Ricci , que culminaron con la demostración de la conjetura de Poincaré por Grigori Perelman . Durante este mismo período, principalmente debido a la influencia de Michael Atiyah , se establecieron nuevos vínculos entre la física teórica y la geometría diferencial. Las técnicas derivadas del estudio de las ecuaciones de Yang-Mills y la teoría de gauge fueron utilizadas por matemáticos para desarrollar nuevos invariantes de variedades diferenciables. Físicos como Edward Witten , el único físico galardonado con la Medalla Fields , tuvieron un gran impacto en las matemáticas al utilizar la teoría cuántica de campos topológica y la teoría de cuerdas para realizar predicciones y proporcionar marcos para nuevas matemáticas rigurosas, lo que ha dado lugar, por ejemplo, a la simetría especular conjetural y a los invariantes de Seiberg-Witten .

La geometría riemanniana estudia las variedades riemannianas , variedades diferenciables con una métrica riemanniana . Este es un concepto de distancia expresado mediante una forma bilineal simétrica, definida positiva y diferenciable , definida en el espacio tangente en cada punto. La geometría riemanniana generaliza la geometría euclidiana a espacios que no son necesariamente planos, aunque siguen asemejiéndose al espacio euclidiano infinitesimalmente en cada punto, es decir, en el primer orden de aproximación . Diversos conceptos basados ​​en la longitud, como la longitud de arco de las curvas, el área de las regiones planas y el volumen de los sólidos, poseen análogos naturales en la geometría riemanniana. La noción de derivada direccional de una función del cálculo multivariable se extiende a la noción de derivada covariante de un tensor . Muchos conceptos de análisis y ecuaciones diferenciales se han generalizado al contexto de las variedades riemannianas.

Un difeomorfismo que preserva la distancia entre variedades riemannianas se denomina isometría . Esta noción también puede definirse localmente , es decir, para pequeños entornos de puntos. Cualquier par de curvas regulares son localmente isométricas. Sin embargo, el Teorema Egregium de Carl Friedrich Gauss demostró que, para superficies, la existencia de una isometría local implica que las curvaturas gaussianas en los puntos correspondientes deben ser iguales. En dimensiones superiores, el tensor de curvatura de Riemann es un invariante puntual importante asociado a una variedad riemanniana que mide su proximidad a la planitud. Una clase importante de variedades riemannianas son los espacios simétricos riemannianos , cuya curvatura no es necesariamente constante. Estos son los análogos más cercanos al plano y espacio "ordinarios" considerados en la geometría euclidiana y no euclidiana .

La geometría pseudoriemanniana generaliza la geometría riemanniana al caso en que el tensor métrico no necesita ser definido positivo . Un caso especial de esto es una variedad lorentziana , que es la base matemática de la teoría de la relatividad general de la gravedad de Einstein .

La geometría de Finsler tiene como principal objeto de estudio las variedades de Finsler . Se trata de una variedad diferencial con una métrica de Finsler , es decir, una norma de Banach definida en cada espacio tangente. Las variedades riemannianas son casos especiales de las variedades de Finsler más generales. Una estructura de Finsler en una variedad${\displaystyle M}$es una función${\displaystyle F:\mathrm {T} M\to [0,\infty )}$de tal manera que:

1. ${\displaystyle F(x,my)=mF(x,y)}$a pesar de${\displaystyle (x,y)}$en${\displaystyle \mathrm {T} M}$y todo${\displaystyle m\geq 0}$,
2. ${\displaystyle F}$es infinitamente diferenciable en${\displaystyle \mathrm {T} M\setminus \{0\}}$,
3. El hessiano vertical de${\displaystyle F^{2}}$es definido positivo.

La geometría simpléctica es el estudio de las variedades simplécticas . Una variedad casi simpléctica es una variedad diferenciable equipada con una forma bilineal antisimétrica no degenerada y de variación suave en cada espacio tangente, es decir, una 2- forma no degenerada ω , llamada forma simpléctica . Una variedad simpléctica es una variedad casi simpléctica para la cual la forma simpléctica ω es cerrada: d ω = 0 .

Un difeomorfismo entre dos variedades simplécticas que conserva la forma simpléctica se denomina simplectomorfismo . Las formas bilineales antisimétricas no degeneradas solo pueden existir en espacios vectoriales de dimensión par, por lo que las variedades simplécticas necesariamente tienen dimensión par. En dimensión 2, una variedad simpléctica es simplemente una superficie dotada de una forma de área, y un simplectomorfismo es un difeomorfismo que conserva el área. El espacio de fases de un sistema mecánico es una variedad simpléctica, y estas aparecieron implícitamente ya en la obra de Joseph Louis Lagrange sobre mecánica analítica y, posteriormente, en las formulaciones de mecánica clásica de Carl Gustav Jacobi y William Rowan Hamilton .

