Espacio Banach

Todos los espacios normados de dimensión finita son espacios de Banach separables y cualesquiera dos espacios de Banach de la misma dimensión finita son linealmente homeomorfos. Todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es linealmente isométricamente isomorfo al espacio de sucesiones de Hilbert separable.${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$con su normalidad habitual${\displaystyle \|{\cdot }\|_{2}.}$

El teorema de Anderson-Kadec establece que todo espacio de Fréchet separable de dimensión infinita es homeomorfo al espacio producto.${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$de una cantidad incontable de copias de${\displaystyle \mathbb {R} }$(este homeomorfismo no tiene por qué ser una aplicación lineal ). ^{[ 6 ] [ 7 ]} Por lo tanto, todos los espacios de Fréchet separables de dimensión infinita son homeomorfos entre sí (o dicho de otro modo, su topología es única salvo un homeomorfismo). Dado que todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet, esto también es cierto para todos los espacios de Banach separables de dimensión infinita, incluyendo${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$ De hecho,${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$es incluso homeomorfo a su propia esfera unitaria${\displaystyle \{x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} )\mid \|x\|_{2}=1\},}$lo cual contrasta marcadamente con los espacios de dimensión finita (el plano euclidiano).${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$no es homeomorfo al círculo unitario , por ejemplo).

Este patrón en las clases de homeomorfismo se extiende a generalizaciones de variedades topológicas metrizables ( localmente euclidianas ) conocidas como variedades de Banach métricas , que son espacios métricos que, alrededor de cada punto, son localmente homeomorfos a algún subconjunto abierto de un espacio de Banach dado ( las variedades de Hilbert métricas y las variedades de Fréchet métricas se definen de manera similar). ^{[ 7 ]} Por ejemplo, cada subconjunto abierto${\displaystyle U}$de un espacio Banach${\displaystyle X}$es canónicamente una variedad de Banach métrica modelada en${\displaystyle X}$desde el mapa de inclusión${\displaystyle U\to X}$es un homeomorfismo local abierto . Utilizando microfibrados de espacios de Hilbert , David Henderson demostró ^{[ 8 ]} en 1969 que toda variedad métrica modelada en un espacio de Banach (o Fréchet ) separable de dimensión infinita puede ser incrustada topológicamente como un subconjunto abierto de${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$y, en consecuencia, también admite una estructura suave única que la convierte en una${\displaystyle C^{\infty }}$Variedad de Hilbert .

Hay un subconjunto compacto${\displaystyle S}$de${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$cuya envoltura convexa${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$no es cerrado y por lo tanto tampoco es compacto. ^{[ nota 5 ] [ 9 ]} Sin embargo, como en todos los espacios de Banach, la envoltura convexa cerrada${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$de este (y cualquier otro) subconjunto compacto será compacto. ^{[ 10 ]} En un espacio normado que no es completo, entonces en general no está garantizado que${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$será compacto siempre${\displaystyle S}$es; un ejemplo ^{[ nota 5 ]} puede encontrarse incluso en un subespacio vectorial pre-Hilbert (no completo) de${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$

Esta topología inducida por la norma también hace que${\displaystyle (X,\tau _{d})}$en lo que se conoce como un espacio vectorial topológico (TVS), que por definición es un espacio vectorial dotado de una topología que hace continuas las operaciones de suma y multiplicación escalar . Se enfatiza que el TVS${\displaystyle (X,\tau _{d})}$es solo un espacio vectorial junto con un cierto tipo de topología; es decir, cuando se considera como un TVS, no está asociado con ninguna norma o métrica particular (ambas " olvidadas "). Este TVS de Hausdorff${\displaystyle (X,\tau _{d})}$es incluso localmente convexo porque el conjunto de todas las bolas abiertas centradas en el origen forma una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos abiertos equilibrados convexos . Este TVS también es normable , lo que por definición se refiere a cualquier TVS cuya topología está inducida por alguna norma (posiblemente desconocida) . Los TVS normables se caracterizan por ser Hausdorff y tener una vecindad convexa acotada del origen. Todos los espacios de Banach son espacios barril , lo que significa que cada barril es una vecindad del origen (todas las bolas cerradas centradas en el origen son barriles, por ejemplo) y garantiza que se cumple el teorema de Banach-Steinhaus .

