elipsoide

${\displaystyle S\approx 4\pi {\sqrt[{p}]{\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}}.\,\!}$

Aquí p ≈ 1,6075 produce un error relativo de como máximo 1,061%; ^{[ 7 ]} un valor de p = ⁠ 8 / 5 ⁠ = 1,6 es óptimo para elipsoides casi esféricos, con un error relativo de como máximo 1,178%.

En el límite "plano" de c mucho menor que a y b , el área es aproximadamente 2π ab , equivalente a p = log ₂ 3 ≈ 1,5849625007 .

Dado: Elipsoide ⁠ x ² / a ² ⁠ + ⁠ y ² / b ² ⁠ + ⁠ z ² / c ² ⁠ = 1 y el plano con ecuación n _x x + n _y y + n _z z = d , que tienen una elipse en común.

Se buscan: Tres vectores f ₀ (centro) y f ₁ , f ₂ (vectores conjugados), tales que la elipse pueda representarse mediante la ecuación paramétrica.

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos t+\mathbf {f} _{2}\sin t}$

(véase la elipsis ).

Solución: El escalado u = ⁠ x / a ⁠ , v = ⁠ y / b ⁠ , w = ⁠ z / c ⁠ transforma el elipsoide en la esfera unitaria u ² + v ² + w ² = 1 y el plano dado en el plano con ecuación

${\displaystyle \ n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d.}$

Sea m _u u + m _v v + m _w w = δ la forma normal de Hesse del nuevo plano y

${\displaystyle \;\mathbf {m} ={\begin{bmatrix}m_{u}\\m_{v}\\m_{w}\end{bmatrix}}\;}$

su vector normal unitario. Por lo tanto

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\delta \mathbf {m} \;}$

es el centro del círculo de intersección y

${\displaystyle \;\rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}\;}$

su radio (ver diagrama).

Donde m _w = ±1 (es decir, el plano es horizontal), sea

${\displaystyle \ \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}\rho \\0\\0\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\\rho \\0\end{bmatrix}}.}$

Donde m _w ≠ ±1 , sea

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\rho }{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}}\,{\begin{bmatrix}m_{v}\\-m_{u}\\0\end{bmatrix}}\,,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {m} \times \mathbf {e} _{1}\ .}$

En cualquier caso, los vectores e ₁ , e ₂ son ortogonales, paralelos al plano de intersección y tienen longitud ρ (radio del círculo). Por lo tanto, el círculo de intersección puede describirse mediante la ecuación paramétrica.

${\displaystyle \;\mathbf {u} =\mathbf {e} _{0}+\mathbf {e} _{1}\cos t+\mathbf {e} _{2}\sin t\;.}$

El escalado inverso (ver arriba) transforma la esfera unitaria de nuevo en elipsoide y los vectores e ₀ , e ₁ , e ₂ se asignan a los vectores f ₀ , f ₁ , f ₂ , que eran los que se necesitaban para la representación paramétrica de la elipse de intersección.

Cómo encontrar los vértices y semiejes de la elipse se describe en ellipse .

Ejemplo: Los diagramas muestran un elipsoide con los semiejes a = 4, b = 5, c = 3 que es cortado por el plano x + y + z = 5 .

1. Elija una elipse E y una hipérbola H , que son un par de cónicas focales :$${\displaystyle {\begin{aligned}E(\varphi )&=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\\H(\psi )&=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi ),\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}}$$con los vértices y focos de la elipse$${\displaystyle S_{1}=(a,0,0),\quad F_{1}=(c,0,0),\quad F_{2}=(-c,0,0),\quad S_{2}=(-a,0,0)}$$y una cuerda (en rojo en el diagrama) de longitud l .
2. Sujeta un extremo de la cuerda al _vértice S₁ y el otro al foco _F₂ . La cuerda se mantiene tensa en un punto P con coordenadas y y z positivas , de manera que se extiende desde S₁ hasta P por detrás _de la parte superior de la hipérbola (véase el diagrama) y puede deslizarse libremente sobre ella. La parte de la cuerda que va de _P a F₂ se extiende y se desliza por delante de la elipse. La cuerda pasa por el punto de la hipérbola para el cual la distancia | S₁P | sobre cualquier punto _de la hipérbola es mínima. La afirmación análoga sobre la segunda parte de la cuerda y la elipse también debe ser cierta.
3. Entonces: P es un punto del elipsoide con ecuación $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {x^{2}}{r_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r_{z}^{2}}}=1\\&r_{x}={\tfrac {1}{2}}(l-a+c),\quad r_{y}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}},\quad r_{z}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-a^{2}}}}.\end{aligned}}}$$
4. Los puntos restantes del elipsoide se pueden construir mediante cambios adecuados de la cuerda en las cónicas focales.

