Elipse

La forma estándar de una elipse en coordenadas cartesianas supone que el origen es el centro de la elipse, el eje x es el eje mayor y:

Para un punto arbitrario${\displaystyle (x,y)}$la distancia al foco${\displaystyle (c,0)}$es${\estilo de texto {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}}$y al otro enfoque${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$. De ahí el punto${\displaystyle (x,\,y)}$está en la elipse siempre que: $${\displaystyle {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$$

Eliminando los radicales mediante elevaciones al cuadrado adecuadas y utilizando${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$(ver diagrama) produce la ecuación estándar de la elipse: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$$ o bien, resuelto para y : $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {{\vphantom {\left(a^{2}-x^{2}\right)}}a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$$

Los parámetros de ancho y alto${\displaystyle a,\;b}$se denominan semiejes mayor y semieje menor . Los puntos superior e inferior${\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}$son los covértices . Las distancias desde un punto${\displaystyle (x,\,y)}$En la elipse, los focos izquierdo y derecho están${\displaystyle a+ex}$y${\displaystyle a-ex}$.

De la ecuación se deduce que la elipse es simétrica con respecto a los ejes de coordenadas y, por lo tanto, con respecto al origen.

Una línea arbitraria${\displaystyle g}$una recta interseca una elipse en 0, 1 o 2 puntos, llamados respectivamente línea exterior , tangente y secante . Por cualquier punto de una elipse pasa una tangente única. La tangente en un punto${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$de la elipse${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$tiene la ecuación de coordenadas: $${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$$

La ecuación paramétrica vectorial de la tangente es: $${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s\left({\begin{array}{r}-y_{1}a^{2}\\x_{1}b^{2}\end{array}}\right),\quad s\in \mathbb {R} .}$$

Prueba: Dejemos${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ser un punto en una elipse y${\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$sea ​​la ecuación de cualquier línea${\displaystyle g}$que contiene${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$. Insertando la ecuación de la línea en la ecuación de la elipse y respetando${\textstyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$rendimientos: $${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}$$ Entonces hay casos:

1. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.}$Luego la línea${\displaystyle g}$y la elipse solo tiene un punto${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$en común y${\displaystyle g}$es una tangente. La dirección de la tangente tiene un vector perpendicular.${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}}&{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}}$, por lo tanto, la recta tangente tiene ecuación${\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}$para algunos${\displaystyle k}$. Porque${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$está en la tangente y la elipse, se obtiene${\displaystyle k=1}$.
2. ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.}$Luego la línea${\displaystyle g}$Tiene un segundo punto en común con la elipse y es una secante.

Utilizando (1) se encuentra que${\displaystyle {\begin{pmatrix}-y_{1}a^{2}&x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}}$es un vector tangente en el punto${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$, lo cual demuestra la ecuación vectorial.

Si${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$y${\displaystyle (u,v)}$son dos puntos de la elipse tales que${\textstyle {\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}$, entonces los puntos se encuentran en dos diámetros conjugados (ver más abajo ). (Si${\displaystyle a=b}$(la elipse es un círculo y "conjugado" significa "ortogonal").

Si la elipse estándar se desplaza para que tenga centro${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$, su ecuación es $${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

Los ejes siguen siendo paralelos a los ejes x e y .

En geometría analítica , la elipse se define como una cuádrica : el conjunto de puntos${\displaystyle (x,\,y)}$del plano cartesiano que, en casos no degenerados, satisfacen la ecuación implícita ^{[ 5 ] [ 6 ]}$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$$ proporcionó${\displaystyle B^{2}-4AC<0.}$

Para distinguir los casos degenerados del caso no degenerado, sea ∆ el determinante.$${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=ACF+{\tfrac {1}{4}}BDE-{\tfrac {1}{4}}(AE^{2}+CD^{2}+FB^{2}).}$$

Entonces, la elipse es una elipse real no degenerada si y solo si C∆ < 0. Si C∆ > 0, tenemos una elipse imaginaria, y si ∆ = 0, tenemos una elipse puntual. ^{[ 7 ] : 63}

Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir del semieje mayor conocido.${\displaystyle a}$, semieje menor${\displaystyle b}$, coordenadas del centro${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$y ángulo de rotación${\displaystyle \theta }$(el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la elipse) utilizando las fórmulas: $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta &B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\[1ex]C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta &D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\[1ex]E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }&F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Estas expresiones se pueden derivar de la ecuación canónica. $${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$ mediante una transformación euclidiana de las coordenadas${\displaystyle (X,\,Y)}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta +\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{aligned}}}$$