El teorema de la aplicación abierta implica que cuando${\displaystyle \tau _{1}}$y${\displaystyle \tau _{2}}$son topologías en${\displaystyle X}$que hacen ambos${\displaystyle (X,\tau _{1})}$y${\displaystyle (X,\tau _{2})}$en TVS metrizables completos (por ejemplo, espacios de Banach o Fréchet ), si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$o${\displaystyle \tau _{2}\subseteq \tau _{1}}$entonces${\displaystyle \tau _{1}=\tau _{2}}$). ^{[ 11 ]} Entonces, por ejemplo, si${\displaystyle (X,p)}$y${\displaystyle (X,q)}$son espacios de Banach con topologías${\displaystyle \tau _{p}}$y${\displaystyle \tau _{q},}$y si uno de estos espacios tiene alguna bola abierta que también es un subconjunto abierto del otro espacio (o, equivalentemente, si uno de${\displaystyle p:(X,\tau _{q})\to \mathbb {R} }$o${\displaystyle q:(X,\tau _{p})\to \mathbb {R} }$es continua), entonces sus topologías son idénticas y las normas${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son equivalentes .

Dos normas,${\displaystyle p}$y${\displaystyle q,}$en un espacio vectorial${\displaystyle X}$Se dice que son equivalentes si inducen la misma topología; ^{[ 12 ]} esto sucede si y solo si existen números reales${\displaystyle c,C>0}$de tal manera que${\textstyle c\,q(x)\leq p(x)\leq C\,q(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in X.}$Si${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$son dos normas equivalentes en un espacio vectorial${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle (X,p)}$es un espacio de Banach si y solo si${\displaystyle (X,q)}$es un espacio de Banach. Véase esta nota al pie para un ejemplo de una norma continua en un espacio de Banach que no es equivalente a la norma dada de ese espacio de Banach. ^{[ nota 6 ] [ 12 ]} Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes y todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. ^{[ 13 ]}

Una métrica${\displaystyle D}$en un espacio vectorial${\displaystyle X}$es inducido por una norma en${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle D}$es invariante a la traslación ^{[ nota 3 ]} y absolutamente homogéneo , lo que significa que${\displaystyle D(sx,sy)=|s|D(x,y)}$para todos los escalares${\displaystyle s}$y todo${\displaystyle x,y\in X,}$en cuyo caso la función${\displaystyle \|x\|:=D(x,0)}$define una norma sobre${\displaystyle X}$y la métrica canónica inducida por${\displaystyle \|{\cdot }\|}$es igual a${\displaystyle D.}$

Supongamos que${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$es un espacio normalizado y eso${\displaystyle \tau }$es la topología de norma inducida en${\displaystyle X.}$Supongamos que${\displaystyle D}$¿Hay alguna métrica en${\displaystyle X}$de tal manera que la topología que${\displaystyle D}$induce en${\displaystyle X}$es igual a${\displaystyle \tau .}$Si${\displaystyle D}$es invariante a la traslación ^{[ nota 3 ]} entonces${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$es un espacio de Banach si y solo si${\displaystyle (X,D)}$es un espacio métrico completo. ^{[ 14 ]} Si${\displaystyle D}$si no es invariante a la traslación, entonces puede ser posible que${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$ser un espacio Banach pero para${\displaystyle (X,D)}$no ser un espacio métrico completo ^{[ 15 ]} (véase esta nota al pie ^{[ nota 7 ]} para un ejemplo). En contraste, un teorema de Klee, ^{[ 16 ] [ 17 ] [ nota 8 ]} que también se aplica a todos los espacios vectoriales topológicos metrizables , implica que si existe algún ^{[ nota 9 ]} espacio métrico completo${\displaystyle D}$en${\displaystyle X}$que induce la topología de la norma${\displaystyle \tau }$en${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$es un espacio Banach.

Un espacio de Fréchet es un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología está inducida por alguna métrica completa invariante bajo traslaciones. Todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet, pero no a la inversa; de hecho, incluso existen espacios de Fréchet en los que ninguna norma es una función continua (como el espacio de sucesiones reales).${\textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$con la topología del producto ). Sin embargo, la topología de cada espacio de Fréchet está inducida por alguna familia numerable de aplicaciones de valor real (necesariamente continuas) llamadas seminormas , que son generalizaciones de normas . Incluso es posible que un espacio de Fréchet tenga una topología inducida por una familia numerable de normas (dichas normas serían necesariamente continuas) ^{[ nota 10 ] [ 18 ]} pero que no sea un espacio de Banach/normable porque su topología no puede definirse mediante ninguna norma individual . Un ejemplo de tal espacio es el espacio de Fréchet.${\displaystyle C^{\infty }(K),}$cuya definición se puede encontrar en el artículo sobre espacios de funciones de prueba y distribuciones .