Las ecuaciones para los semiejes del elipsoide generado se pueden derivar mediante elecciones especiales para el punto P :

${\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\quad Z=(0,0,r_{z}).}$

La parte inferior del diagrama muestra que F ₁ y F ₂ también son los focos de la elipse en el plano xy . Por lo tanto, es confocal a la elipse dada y la longitud de la cuerda es l = 2 r _x + ( a − c ) . Resolviendo para r _x se obtiene r _x = ⁠ 1 / 2 ⁠ ( l − a + c ) ; además r ² _y = r ² _x − c ² .

Del diagrama superior vemos que S ₁ y S ₂ son los focos de la sección elíptica del elipsoide en el plano xz y que r ² _z = r ² _x − a ² .

Si, por el contrario, un elipsoide triaxial viene dado por su ecuación, entonces a partir de las ecuaciones del paso 3 se pueden derivar los parámetros a , b , l para una construcción de clavijas y cuerda.

Si E es un elipsoide confocal a E con los cuadrados de sus semiejes

${\displaystyle {\overline {r}}_{x}^{2}=r_{x}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

entonces de las ecuaciones de E

${\displaystyle r_{x}^{2}-r_{y}^{2}=c^{2},\quad r_{x}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2},\quad r_{y}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}$

Se observa que las cónicas focales correspondientes utilizadas para la construcción de clavijas y cuerda tienen los mismos semiejes a , b , c que el elipsoide E. Por lo tanto (de forma análoga a los focos de una elipse), se consideran las cónicas focales de un elipsoide triaxial como los (infinitos) focos y se las denomina curvas focales del elipsoide. ^{[ 14 ]}

La afirmación inversa también es cierta: si se elige una segunda cadena de longitud l y se define

${\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}$

luego las ecuaciones

${\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

son válidas, lo que significa que los dos elipsoides son confocales.

En el caso de a = c (un esferoide ) se obtiene S ₁ = F ₁ y S ₂ = F ₂ , lo que significa que la elipse focal degenera en un segmento de línea y la hipérbola focal colapsa en dos segmentos de línea infinitos sobre el eje x . El elipsoide es rotacionalmente simétrico alrededor del eje x y

${\displaystyle r_{x}={\tfrac {1}{2}}l,\quad r_{y}=r_{z}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}}$.

Curva verdadera

Si se observa un elipsoide desde un punto externo V de su hipérbola focal, entonces parece una esfera, es decir, su forma aparente es un círculo. De forma equivalente, las tangentes del elipsoide que contiene el punto V son las líneas de un cono circular , cuyo eje de rotación es la línea tangente de la hipérbola en V. [ ^{15 ] [ 16 ] Si} se permite que el centro V desaparezca en el infinito, se obtiene una proyección paralela ortogonal con la asíntota correspondiente de la hipérbola focal como su dirección. La verdadera curva de forma (puntos de tangencia) en el elipsoide no es un círculo.

La parte inferior del diagrama muestra a la izquierda una proyección paralela de un elipsoide (con semiejes 60, 40 y 30) a lo largo de una asíntota y a la derecha una proyección central con centro V y punto principal H sobre la tangente de la hipérbola en el punto V. ( H es el pie de la perpendicular trazada desde V al plano de la imagen). En ambas proyecciones, la forma aparente es un círculo. En el caso de la proyección paralela, la imagen del origen O es el centro del círculo; en el caso de la proyección central, el punto principal H es el centro.

