Potencial de doble pozo

En mecánica cuántica , el potencial de doble pozo es uno de los muchos potenciales cuárticos que se utilizan para explorar diversos fenómenos físicos o propiedades matemáticas, ya que en muchos casos permite realizar cálculos explícitos sin simplificaciones excesivas.

Específicamente, el potencial de doble pozo simétrico sirve como modelo para ilustrar el concepto de instantones como una configuración pseudoclásica en una teoría de campos euclidiana . ^{[ 1 ]} En el contexto mecánico cuántico más simple, este potencial sirvió como modelo para la evaluación de integrales de trayectoria . ^{[ 2 ] [ 3 ]} o la solución de la ecuación de Schrödinger mediante varios métodos con el propósito de obtener explícitamente los autovalores de energía.

Por otro lado, el potencial de doble pozo simétrico invertido sirvió como un potencial no trivial en la ecuación de Schrödinger para el cálculo de tasas de decaimiento ^{[ 4 ]} y la exploración del comportamiento de gran orden de las expansiones asintóticas . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

La tercera forma del potencial cuártico es la de un oscilador armónico simple perturbado o un oscilador anarmónico puro que tiene un espectro de energía puramente discreto.

El cuarto tipo de potencial cuártico posible es aquel de forma asimétrica de uno de los dos primeros mencionados anteriormente.

Los potenciales de doble pozo y otros potenciales cuárticos pueden tratarse mediante diversos métodos; los principales son: (a) un método de perturbación (el de Robert Balson Dingle y Harald JW Müller-Kirsten ^{[ 8 ]} ), que requiere la imposición de condiciones de contorno; (b) el método WKB; y (c) el método de la integral de trayectoria. Todos los casos se tratan en detalle en el libro de Müller-Kirsten ^{[ 9 ]} . El comportamiento de alto orden de las expansiones asintóticas de las funciones de Mathieu y sus autovalores (también llamados números característicos) se ha derivado en otro artículo de Dingle y Müller-Kirsten ^{[ 10 ]} .

El principal interés en la literatura se ha centrado (por razones relacionadas con la teoría de campos) en el pozo doble simétrico (potencial) y, dentro de este, en el estado fundamental cuántico . Dado que interviene el efecto túnel a través del pico central del potencial, el cálculo de las autoenergías de la ecuación de Schrödinger para este potencial no es trivial. El caso del estado fundamental está mediado por configuraciones pseudoclásicas conocidas como instantón y antiinstantón. En forma explícita, estas son funciones hiperbólicas . Como configuraciones pseudoclásicas, aparecen naturalmente en consideraciones semiclasicas ; la suma de pares instantón-antiinstantón (ampliamente separados) se conoce como la aproximación del gas diluido. La autoenergía del estado fundamental finalmente obtenida es una expresión que contiene la exponencial de la acción euclidiana del instantón. Esta es una expresión que contiene el factor${\displaystyle 1/\hbar }$y por lo tanto se describe como un efecto (clásicamente) no perturbador.

Se investiga la estabilidad de la configuración del instantón en la teoría de integral de trayectoria de una teoría de campo escalar con autointeracción de doble pozo simétrico, utilizando la ecuación de pequeñas oscilaciones alrededor del instantón. Se encuentra que esta ecuación es una ecuación de Pöschl-Teller (es decir, una ecuación diferencial de segundo orden como la ecuación de Schrödinger con potencial de Pöschl-Teller ) con autovalores no negativos. La no negatividad de los autovalores indica la estabilidad del instantón. ^{[ 11 ]}

Como se indicó anteriormente, el instantón es la configuración de pseudopartícula definida en una línea infinita de tiempo euclidiano que comunica entre los dos pozos del potencial y es responsable del estado fundamental del sistema. Las configuraciones correspondientes responsables de los estados superiores, es decir, excitados, son instantones periódicos definidos en un círculo de tiempo euclidiano que, en forma explícita, se expresan en términos de funciones elípticas jacobianas (la generalización de las funciones trigonométricas ). La evaluación de la integral de trayectoria en estos casos implica integrales elípticas correspondientes. La ecuación de pequeñas fluctuaciones alrededor de estos instantones periódicos es una ecuación de Lamé cuyas soluciones son funciones de Lamé . En casos de inestabilidad (como para el potencial de doble pozo invertido), esta ecuación posee autovalores negativos que indican dicha inestabilidad, es decir, decaimiento. ^{[ 11 ]}

La aplicación del método de perturbación de Dingle y Müller (aplicado originalmente a la ecuación de Mathieu, es decir, una ecuación de Schrödinger con potencial coseno) requiere aprovechar las simetrías de los parámetros de la ecuación de Schrödinger para el potencial cuártico. Se realiza una expansión alrededor de uno de los dos mínimos del potencial. Además, este método requiere la coincidencia de diferentes ramas de soluciones en dominios de solapamiento. La aplicación de las condiciones de contorno finalmente produce (como en el caso del potencial periódico) el efecto no perturbativo.