Existe otra noción de completitud además de la completitud métrica, que es la noción de espacio vectorial topológico completo (TVS) o TVS-completitud, que utiliza la teoría de espacios uniformes . Específicamente, la noción de TVS-completitud utiliza una uniformidad única invariante a la traslación , llamada uniformidad canónica , que depende solo de la sustracción vectorial y la topología.${\displaystyle \tau }$que el espacio vectorial está dotado de, y por lo tanto en particular, esta noción de completitud TVS es independiente de cualquier norma inducida por la topología.${\displaystyle \tau }$(e incluso se aplica a los espacios vectoriales topológicos que ni siquiera son metrizables). Todo espacio de Banach es un espacio vectorial topológico completo. Además, un espacio normado es un espacio de Banach (es decir, su métrica inducida por la norma es completa) si y solo si es completo como espacio vectorial topológico. Si${\displaystyle (X,\tau )}$es un espacio vectorial topológico metrizable (como cualquier topología inducida por norma, por ejemplo), entonces${\displaystyle (X,\tau )}$es un TVS completo si y solo si es un TVS secuencialmente completo, lo que significa que basta con comprobar que cada secuencia de Cauchy en${\displaystyle (X,\tau )}$converge en${\displaystyle (X,\tau )}$hasta cierto punto de${\displaystyle X}$(es decir, no es necesario considerar la noción más general de redes de Cauchy arbitrarias ).

Si${\displaystyle (X,\tau )}$es un espacio vectorial topológico cuya topología está inducida por alguna norma (posiblemente desconocida) (tales espacios se denominan normables ), entonces${\displaystyle (X,\tau )}$es un espacio vectorial topológico completo si y solo si${\displaystyle X}$Se le puede asignar una norma${\displaystyle \|{\cdot }\|}$que induce en${\displaystyle X}$la topología${\displaystyle \tau }$y también hace${\displaystyle (X,\|{\cdot }\|)}$en un espacio de Banach. Un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff .${\displaystyle X}$es normable si y solo si su fuerte espacio dual${\displaystyle X'_{b}}$es normable, ^{[ 19 ]} en cuyo caso${\displaystyle X'_{b}}$es un espacio Banach (${\displaystyle X'_{b}}$denota el espacio dual fuerte de${\displaystyle X,}$cuya topología es una generalización de la topología inducida por la norma dual en el espacio dual continuo${\displaystyle X'}$; consulte esta nota al pie ^{[ nota 11 ]} para obtener más detalles). Si${\displaystyle X}$es un TVS localmente convexo metrizable , entonces${\displaystyle X}$es normable si y solo si${\displaystyle X'_{b}}$es un espacio de Fréchet-Urysohn . ^{[ 20 ]} Esto muestra que en la categoría de espacios TVS localmente convexos , los espacios de Banach son precisamente aquellos espacios completos que son metrizables y tienen espacios duales fuertes metrizables .

Todo espacio normado puede incrustarse isométricamente en un subespacio vectorial denso de un espacio de Banach, donde este espacio de Banach se denomina completación del espacio normado. Esta completación de Hausdorff es única salvo isomorfismo isométrico .

Más precisamente, para cada espacio normalizado${\displaystyle X,}$Existe un espacio Banach${\displaystyle Y}$y un mapeo${\displaystyle T:X\to Y}$de tal manera que${\displaystyle T}$es un mapeo isométrico y${\displaystyle T(X)}$es denso en${\displaystyle Y.}$Si${\displaystyle Z}$es otro espacio de Banach tal que existe un isomorfismo isométrico desde${\displaystyle X}$sobre un subconjunto denso de${\displaystyle Z,}$entonces${\displaystyle Z}$es isométricamente isomorfo a${\displaystyle Y.}$ El espacio Banach${\displaystyle Y}$es la finalización de Hausdorff del espacio normalizado${\displaystyle X.}$El espacio métrico subyacente para${\displaystyle Y}$es lo mismo que la finalización de la métrica de${\displaystyle X,}$con las operaciones del espacio vectorial extendidas desde${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y.}$La finalización de${\displaystyle X}$a veces se denota por${\displaystyle {\widehat {X}}.}$