Por el contrario, los parámetros de la forma canónica se pueden obtener a partir de los coeficientes de la forma general mediante las ecuaciones: ^{[ 3 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {2{\big (}AE^{2}+CD^{2}-BDE+(B^{2}-4AC)F{\big )}{\big (}(A+C)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}{\big )}}}}{B^{2}-4AC}},\\x_{\circ }&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]y_{\circ }&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}},\\[5mu]\theta &={\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (-B,\,C-A),\end{aligned}}}$$

donde atan2 es la función arcotangente de 2 argumentos.

Utilizando funciones trigonométricas , una representación paramétrica de la elipse estándar${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$es: $${\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \,.}$$

El parámetro t (llamado anomalía excéntrica en astronomía) no es el ángulo de${\displaystyle (x(t),y(t))}$con el eje x , pero tiene un significado geométrico debido a Philippe de La Hire (véase §  Dibujo de elipses más abajo). ^{[ 9 ]}

Con la sustitución${\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}$y fórmulas trigonométricas se obtiene $${\displaystyle \cos t={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{1+u^{2}}}}$$

y la ecuación paramétrica racional de una elipse $${\displaystyle {\begin{cases}x(u)=a\,{\dfrac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\[10mu]y(u)=b\,{\dfrac {2u}{1+u^{2}}}\\[10mu]-\infty <u<\infty \end{cases}}}$$

que abarca cualquier punto de la elipse${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$excepto el vértice izquierdo${\displaystyle (-a,\,0)}$.

Para${\displaystyle u\in [0,\,1],}$Esta fórmula representa el cuarto superior derecho de la elipse moviéndose en sentido contrario a las agujas del reloj con un aumento${\displaystyle u.}$El vértice izquierdo es el límite${\textstyle \lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u))=(-a,\,0)\;.}$

Alternativamente, si el parámetro${\displaystyle [u:v]}$Se considera que es un punto en la línea proyectiva real.${\textstyle \mathbf {P} (\mathbf {R} )}$, entonces la parametrización racional correspondiente es $${\displaystyle [u:v]\mapsto \left(a{\frac {v^{2}-u^{2}}{v^{2}+u^{2}}},b{\frac {2uv}{v^{2}+u^{2}}}\right).}$$

Entonces${\textstyle [1:0]\mapsto (-a,\,0).}$

Las representaciones racionales de secciones cónicas se utilizan habitualmente en el diseño asistido por ordenador (véase curva de Bézier ).

Una representación paramétrica, que utiliza la pendiente${\displaystyle m}$La tangente en un punto de la elipse se puede obtener a partir de la derivada de la representación estándar.${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t)}$: $${\displaystyle {\vec {x}}'(t)=(-a\sin t,\,b\cos t)\quad \rightarrow \quad m=-{\frac {b}{a}}\cot t\quad \rightarrow \quad \cot t=-{\frac {ma}{b}}.}$$

Con ayuda de fórmulas trigonométricas se obtiene: $${\displaystyle \cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.}$$

Reemplazar${\displaystyle \cos t}$y${\displaystyle \sin t}$de la representación estándar produce: $${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}},\;{\frac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right),\,m\in \mathbb {R} .}$$

Aquí${\displaystyle m}$es la pendiente de la tangente en el punto elíptico correspondiente,${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$es la parte superior y${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$la mitad inferior de la elipse. Los vértices${\displaystyle (\pm a,\,0)}$, que tienen tangentes verticales, no están cubiertas por la representación.

La ecuación de la tangente en el punto${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$tiene la forma${\displaystyle y=mx+n}$. Lo aún desconocido${\displaystyle n}$se puede determinar insertando las coordenadas del punto elíptico correspondiente${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$: $${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\,.}$$

Esta descripción de las tangentes de una elipse es una herramienta esencial para determinar la ortóptica de una elipse. El artículo sobre ortóptica contiene otra demostración, sin cálculo diferencial ni fórmulas trigonométricas.

Otra definición de elipse utiliza transformaciones afines :

Cualquier elipse es una imagen afín del círculo unitario con ecuación${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$.