En términos de parámetros como en la ecuación de Schrödinger para el potencial de doble pozo simétrico en la siguiente forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[EV(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;c^{2}>0,h^{4}>0,}$

los valores propios para${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$se encuentran que son (ver libro de Müller-Kirsten, fórmula (18.175b), pág.  425)

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \;\;\;\mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

Claramente estos autovalores son asintóticamente (${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$) degeneran como se esperaba de la parte armónica del potencial. Obsérvese que los términos de la parte perturbativa del resultado son alternativamente pares o impares en${\displaystyle q_{0}}$y${\displaystyle h^{2}}$(como en los resultados correspondientes para las funciones de Mathieu , las funciones de Lamé , las funciones de onda esferoidales proladas , las funciones de onda esferoidales obladas y otras).

En contextos de teoría de campos, el potencial de doble pozo simétrico anterior se escribe a menudo (${\displaystyle \phi }$siendo un campo escalar)

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2},}$

y el instantón es la solución${\displaystyle \phi _{c}(\tau )}$de la ecuación tipo Newton

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),\;\;\;{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\phi }{d\tau }}\right)^{2}-V(\phi )=-E_{cl}=0}$

(${\displaystyle \tau }$siendo el tiempo euclidiano), es decir

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right].}$

La ecuación de pequeñas fluctuaciones${\displaystyle \eta }$acerca de${\displaystyle \phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,}$ es la ecuación de Pöschl-Teller (ver potencial de Pöschl-Teller )

${\displaystyle \left[-{\frac {d^{2}}{d\tau ^{2}}}+V''(\phi _{c})\right]\eta _{n}(\tau )=\omega _{n}^{2}\eta _{n}(\tau ),}$

con

${\displaystyle V''(\phi _{c})=4m^{2}-{\frac {6m^{2}}{\cosh ^{2}m(\tau -\tau _{0})}}.}$

Dado que todos los valores propios${\displaystyle \omega _ {n}^{2}}$Si son positivos o cero, la configuración de instantones es estable y no hay decaimiento.

En el caso más general de${\displaystyle E_{cl}\neq 0}$La solución clásica es el instantón periódico.

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {kb(k)}{g}}sn[b(k)(\tau -\tau _{0})],\;\;\;b(k)=m\left({\frac {2}{1+k^{2}}}\right)^{1/2},}$

dónde${\displaystyle k}$es el módulo elíptico de la función elíptica jacobiana periódica${\displaystyle sn}$La ecuación de fluctuación pequeña es, en este caso general, una ecuación de Lamé . En el límite${\displaystyle k=1,E_{cl}=0}$la solución${\displaystyle \phi _{c}}$se convierte en la solución de instantón de vacío,

${\displaystyle \phi _{c}={\frac {m}{g}}\tanh[m(\tau -\tau _{0})].}$

La teoría de perturbaciones, junto con el ajuste de soluciones en dominios de solapamiento y la imposición de condiciones de contorno (diferentes a las del doble pozo), puede utilizarse nuevamente para obtener los autovalores de la ecuación de Schrödinger para este potencial. En este caso, sin embargo, se realiza una expansión alrededor del valle central del potencial. Por lo tanto, los resultados difieren de los anteriores.

En términos de parámetros como en la ecuación de Schrödinger para el potencial de doble pozo invertido en la siguiente forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[EV(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,}$

los valores propios para${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$se encuentran que son (véase el libro de Müller-Kirsten, fórmula (18.86), pág.  503)

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})+i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

La parte imaginaria de esta expresión coincide con el resultado de CM Bender y TT Wu (véase su fórmula (3.36) y conjunto).${\displaystyle \hbar =1}$y en su notación${\displaystyle q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon }$). ^{[ 12 ]} Este resultado juega un papel importante en la discusión e investigación del comportamiento de alto orden de la teoría de perturbaciones.

En términos de parámetros como en la ecuación de Schrödinger para el oscilador anarmónico puro en la siguiente forma

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[EV(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,}$

los valores propios para${\displaystyle q=q_{0}=1,3,5,...}$se encuentran

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}qh^{2}+{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q^{2}+1)-{\frac {c^{4}}{h^{10}}}q(4q^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}}).}$

Se pueden calcular fácilmente más términos. Observe que los coeficientes de la expansión son alternativamente pares o impares en${\displaystyle q}$y${\displaystyle h^{2}}$, como en todos los demás casos. Este es un aspecto importante de las soluciones de la ecuación diferencial para potenciales cuárticos.

Los resultados anteriores para el pozo doble y el pozo doble invertido también se pueden obtener mediante el método de integral de trayectoria (allí a través de instantones periódicos, cf. instantones ) y el método WKB, aunque con el uso de integrales elípticas y la aproximación de Stirling de la función gamma , todo lo cual hace que el cálculo sea más difícil. La propiedad de simetría de la parte perturbativa en cambia q → - q ,${\displaystyle h^{2}}$→ -${\displaystyle h^{2}}$Los resultados solo pueden obtenerse mediante la derivación de la ecuación de Schrödinger, que es, por lo tanto, la mejor y más correcta manera de obtener el resultado. Esta conclusión se ve respaldada por investigaciones de otras ecuaciones diferenciales de segundo orden, como la ecuación de Mathieu y la ecuación de Lamé, que presentan propiedades similares en sus ecuaciones de autovalores. Además, en cada uno de estos casos (doble pozo, doble pozo invertido, potencial coseno), la ecuación de pequeñas fluctuaciones alrededor de la configuración clásica es una ecuación de Lamé.