Todo operador lineal continuo es un operador lineal acotado y, si solo se trabaja con espacios normados, entonces lo contrario también es cierto. Es decir, un operador lineal entre dos espacios normados es acotado si y solo si es una función continua . Así que, en particular, debido a que el campo escalar (que es${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$Si un espacio normado es un espacio normado, un funcional lineal definido en dicho espacio es un funcional lineal acotado si y solo si es un funcional lineal continuo . Esto permite aplicar resultados relacionados con la continuidad (como los que se muestran a continuación) a espacios de Banach. Si bien la acotación es equivalente a la continuidad para aplicaciones lineales entre espacios normados, el término "acotado" se usa con mayor frecuencia al trabajar principalmente con espacios de Banach.

Si${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$es una función subaditiva (como una norma, una función sublineal o un funcional lineal real), entonces ^{[ 22 ]}${\displaystyle f}$es continua en el origen si y solo si${\displaystyle f}$es uniformemente continuo en todo${\displaystyle X}$; y si además${\displaystyle f(0)=0}$entonces${\displaystyle f}$es continua si y solo si su valor absoluto${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$es continuo, lo cual sucede si y solo si${\displaystyle \{x\in X\mid |f(x)|<1\}}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle X.}$^{[ 22 ] [ nota 12 ]} Y muy importante para aplicar elteorema de Hahn-Banach, un funcional lineal${\displaystyle f}$es continua si y solo si esto es cierto para su parte real.${\displaystyle \operatorname {Re} f}$y además,${\displaystyle \|\operatorname {Re} f\|=\|f\|}$y la parte real${\displaystyle \operatorname {Re} f}$determina completamente${\displaystyle f,}$por eso el teorema de Hahn-Banach a menudo se enuncia solo para funcionales lineales reales. Además, un funcional lineal${\displaystyle f}$en${\displaystyle X}$es continua si y solo si la seminorma${\displaystyle |f|}$es continua, lo cual ocurre si y solo si existe una seminorma continua.${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle |f|\leq p}$; esta última afirmación involucra al funcional lineal${\displaystyle f}$y seminorma${\displaystyle p}$Se encuentra en muchas versiones del teorema de Hahn-Banach.

• El espacio Banach${\displaystyle C(K)}$con el producto punto por punto, es un álgebra de Banach.
• El álgebra de discos${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$Consiste en funciones holomorfas en el disco unitario abierto.${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$y continua en su cierre :${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }}.}$Equipado con la norma máxima en${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }},}$el álgebra de discos${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$es una subálgebra cerrada de${\displaystyle C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right).}$
• El álgebra de Wiener${\displaystyle A(\mathbf {T} )}$es el álgebra de funciones en el círculo unitario${\displaystyle \mathbf {T} }$con series de Fourier absolutamente convergentes . Mediante el mapeo que asocia una función en${\displaystyle \mathbf {T} }$En cuanto a la secuencia de sus coeficientes de Fourier, esta álgebra es isomorfa al álgebra de Banach.${\displaystyle \ell ^{1}(Z),}$donde el producto es la convolución de secuencias.
• Para cada espacio Banach${\displaystyle X,}$el espacio${\displaystyle B(X)}$de operadores lineales acotados en${\displaystyle X,}$Con la composición de mapas como producto, es un álgebra de Banach.
• Un álgebra C* es un álgebra de Banach compleja.${\displaystyle A}$con una involución antilineal${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$de tal manera que${\displaystyle \|a^{*}a\|=\|a\|^{2}.}$El espacio${\displaystyle B(H)}$de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$es un ejemplo fundamental de C*-álgebra. El teorema de Gelfand-Naimark establece que toda C*-álgebra es isométricamente isomorfa a una subálgebra C* de algún tipo.${\displaystyle B(H).}$El espacio${\displaystyle C(K)}$de funciones continuas complejas en un espacio de Hausdorff compacto${\displaystyle K}$es un ejemplo de álgebra C* conmutativa, donde la involución se asocia a cada función${\displaystyle f}$su conjugado complejo${\displaystyle {\overline {f}}.}$

