Anomalía quiral

En física teórica , una anomalía quiral es la no conservación anómala de una corriente quiral . Se espera que tales eventos estén prohibidos según las leyes de conservación clásicas , pero se sabe que debe haber maneras de romperlas, ya que tenemos evidencia de la no conservación de carga-paridad ("violación de CP"). Es posible que otros desequilibrios hayan sido causados ​​por la ruptura de una ley quiral de este tipo. Muchos físicos sospechan que el hecho de que el universo observable contenga más materia que antimateria se debe a una anomalía quiral. ^{[ 1 ]} La ruptura de la simetría quiral , que rompe la simetría de quiralidad para los fermiones, también puede ocurrir sin violación de CP, lo que causa brechas de masa entre mesones en cromodinámica cuántica . ^{[ 2 ]}

La anomalía quiral se refería originalmente a la tasa de desintegración anómala del pión neutro , calculada en el álgebra actual del modelo quiral . Estos cálculos sugerían que la desintegración del pión estaba suprimida, lo que contradecía claramente los resultados experimentales. La naturaleza de los cálculos anómalos fue explicada por primera vez en 1969 por Stephen L. Adler ^{[ 3 ]} y John Stewart Bell y Roman Jackiw ^{[ 4 ]} . Esto se conoce como la anomalía de Adler-Bell-Jackiw de la electrodinámica cuántica ^{[ 5 ] [ 6 ]} . Se trata de una simetría de la electrodinámica clásica que se ve violada por las correcciones cuánticas.

La anomalía de Adler-Bell-Jackiw surge de la siguiente manera. Si se considera la teoría clásica (no cuantizada) del electromagnetismo acoplada a fermiones sin masa ( espinores de Dirac con carga eléctrica que resuelven la ecuación de Dirac ), se espera tener no solo una, sino dos corrientes conservadas : la corriente eléctrica ordinaria (la corriente vectorial ), descrita por el campo de Dirac.${\displaystyle j^{\mu }={\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$así como una corriente axial${\displaystyle j_{5}^{\mu }={\overline {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\psi ~.}$ Al pasar de la teoría clásica a la teoría cuántica, se pueden calcular las correcciones cuánticas a estas corrientes; en primera aproximación, se trata de los diagramas de Feynman de un bucle . Estos diagramas son notoriamente divergentes y requieren una regularización para obtener las amplitudes renormalizadas . Para que la renormalización sea significativa, coherente y consistente, los diagramas regularizados deben obedecer las mismas simetrías que las amplitudes de bucle cero (clásicas). Este es el caso de la corriente vectorial, pero no de la corriente axial: no se puede regularizar de manera que se preserve la simetría axial. La simetría axial de la electrodinámica clásica se rompe por las correcciones cuánticas. Formalmente, las identidades de Ward-Takahashi de la teoría cuántica se derivan de la simetría de gauge del campo electromagnético; las identidades correspondientes para la corriente axial se rompen.

En el momento en que se exploraba la anomalía de Adler-Bell-Jackiw en física, se producían avances relacionados en geometría diferencial que parecían implicar el mismo tipo de expresiones. Estos no estaban relacionados de ninguna manera con correcciones cuánticas, sino que se trataba de la exploración de la estructura global de los haces de fibras y, específicamente, de los operadores de Dirac en estructuras de espín con formas de curvatura similares a la del tensor electromagnético , tanto en cuatro como en tres dimensiones (la teoría de Chern-Simons ). Tras un considerable debate, quedó claro que la estructura de la anomalía podía describirse con haces con un grupo de homotopía no trivial o, en terminología física, en términos de instantones .

Los instantones son una forma de solitón topológico ; constituyen una solución a la teoría clásica de campos, ya que poseen la propiedad de ser estables e incapaces de decaer (en ondas planas , por ejemplo). Dicho de otro modo: la teoría de campos convencional se basa en la idea del vacío , es decir, un espacio plano y vacío. Clásicamente, esta es la solución "trivial": todos los campos se anulan. Sin embargo, también es posible organizar los campos (clásicos) de tal manera que adquieran una configuración global no trivial. Estas configuraciones no triviales también son candidatas al vacío, al espacio vacío; sin embargo, ya no son planas ni triviales, sino que contienen una torsión: el instantón. La teoría cuántica puede interactuar con estas configuraciones; al hacerlo, se manifiesta como la anomalía quiral.