Representación paramétrica

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma${\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}}$, dónde${\displaystyle A}$es una matriz regular (con determinante distinto de cero ) y${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$es un vector arbitrario. Si${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$son los vectores columna de la matriz${\displaystyle A}$, el círculo unitario${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$,${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$, se proyecta sobre la elipse: $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\,.}$$

Aquí${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0}}$es el centro y${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}}$son las direcciones de dos diámetros conjugados , en general no perpendiculares.

Vértices

Los cuatro vértices de la elipse son${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}\left(t_{0}\pm {\tfrac {\pi }{2}}\right),\;{\vec {p}}\left(t_{0}+\pi \right)}$, para un parámetro${\displaystyle t=t_{0}}$definido por: $${\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.}$$

(Si${\displaystyle {\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0}$, entonces${\displaystyle t_{0}=0}$.) Esto se deriva de la siguiente manera. El vector tangente en el punto${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$es: $${\displaystyle {\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .}$$

En un parámetro de vértice${\displaystyle t=t_{0}}$La tangente es perpendicular a los ejes mayor/menor, por lo tanto: $${\displaystyle 0={\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).}$$

Ampliar y aplicar las identidades${\displaystyle \;\cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ \ 2\sin t\cos t=\sin 2t\;}$da la ecuación para${\displaystyle t=t_{0}\;.}$

Área

Del teorema de Apolonio (véase más abajo) se obtiene: El área de una elipse${\displaystyle \;{\vec {x}}={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t\;}$es $${\displaystyle A=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|.}$$

Semiejes

Con las abreviaturas ${\displaystyle \;M={\vec {f}}_{1}^{2}+{\vec {f}}_{2}^{2},\ N=\left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$ Los enunciados del teorema de Apolonio se pueden escribir como: $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\quad ab=N\ .}$$ Resolver este sistema no lineal para${\displaystyle a,b}$produce los semiejes: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\\[1ex]b&={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\,.\end{aligned}}}$$

Representación implícita

Resolviendo la representación paramétrica para${\displaystyle \;\cos t,\sin t\;}$por la regla de Cramer y usando${\displaystyle \;\cos ^{2}t+\sin ^{2}t-1=0\;}$, se obtiene la representación implícita $${\displaystyle \det {\left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}+\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}}-\det {\left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}}=0.}$$

Por el contrario: Si la ecuación

${\displaystyle x^{2}+2cxy+d^{2}y^{2}-e^{2}=0\ ,}$con${\displaystyle \;d^{2}-c^{2}>0\;,}$

Se da el de una elipse centrada en el origen, entonces los dos vectores $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={e \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {e}{\sqrt {d^{2}-c^{2}}}}{-c \choose 1}}$$ Señale dos puntos conjugados y las herramientas desarrolladas anteriormente serán aplicables.

Ejemplo : Para la elipse con ecuación${\displaystyle \;x^{2}+2xy+3y^{2}-1=0\;}$los vectores son $${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={1 \choose 0},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{-1 \choose 1}.}$$

Elipse estándar rotada

Para${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={0 \choose 0},\;{\vec {f}}_{1}=a{\cos \theta \choose \sin \theta },\;{\vec {f}}_{2}=b{-\sin \theta \choose \;\cos \theta }}$se obtiene una representación paramétrica de la elipse estándar rotada por un ángulo${\displaystyle \theta }$: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{\theta }(t)=a\cos \theta \cos t-b\sin \theta \sin t\,,\\y&=y_{\theta }(t)=a\sin \theta \cos t+b\cos \theta \sin t\,.\end{aligned}}}$$

Elipse en el espacio

La definición de elipse en esta sección proporciona una representación paramétrica de una elipse arbitraria, incluso en el espacio, si se permite${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$ser vectores en el espacio.

En coordenadas polares , con el origen en el centro de la elipse y con la coordenada angular${\displaystyle \theta }$Medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es ^{[ 7 ] : 75}$${\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}$$ dónde${\displaystyle e}$es la excentricidad (no el número de Euler ).

Si en cambio usamos coordenadas polares con el origen en un foco, con la coordenada angular${\displaystyle \theta =0}$Aún medida desde el eje mayor, la ecuación de la elipse es $${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}}$$

donde el signo en el denominador es negativo si la dirección de referencia${\displaystyle \theta =0}$apunta hacia el centro (como se ilustra a la derecha), y es positivo si esa dirección apunta en dirección opuesta al centro.