La topología débil en un espacio de Banach${\displaystyle X}$es la topología más gruesa en${\displaystyle X}$para los cuales todos los elementos${\displaystyle x'}$en el espacio dual continuo${\displaystyle X'}$son continuas. Por lo tanto, la topología de norma es más fina que la topología débil. Del teorema de separación de Hahn-Banach se deduce que la topología débil es Hausdorff , y que un subconjunto convexo cerrado en norma de un espacio de Banach también es débilmente cerrado. ^{[ 34 ]} Una aplicación lineal continua en norma entre dos espacios de Banach${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$es también débilmente continua , es decir, continua desde la topología débil de${\displaystyle X}$a la de${\displaystyle Y.}$^{[ 35 ]}

Si${\displaystyle X}$es de dimensión infinita, existen aplicaciones lineales que no son continuas. El espacio${\displaystyle X^{*}}$de todos los mapas lineales de${\displaystyle X}$al campo subyacente${\displaystyle \mathbb {K} }$(este espacio${\displaystyle X^{*}}$se denomina espacio dual algebraico , para distinguirlo de${\displaystyle X'}$también induce una topología en${\displaystyle X}$que es más fina que la topología débil, y mucho menos utilizada en el análisis funcional.

En un espacio doble${\displaystyle X',}$existe una topología más débil que la topología débil de${\displaystyle X',}$llamada topología débil* . Es la topología más gruesa en${\displaystyle X'}$para los cuales todos los mapas de evaluación${\displaystyle x'\in X'\mapsto x'(x),}$dónde${\displaystyle x}$abarca${\displaystyle X,}$son continuas. Su importancia proviene del teorema de Banach-Alaoglu .

El teorema de Banach-Alaoglu se puede demostrar utilizando el teorema de Tychonoff sobre productos infinitos de espacios compactos de Hausdorff. Cuando${\displaystyle X}$es separable, la unidad bola${\displaystyle B'}$del dual es un compacto metrizable en la topología débil*. ^{[ 36 ]}

El dual de${\displaystyle c_{0}}$es isométricamente isomorfo a${\displaystyle \ell ^{1}}$: para cada funcional lineal acotado${\displaystyle f}$en${\displaystyle c_{0},}$Hay un elemento único${\displaystyle y=\{y_{n}\}\in \ell ^{1}}$de tal manera que $${\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.}$$

El dual de${\displaystyle \ell ^{1}}$es isométricamente isomorfo a${\displaystyle \ell ^{\infty }}$El dual del espacio de Lebesgue${\displaystyle L^{p}([0,1])}$es isométricamente isomorfo a${\displaystyle L^{q}([0,1])}$cuando${\displaystyle 1\leq p<\infty }$y${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

Para cada vector${\displaystyle y}$en un espacio de Hilbert${\displaystyle H,}$el mapeo $${\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }$$

define una función lineal continua${\displaystyle f_{y}}$en${\displaystyle H.}$El teorema de representación de Riesz establece que todo funcional lineal continuo en${\displaystyle H}$es de la forma${\displaystyle f_{y}}$para un vector definido de forma única${\displaystyle y}$en${\displaystyle H.}$ El mapeo${\displaystyle y\in H\to f_{y}}$es una biyección isométrica antilineal de${\displaystyle H}$sobre su doble${\displaystyle H'.}$ Cuando los escalares son reales, esta aplicación es un isomorfismo isométrico.

Cuando${\displaystyle K}$es un espacio topológico de Hausdorff compacto, el dual${\displaystyle M(K)}$de${\displaystyle C(K)}$es el espacio de medidas de Radon en el sentido de Bourbaki. ^{[ 37 ]} El subconjunto${\displaystyle P(K)}$de${\displaystyle M(K)}$que consiste en medidas no negativas de masa 1 ( medidas de probabilidad ) es un subconjunto convexo w*-cerrado de la bola unitaria de${\displaystyle M(K).}$ Los puntos extremos de${\displaystyle P(K)}$son las medidas de Dirac en${\displaystyle K.}$ El conjunto de medidas de Dirac en${\displaystyle K,}$equipado con la topología w*, es homeomorfo a${\displaystyle K.}$