A diferencia de la geometría riemanniana, donde la curvatura proporciona un invariante local de las variedades riemannianas, el teorema de Darboux afirma que todas las variedades simplécticas son localmente isomorfas. Los únicos invariantes de una variedad simpléctica son de naturaleza global, y los aspectos topológicos desempeñan un papel fundamental en la geometría simpléctica. El primer resultado en topología simpléctica es probablemente el teorema de Poincaré-Birkhoff , conjeturado por Henri Poincaré y demostrado posteriormente por G. D. Birkhoff en 1912. Este teorema establece que si una aplicación que preserva el área de un anillo retuerce cada componente de su frontera en direcciones opuestas, entonces la aplicación tiene al menos dos puntos fijos. ^{[ 14 ]}

La geometría de contacto se ocupa de ciertas variedades de dimensión impar. Es cercana a la geometría simpléctica y, al igual que esta última, se originó en cuestiones de mecánica clásica. Una estructura de contacto en una variedad M de dimensión (2n + 1) viene dada por un campo de hiperplanos suaves H en el fibrado tangente que está lo más alejado posible de estar asociado con los conjuntos de nivel de una función diferenciable en M (el término técnico es "distribución de hiperplanos tangentes completamente no integrable"). Cerca de cada punto p , una distribución de hiperplanos está determinada por una 1-forma que no se anula en ningún punto.${\displaystyle \alpha }$, que es única salvo multiplicación por una función que no se anula en ningún punto:

${\displaystyle H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.}$

Una 1-forma local en M es una forma de contacto si la restricción de su derivada exterior a H es una 2-forma no degenerada y, por lo tanto, induce una estructura simpléctica en H _p en cada punto. Si la distribución H puede definirse mediante una 1-forma global${\displaystyle \alpha }$entonces este formulario es de contacto si y solo si el formulario de dimensión superior

${\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}}$

es una forma de volumen en M , es decir, no se anula en ningún lugar. Se cumple un análogo de contacto del teorema de Darboux: todas las estructuras de contacto en una variedad de dimensión impar son localmente isomorfas y pueden transformarse en una cierta forma normal local mediante una elección adecuada del sistema de coordenadas.

La geometría diferencial compleja es el estudio de las variedades complejas . Una variedad casi compleja es una variedad real.${\displaystyle M}$, dotado de un tensor de tipo (1, 1), es decir, un endomorfismo de fibrado vectorial (llamado estructura casi compleja )

${\displaystyle J:TM\rightarrow TM}$, de tal manera que${\displaystyle J^{2}=-1.\,}$

De esta definición se deduce que una variedad casi compleja es de dimensión par.

Una variedad casi compleja se llama compleja si${\displaystyle N_{J}=0}$, dónde${\displaystyle N_{J}}$es un tensor de tipo (2, 1) relacionado con${\displaystyle J}$, llamado tensor de Nijenhuis (o a veces torsión ). Una variedad casi compleja es compleja si y solo si admite un atlas de coordenadas holomorfo . Una estructura casi hermitiana viene dada por una estructura casi compleja J , junto con una métrica riemanniana g , que satisface la condición de compatibilidad.

${\displaystyle g(JX,JY)=g(X,Y).\,}$

Una estructura casi hermitiana define naturalmente una forma diferencial de dos formas.

${\displaystyle \omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y).\,}$

Las dos condiciones siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle N_{J}=0{\mbox{ and }}d\omega =0\,}$
2. ${\displaystyle \nabla J=0\,}$

dónde${\displaystyle \nabla }$es la conexión Levi-Civita de${\displaystyle g}$. En este caso,${\displaystyle (J,g)}$Se denomina estructura de Kähler , y una variedad de Kähler es una variedad dotada de una estructura de Kähler. En particular, una variedad de Kähler es a la vez una variedad compleja y una variedad simpléctica . Una gran clase de variedades de Kähler (la clase de variedades de Hodge ) está dada por todas las variedades proyectivas complejas lisas .

La geometría CR es el estudio de la geometría intrínseca de los límites de los dominios en variedades complejas .

La geometría conforme es el estudio del conjunto de transformaciones (conformes) que preservan los ángulos en un espacio.

La topología diferencial es el estudio de los invariantes geométricos globales sin una forma métrica o simpléctica.

La topología diferencial parte de operaciones naturales como la derivada de Lie de fibrados vectoriales naturales y la diferencial de De Rham de formas . Además de las álgebras de Lie , las álgebras de Courant también empiezan a desempeñar un papel más importante.

Un grupo de Lie es un grupo en la categoría de variedades diferenciables. Además de las propiedades algebraicas, posee también propiedades de geometría diferencial. La construcción más evidente es la de un álgebra de Lie, que es el espacio tangente en la unidad dotado del corchete de Lie entre campos vectoriales invariantes por la izquierda . Además de la teoría de la estructura, también existe el amplio campo de la teoría de la representación .

El análisis geométrico es una disciplina matemática en la que se utilizan herramientas de las ecuaciones diferenciales, especialmente de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas, para establecer nuevos resultados en geometría diferencial y topología diferencial.

La teoría de gauge estudia las conexiones en fibrados vectoriales y fibrados principales, y surge de problemas de la física matemática y de las teorías de gauge físicas que sustentan el Modelo Estándar de la física de partículas . La teoría de gauge se ocupa del estudio de ecuaciones diferenciales para conexiones en fibrados, así como de los espacios de módulos geométricos resultantes de las soluciones a estas ecuaciones y de los invariantes que se pueden derivar de ellas. Estas ecuaciones suelen aparecer como las ecuaciones de Euler-Lagrange que describen las ecuaciones de movimiento de ciertos sistemas físicos en la teoría cuántica de campos , por lo que su estudio reviste un gran interés en física.