Puntos umbilicales

La hipérbola focal interseca el elipsoide en sus cuatro puntos umbilicales . ^{[ 17 ]}

La elipse focal junto con su parte interior puede considerarse como la superficie límite (un elipsoide infinitamente delgado) del haz de elipsoides confocales determinado por a , b para r _z → 0. Para el caso límite se obtiene

${\displaystyle r_{x}=a,\quad r_{y}=b,\quad l=3a-c.}$

Si A es una matriz real, simétrica, definida positiva de n por n , y v es un vector en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$entonces el conjunto de puntos x que satisfacen la ecuación

${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

es un elipsoide n -dimensional centrado en v . La expresión${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )}$También se denomina norma elipsoidal de x − v . Para cada elipsoide, existen valores únicos de A y v que satisfacen la ecuación anterior. ^{[ 18 ] : 67}

Los autovectores de A son los ejes principales del elipsoide, y los autovalores de A son los recíprocos de los cuadrados de los semiejes (en tres dimensiones estos son a ⁻² , b ⁻² y c ⁻² ). ^{[ 19 ]} En particular:

• El diámetro del elipsoide es el doble del semieje más largo, que es el doble de la raíz cuadrada del recíproco del mayor valor propio de A.
• El ancho del elipsoide es el doble del semieje más corto, que es el doble de la raíz cuadrada del recíproco del autovalor más pequeño de A.

Una transformación lineal invertible aplicada a una esfera produce un elipsoide, que puede transformarse en la forma estándar mencionada anteriormente mediante una rotación adecuada , consecuencia de la descomposición polar (véase también el teorema espectral ). Si la transformación lineal se representa mediante una matriz simétrica de 3  ×  3 , los vectores propios de la matriz son ortogonales (debido al teorema espectral ) y representan las direcciones de los ejes del elipsoide; las longitudes de los semiejes se calculan a partir de los valores propios. La descomposición en valores singulares y la descomposición polar son descomposiciones matriciales estrechamente relacionadas con estas observaciones geométricas.

Para cada matriz definida positiva${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, existe una matriz definida positiva única denotada A ^1/2 , tal que ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{1/2}{\boldsymbol {A}}^{1/2};}$Esta notación está motivada por el hecho de que esta matriz puede verse como la "raíz cuadrada positiva" de${\displaystyle {\boldsymbol {A}}.}$El elipsoide definido por${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$También se puede presentar como ^{[ 18 ] : 67}

${\displaystyle A^{-1/2}\cdot S(\mathbf {0} ,1)+\mathbf {v} }$

donde S( 0,1 ) es la esfera unitaria alrededor del origen.

La clave para una representación paramétrica de un elipsoide en posición general es la definición alternativa:

Un elipsoide es una imagen afín de la esfera unitaria.

Una transformación afín puede representarse mediante una traslación con un vector f ₀ y una matriz regular de 3  × 3 A : 

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} _{0}+{\boldsymbol {A}}\mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+x\mathbf {f} _{1}+y\mathbf {f} _{2}+z\mathbf {f} _{3}}$

donde f ₁ , f ₂ , f ₃ son los vectores columna de la matriz A .

Una representación paramétrica de un elipsoide en posición general se puede obtener mediante la representación paramétrica de una esfera unitaria (véase más arriba) y una transformación afín:

${\displaystyle \mathbf {x} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{2}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{3}\sin \theta ,\qquad -{\tfrac {\pi }{2}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}},\quad 0\leq \varphi <2\pi }$.

Si los vectores f ₁ , f ₂ , f ₃ forman un sistema ortogonal, los seis puntos con vectores f ₀ ± f _1,2,3 son los vértices del elipsoide y | f ₁ | , | f ₂ | , | f ₃ | son los semiejes principales.