El resultado ha sido extendido por Amir ^{[ 40 ]} y Cambern ^{[ 41 ]} al caso en que la distancia multiplicativa de Banach-Mazur entre${\displaystyle C(K)}$y${\displaystyle C(L)}$es${\displaystyle <2.}$ El teorema ya no es cierto cuando la distancia es${\displaystyle =2.}$^{[ 42 ]}

En el álgebra de Banach conmutativa${\displaystyle C(K),}$Los ideales máximos son precisamente núcleos de medidas de Dirac en${\displaystyle K,}$$${\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K)\mid f(x)=0\},\quad x\in K.}$$

De forma más general, según el teorema de Gelfand-Mazur , los ideales maximales de un álgebra de Banach conmutativa unitaria pueden identificarse con sus caracteres , no solo como conjuntos, sino como espacios topológicos: los primeros con la topología de núcleo de la envoltura y los segundos con la topología w*. En esta identificación, el espacio de ideales maximales puede considerarse como un subconjunto w*-compacto de la bola unitaria en el dual.${\displaystyle A'.}$

No todas las álgebras de Banach conmutativas unitarias tienen la forma${\displaystyle C(K)}$para algunos espacios compactos de Hausdorff${\displaystyle K.}$Sin embargo, esta afirmación se mantiene si uno coloca${\displaystyle C(K)}$en la categoría más pequeña de C*-álgebras conmutativas . El teorema de representación de Gelfand para C*-álgebras conmutativas establece que toda C *-álgebra unitaria conmutativa${\displaystyle A}$es isométricamente isomorfo a un${\displaystyle C(K)}$espacio. ^{[ 43 ]} El espacio compacto de Hausdorff${\displaystyle K}$Aquí está de nuevo el espacio ideal máximo, también llamado espectro de${\displaystyle A}$en el contexto del álgebra C*.

Si${\displaystyle X}$es un espacio normado, el dual (continuo)${\displaystyle X''}$del doble${\displaystyle X'}$se llama elbilateral osegundo duelo de${\displaystyle X.}$ Para cada espacio normalizado${\displaystyle X,}$Hay un mapa natural, $${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}\colon X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

Esto define${\displaystyle F_{X}(x)}$como un funcional lineal continuo en${\displaystyle X',}$es decir, un elemento de${\displaystyle X''.}$El mapa${\displaystyle F_{X}\colon x\to F_{X}(x)}$es un mapa lineal de${\displaystyle X}$a${\displaystyle X''.}$ Como consecuencia de la existencia de una función de normalización${\displaystyle f}$por cada${\displaystyle x\in X,}$este mapa${\displaystyle F_{X}}$es isométrico, por lo tanto inyectivo .

Por ejemplo, el dual de${\displaystyle X=c_{0}}$se identifica con${\displaystyle \ell ^{1},}$y el dual de${\displaystyle \ell ^{1}}$se identifica con${\displaystyle \ell ^{\infty },}$el espacio de secuencias escalares acotadas. Bajo estas identificaciones,${\displaystyle F_{X}}$es el mapa de inclusión de${\displaystyle c_{0}}$a${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$Es isométrico, sí, pero no sobremétrico.

Si${\displaystyle F_{X}}$es sobreyectiva , entonces el espacio normado${\displaystyle X}$se denomina reflexivo (véase más abajo ). Al ser el dual de un espacio normado, el bidual${\displaystyle X''}$es completo, por lo tanto, todo espacio normado reflexivo es un espacio de Banach.

Utilizando la incrustación isométrica${\displaystyle F_{X},}$Es habitual considerar un espacio normalizado.${\displaystyle X}$como un subconjunto de su bidual. Cuando${\displaystyle X}$es un espacio de Banach, se considera como un subespacio lineal cerrado de${\displaystyle X''.}$Si${\displaystyle X}$no es reflexivo, la bola unitaria de${\displaystyle X}$es un subconjunto propio de la bola unitaria de${\displaystyle X''.}$ El teorema de Goldstine establece que la bola unitaria de un espacio normado es débilmente*-densa en la bola unitaria del bidual. En otras palabras, para cada${\displaystyle x''}$En el bidual, existe una red${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$en${\displaystyle X}$de modo que $${\displaystyle \sup _{i\in I}\|x_{i}\|\leq \|x''\|,\ \ x''(f)=\lim _{i}f(x_{i}),\quad f\in X'.}$$