En matemáticas, se encuentran configuraciones no triviales durante el estudio de los operadores de Dirac en su entorno completamente generalizado, es decir, en variedades riemannianas de dimensiones arbitrarias. Las tareas matemáticas incluyen encontrar y clasificar estructuras y configuraciones. Entre los resultados más famosos se encuentra el teorema del índice de Atiyah-Singer para operadores de Dirac. En términos generales, las simetrías del espaciotiempo de Minkowski , la invariancia de Lorentz , los laplacianos , los operadores de Dirac y los fibrados U(1)xSU(2)xSU(3) pueden considerarse un caso particular de un entorno mucho más general en geometría diferencial ; la exploración de las diversas posibilidades explica gran parte del entusiasmo en teorías como la teoría de cuerdas ; la riqueza de posibilidades explica cierta percepción de falta de progreso.

La anomalía de Adler-Bell-Jackiw se observa experimentalmente, en el sentido de que describe la desintegración del pión neutro y, específicamente, la amplitud de dicha desintegración en dos fotones . El pión neutro fue descubierto en la década de 1940; su tasa de desintegración (amplitud) fue estimada correctamente por J. Steinberger en 1949. ^{[ 7 ]} La forma correcta de la divergencia anómala de la corriente axial fue obtenida por Schwinger en 1951 en un modelo bidimensional de electromagnetismo y fermiones sin masa. ^{[ 8 ]} Que la desintegración del pión neutro se suprime en el análisis algebraico actual del modelo quiral fue obtenido por Sutherland y Veltman en 1967. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Un análisis y resolución de este resultado anómalo fue proporcionado por Adler ^{[ 3 ]} y Bell & Jackiw ^{[ 4 ]} en 1969. Una estructura general de las anomalías fue discutida por Bardeen en 1969. ^{[ 11 ]}

El modelo de quarks del pión indica que es un estado ligado de un quark y un antiquark. Sin embargo, los números cuánticos , incluyendo la paridad y el momento angular, considerados conservados, prohíben la desintegración del pión, al menos en los cálculos de bucle cero (simplemente, las amplitudes se anulan). Si se supone que los quarks son masivos, no sin masa, entonces se permite una desintegración que viola la quiralidad ; sin embargo, no es del tamaño correcto. (La quiralidad no es una constante de movimiento de los espinores masivos; cambiarán de quiralidad a medida que se propagan, por lo que la masa es en sí misma un término de ruptura de simetría quiral. La contribución de la masa viene dada por el resultado de Sutherland y Veltman; se denomina "PCAC", la corriente axial parcialmente conservada ). El análisis de Adler-Bell-Jackiw proporcionado en 1969 (así como las formas anteriores de Steinberger y Schwinger) sí proporcionan el ancho de desintegración correcto para el pión neutro.

Además de explicar la desintegración del pión, cumple una segunda función crucial. La amplitud de un bucle incluye un factor que considera el número total de leptones que pueden circular dentro del bucle. Para obtener la anchura de desintegración correcta, se requieren exactamente tres generaciones de quarks, y no cuatro o más. De esta forma, desempeña un papel fundamental en la restricción del Modelo Estándar , ya que proporciona una predicción física directa del número de quarks que pueden existir en la naturaleza.

La investigación actual se centra en fenómenos similares en distintos contextos, incluyendo configuraciones topológicas no triviales de la teoría electrodébil , como los esfalerones . Otras aplicaciones incluyen la hipotética no conservación del número bariónico en las teorías de gran unificación (GUT) y otras teorías.

En algunas teorías de fermiones con simetría quiral , la cuantización puede provocar la ruptura de esta simetría quiral (global). En ese caso, la carga asociada a la simetría quiral no se conserva. Esta no conservación se produce mediante un proceso de tunelización de un vacío a otro. Dicho proceso se denomina instantón .

En el caso de una simetría relacionada con la conservación del número de partículas fermiónicas , la creación de dichas partículas puede entenderse de la siguiente manera. La definición de partícula difiere en los dos estados de vacío entre los que se produce el efecto túnel; por lo tanto, un estado sin partículas en un vacío corresponde a un estado con algunas partículas en el otro. En particular, existe un mar de Dirac de fermiones y, cuando se produce dicho efecto túnel, los niveles de energía de los fermiones del mar se desplazan gradualmente hacia arriba para las partículas y hacia abajo para las antipartículas, o viceversa. Esto significa que las partículas que antes pertenecían al mar de Dirac se convierten en partículas reales (de energía positiva) y se produce la creación de partículas.

Técnicamente, en la formulación de la integral de trayectoria , una simetría anómala es una simetría de la acción.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, pero no de la medida μ y por lo tanto no de la función generadora.