Un vector normal a la superficie en el punto x ( θ , φ ) es

${\displaystyle \mathbf {n} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{2}\times \mathbf {f} _{3}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{3}\times \mathbf {f} _{1}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{1}\times \mathbf {f} _{2}\sin \theta .}$

Para cualquier elipsoide existe una representación implícita F ( x , y , z ) = 0 . Si por simplicidad el centro del elipsoide es el origen, f ₀ = 0 , la siguiente ecuación describe el elipsoide anterior: ^{[ 20 ]}

${\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {x} \right)^{2}-\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}=0}$

• Método elipsoidal , un algoritmo de optimización convexa de importancia teórica.

Iluminación

• Proyector reflector elipsoidal
• Foco reflector elipsoidal

Medicamento

• Las mediciones obtenidas a partir de imágenes de resonancia magnética de la próstata se pueden utilizar para determinar el volumen de la glándula utilizando la aproximación L × W × H × 0,52 (donde 0,52 es una aproximación para ⁠ π / 6 ⁠ ) ^{[ 21 ]}

La masa de un elipsoide de densidad uniforme ρ es

${\displaystyle m=V\rho ={\tfrac {4}{3}}\pi abc\rho .}$

Los momentos de inercia de un elipsoide de densidad uniforme son

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {xx} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right),&I_{\mathrm {yy} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(c^{2}+a^{2}\right),&I_{\mathrm {zz} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right),\\[3pt]I_{\mathrm {xy} }&=I_{\mathrm {yz} }=I_{\mathrm {zx} }=0.\end{aligned}}}$

Para a = b = c, estos momentos de inercia se reducen a los de una esfera de densidad uniforme.

Los elipsoides y cuboides giran de forma estable alrededor de sus ejes mayor o menor, pero no alrededor de su eje medio. Esto se puede observar experimentalmente lanzando una goma de borrar con cierto giro. Además, las consideraciones sobre el momento de inercia implican que la rotación alrededor del eje mayor se perturba con mayor facilidad que la rotación alrededor del eje menor. ^{[ 22 ]}

Una consecuencia práctica de esto es que los cuerpos astronómicos escalenos, como Haumea, generalmente giran sobre sus ejes menores (al igual que la Tierra, que es simplemente achatada ); además, debido al acoplamiento de marea , las lunas en órbita síncrona , como Mimas, orbitan con su eje mayor alineado radialmente con su planeta.

Un cuerpo giratorio de fluido homogéneo autogravitante adoptará la forma de un esferoide de Maclaurin (esferoide achatado) o un elipsoide de Jacobi (elipsoide escaleno) cuando se encuentre en equilibrio hidrostático y a velocidades de rotación moderadas. A velocidades de rotación mayores, cabe esperar formas piriformes u oviformes no elipsoidales , pero estas no son estables.

El elipsoide es la forma más general para la cual ha sido posible calcular el flujo lento de un fluido alrededor de la forma sólida. Los cálculos incluyen la fuerza necesaria para desplazarse a través de un fluido y para rotar dentro de él. Las aplicaciones incluyen la determinación del tamaño y la forma de moléculas grandes, la velocidad de hundimiento de partículas pequeñas y la capacidad de natación de los microorganismos . ^{[ 23 ]}

Las distribuciones elípticas , que generalizan la distribución normal multivariada y se utilizan en finanzas , pueden definirse en términos de sus funciones de densidad . Cuando existen, las funciones de densidad f tienen la siguiente estructura:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g\left((\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}\right)}$

donde k es un factor de escala, x es un vector fila aleatorio n -dimensional con vector mediano μ (que también es el vector medio si este último existe), Σ es una matriz definida positiva que es proporcional a la matriz de covarianza si esta última existe, y g es una función que mapea de los reales no negativos a los reales no negativos que da un área finita bajo la curva. ^{[ 24 ]} La distribución normal multivariada es el caso especial en el que g ( z ) = exp(− ⁠ z / 2 ⁠ ) para la forma cuadrática z .

Así, la función de densidad es una transformación escalar a escalar de una expresión cuádrica. Además, la ecuación para cualquier superficie de isodensidad establece que la expresión cuádrica es igual a una constante específica para ese valor de densidad, y la superficie de isodensidad es un elipsoide.