El ángulo${\displaystyle \theta }$Se denomina anomalía verdadera del punto. El numerador${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})}$es el semi-lato recto .

Un círculo tiene la siguiente propiedad:

Los puntos medios de las cuerdas paralelas se encuentran sobre un diámetro.

Una transformación afín conserva el paralelismo y los puntos medios de los segmentos de recta, por lo que esta propiedad se cumple para cualquier elipse. (Nótese que las cuerdas paralelas y el diámetro ya no son ortogonales).

Definición

Dos diámetros${\displaystyle d_{1},\,d_{2}}$de una elipse son conjugadas si los puntos medios de las cuerdas paralelas a${\displaystyle d_{1}}$tumbarse en${\displaystyle d_{2}\ .}$

Del diagrama se deduce:

Dos diámetros${\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}},\,{\overline {P_{2}Q_{2}}}}$de una elipse son conjugadas siempre que las tangentes en${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle Q_{1}}$son paralelos a${\displaystyle {\overline {P_{2}Q_{2}}}}$.

Los diámetros conjugados en una elipse generalizan los diámetros ortogonales en un círculo.

En la ecuación paramétrica para una elipse general dada anteriormente, $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t,}$$

cualquier par de puntos${\displaystyle {\vec {p}}(t),\ {\vec {p}}(t+\pi )}$pertenecen a un diámetro, y el par${\displaystyle {\vec {p}}\left(t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\ {\vec {p}}\left(t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$pertenecen a su diámetro conjugado.

Para la representación paramétrica común${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$de la elipse con ecuación${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$uno obtiene: Los puntos

${\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\pm a\cos t,\pm b\sin t)\quad }$(signos: (+,+) o (−,−) )

${\displaystyle (x_{2},y_{2})=({\color {red}{\mp }}a\sin t,\pm b\cos t)\quad }$(signos: (−,+) o (+,−) )

son conjugados y

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y_{2}}{b^{2}}}=0\ .}$

En el caso de un círculo, la última ecuación se reduce a${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\ .}$

Para una elipse con semiejes${\displaystyle a,\,b}$Lo siguiente es cierto: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Dejar${\displaystyle c_{1}}$y ${\displaystyle c_{2}}$sean mitades de dos diámetros conjugados (ver diagrama) entonces

1. ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}^{2}=a^{2}+b^{2}}$.
2. El triángulo${\displaystyle O,P_{1},P_{2}}$con lados${\displaystyle c_{1},\,c_{2}}$(ver diagrama) tiene área constante${\textstyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}ab}$, que puede expresarse por${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}c_{2}d_{1}={\tfrac {1}{2}}c_{1}c_{2}\sin \alpha }$, también.${\displaystyle d_{1}}$es la altitud del punto${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle \alpha }$el ángulo entre los semidiámetros. Por lo tanto, el área de la elipse (véase la sección de propiedades métricas ) se puede escribir como${\displaystyle A_{el}=\pi ab=\pi c_{2}d_{1}=\pi c_{1}c_{2}\sin \alpha }$.
3. El paralelogramo de tangentes adyacentes a los diámetros conjugados dados tiene la${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\ .}$

Prueba

Sea la elipse en forma canónica con ecuación paramétrica. $${\displaystyle {\vec {p}}(t)=(a\cos t,\,b\sin t).}$$

Los dos puntos${\textstyle {\vec {c}}_{1}={\vec {p}}(t),\ {\vec {c}}_{2}={\vec {p}}\left(t+{\frac {\pi }{2}}\right)}$están en diámetros conjugados (ver sección anterior). A partir de fórmulas trigonométricas se obtiene${\displaystyle {\vec {c}}_{2}=(-a\sin t,\,b\cos t)^{\mathsf {T}}}$y $${\displaystyle \left|{\vec {c}}_{1}\right|^{2}+\left|{\vec {c}}_{2}\right|^{2}=\cdots =a^{2}+b^{2}\,.}$$

El área del triángulo generado por${\displaystyle {\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}}$es $${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}\det \left({\vec {c}}_{1},\,{\vec {c}}_{2}\right)=\cdots ={\tfrac {1}{2}}ab}$$

y del diagrama se puede ver que el área del paralelogramo es 8 veces la de${\displaystyle A_{\Delta }}$. Por eso $${\displaystyle {\text{Area}}_{12}=4ab\,.}$$