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\int \!{\exp(i{\mathcal {A}}/\hbar )~\mathrm {d} \mu }}$

de la teoría cuantizada ( ℏ es el cuanto de acción de Planck dividido por 2π ) . La medida${\displaystyle d\mu }$consta de una parte que depende del campo fermiónico.${\displaystyle [\mathrm {d} \psi ]}$y una parte que depende de su conjugado complejo${\displaystyle [\mathrm {d} {\bar {\psi }}]}$. Las transformaciones de ambas partes bajo una simetría quiral no se cancelan en general. Nótese que si${\displaystyle \psi }$es un fermión de Dirac , entonces la simetría quiral se puede escribir como${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha \gamma ^{5}}\psi }$dónde${\displaystyle \gamma ^{5}}$es la matriz gamma quiral que actúa sobre${\displaystyle \psi }$. De la fórmula para${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$También se observa explícitamente que en el límite clásico , ℏ → 0, las anomalías no entran en juego, puesto que en este límite solo los extremos de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$seguir siendo relevantes.

La anomalía es proporcional al número de instantones de un campo de gauge al que están acoplados los fermiones. (Cabe destacar que la simetría de gauge siempre es no anómala y se respeta exactamente, tal como se requiere para que la teoría sea consistente).

La anomalía quiral se puede calcular exactamente mediante diagramas de Feynman de un bucle , por ejemplo, el "diagrama triangular" de Steinberger, que contribuye a las desintegraciones del pión , y${\displaystyle \pi ^{0}\to e^{+}e^{-}\gamma }$La amplitud de este proceso se puede calcular directamente a partir del cambio en la medida de los campos fermiónicos bajo la transformación quiral.

Wess y Zumino desarrollaron un conjunto de condiciones sobre cómo debería comportarse la función de partición bajo transformaciones de gauge, denominada condición de consistencia de Wess-Zumino .

Fujikawa derivó esta anomalía utilizando la correspondencia entre determinantes funcionales y la función de partición mediante el teorema del índice de Atiyah-Singer . Véase el método de Fujikawa .

El Modelo Estándar de interacciones electrodébiles tiene todos los ingredientes necesarios para una bariogénesis exitosa , aunque estas interacciones nunca se han observado ^{[ 12 ]} y pueden ser insuficientes para explicar el número bariónico total del universo observado si el número bariónico inicial del universo en el momento del Big Bang es cero. Más allá de la violación de la conjugación de carga${\displaystyle C}$y violación de CP${\displaystyle CP}$(carga+paridad), la violación de la carga bariónica aparece a través de la anomalía de Adler-Bell-Jackiw de la ${\displaystyle U(1)}$grupo.

Los bariones no se conservan mediante las interacciones electrodébiles habituales debido a la anomalía quiral cuántica. El lagrangiano electrodébil clásico conserva la carga bariónica . Los quarks siempre aparecen en combinaciones bilineales.${\displaystyle q{\bar {q}}}$, de modo que un quark solo puede desaparecer en una colisión con un antiquark. En otras palabras, la corriente bariónica clásica${\displaystyle J_{\mu }^{B}}$se conserva:

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}=\sum _{j}\partial ^{\mu }({\bar {q}}_{j}\gamma _{\mu }q_{j})=0.}$

Sin embargo, las correcciones cuánticas conocidas como esfalerón destruyen esta ley de conservación : en lugar de cero en el lado derecho de esta ecuación, hay un término cuántico que no se anula,

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}={\frac {g^{2}C}{16\pi ^{2}}}G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a},}$

donde C es una constante numérica que se anula para ℏ =0,

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }G^{\alpha \beta a},}$

y la intensidad del campo de medición${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$viene dada por la expresión

${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf_{bc}^{a}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}~.}$

Los esfalerones electrodébiles solo pueden cambiar el número bariónico y/o leptónico en 3 o múltiplos de 3 (colisión de tres bariones en tres leptones/antileptones y viceversa).

Un hecho importante es que la no conservación de la corriente anómala es proporcional a la derivada total de un operador vectorial,${\displaystyle G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}=\partial ^{\mu }K_{\mu }}$(esto no se anula debido a las configuraciones instantónicas del campo de gauge, que son de gauge puro en el infinito), donde la corriente anómala${\displaystyle K_{\mu }}$es

${\displaystyle K_{\mu }=2\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\left(A^{\nu a}\partial ^{\alpha }A^{\beta a}+{\frac {1}{3}}f^{abc}A^{\nu a}A^{\alpha b}A^{\beta c}\right),}$

que es el dual de Hodge de la 3-forma de Chern-Simons .

• Anomalía (física)
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